二元一次方程的”特殊解“
初一 二元一次方程组及其解法(学生版)
3．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．题型1：二元一次方程【例1-1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7； (6)；(7)；(8)；(9)；(10)．举一反三：下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．=y+5x B ．3x+2y=2x+2y C ．x=y 2+1 D ．题型2：二元一次方程的解【例2-1】下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例2-2】已知二元一次方程． ⎩⎨⎧=-=+52013y x x x ay b =⎧⎨=⎩2526x y x y +=⎧⎨+=⎩1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩102x +=251x y+=132x y +=280x y -=462x y +=3142x y +=(1)用含有x 的代数式表示y ；(2)用含有y 的代数式表示x ； (3)用适当的数填空，使是方程的解．举一反三：1、若方程的一个解是，则a= .2、已知：2x +3y =7，用关于y 的代数式表示x ，用关于x 的代数式表示y ．题型3：二元一次方程组及方程组的解【例3-1】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例3-2】判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．（1） （2）举一反三：2_______x y =-⎧⎨=⎩24ax y -=21x y =⎧⎨=⎩4221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①②35x y =⎧⎨=-⎩21x y =-⎧⎨=⎩1、写出解为的二元一次方程组．知识点二：代入消元法1、消元法消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.消元的基本思路：未知数由多变少.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 2、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．题型1：用代入法解二元一次方程组 【例1-1】用代入法解方程组：的解为 ．12x y =⎧⎨=-⎩【例1-2】用代入法解二元一次方程组：举一反三：1、若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.2、与方程组有完全相同的解的是（ ）A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．3、若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .题型2：由解确定方程组中的相关量 【例2-1】已知关于x ，y 的二元一次方程组的解互为相反数，求k 的值．【例2-1】若方程组的解为，试求的值.举一反三：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩22(2)0x y x y +-++=ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩14x y =⎧⎨=⎩a b 、1、已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是．知识点三：加减消元法1、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．2、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．题型1：加减法解二元一次方程组【例1-1】直接加减：已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组21mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则3m n+的值为．【例1-2】先变系数后加减：2521 4323x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②【例1-3】建立新方程组后巧加减：解方程组2511 524x yx y+=⎧⎨+=-⎩①②【例1-4】先化简再加减：解方程组0.10.3 1.3123x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②举一反三：1、已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y=a，求该方程组的解．题型2：用适当方法解二元一次方程组【例2-1】（1）323112x yx y-=⎧⎨=-⎩（2）5(1)2(3)2(1)3(3)m nm n-=+⎧⎨+=-⎩举一反三：1、用两种方法解方程组29(1) 321(2) x yx y+=⎧⎨-=-⎩三、课堂练习一、选择题1．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．53x yz x+=⎧⎨+=⎩B．1113xxyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C．434x y xyx y-+=⎧⎨-=⎩D．12132112(2)32x yx y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩2. 是方程ax﹣y=3的解，则a的取值是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．13. 方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．12x y =⎧⎨=⎩ B ．21x y =⎧⎨=⎩ C ．11x y =⎧⎨=⎩ D ．23x y =⎧⎨=⎩4.已知二元一次方程组6511327,x y y x +=⎧⎨-=⎩， ①②，下列说法正确的是（）A.适合②的,x y 的值是方程组的解①②B.适合①的,x y 的值是方程组的解C.同时适合①和②的,x y 的值不一定是方程组的解D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解5．小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（ ） A ．4和6 B ．6和4C ．2和8D ．8和﹣26．对于方程3x-2y-1＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ）. A ．1(31)2y x =- B ．312x y += C ．1(21)3x y =- D ．213y x += 7．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解．则a-b 的值为（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．38．已知2|21|(27)0x y x y --++-=，则3x y -的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣6 D ．8 9．用加减消元法解二元一次方程组231543x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，下列步骤可以消去未知数x 的是（ ）A ．①×4+②×3B ．①×2-②×5C ．①×5+②×2D ．①×5-②×2 10．解方程组①3759y x x y =-⎧⎨+=-⎩，②3512,215 6.x y x y +=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是（ ）A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法 二、填空题11．已知方程2x+y ﹣5=0用含y 的代数式表示x 为：x= ．12.在二元一次方程组423x y x m y -=⎧⎨=-⎩中，有6x =，则_____,______.y m ==13.