二元一次方程(组)及其解法含答案
十道二元一次方程组及答案
十道二元一次方程组及答案1：学校为同学们安排宿舍。
若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住4人，且两间宿舍没人住。
求该年级同学人数和宿舍间数。
（解：设年级人数是人，宿舍是y人）解：设年级人数是人，宿舍是y人）5y-=-46(y-2)-=2解这个方程组得：y=18=942：用A、B两种原料配制两种油漆，已知甲种油漆含A、B两种原料之比为5：4，每千克50元，乙种油漆含A、B两种原料之比为3：2，每千克48。
6元，求A、B两种原料每千克的价格分别是多少元。
（解：设A种原料每千克元，B种原料每千克y元）5÷9+4÷9y=503÷5+2÷5y=48。
6化简方程组得：5+4y=4503+2y=243解这个方程组得：y=67。
53：甲、乙两地相距24千米，公共汽车和直达快车在8：45从甲、乙两地相向开出，这两辆车都在8：52到达中途A处。
有一次，直达快车晚开8分钟，两车则在8：58相遇途中B处，求这两车的速度。
（解：设直达快车每小时千米，公共汽车每小时y千米）7÷60+7÷60y=2413÷60y+5÷60=244、要用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水18千克，两种药水各需取多少千克？（解：设含药30%的药水千克，含药75%的药水y千克）+y=1830%有效成分=30%75%有效成分=y75%50%有效成分=1850%所以30%+75%=1850%0。
3+0。
75y=9+y=180。
3+0。
3y=5、4所以0。
75y-0。
3y=9-5、40。
45=3、6y=10所以30%取8千克，75%取10千克5、一列快车长70千米，慢车长80千米，若两车同时相向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车为20秒，若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每小时各行多少千米。
（解：设快车每小时行千米，慢车每小时行y千米）6。
第五章二元一次方程(组)及其解法(解析版)
第五章二元一次方程组考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】知识点一、二元一次方程（组）考点类型一、二元一次方程（组）考点类型二、用字母表示数考点类型三、二元一次方程（组）的解知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法考点类型二、消元法考点类型三、含参数类型考点类型四、整体思想、换元思想考点类型五、新定义风向知识点一、二元一次方程（组）考点类型一、二元一次方程（组）1．已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（）A ．,11m n ==-B ．1,1m n =-=C ．14,33m n ==-D ．14,33m n =-=【答案】A根据二元一次方程的定义，得出关于m ，n 的方程组，求出答案．【详解】∵关于x 、y 的方程x 2m﹣n ﹣2+y m +n +1＝6是二元一次方程，∴22111m n m n --=⎧⎨++=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩．故选：A ．【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．2．若1335m n m x y --+=是二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（）A ．2m =，3n =B ．2m =，1n =C ．1m =-，2n =D ．3m =，4n =【答案】B【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程判断即可．【详解】解：∵1335m n m x y --+=是二元一次方程，∴m -1=1，3n -m =1，解得：m =2，n =1，故选：B ．此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．3．方程23235,3,3,320,6x y xy x x y z x y y -==+=-+=+=中是二元一次方程的有___个．【答案】1【分析】二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数；未知数的最高次项的次数是1．【详解】解：符合二元一次方程的定义的方程只有2x −3y ＝5；xy ＝3，x 2＋y ＝6的未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义；x ＋3y＝1不是整式方程，不符合二元一次方程的定义；3x −y ＋2z ＝0含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义；由上可知是二元一次方程的有1个．故答案为：1．【点睛】主要考查二元一次方程的概念．要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．4．如果2120a b x y -++=是二元一次方程，则a =____，b =_____．【答案】3【分析】根据二元一次方程的定义可知21a -=，11b +=，据此可解出a 、b .解：依题意，得：2111a b -=⎧⎨+=⎩，解得：30a b =⎧⎨=⎩.故答案为：3，0.【点睛】此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解．5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．35233x y x z +=⎧⎨-=⎩B ．12163m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．56m n mn n +=⎧⎨+=⎩D ．321026x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】B【分析】本题根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．【详解】解：A ：含有三个未知数，不是；B ：符合条件，是；C ：mn 项的次数为2，不是；D ：存在不是整式的式子，不是．故选：B ．本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．6．下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩B ．43624x y y z +=⎧⎨+=⎩C ．41x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．22513x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成；根据二元一次方程组的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A 、方程组141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；B 、方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；C 、该方程组是二元一次方程组，所以本选项符合题意；D 、方程组中第二个方程未知数x 、y 的次数是2，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，属于基础概念题型，熟知二元一次方程组的概念是关键．7．已知方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则（）A ．2m ≠±B ．3m =C ．3m =-D ．3m ≠【分析】二元一次方程组：由两个整式方程组成，两个方程一共含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义列方程或不等式，从而可得答案.【详解】解： 方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，203021m m m ⎧+≠⎪∴-≠⎨⎪-=⎩解得：233m m m ≠-⎧⎪≠⎨⎪=±⎩3.m ∴=-故选：.C 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键.考点类型二、用字母表示数8．由132x y -=可以得到用x 表示y 的式子为（）A ．223x y -=B ．223x y =-C ．2133x y =-D ．223x y =-【分析】先移项，后系数化为1，即可得．【详解】解：132x y -=移项，得123y x =-，系数化为1，得223x y =-，故选B ．【点睛】本题考查了方程的基本运算技能，解题的关键是熟练掌握方程的基本运算技能．9．在二元一次方程142653x y -=中，用含x 的代数式表示y ，则下面结论正确的是（）A ．20524xy -=B ．52024x y -=C ．52024x y +=D ．52024x y +=-【答案】B【分析】先把二元一次方程142653x y -=去分母得：52420x y -=，再通过移项合并同类项可得结果．【详解】解：由二元一次方程142653x y -=去分母，得：52420x y -=，移项合并同类项得：52024x y -=，系数化为1得：52024x y -=，故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤．10．把方程635x y -=改成用含x 的代数式表示y 为y =__________．【答案】2x -53【分析】把x 看作已知数求出y 即可．【详解】解：6x -3y =5，3y =6x -5，解得：y =2x -53故答案为：y =2x -53【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看作已知数求出y ．考点类型三、二元一次方程（组）的解11．已知14x y =-⎧⎨=⎩是方程mx ﹣y ＝3的解，则m 的值是（）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．7【答案】C【分析】把14xy=-⎧⎨=⎩代入mx﹣y＝3，得到关于m的方程，进而即可求解．【详解】解：14xy=-⎧⎨=⎩是方程mx﹣y＝3的解，∴-m﹣4＝3，解得：m=-7，故选C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键．12．如果方程组23759x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是方程716x my+=的一个解，则m的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：23759x yx y+=⎧⎨-=⎩①②{，①+②×3得：17x=34，即x=2，把x=2代入①得：y=1，把x=2，y=1代入方程7x+my=16得：14+m=16，解得：m =2，故选：C ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程解的概念，解出二元一次方程组的解代入另一个方程是解决此题的关键．13．二元一次方程210x y +=有______个解，有________个正整数解，它们是___________．【答案】无穷多412348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩；；；【分析】将x 看做已知数求出y ，即可确定出正整数解的个数．【详解】解：由方程210x y +=，得到102y x =-，当x =1时，y =8；当x =2时，y =6；当x =3时，y =4；当x =4时，y =2．则正整数解有4个，故答案为：无穷多；4；12348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩；；；．【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．14．若二元一次方程组51cx ay x y -=⎧⎨+=⎩和23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩解相同，则可通过解方程组（）求得这个解．A ．151cx ay x y -=⎧⎨+=⎩B ．51cx ay ax by -=⎧⎨+=⎩C ．23151x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】根据方程组同解，可知方程组的解同时满足四个方程，将两个已知方程组成方程组即可．【详解】解：∵二元一次方程组51cx ayx y-=⎧⎨+=⎩和23151x yax by-=⎧⎨+=⎩解相同，方程组的解同时满足这四个方程；∴解方程组23151x yx y-=⎧⎨+=⎩即可求出方程组的解，故选：C．【点睛】本题考查了方程组同解问题，解题关键是明确方程组的解的意义，把已知方程组成方程组．15．若关于x，y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，则方程组(3)(1)4(3)(1)8a xb ya xb y+--=-⎧⎨++-=⎩的解是（）A．14xy=-⎧⎨=⎩B．23xy=⎧⎨=⎩C．14xy=⎧⎨=-⎩D．52xy=⎧⎨=⎩【答案】A 【分析】通过观察所给方程组的关系可得3213xy+=⎧⎨-=⎩，求出x、y即可．