大一高数内容总结与例

那 么 ， 方 程 F ( x , y , z ) 0 就 叫 做 曲 面S 的 方 程 ， 而 曲面 S 就叫做方程的图形.
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[1] 旋转曲面
一平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲 面. 方程特点:
设有平面曲线 (1 ) f (x, y) 0 L: z 0 方程为
H (x, y) 0 曲线在 xoy 面上的投影曲线为 z 0
yoz 面上的投影曲线
xoz 面上的投影曲线
R( y, z) 0 x 0
T ( x , z ) 0 y 0
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如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
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0 n 1
0 n c 0 n a b
x y z 1 2 x 2 y z 0 2 y z 0
2 2 2
1
2
A2 B 2 C 2
2
2
[5] 两平面位置特征：
(1 ) (2) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 1
// 2
A1 A2

B1 B2

C1 C2
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5、空间直线
[1] 空间直线的一般方程
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0
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向量模长的坐标表示式
| a |
ax a y az
2
2
2
向量方向余弦的坐标表示式
cos
cos
ax ax a y az
ay ax a y az
2 2 2
2
2
2
cos
az ax a y az
( cos cos
2 2
曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面 f ( x , y z ) 0
2 2
(2)
曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 f ( x z , y) 0
2 2
方程为
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（1）球面
x y z 1
2 2 2
（2）圆锥面
x y z
2 2 2
（3）旋转双曲面
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[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影
空 间 立 体
曲 面
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4、平面
[1] 平面的点法式方程
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
x
z
n
M0
M
o
y
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) n { A, B , C }
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2、向量的线性运算
(1) 加法：
(2) 减法：
a b a b c d
b
a
ab c ab d
(3) 数乘（向量与数的乘法）：
设 是 一 个 数 ， 向 量a 与 的 乘 积 a 规 定 为 (1 ) 0 , a 与 a 同 向 ， (2) 0, a 0 (3) 0, a 与 a 反 向 ， | a | | | | a |
x a
2 2

y a
2 2

z c
2 2
1
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[2] 柱面
平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的 曲面.
这条定曲线叫柱面的 准线，动直线叫柱面的 母线.
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从柱面方程看柱面的特征：
只 含 x, y 而 缺 z 的 方 程 F (x, y) 0 ， 在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面 ， 其 准 线 为 xoy 面 上 曲 线C .
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3、向量的表示
向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k
向量的坐标表示式： a { a x , a y , a z }
向量的坐标： a x , a y , a z
F ( x, y, z) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
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如图, 空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2 1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 2 2
2
z
1
L
: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0

2
A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 L: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
o
y
x
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[2] 空间直线的对称式方程
x x0 m y y0 n z z0 p
其中 a x , a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影 .
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向量线性运算的坐标表示：
a {a x , a y , a z } b {b x , b y , bz } a b {a x b x , a y b y , a z bz } (a x b x )i (a y b y ) j (a z bz )k a b {a x b x , a y b y , a z bz } (a x b x )i (a y b y ) j (a z bz )k a { a x , a y , a z } ( a x )i ( a y ) j ( a z )k

2
)
直线与平面的夹角公式
[7] 直线与平面的位置关系
(1 ) (2) L L


A m

B n

C p
//
Am Bn Cp 0
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第二部分 典型例题
例1
解
已知 a i ， j 2k , c 2i 2 j k , b 0 0 0 求一单位向量 n ， n c ， n , a , b 共面． 使 且 0 设 n xi yj zk , 由题设条件得
2 2 2
b x b y bz
2
2
2
a x b x a yb y a zbz 0
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5、向量积 (叉积、外积)
| c | | a || b | sin
c 的 方 向 既 垂 直 于 a ， 又 垂 直 于b ， 指 向 符 合
右手系.
2
2
2
cos 1 )
2
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4、数量积 (点积、内积)
a b | a || b | cos
坐标表达式
a b a xb x a yb y a zbz
两向量夹角:
cos
ab
a x b x a yb y a zbz ax a y az
第七章 解析几何向量代数
第七章 内容总结与例题
内容总结 典型例题
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第一部分
内容总结
一、向量代数
二、空间解析几何
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一、向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示
向量的乘积
数量积 混合积 向量积
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1、向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量.
相关重要概念: 向量的模、单位向量、 零向量、 自由向量、 向量相等、 负向量、 平行向量、 向径.

ay by

az bz
* 混合积
[a b c ] (a b ) c b x
ax
ay by cy
az bz cz
cx
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二、空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
平 面
柱
面
直 线
二次曲面
一般方程
对称式方程 点法式方程
直线 L :
cos(
^ L ,L
1
2
)
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2 2 2
m 2 n2 p2
2
2
2
两直线的夹角公式
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[5] 两直线的位置关系：
(1 ) (2) L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 L1
z
s
M
L
M0
o
y
[3] 空间直线的参数方程
x x 0 mt y y 0 nt z z 0 pt
x