若（a ﹣3）x+y |a|﹣2=1是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值是 ．14．解方程组523,61,x y x y +=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．15.若方程3x-13y ＝12的解也是x-3y ＝2的解，则x ＝________，y ＝_______． 16.方程组的解是 ．17．用加减法解方程组3634x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②时，①+②得________，即________；②－①得________，即________，所以原方程组的解为________． 18．若522325m n x y ++与632134m n x y ---的和是单项式，则m ＝_______，n ＝_______． 19．已知关于x ，y 的方程组271x y x y +=⎧⎨-=-⎩满足3x y +=，则k = ．三、解答题20.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组． （1）甲数的13比乙数的2倍少7；（2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h ；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元．21．用代入法解下列方程组：一、选择题1．下列各方程中，是二元一次方程的是（）A．=y+5x B．3x+1=2xy C．x=y2+1 D．x+y=12. 关于,m n的两个方程23321m n m n-=+=与的公共解是（）A.3mn=⎧⎨=-⎩B.11mn=⎧⎨=-⎩C.12mn=⎧⎪⎨=⎪⎩D.122mn⎧=⎪⎨⎪=-⎩3．利用代入消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．由①得x= B．由①得y=C．由②得y= D．由②得y=4．已知x+3y＝0，则3232y xy x+-的值为（）.A．13B．13- C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中（）A．某个未知数的系数是1 B．同一个未知数的系数相等C．同一个未知数的系数互为相反数 D．某一个未知数的系数的绝对值相等7．方程组231498x yx y+=-⎧⎨-=⎩的解是（）A．13xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．1223xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1223xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为（）A．﹣B．C．D．﹣二、填空题9.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.10.已知，且，则___________.11.若方程ax-2y＝4的一个解是21xy=⎧⎨=⎩，则a的值是 .12．二元一次方程组的解是．13．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．14.已知二元一次方程组2728x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x-y＝________，x+y＝________．三、解答题15．若方程组是二元一次方程组，求a的值．16．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．。
八年级数学专题 二元一次方程组重难点(参数问题、实际应用问题)(北师大版)
ì3x - 2 y = -1
ìx =1 ìm + 5 =1
ìm = -4
íî3x + 2 y = 7
，解得
í î
y
=
2
，即
íîn
+
3
=
2
，解得
íîn
=
-1
．
(1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组
ì ïï í ï ïî
x x
+ 3 + 3
y y
+ -
x x
5 5
y y
= =
4 ．
-2
试卷第 2 页，共 9 页
义，否则，若把 y=ax+b 代入变形的原方程，必然得到一个恒等式； ③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方
程比较简单．
2．加减消元法
把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把
解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫做加减消元法，简
联立成方程组，求出未知数的值，然后代入含有参数的方程即可求出参数的值．
四、列方程组解应用题步骤
1．列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未 知量联系起来，找出题目中的相等关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方
程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等．
y
=
与 41
íî2
x
+
3
y
=
-7
有相同的解，求
a，b
的值．
二元一次方程的解法公式法
消元法在解方程时可能需要进行多次运算，而公式法只需要一次代入计 算。
与代入法比较
代入法是将一个方程变形，表示出一个未知 数，然后代入另一个方程求解。而公式法则 是直接利用二元一次方程的解公式求解。
代入法在解方程时可能需要进行多次 运算，而公式法只需要一次代入计算。
简单实例计算过程展示
1 2
步骤3
将x的值代入任一方程求y，y = 5 - x = 5 - 2 = 3
解得
{x=2, y=3}
3
实例2
解方程组 {2x + y = 6, x - y = 2}
简单实例计算过程展示
步骤1
识别方程系数，a1=2, b1=1, a2=1, b2=-1, c1=6, c2=2
二元一次方程的解法公式法
目录
• 引入与概念 • 公式法求解步骤 • 实例分析与计算过程展示 • 公式法与其他解法比较 • 拓展应用与实际问题解决 • 总结回顾与课后作业
01
引入与概念
二元一次方程定义
01
含有两个未知数，且未知数的次 数都是1的方程称为二元一次方程 。
02
一般形式为：ax + by = c（其中a、 b、c为常数，且a、b不同时为0）。
可直接得出解，无需进行多次运算。 计算过程简洁明了，易于掌握；
优势 通用性强，无需考虑系数关系；
02
公式法求解步骤
列出方程组并整理为标准形式
对于二元一次方程组，首先需要将其 整理为标准形式，即形如 $ax + by = c$ 和 $dx + ey = f$ 的形式。
确保方程组中每个方程的未知数的系 数不为零，否则该方程无法单独求解 。
二元一次方程的特殊解法
二元一次方程的特殊解法
二元一次方程是指形式为ax+by=c的方程，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数，且a和b不同时为0。
在解二元一次方程时，我们通常使用消元法或代入法来求解。
但是，对于一些特殊的二元一次方程，我们可以使用一些特殊的解法来求解。
第一种特殊解法是通过因式分解来求解方程。
当二元一次方程形式为ax+ay=b时，我们可以将方程进行因式分解，得到a(x+y)=b，
然后将方程两边同时除以a，得到x+y=b/a，即可求出方程的解。
第二种特殊解法是通过图像法来求解方程。
当二元一次方程形式为ax+by=c时，我们可以将其表示为一条直线的形式：y=(-a/b)x+c/b。
然后，我们可以将方程转化为y=mx+n的形式，其中m=-a/b，n=c/b。
此时，我们可以根据直线的斜率和截距来绘制出方程的图像，然后通过图像交点的坐标来求解方程的解。
第三种特殊解法是通过矩阵法来求解方程。
当二元一次方程形式为ax+by=c时，我们可以将其表示为矩阵的形式：[a b][x]=[c]，然后使用矩阵的逆矩阵求解方法来求解方程的解。
具体方法为，将系数矩阵[a b]求逆矩阵[a^-1 b^-1]，然后将方程转化为[x]=[a^-1
b^-1][c]的形式，即可求解方程的解。
以上三种特殊解法可以帮助我们更快速、更准确地求解一些特殊的二元一次方程。
但是，在实际应用中，我们仍然需要选择最适合问题的解法，并注意判断方程是否有唯一解、无解或无穷解的情况。
- 1 -。
二元一次方程基本概念及基本解法讲解(最新整理)
2
2x y 3
4.