【详解】解：∵关于x，y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，∴234 238a ba b-=-⎧⎨+=⎩，又∵(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩，∴3213x y +=⎧⎨-=⎩，解得14x y =-⎧⎨=⎩，∴方程组(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩的解为14x y =-⎧⎨=⎩，故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间的关系．16．已知关于x 、y 的方程组242x y a x y a -=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 互为相反数，则a =__________．【答案】2【分析】直接①-②可得42x y a +=-，由题意可得0x y +=，进而可得420a -=，再解即可．【详解】242x y a x y a-=-⎧⎨-=⎩①②，①-②得：42x y a +=-，x y 、互为相反数，0x y ∴+=，420a∴-=，解得：2a=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件x＝−y．知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法17．用代入法解下列方程组：（1）3 759 y xx y=+⎧⎨+=⎩；（2）35 5215 s ts t-=⎧⎨+=⎩；（3）3416 5633 x yx y+=⎧⎨-=⎩；（4）4(1)3(1)2223x y yx y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩．【答案】（1）1252xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）25112011st⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）612xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩；（4）23xy=⎧⎨=⎩．【分析】根据代入法解二元一次方程组即可，代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数，代入消元法简称代入法．【详解】（1）3759y x x y =+⎧⎨+=⎩①②将①代入②得：75(3)9x x ++=，解得12x =-，将12x =-代入①得，52y =，∴原方程组的解为：1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）355215s t s t -=⎧⎨+=⎩①②由①得，35t s =-③，将③代入②得，52(35)15s s +-=，解得2511s =，将2511s =代入③，得，2011t =，∴原方程组的解为：25112011s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由①得344y x =-③，将③代入②得，56(4)334x x 3--=，解得6x =，将6x =代入③，得，12y =-，∴原方程组的解为：612x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（4）4(1)3(1)2223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩①②由①得444332x y y --=--，即45y x =-③，由②可得3212x y +=④，将③代入④得32(45)12x x +-=，解得2x =，将2x =代入③，得，3y =，∴原方程组的解为：23x y =⎧⎨=⎩；【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程组，掌握代入法是解题的关键．考点类型二、消元法18．用加减法解下列方程组：（1）29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩；（2）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩；（3）258325x y x y +=⎧⎨+=⎩；（4）236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩．【答案】（1）272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）50x y =⎧⎨=⎩；（3）9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（4）6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【分析】（1）根据加减消元可直接进行求解方程组；（2）根据加减消元法可直接进行求解方程组；（3）根据加减消元法可直接进行求解方程组；（4）根据加减消元法可直接进行求解方程组．【详解】解：（1）29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①+②得：48x =，解得：2x =，把2x =代入①式得：229y +=，解得：72y =，∴原方程组的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×2-②得：735x =，解得：5x =，把5x =代入①得：55225y ⨯+=，解得：0y =，∴原方程组的解为50x y =⎧⎨=⎩；（3）258325x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×3-②×2得：1114=y ，解得：1411y =，把1411y =代入①得：1425811x +⨯=，解得：911x =；∴原方程组的解为9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（4）236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①×2+②×3得：136x =，解得：613x =，把613x =代入①得：623613y ⨯+=，解得：2213y =，∴原方程组的解为6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．考点类型三、含参数类型19．甲、乙两人同解方程组515411ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②时，甲看错了方程①中的a ，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了②中的b ，解得54x y =⎧⎨=⎩，试求20202021()a b +-的值．【答案】0【分析】将31x y =-⎧⎨=-⎩代入第二个方程可得b 的值，将54x y =⎧⎨=⎩代入第一个方程得a 的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：将31x y =-⎧⎨=-⎩代入411x by -=-得：1211-+=-b ，解得1b =将54x y =⎧⎨=⎩代入方程组中的515ax y +=得：52015a +=，即1a =-20202021()ab ∴+-20202021(1)(1)110=-+-=-=．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．20．若关于x 、y 的二元一次方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩与方程组4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩有相同的解．求m 、n 的值．【答案】m =1，n =3【分析】根据题意列不含m 、n 的方程组求解，求出x ，y 值，代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中即可解得m ，n ．【详解】解：解方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中得：21314m n m n +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组．21．已知关于x 、y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求代数式2a +b 的平方根．【答案】代数式2a +b 的平方根是±1．【分析】由已知解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中，得21a b +=，即可求解．【详解】解： 方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩与2331ax by ax by +=⎧⎨+=-⎩的解相同，∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①2⨯得，466x y -=③，②3⨯得，9633x y +=④，③+④得，3x =，将3x =代入①得，1y =，∴方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中，得21a b +=，2a b ∴+的平方根为±1．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质．考点类型四、整体思想、换元思想22．材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎨--=⎩时，可由①得1x y -=③，然后再将③代入②得415y ⨯-=，求得1y =-，从而进一步求得01x y =⎧⎨=-⎩这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组()()423324x y x y x y -=⎧⎨--=⎩【答案】7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】观察方程组的特点，把2x y -看作一个整体，得到322x y -=，将之代入②，进行消元，得到33422x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得76x =，进一步解得56y =，从而得解．【详解】解：()()423324x y x y x y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②由①得322x y -=③，把③代入②得33422x ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得76x =，把76x =代入③，得73262y ⨯-=，解得56y =，故原方程组的解为7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法．23．阅读材料在解方程组253 4115 x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，明明采用了一种“整体代换”的解法．解：将方程②变形：4x +10y +y ＝5，即2（2x +5y ）+y ＝5③；把方程①代入③得2×3+y ＝5，∴y ＝﹣1，把y ＝﹣1代入①，得x ＝4，∴方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组436 8718 x y x y -=⎧⎨-=⎩①②．【答案】36x y =-⎧⎨=-⎩【分析】将方程②变形为()24318x y y --＝，再将436x y -＝整体代入即可求方程组．【详解】解：4368718x yx y-=⎧⎨-=⎩①②中将②变形，得()24318x y y--＝③，将①代入③得，2×6﹣y＝18，∴y＝﹣6，将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3，∴方程组的解为36 xy=-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．24．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组23237432323832x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为743832m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解的6024mn=⎧⎨=-⎩，把6024mn=⎧⎨=-⎩代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得23602324x yx y+=⎧⎨-=-⎩解得914xy=⎧⎨=⎩所以，原方程组的解为914xy=⎧⎨=⎩．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）3 6101 610x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩；（2）52113213x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．【答案】（1）137x y =⎧⎨=-⎩；（2）1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．【详解】解：（1）令6x y m +=，10x y n -=，原方程组化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，∴16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：137x y =⎧⎨=-⎩．∴原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．（2）令1m x =，1n y=，原方程组可化为：52113213m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩，∴1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，经检验，1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是原方程的解．∴原方程组的解为1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．考点类型五、新定义风向25．在平面直角坐标系中，已知点(),A x y ，点()2,2B x my mx y --（其中m 为常数，且0m ≠），则称B 是点A 的“m 系置换点”．例如：点()1,2A 的“3系置换点”B 的坐标为()1232,2312-⨯⨯⨯⨯-，即()11,4B -．（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为________；（2）若点A 的“3系置换点”B 的坐标是(-4，11)，求点A 的坐标．（3）若点(),0A x （其中0x ≠），点A 的“m 系置换点”为点B ，且2AB OA =，求m 的值；【答案】（1）()28，；（2）()21，；（3）1m =±．【分析】（1）根据题中新定义直接将m 的值代入即可得出答案；（2）根据题中新定义列出关于x 、y 的二元一次方程组求解即可得出答案；（3）根据题中新定义可得出点B 的坐标，再根据2AB OA =列方程求解即可得出答案．【详解】解：（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为()22202220-⨯⨯⨯⨯-，，即()28，；（2）由题意得：2342311x y x y -⨯⨯=-⎧⎨⨯⨯-=⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩∴点A 的坐标为：()21，；（3） (),0A x ∴点()2,2B x my mx y --为()20,20x m mx -⨯-即点B 坐标为(),2x mx ∴2AB mx =，OA x= 2AB OA =22mx x∴= m 为常数，且0m ≠∴1m =±．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、绝对值方程，理解“m 系置换点”的定义并能运用是本题的关键．26．对x ，y 定义一种新的运算A ，规定：()()(),ax by x y A x y ay bx x y ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩（其中0ab ≠）．（1）若已知1a =，2b =-，则()4,3A =_________．（2）已知()1,13A =，()1,20A -=．求a ，b 的值；（3）在（2）问的基础上，若关于正数p 的不等式组()()3,21413,2A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩恰好有2个整数解，求m 的取值范围．【答案】（1）2-；（2）12a b =⎧⎨=⎩；（3）2618m -<-≤【分析】（1）根据新定义就是即可；（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值；（3）由（2）化简得A （x ，y ）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：1×4+3×(-2)=-2，故答案为-2；（2）根据题中的新定义得：320a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩；（3）由（2）化简得：A （x ，y ）=()()22x y x y y x x y ⎧+≥⎪⎨+<⎪⎩，∴在关于正数p 的不等式组()()3214132A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩，，中，∴A （3p ，2p -1）=7p -2＞4，A （-1-3p ，-2p ）=-2p +2（-1-3p ）=-8p -2≥m ，∴p ＞67，p ≤m 28+-∵恰好有2个整数解，∴2个整数解为1，2．∴2≤m28+-＜3，∴-26＜m≤-18．【点睛】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组．。
二元一次方程组解法练习题精选(含答案)
二元一次方程组解法练习题精选（含答案）之巴公井开创作一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．3．解方程组：4．解方程组：5．解方程组：6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？7．解方程组：（1）；（2）．8．解方程组：9．解方程组：10．解下列方程组：（1）（2）11．解方程组：（1）（2）12．解二元一次方程组：（1）；（2）．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．14．15．解下列方程组：（1）；（2）．16．解下列方程组：（1）（2）17.方程组2528x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组2528x yx y+=⎧⎨-=⎩的解？二元一次方程组解法练习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．考点：解二元一次方程组．分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采取适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．点利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：评：①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法；②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．3．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．解答：解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．点评：注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法．4．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．解答：解：（1）原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法．5．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．点评：此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k、b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．解答：解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．点评：本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．7．解方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：根据各方程组的特点选用相应的方法：（1）先去分母再用加减法，（2）先去括号，再转化为整式方程解答．解答：解：（1）原方程组可化为，①×2﹣②得：y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=1．∴方程组的解为；（2）原方程可化为，即，①×2+②得：17x=51，x=3，将x=3代入x﹣4y=3中得：y=0．∴方程组的解为．点评：这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握消元的方法有：加减消元法和代入消元法．根据未知数系数的特点，选择合适的方法．8．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解．解答：解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3，代入①，得15+3y=15，y=0．则原方程组的解为．点评：解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组．9．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题．解答：解：原方程变形为：，两个方程相加，得4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得4y=11，y=．解之得．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消元，即可解出此类题目．10．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：此题根据观察可知：（1）运用代入法，把①代入②，可得出x，y的值；（2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．解答：解：（1），由①，得x=4+y③，代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．（2）原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60，所以原方程组的解为．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．11．解方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法；方程组（2）采取换元法较简单，设x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解．解答：解：（1）原方程组可化简为，解得．（2）设x+y=a，x﹣y=b，∴原方程组可化为，解得，∴∴原方程组的解为．点评：此题考查了学生的计算能力，解题时要细心．12．解二元一次方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）运用加减消元的方法，可求出x、y的值；（2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．解答：解：（1）将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；（2）此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．点评：此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．14．考点：解二元一次方程组．分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．解答：解：由原方程组，得，由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=，∴原方程组的解为．点评：用加减法解二元一次方程组的一般步调：1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3．解这个一元一次方程；4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．15．解下列方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．析：解答：解：（1）化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．（2）化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程．16．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．分析：观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．解答：解：（1）①×2﹣②得：x=1，将x=1代入①得：2+y=4，y=2．∴原方程组的解为；（2）原方程组可化为，①×2﹣②得：﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．。
二元一次方程组解法练习题精选(含答案)