方程组
x
y
3
的解是（
）
x 1
A．
y
2
x 2
B．
y
1
x 1
C．
y
1
x 2
D．
y
3
6x 5y 11， ①
5.已知二元一次方程组
3
y
2x
7,
②
，下列说法正确的是（）
A.适合②的 x, y的值 是方程组的解①②
B.适合①的 x, y的值 是方程组的解
C.同时适合①和②的 x, y的值 不一定是方程组的解
8.在二元一次方程组
x 2x
y m
4 3
y
中，有
x
6
，则
y
_____,
m
______ .
9.若 x 2 (3y 2x)2 0 ，则 x 的值是
．
y
10.若
是二元一次方程
的一个解，则
的值是__________.
11.已知
，且
，则 ___________.
x 2
12.若方程
ax-2y＝4
的一个解是
x
y
2 ,
8
x
y
4 ,
6
x y
1 9
等等
练习 2：二元一次方程 x-2y＝1 有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( )
x 0
A．
y
1 2
x 1
B．
y
1
x 1
C．
y
0
x 1
D．
y
1
【变式
2】若方程
ax
2024七年级数学上册第3章3.4二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程(组)课件新版沪科版
= + ，
理由：把ቊ
代入方程3 x －5 y ＋4＝0的左
= +
边，得15 m ＋6－15 m －10＋4＝0，而方程右边＝0，
所以左边＝右边，即小明发现的结论正确.
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15. [新考法 创设情境法]某城市出租车的收费标准：行程不
【解】由题意，得 m2－4＝0， m ＋2≠0且 m ＋1≠0，
解得 m ＝2，故当 m ＝2时，方程为二元一次方程.
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13. 某学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数
的比是3∶2，求两种球各多少个.(只需列出二元一次方程
组，不必求解)
【解】设排球有 x 个，篮球有 y 个，由题意，得
超过3 km收起步价，超过部分每千米收费若干元(不足
1 km的按1 km计算).某天，林老师第一次乘出租车的行程
为8 km，花了12元；第二次乘出租车的行程为11 km，
花了15.6元.请你编写适当的问题，并列出相应的二元一
次方程组.
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【解】答案不唯一，如：起步价是多少？超过3 km后每
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《二元一次方程组解法》(二)--加减法 配套知识讲解 人教七年级下
二元一次方程组解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1.（2020春•澧县期末）用加减消元法解方程组34659 23x y x y++==【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解. 【答案与解析】解：此式可化为：349(1) 2659(2) 3x yx y+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由(1)：3x+4y=18 (1) 由(2)：6x+5y=27 (2) (1)×2：6x+8y=36 (3) (3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23 xy=⎧⎨=⎩【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元. 举一反三：【变式】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为：.【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩2.已知关于x 、y 的方程组ax by cex dy f+=⎧⎨+=⎩的解为31x y =⎧⎨=⎩，求关于x 、y 的方程组()()()()a x y b x y ce x y d x y f-++=⎧⎨-++=⎩的解． 【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把x -y ，x+y 看作一个整体，则两个方程同解． 【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(x -y )与(x+y )分别看成一个整体当作未知数，可得3,1.x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得：2,1.x y =⎧⎨=-⎩【总结升华】本例采用了类比的方法，若把其中的x+y 和x -y 分别看作整体，则第二个方程组与第一个方程组相同，即x+y ＝1，x -y ＝3． 举一反三：【变式】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：． 【答案】 解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较，可得：510x y =⎧⎨=⎩．类型二、用适当方法解二元一次方程组3.解方程组36101610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单. 【答案与解析】解：设,610x y x ym n +-==，则原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①②解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法. 举一反三：【变式】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②×3－①×2得，3535y =，即1y =， 将1y =代入①得，99x =，即1x =， 所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩. 4.