解下列方程（组）1、 0)42(5=-+a a2、 6)23(38=+-y y3、)1(3)8(2-=+x x4、312253-=+x x 5、6751413-=--y y 6、1255241345--=-++y y y7、{35382x y y x=-=- 8、{281a b a b +=-=9、{353()1m n m m n +=-+= 10、{3421x y x y +=-=11、{34145325x y x y +=--= 12、32212453231045x y x y --+=++-=⎧⎨⎩二元一次方程组解法练习题精选（含答案）一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．3．解方程组：4．解方程组：5．解方程组：6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？7．解方程组：（1）；（2）．8．解方程组：9．解方程组：10．解下列方程组：（1）（2）11．解方程组：（1）（2）12．解二元一次方程组：（1）；（2）．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．14．15．解下列方程组：（1）；（2）．16．解下列方程组：（1）（2）二元一次方程组解法练习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．解二元一次方程组．考点：分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．点本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．评：2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法；②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．3．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．解答：解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．点评：注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法．4．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．析：解答：解：（1）原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法．5．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．点评：此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．解答：解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．点评：本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．7．解方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：根据各方程组的特点选用相应的方法：（1）先去分母再用加减法，（2）先去括号，再转化为整式方程解答．答：解：（1）原方程组可化为，①×2﹣②得：y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=1．∴方程组的解为；（2）原方程可化为，即，①×2+②得：17x=51，x=3，将x=3代入x﹣4y=3中得：y=0．∴方程组的解为．点评：这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握消元的方法有：加减消元法和代入消元法．根据未知数系数的特点，选择合适的方法．8．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解．解答：解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3，代入①，得15+3y=15，y=0．则原方程组的解为．点评：解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组．9．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题．解答：解：原方程变形为：，两个方程相加，得4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得4y=11，y=．解之得．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消元，即可解出此类题目．10．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：此题根据观察可知：（1）运用代入法，把①代入②，可得出x，y的值；（2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．解答：解：（1），由①，得x=4+y③，代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．（2）原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60，所以原方程组的解为．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．11．解方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法；方程组（2）采用换元法较简单，设x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解．解答：解：（1）原方程组可化简为，解得．（2）设x+y=a，x﹣y=b，∴原方程组可化为，解得，∴∴原方程组的解为．点评：此题考查了学生的计算能力，解题时要细心．12．解二元一次方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）运用加减消元的方法，可求出x、y的值；（2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．解答：解：（1）将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；（2）此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．点评：此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．14．考点：解二元一次方程组．分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．解答：解：由原方程组，得，由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=，∴原方程组的解为．点评：用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3．解这个一元一次方程；4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．15．解下列方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．解答：解：（1）化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．（2）化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程．16．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．分析：观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．解答：解：（1）①×2﹣②得：x=1，将x=1代入①得：2+y=4，y=2．∴原方程组的解为；（2）原方程组可化为，①×2﹣②得：﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用加减法或代入法求解．点评：。
二元一次方程组习题及答案二元一次方程及过程答案(收藏)
初一数学下8二元一次方程组--试题及答案§8.1二元一次方程组一填空题1二元一次方程4x3y=12，当x=0，1，2，3时，y= 2在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y= ，用y 表示x ，则x=3已知方程(k 21)x 2+(k+1)x+(k7)y=k+2，当k=时，方程为一元一次方程；当k=时，方程为二元一次方程。
4对二元一次方程2(5x)3(y2)=10，当x=0时，则y=；当y=0时，则x=。
5方程2x+y=5的正整数解是。
6若(4x3)2+|2y+1|=0，则x+2= 。
7方程组⎩⎨⎧==+b xy a y x 的一个解为⎩⎨⎧==32y x ，那么这个方程组的另一个解是 。
8若21=x 时，关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-212by x y ax 的解互为倒数，则=-b a 2 。
二选择题1方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3，33=+yx ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０，62=+y x 中是二元一次方程的有（ ）个。
Ａ１ Ｂ２ Ｃ３ Ｄ４2方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A1个 B2个 C3个D4个3与已知二元一次方程5xy=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ）A10x+2y=4 B4xy=7 C20x4y=3 D15x3y=6 4若是my x25与2214-++n m n y x同类项，则nm-2的值为 （ ）A1 B －1 C －3 D 以上答案都不对5在方程(k 24)x 2+(23k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 值为（ ）A2 B-2 C2或 2D 以上答案都不对． 6若⎩⎨⎧-==12y x 是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）A ⎩⎨⎧=+=-5253y x y x B⎩⎨⎧=--=523x y x y C⎩⎨⎧=+=-152y x y xD⎩⎨⎧+==132y x yx 7在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y ，则 （ ）A35-=x y B3--=x y C 35+=x yD 35--=x y 8已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（ ）Ａｘ＋ｙ＝５ Ｂｘ＋ｙ＝１ Ｃｘ－ｙ＝１ Ｄｙ＝ｘ－１9下列说法正确的是（ ）Ａ二元一次方程只有一个解 Ｂ二元一次方程组有无数个解Ｃ二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解Ｄ三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成10若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x的解也是方程３ｘ＋ｋｙ=10的解，则ｋ的值是（ =）Ａｋ＝６ = Ｂｋ＝１０ Ｃｋ＝９ Ｄｋ＝101三解答题1解关于x 的方程)1(2)4)(1(+-=--x a x a a§8.2消元——二元一次方程组的解法一用代入法解下列方程组（1）⎩⎨⎧=+=-5253y x y x （2） ⎩⎨⎧=--=523x y x y （3）⎩⎨⎧=+=-152y x y x （4）⎩⎨⎧+==-1302y x y x （5）⎩⎨⎧-=+=-14329m n n m （6）⎩⎨⎧=+-=-qp q p 451332 二用加减法解下列方程组（1）⎩⎨⎧=+=-924523n m n m （2）⎩⎨⎧=+=-524753y x y x （3）⎩⎨⎧=--=-7441156y x y x（4）⎩⎨⎧-=+-=-53412911y x y x （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2.03.05.0523151y x y x （6）⎩⎨⎧=+=+ay x ay x 343525(a为常数)三：用适当的方法解方程： 1⎩⎨⎧=-=+-6430524m n n m 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-323113121y x y x3⎩⎨⎧=-=+110117.03.04.0y x y x 4⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-722013152y x y x 5⎩⎨⎧-=+=--cy x cy x 72963112（c 为常数）1代数式by ax +,当2,5==y x 时，它的值是7；当5,8==y x 时，它的值是4，试求5,7-==y x 时代数式by ax -的值。
【暑假分层作业】第08练 二元一次方程组及其解法-2022年七年级数学(人教版)(答案及解析)
第08练二元一次方程组及其解法知识点一、二元一次方程：（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．（3）二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．知识点二、二元一次方程组的定义：（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．知识点三、二元一次方程组的解法：（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．一、单选题1．方程组34225x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．23xy=⎧⎨=⎩B．21xy=⎧⎨=-⎩C．11xy=⎧⎨=⎩D．11xy=⎧⎨=-⎩【答案】B【解析】【分析】由2x-y=5可得y=2x-5，将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2进行求解，得到x的值，再将x 的值代入y=2x-5求解即可．【详解】解：由2x-y=5可得y=2x-5将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2得：3x＋4（2x-5）＝2，解得：x＝2，将x＝2代入方程y=2x-5得：y=2×2-5=-1，∴该方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩故选：B ． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能根据题目选择合适的消元方法进行计算．2．已知关于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩，则关于方程组111222(1)2(1)3(1)2(1)3a x b y c a x b y c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为（ ） A ．57x y =⎧⎨=⎩B ．513x y =⎧⎨=⎩C ．13x y =⎧⎨=⎩D ．17x y =⎧⎨=⎩【答案】A 【解析】 【分析】将方程组变形，结合题意得出()()11232143x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即可求出x ，y 的值．【详解】解：方程组()()()()11122212131213a x b y c a x b y c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩变形为()()()()111222121133121133a x b y c a x b y c⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩，设()()113213x m y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则111222a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩，x 和y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是24x y =⎧⎨=⎩，∴24m n =⎧⎨=⎩，∴()()11232143x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得57x y =⎧⎨=⎩，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．3．若二元一次联立方程式2143221x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为,x a y b==，则a b+之值（）A．192B．212C．7 D．13【答案】D【解析】【分析】先求出二元一次方程组的解，然后代入代数式求解即可．【详解】解：解方程组214 3221x yx y+=⎧⎨-+=⎩得112 xy=⎧⎨=⎩因为二元一次方程组2143221x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为x ay b=⎧⎨=⎩，所以a=1，b=12，所以a+b=13．故选D．【点睛】题目主要考查解二元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．4．已知关于x，y的方程组34754x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解互为相反数，则m的值为（）A．63 B．7 C．－7 D．－63【答案】D【解析】【分析】根据相反数的定义得到x=-y，代入第一个方程求出x、y的值，再代入第二个方程求出m．【详解】解：∵方程组34754x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解互为相反数，∴x=-y，∵3x +4y =7，∴-3y +4y =7，得y =7， ∴x =-7，∴m =5x -4y =-35-28=-63， 故选：D ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组的解法，正确理解题意得到x=-y 是解题的关键．5．已知关于x ，y 的方程组1427x y ax y a +=+⎧⎨-=--⎩，则下列结论中正确的是：①当0a =时方程组的解是方程1x y +=的解；②当x y =时，52a =-；③当1y x =，则a 的值为1或3-；④不论a 取什么实数，3x y -的值始终不变．（ ） A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】B 【解析】 【分析】①把a 看作已知数表示出方程组的解，把0a =代入求出x 与y 的值，代入方程检验即可； ②令x y =求出a 的值，即可作出判断；③把x 与y 代入3x y -中计算得到结果，判断即可； ④令23x y =求出a 的值，判断即可． 【详解】解：1427x y a x y a +=+⎧⎨-=--⎩，据题意得：336x a =-， 解得：2=-x a ，把2=-x a 代入方程14x y a +=+得：33y a =+， 当0a =时，2x =-，3y =，把2x =-，3y =代入1x y +=得：左边231=-+=，右边1=， 所以2x =-，3y =是方程的解，故①正确； 当x y =时，233a a -=+， 即52a =-，故②正确；当1y x =时，()3321a a +-=，即1a =±或3，故③错误336339x y a a -=---=-，无论a 为什么实数，3x y -的值始终不变为-9，故④正确．∴正确的结论是：①②④，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如果32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a 2008+2b 2008的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将方程组的解代入方程组可得关于a 、b 的二元一次方程组321325a b a b -=⎧⎨+=⎩，再求解方程组即可求解． 【详解】解：∵32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，∴321325a b a b -=⎧⎨+=⎩①②，①＋②得，a ＝1， 将a ＝1代入①得，b ＝1， ∴a 2008＋2b 2008＝1＋2＝3， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．二、填空题7．对于实数,x y ，规定新运算：1x y ax by *=+-，其中,a b 是常数．若124*=，()2*310-=，则a b *= ___________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据题意得到关于a 、b 的二元一次方程组21423110a b a b +-=⎧⎨-+-=⎩，求出a 、b 的值，然后根据221a b a b *=+-进行求解即可． 【详解】解：由题意得：21423110a b a b +-=⎧⎨-+-=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩，∴()222211319a b a b *=+-=-+-=， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意求出a 、b 的值是解题的关键．8．若x ＝a ，y ＝b 是方程组342,25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，则22a b -=______．【答案】3 【解析】 【分析】先解方程组求出x 和y 的值，然后代入计算即可． 【详解】解：34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②×4，得 11x =22， ∴x =2． 把代入②，得 4-y =5， ∴y =-1，∵x ＝a ，y ＝b 是方程组342,25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，∴a =2，b =-1， ∴22a b -=4-1=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 9．若()22x y -与25x y +-互为相反数，则()2021x y -=______．【答案】1- 【解析】 【分析】由题意，得到()22250x y x y -++-=，然后利用非负数的性质，求出x 、y 的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵()22x y -与|25|x y +-互为相反数， ∴()22250x y x y -++-=， ∴20x y -=，250x y +-=，联合两个方程，解得12x y =⎧⎨=⎩，∴()20212021 (12)1x y -=-=-故答案为：-1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，解题的关键是熟练运用非负数的性质进行解题． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（0m >，0n >），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A '，B '，则=a ______，m =______，n =______．若正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，则点F 的坐标为______．【答案】12，12，2，（1，4） 【解析】 【分析】首先根据点A 到A '，B 到B '的点的坐标可得方程组3102a m a n -+=-⎧⎨⨯+=⎩，3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩，解可得a 、m 、n 的值，设F 点的坐标为(x ，y )，点F '、点F 重合可列出方程组，再解可得F 点坐标． 【详解】解：将点A (-3，0)的横、纵坐标都乘以实数a ，再将得到的点向右平移m 个单位，向上平移n 个单位后的坐标为：（- 3a + m ， n ）， 又知点A '的坐标为（-1，2）， ∴3102a m a n -+=-⎧⎨⨯+=⎩①， 解得2n =，将点B (3，0)的横、纵坐标都乘以实数a ，再将得到的点向右平移m 个单位，向上平移n 个单位后的坐标为：（3a + m ，n ）， 又知点B '的坐标为（2，2）， ∴3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩②，①+②得：2m = 1， 解得12m =，将12m =代入②得：1322a +=，解得12a =， ∴正方形进行的操作为：把每个点的横、纵坐标都乘以实数12，再将得到的点向右平移12个单位，向上平移2个单位，设点F 的坐标为（x ，y ），依题意得1122122x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，∴点F 的坐标为（1，4）． 故答案为：12，12，2，（1，4）． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组． 11．对于x 、y 定义一种新运算“※”：x y ax by =+※，其中a 、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算，已知5227=※，3419=※，那么23=※_______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用题中的新定义化简已知等式求出a 与b 的值，即可确定出所求． 【详解】解：根据题中的新定义得：52273419a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，①×2﹣②得：7a =35， 解得：a =5，把a =5代入①得：b =1， 则23=※2×5+3×1=13． 故答案为13． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．已知关于x ，y 的二元一次方程组3226x y kx y k +=⎧⎨-=+⎩有下列说法：①当x 与y 相等时，解得k ＝﹣4；②当x 与y 互为相反数时，解得k ＝3；③若4x •8y ＝32，则k ＝11；④无论k 为何值，x 与y 的值一定满足关系式x ＋5y ＋12＝0，其中正确的序号是_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x ＝y 列出方程，求出a 即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a 即可判断；③把底数统一化成a ，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x ，y 的方程，把方程组的解代入求出a ；④在原方程中，我们消去a ，即可得到x ，y 的关系． 