试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【答案与解析】解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①②①－②，整理得513y y -=-③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =； 当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解. 将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解. 举一反三：【变式】（2020春•杭锦后旗校级期末）若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值． 【答案】 解：方程组，①×3+②得：11x=22， 解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7， 解得：y=﹣1， ∴方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=﹣5，则当k=﹣5时，（k+1）2=16． 第二课时 【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.（2020春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a＞b＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
(完整版)二元一次方程的”特殊解“
二元一次方程的“特殊解”我们知道，任何一个二元一次方程都有无数多个解，但二元一次方程的特殊解例如“自然数解或者正整数解”，往往是有限多个。
例如二元一次方程52=+yx的解有无数多个，但是其正整数解只有2个，分别是1,3xy=⎧⎨=⎩和2,1;xy=⎧⎨=⎩自然数解有3个，分别是1,3,xy=⎧⎨=⎩2,1,xy=⎧⎨=⎩0,5.xy=⎧⎨=⎩二元一次方程的特殊解在解决实际问题时，可以助你一臂之力。
例12008年北京奥运会的球类比赛的门票价格如下：某球迷购买了x张男篮比赛的门票，y张足球比赛的门票，共用去12000元。
⑴列出二元一次方程；⑵写出各种购票的方案。
析解：⑴男篮比赛的门票x张，每张1000元，费用为1000x元；足球比赛的门票y张，每张800元，费用为800y元，所以可得到二元一次方程120008001000=+yx。
⑵根据题意，求各种购票的方案，就是求二元一次方程120008001000=+yx的自然数解的问题，方程120008001000=+yx经过整理可以化为6045=+yx，易得出其自然数解为0,15,xy=⎧⎨=⎩4,10,xy=⎧⎨=⎩8,5,xy=⎧⎨=⎩12,0.xy=⎧⎨=⎩所以有以下购票方案：购男篮比赛门票12张；或者购男篮比赛门票8张，足球比赛5张；或者购男篮比赛门票4张，足球比赛门票10张；或者购足球比赛门票15张。
例2 当围绕一点拼在一起边长相等的正五边形和正十边形，怎样组合才能1/ 2铺满地面？析解：本题可以通过列二元一次方程的方法解决。
正五边形的每个内角为108度，正十边形的每个内角为144度，设在一个拼接点处有x y个正五边形,个正十边形。
根据题意，得360144108=+yx，该方程仅仅有一个正整数解2,1. xy=⎧⎨=⎩所以在一个拼接点处有2个正五边形和1个正十边形组合才能铺满地面。
2/ 2。
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二元一次方程的“特殊解”
我们知道，任何一个二元一次方程都有无数多个解，但二元一次方程的特殊解例如“自然数解或者正整数解”，往往是有限多个。
例如二元一次方程5
2=
+y
x
的解有无数多个，但是其正整数解只有2个，分别是
1,
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
和
2,
1;
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
自然数解有
3个，分别是
1,
3,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
2,
1,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
0,
5.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
二元一次方程的特殊解在解决实际问题时，可
以助你一臂之力。
例12008年北京奥运会的球类比赛的门票价格如下：
某球迷购买了x张男篮比赛的门票，y张足球比赛的门票，共用去12000元。
⑴列出二元一次方程；
⑵写出各种购票的方案。
析解：⑴男篮比赛的门票x张，每张1000元，费用为1000x元；足球比赛的门票y张，每张800元，费用为800y元，所以可得到二元一次方程12000
800
1000=
+y
x。
⑵根据题意，求各种购票的方案，就是求二元一次方程12000
800
1000=
+y
x
的自然数解的问题，方程12000
800
1000=
+y
x经过整理可以化为60
4
5=
+y
x，
易得出其自然数解为
0,
15,
x
y
=
⎧
⎨
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4,
10,
x
y
=
⎧
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8,
5,
x
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⎧
⎨
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12,
0.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
所以有以下购票方案：购男
篮比赛门票12张；或者购男篮比赛门票8张，足球比赛5张；或者购男篮比赛门票4张，足球比赛门票10张；或者购足球比赛门票15张。
例2 当围绕一点拼在一起边长相等的正五边形和正十边形，怎样组合才能
1/ 2
铺满地面？
析解：本题可以通过列二元一次方程的方法解决。
正五边形的每个内角为108度，正十边形的每个内角为144度，设在一个拼接点处有x y
个正五边形,个
正十边形。
根据题意，得360
144
108=
+y
x，该方程仅仅有一个正整数解
2,
1. x
y
=⎧
⎨
=⎩
所以在一个拼接点处有2个正五边形和1个正十边形组合才能铺满地面。
2/ 2。