【详解】解：3226x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩①②，由②得：x ＝2y +k +6③， 把③代入①中，得：y ＝187k --④，把④代入③中，得：x ＝567k +，∴原方程组的解为567187k x k y +⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．①当x 与y 相等时，x ＝y ， 即567k +＝187k --，解得：k ＝﹣4，∴①正确；②∵方程的两根互为相反数，∴x +y ＝0， 即567k ++187k --＝0，解得：k ＝3，∴②正确；③4x •8y ＝32，∴（22）x •（23）y ＝25，∴22x •23y ＝25，∴22x +3y ＝25，∴2x +3y ＝5，将方程组的解代入得： 2×567k ++3×187k --＝5，解得：k ＝11，∴③正确；④3226x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩①②，①﹣②×2得x +5y ＝﹣12，即x +5y +12＝0．∴④正确．综上所述，①②③④都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．三、解答题13．解二元一次方程组：3324x y x y -=⎧⎨+=⎩． 【答案】21x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】利用加减消元法即可求解．【详解】3324x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①×2+②得：5x =10，解得x =2；将x =2代入①中，得y =-1,∴方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法、代入消元法是解答本题的关键． 14．解方程组：(1)11912435x y x y -=⎧⎨-+=-⎩(2)()()22341312x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩【答案】(1)373x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2)23x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】利用两个整式加减消元或者代入消元来解二元一次方程组；(1)11912435x y x y -=⎧⎨-+=-⎩①②②式×3+①式得，x =3，将x =3，代入①式得，y =73， 故方程组的解为373x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； (2)()()22341312x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩①② ②式化简后得，4x -y =5 ③，①式×3+③式得，x =2，将x =2代入①得，y =3，故方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握整式加减消元或代入消元是解题的关键． 15．北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献．同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一．期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%，为历届冬奥会最高．冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者；(2)调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．【解析】【分析】（1）根据题意，找到等量关系式，列一元一次方程求解即可；（2）由（1）得，志愿者有218人，根据题意，列二元一次方程，找整数解即可．(1)解：设计划调配36座新能源客车x 辆，则调配22座新能源客车（x +4）辆，由题意，得36x +2=22（x +4）-2解得x=6则志愿者的人数为：36x+2=36×6+2=218答：计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者．(2)解：设调配36座新能源客车a辆，则调配22座新能源客车b辆，由题意，得36a+22b=218∴18a+11b=109∵a，b为正整数∴当a=3，b=5时，既保证每人有座，又保证每车不空座答：调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系式是解决问题的关键．16．将1到2021之间的所有奇数按顺序排成下图：记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．(1)P45＝；(2)若Pmn＝2021，则m＝，n＝；(3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．【答案】(1)45；(2)169，3；(3)覆盖的4个数之和能等于200【解析】【分析】（1）根据题意可知P45表示第4行第5个数，每行都有6个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值；（2）根据题意，可以得到2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，然后m为整数，1≤n≤6，即可得到m、n的值；（3）先判断，然后设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由．(1)解：（1）由题意可得，P 45＝2×（6×3+5）﹣1＝45， 故答案为：45；(2)解：∵Pmn ＝2021，∴2[6（m ﹣1）+n ]﹣1＝2021，∴12m +2n ﹣13＝2021，∵m 为正整数，1≤n ≤6，∴m ＝169，n ＝3，故答案为：169，3；(3)解：所覆盖的4个数之和能等于200，理由：设4个阴影格子中的数分别为2n ﹣3、2n ﹣1、2n +1、2n +11，由题意可得（2n ﹣3）+（2n ﹣1）+（2n +1）+（2n +11）＝200，解得：n ＝24，∴所覆盖的4个数之和能等于200．【点睛】此题考查了数字类规律的运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解数字的排列规律并应用是解题的关键．17．对于任意的实数x ，y ，规定运算“※”如下：x y ax by =+※．(1)当3a =，4b =时，求12-※（）的值； (2)若5316=※，232-=-※（），求a 与b 的值．【答案】(1)-5(2)a 的值为2，b 的值为2【解析】【分析】（1）根据规定运算“※”，进行计算即可解答；（2）根据题意可得关于a ，b 的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．(1)当a =3，b =4时，∴1※（-2）=3×1+4×（-2）=-5，∴1※（-2）的值为-5；(2)∵5※3=16，2※（-3）=-2，∴5316232a b a b +⎧⎨--⎩＝①＝②， ①+②得：2a +5a=14解得a =2，把a =2代入①得：10+3b =16，解得b =2，∴原方程组的解为22a b ⎧⎨⎩＝＝， ∴a 的值为2，b 的值为2．【点睛】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的步骤，以及理解材料中规定的运算是解题的关键．18．备解二元一次方程组4*8x y x y -=⎧⎨+=⎩，现系数“*”印刷不清楚． (1)李宁同学把“*”当成3，请你帮助李宁解二元一次方程组438x y x y -=⎧⎨+=⎩； (2)数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x 、y 是一对相反数，你知道原题中“*”是 ．【答案】(1)31x y ==-⎧⎨⎩(2)5【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加消掉未知数y ，得到x 的一元一次方程，求出x 的值，把x 的值代入第一个方程，求出y 的值，即得方程组的解；（2）用x -y =4与x +y =0组成方程组，求出x 、y 的值，把x 、y 的值代入*x +y =8，求出*的值．(1)438x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得，4x =12，把x =3代入①，得，3-y =4，∴y =-1，∴31x y ==-⎧⎨⎩； (2)04x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②，得，2x =4，∴x =2，把x =2代入①，得，2+y =0，∴y =-2，∴22x y =⎧⎨=-⎩， ∴228*-=，∴5*=．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义，运用加减消元法解二元一次方程组，是解决问题的关键．1．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a ※b ＝am －bn ，等式右边是通常的减法和乘法运算．若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－7D ．－11 【答案】A【解析】【分析】按照定义新运算的法则，先求出m 和n 的值，再把算式转化为有理数运算即可．解：根据题意，3※2＝5，1※（－2）＝－1，得，32521m n m n -=⎧⎨+=-⎩， 解得，11m n =⎧⎨=-⎩， 则（－3）※1=（-3）×1-1×（-1）=-2，故选：A ．【点睛】本题考查了定义新运算，二元一次方程组和有理数混合计算，解题关键是根据定义新运算法则把两个等式转化为二元一次方程组，求出m 、n 的值．2．已知关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：正确的有_____．（填序号） ①当1a =时，方程组的解也是21x y a +=+的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 都为正整数的解有3对【答案】①②【解析】【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；②将a 看做已知数求出方程组的解表示出x 与y ，即可做出判断；③将a 看做已知数求出方程组的解表示出x 与y ，即可判断正整数解；【详解】解关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩得2122x a y a =+⎧⎨=-⎩①当1a =时，原方程组的解是30x y =⎧⎨=⎩，此时30x y =⎧⎨=⎩是213x y a +=+=的解，故①正确； ②原方程组的解是2122x a y a =+⎧⎨=-⎩，∴30x y +=≠，即无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数，故②正确；③x ，y 都为正整数，则210220x a y a =+>⎧⎨=->⎩，解得112a -<<，正整数解分别是当10,2a a ==时，故只有两组，故③错误；故答案为①②【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．3．阅读以下内容：已知有理数m，n满足m+n＝3，且3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩，再求k的值；乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；丙同学：先解方程组3232m nm n+=⎧⎨+=-⎩，再求k的值．（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；（2）在解关于x，y的方程组()()11821a x byb x ay⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩①②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．【解析】【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．【详解】解：（1）选择甲，3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩①②，①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，解得：m＝2185k-，②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，解得：n＝2145k-，代入m+n＝3得：21821455k k--+＝3，去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，移项合并得：7k＝21，解得：k＝3；选择乙，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②， ①+②得：5m +5n ＝7k ﹣6，解得：m +n ＝7-65k ， 代入m +n ＝3得：7-65k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，解得：k ＝3；选择丙，联立得：3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩①②， ①×3﹣②得：m ＝11，把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，代入3m +2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4，解得：k ＝3；（2）根据题意得：1327a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：52b a =⎧⎨=⎩， 检验符合题意，则a 和b 的值分别为2，5．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．[阅读材料]善于思考的小明在解方程组253(1)4115(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程(2)变形：4105x y y ++=，即()2255(3)x y y ++=，把方程(1)代入(3)得：235y ⨯+=，所以1y =-，将1y =-代入(1)得4x =，所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．21 [解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩， （2）已知x ，y 满足方程组2222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩，求224x y +的值． 【答案】（1）原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩；（2）22420x y += 【解析】【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．【详解】解：()13259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①② 将方程②变形得:()332219x y y -+=③把方程①代入③得:35219y ⨯+=，所以2,y =将2y =代入①得3x =，所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩； ()22222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②， 把方程①变形，得到223(4)550x xy y xy ++-=③，然后把②代入③，得325550xy ⨯-=，∴5xy =，∴22425520x y +=-=；【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．。
初一数学知识点：二元一次方程(组)及其解法
初一数学知识点：二元一次方程（组）及其解法二元一次方程组[ 初一数学]题型:解答题a为何值时，方程组3x-5y=2a. 2x+7y=a-18的解的值为相反数，并求他的值.问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路考查知识点：利用消元法解二元一次方程组难度:难解析过程：规律方法：理解清楚题意，建立三元一次方程组，解出a的数值．七年级下册数学二元一次方程[ 初二数学]题型:解答题若关于xy的方程组x+y-a=0,x-2y=5,的解满足x＞1，y≤1，则满足条件的整数a有多少个问题症结：对于这个问题，找不到突破口，请老师帮我梳理思路，详细解答一下考查知识点：利用消元法解二元一次方程组难度:中解析过程：解：x+y-a=0 ①x-2y=5 ②①-②得，3y=a-5，∴y=(a-5)/3代入②得，x-2×(a-5)/3=5，∴x=(2a+5)/3∵x＞1，y≤1，∴(2a+5)/3＞1，(a-5)/3≤1∴a>-1, a≤8∴-1< a≤8规律方法：解方程组,用a表示x,y再列不等式组求出a知识点：二元一次方程（组）及其解法所属知识点：[二元一次方程（组）]包含次级知识点：利用消元法解二元一次方程组、二元一次方程的概念知识点总结一．二元一次方程（组）的相关概念1．二元一次方程：含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
2．二元一次方程组：二元一次方程组两个二元—次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
3．二元一次方程的解集：（1）二元一次方程的解适合一个二元一次方程的每一对未知数的值．叫做这个二元一次方程的一个解。
（2）二元一次方程的解集对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意二个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。
4．二元一次方程组的解：二元一次方程组可化为使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解。
二元一次方程（组）解应用题（含答案）
第八章二元一次方程（组）解应用题(含答案）1．缉私艇与走私艇相距120海里的同一航道上航行，如果走私艇与缉私艇同时相向而行，则2小时缉私艇即可将走私艇截住；如果走私艇与缉私艇同时同向而行，则缉私艇需12小时才能追上．问走私艇与缉私艇的速度分别是多少？时才能追上．问走私艇与缉私艇的速度分别是多少？1．解：设走私艇的速度是x海里/时，缉私艇的速度是y海里/时，由题意得：时，由题意得：，解得，答：走私艇的速度是25海里/时，缉私艇的速度是35海里/时2．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条直线公路相向匀速行驶．出发后经3小时两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1地．小时乙到达A地．）问甲、乙行驶的速度分别是多少？（1）问甲、乙行驶的速度分别是多少？千米？（2）甲、乙行驶多少小时，两车相距30千米？2．解：（1）设甲、乙行驶的速度分别是每小时x千米、y千米，千米，根据题意，得，解得．所以甲、乙行驶的速度分别是每小时15千米、45千米；千米；（2）由第（1）小题，可得A，B两地相距45×（3+1）=180（千米）．千米，设甲、乙行驶x小时，两车相距30千米，）千米，根据题意，得两车行驶的总路程是（180﹣30）千米或（180+30）千米，则：（45+15）x=180﹣30或（45+15）x=180+30．解得：或．千米所以甲、乙行驶或小时，两车相距30千米3．小明家离学校1.8千米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．如果小明在上坡路的而在下坡路上的平均速度为5千米/时，那么从家里到学校共用了32平均速度为3千米/时，时，而在下坡路上的平均速度为分钟．求小明上坡、下坡各用了多长时间？分钟．求小明上坡、下坡各用了多长时间？3．解：32分钟=小时，小时，）小时，由题意，得设小明上坡用了x小时，下坡用了（﹣x）小时，由题意，得3x+5（﹣x）=1.8，解得：x=，则下坡所用时间为：﹣==．答：小明上坡用了小时，下坡用了小时小时4．A 、B 两地相距20千米．甲乙两人同时从A 、B 两地相向而行，经过2小时后两人相遇，相遇时甲比乙多行4千米．根据题意，列出两元一次方程组，求出甲乙两人的速度．千米．根据题意，列出两元一次方程组，求出甲乙两人的速度． 4．解：（1）设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/小时，由题意得，小时，由题意得，，解得：．答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为4千米/小时小时5．长春至吉林现有铁路长为128千米，为了加快长春与吉林的经济一体化发展，有关部门决定新修建一条长春至吉林的城际铁路，城际铁路全长96千米．开通后，城际列车的平均速度将为现有列车平均速度的2.25倍，运行时间将比现有列车运行时间缩短小时．求城际列车的平均速度．列车的平均速度．5．解：设现有列车的平均速度为x 千米/小时，现在列车的运行时间为y 小时．小时．，解得．64×2.25=144千米/小时．小时．城际列车的平均速度144千米/小时小时6．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20分后相遇．相遇后，拖拉机继续前进，后相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留汽车在相遇处停留1小时后原速返回，小时后原速返回，在汽车再次出发在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？ 6．解：设汽车的速度是x 千米每小时，拖拉机速度y 千米每小时，根据题意得：千米每小时，根据题意得：，解得：，则汽车汽车行驶的路程是：（+）×90=165（千米），拖拉机行驶的路程是：（+）×30=85（千米）．千米答：汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了165千米和85千米7．一列客车长200 m，一列货车长280 m，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两，问两车每秒各行驶多少米？车尾相离经过16s，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？7．解：设客车的速度是每秒x米，货车的速度是每秒x米．米．由题意得（x+x）×16=200+280，解得x=18．答：两车的速度是客车18m/s，货车12m/s8．A、B两地相距36千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人倍．求两人的速度． 同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．8．解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时．时．由题意得：解得：答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时9．从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟，甲地到乙地的全程是多少？乙地的全程是多少？9．解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm，依题意得，解之得，∴x+y=3.1km，答：甲地到乙地的全程是3.1km10．甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时，当甲到达B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达A地后也立刻．解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为由题意可得：．由题意得，，解得：，则解得答：甲，乙二人的速度是1414、在某条高速公路上依次排列着、在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，三个加油站，A A 到B 的距离为120千米，千米，B B 到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？1414、解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为、解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米千米//时，则()3120120x y x y -=ìïí+=ïî，整理，得40120x y x y -=ìí+=î，解得8040x y =ìí=î， 答：巡逻车的速度是80千米千米//时，犯罪团伙的车的速度是40千米千米//时．1515、悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟、悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟、悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟. .归时四分行六百，风速多少才称雄归时四分行六百，风速多少才称雄归时四分行六百，风速多少才称雄? ?1515、解：设悟空飞行速度是每分钟、解：设悟空飞行速度是每分钟x 里，风速是每分钟y 里，依题意得依题意得依题意得 4(x+y)=1000 4(x+y)=10004(x-y)=600 x=200 y=5016.16.某列火车通过某列火车通过450米的铁桥，从车头上桥到车尾下桥，从车头上桥到车尾下桥，共共33秒，同一列火车以同样的速度穿过760米长的隧道时，整列火车都在隧道里的时间是22秒，问这列火车的长度和速度分别是多少分别是多少? ?16. 16. 解解:设火车长为x 米，火车的速度为y 米/秒，33y=x 33y=x＋＋45022y=760 22y=760－－xX=276解方程组得：解方程组得：解方程组得： y=22 y=22答：火车长答：火车长276米，速度为22米/秒.。
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①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；
②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；
（2）代入法解二元一次方程组的步骤
①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的.）；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
3.体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把二元一次方程转化成一元一次方程，由此感受“化归”思想的广泛作用，提高分析问题和解决问题的能力.
二、知识要点
1.二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
你能区分这些方程吗？5x＋3y＝75；3x＋1＝8x；＋y＝2；2xy＝9.
你能试着解方程3x－y＝6吗？
2.二元一次方程组
（1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
对二元一次方程组的理解应注意：
①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.
C.有两个解
D.有无数多个解
*4.二元一次方程x＋y＝4的正整数解的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
5.把二元一次方程3x－y＝1写成用含x的代数式表示y的形式是（）
A.x＝B.x＝C.y＝1－3xD.y＝3x－1
6.四名学生解二元一次方程组时提出四种不同的解法，其中解法不正确的是（）
A.由①得x＝，代入②B.由①得y＝，代入②
【典型例题】
例1.下列各方程中，哪个是二元一次方程？
（1）8x－y＝y；（2）xy＝3；（3）2x2－y＝9；（4）＝2.
分析：此题判断的根据是二元一次方程的定义.由于方程（2）中含未知数的项xy的次数是2，而不是1，所以xy＝3不是二元一次方程；同理2x2－y＝9也不是二元一次方程；又因为方程（4）中的不是整式，所以＝2也不是二元一次方程.
C.由②得y＝－，代入①D.由②得x＝3＋2y，代入①
7.方程组的解是（）
A.B.C.D.
*8.方程（2x－y－3）2＋︱3x＋4y－10︱＝0的解是（）
A.B.C.D.
二、填空题
1.在二元一次方程2x＋3y＝4中，用含x的代数式表示y，则y＝__________；用含y的代数式表示x，则x＝__________；当x＝－1时，y＝__________；当y＝－1时，x＝__________.
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边＝右边）.
三、重点难点
本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法.
对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：
①等号两边的代数式是整式；
②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；
③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.
（2）二元一次方程的解
使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
解：方程8x－y＝y是二元一次方程；方程xy＝3，2x2－y＝9，＝2都不是二元一次方程.
评析：判定某个方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根据定义进行判断.
例2.已知是方程组的解，求m＋n的值.
分析：因为是方程组的解，
所以同时满足方程①和方程②，
将分别代入方程①和方程②，可得
由③和④可求出m、n的值.
所以这个方程组的解为.
评析：用代入法解方程组时，（1）选择变形的方程要尽可能较简单，表示的代数式也应尽可能简捷.（2）要对下面的计算进行预见、估计、以选择较好的方法.
例6.用加减消元法解方程组
分析：题中x、y系数不相同，也不是互为相反数；x的系数为4和6，y的系数为3和－4，它们的最小公倍数均为12，都可以变为12或－12，选择消去x，还是消去y，其难易程度相当.
解：将原方程变形，得y＝20－4x，
因为x、y均为正整数，
所以x只能取小于5的正整数.
当x＝1时，y＝16；当x＝2时，y＝12；
当x＝3时，y＝8；当x＝4时，y＝4.
即4x＋y＝20的所有正整数解是：
，，，.
评析：对“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一要正确，二要不重不漏.“正确”的标准是两个未知数的值都必须是正整数，且适合此方程.
【方法总结】
1.二元一次方程与一元一次方程有很多类似的地方，学习时可运用类比的思想方法，比较二元一次方程与一元一次方程有关概念的相同点和不同点.这样，不但能加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳、概括的能力.
2.方程组中的两个未知数一般是不能同时求出来的，必须先想办法消去一个未知数，把解方程组的问题转化为解一元一次方程的问题，这种思想方法就叫做“消元法”.解二元一次方程组的基本思想方法就是通过消元将“二元”转化为“一元”.代入法、加减法是解二元一次方程组的基本方法，必须灵活运用.
2.已知x＝1，y＝－2是二元一次方程5x＋ky＝1的一个解，则k＝__________.
3.解方程组得
4.已知3xm－2－yn＋3＝1是二元一次方程，则m＝__________，n＝__________.
5.如果x－2y＝3，那么7－2x＋4y＝__________.
解：①×3得：12x＋9y＝27③，
②×2得：12x－8y＝10④，
③－④得：17y＝17，解得y＝1，
把y＝1代入①得：x＝，
所以原方程组的解为.
评析：此题中在选择消去x，还是消去y，关键是：（1）看系数是否有倍数关系，如一个为2x，一个为6x，可把含2x的方程乘以3；（2）在没有倍数、系数的条件下，看x、y系数的最小公倍数哪一个较小，通常消最小公倍数较小的未知数.
对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：
①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；
②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；
③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.
年级
初一
学科
数学
内容标题
二元一次方程（组）及其解法
【本讲教育信息】
一、教学内容
二元一次方程组及其解法
1.认识二元一次方程组的有关概念，会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组表示出来.
2.领会并掌握解二元一次方程组的方法，根据方程组的情况，能恰当地运用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组.
解：因为是方程组的解，
所以将其代入原方程组中的两个方程仍成立，
即解得
所以m＋n＝－1＋0＝－1.
评析：应该仔细体会“已知方程组的解是……”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义.
例3.写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解.
分析：为了求解方便，先将原方程变形为y＝20－4x，由于题中所要求的解限定于“正整数解”，所以x和y的值都必须是正整数.
分析：选择其中一个方程，将其变形成y＝ax＋b或x＝ay＋b的形式，代入另一个方程求解.方程①中x、y系数相对较小，考虑到x＝3－y，而y＝，显然在下面计算中x＝3－y代入方程②计算简捷.
解：由①得：x＝3－y③
把③代入②得：8（3－y）＋3y＋1＝0，
解得：y＝125，
将y＝125代入③，得：x＝－47，
例4.已知5︱x＋y－3︱＋（x－2y）2＝0，求x和y的值.
分析：根据绝对值和平方的意义可知，
5︱x＋y－3︱≥0，（x－2y）2≥0，
由已知条件5︱x＋y－3︱＋（x－2y）2＝0可得，
即从而可求出x和y的值.
解：由题意得即解得.
评析：非负值相加为零，有且只有它们同时为零.
例5.用代入法解方程组：
④将求得的未知数的值代入①中变后的方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边＝右边）.
4.加减消元法
（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
3.代入消元法
（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.