运筹学复习资料

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高等数学（A）I
⒋凸函数和凸规划：凸集 S 上的凸函数，凸集 S 上的严格凸函数， 凸函数的性质，函数 f 在凸集 S 上关于 c 的水平集，凸函数的一阶 充要条件，严格凸函数的一阶充要条件，函数 f 的海赛(hesse)矩阵，
f (x) xT Ax bT x c 的海赛矩阵，凸函数的二阶充要条件，严格
C f (x*) 0
D f (x*) 0
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高等数学（A）I
三、求解下列线性规划问题
⒈用单纯形方法求解线性规划问题（10 分）
min s.t.
z 2x2 6x3 x4 x1 2x2 x3 1 2x2 2x3 x4 6
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三高、等非数线学（性A规）I划 ⒈数学规划的数学模型，约束集或可行域，可行解或可行点，数学 模型的向量形式，非线性规划，无约束非线性规划或无约束最优化 问题，约束非线性规划或约束最优化问题，整体最优解或整体极小 点，整体最优值或整体极小值，严格整体最优解或严格整体极小点， 严格整体最优值或严格整体最小值，局部最优解或局部极小点，局 部最优值或局部极小值，严格局部最优解或严格局部极小点，严格 局部最优值或严格局部极小值 ⒉两个变量的非线性规划的图解法 ⒊求解(MP)问题的一般步骤：第 k 轮搜索方向，第 k 轮沿方向 pk 的步长，点 x 处的下降方向,可行方向，可行下降方向，求解(MP) 问题的一般步骤
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一、填空题（20 分）（共 5 个小题） 1．线性规划数学模型的标准形式为_________________
min cx
s.t. Ax b

x0
2．将线性规划模型化为标准形时, 引入剩余变量 si ，可将不等约
n
束
aij x j bi
化
为
等
约
束
j1
___________________________________
s.t. x1 2x2 x3 x4 4

4x1 2x2 2x3 x5 8
xj 0, j 1, 2,3, 4,5
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初始单纯形表为
x1 x2 -2 -1 12 -4 2
x3
凸函数的二阶充分条件，凸规划，一类特殊凸规划（目标函数、不 等约束函数为凸函数，等约束函数为线性函数），凸规划的局部最 优解和整体最优解 ⒌一维搜索问题，有效一维搜索问题，单谷函数，单谷区间，搜索 区间 618 法，Newton 法：基本思想，迭代公式，算法步骤 ⒍无约束最优化方法， x 处下降方向的充分条件，局部最优解的必 要条件，局部最优解的充分条件，可微凸函数的驻点与整体最优解
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四、动态规划 ⒈状态变量 s、决策变量 xn(s)、策略，后向最优化原理、前向最优 化原理 ⒉确定性定期多阶段决策问题：最短路问题，旅行售货员问题，多 阶段资源分配问题，某些非线性规划问题
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ai1x1 ai2x2 L ain xn si bi , si 0
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3．
min z x2 x3
s.t.
x1 2x2 3x3 10 2x1 4x2 3x3 1
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⒉用对偶单纯形方法求解下列线性规划问题（10 分）
max z 2x1 x2 4x3
s.t. x1 2x2 x3 4

4x1 2x2 2x3 8
xj 0, j 1, 2,3, 4,5
解：标准形式为
min y 2x1 x2 4x3
x4
x5
-4 0 0
1 -1 0
2 0 -1
RHS 0 4 8
min y 2x1 x2 4x3
s.t. x1 2x2 x3 x4 4

4x1 2x2 2x3 x5 8
xj 0, j 1, 2,3, 4,5
x1 x2 -2 -1
x4 -1 -2 x2 4 -2
min s.t.
z 2x2 6x3 x4 x1 2x2 x3 1 2x2 2x3 x4 6

2x2 x3 x5 7

x1 x2 x3 x4 x5 RHS
x j 0, j 1,L ,5
0 4 -8 0 0 6
x1 1 -2 x4 0 2 x5 0 2
min f (x)
⒊ 对 于 非 线 性 规 划 s.t. gi (x) 0,i 1,..., p

hj (x) 0, j 1,..., q
(MP) ， 若
gi (x),i 1,..., p 皆为 R n 上的凸函数， hj (x), j 1,..., q 皆
为线性函数，并且 f 是可行域 X 上的凸函数，则(MP)（ ）
x3
x4
x5 RHS
-4 0 0 0
-1 1 0 -4
-2 0 1 -8
x1 x2 x3
-4 0 -3
x4 -5 0
1
x2 -2 1
1
x4
x5 RHS
0 -1/2 4
1 -1 4
0 -1/2 4
最优解 x (0, 4, 0)T ,最优值 z＝-4
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概念、模型、方法 一、 线性规划 ⒈线性规划问题：线性规划问题的一般形式，标准形式，规范形式 及三种形式的相互转化，决策变量，约束矩阵，目标函数，价值向 量，价值系数，非负约束，无限制变量或自由变量，可行解或可行 点，可行区域，剩余变量和松弛变量，问题无可行解或不可行，问 题无界，问题有最优解 ⒉图解法 求解对象：两个变量的线性规划问题 方法步骤：画可行域、做一条与可行域相交的目标函数等值线、等 值线沿值的优化方向移动保持与可行域相交直到不能再移动 ⒊可行域的几何结构：凸集，线性规划可行域为凸集，任意多个凸 集的交集为凸集，超平面，多面凸集，多面体，顶点 ⒋基本可行解：基（基阵）、基向量、基变量、非基变量，基本解、 基本可行解、可行基
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⒎最速下降法：搜索方向，算法步骤 ⒏共轭方向法：相互 A 共轭方向，共轭方向组，共轭方向组的线 性无关性，具有二次终止性的方法，共轭梯度法的一组共轭方向， 算法步骤 ⒐约束最优化方法：积极约束，Kuhn-Tucker 条件，约束规范化条 件，只有不等约束、等约束、所有约束函数可微时的 K-T 条件， 特殊约束凸规划的 K-T 点与整体最优解 ⒑简约梯度法：基本思想，f 在点 x k 对应于 Bk 的简约梯度，简约 梯度法的搜索方向及性质，搜索范围，算法步骤 ⒒罚函数法的罚函数和增广目标函数，算法步骤 ⒓障碍函数法的罚函数和增广目标函数，算法步骤
A 是凸规划 B 不是凸规划 C 无最优解 D 有最优解
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min z cT x
⒋ s.t. Ax b ，c Rn ,b Rm , A Rmn , R( A) m 的可行解 x 是

x0
基本可行解的充要条件是它的正分量所对应的矩阵 A 中列向量
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4．动态规划的后向最优化原理为:
过程的最优策略具有这样的性质：无论初始状态和初始决策如何， 其以后诸决策对以第一个决策所形成的状态为初始状态而言，必 须构成最优策略
5．共轭梯度法解(UMP)问题 min f (x)的搜索方向为
p0 f (x0 )

p
k
1

f
(xk 1)
四、高等求数解学下（列A非）I线性规划问题
⒈（10 分）用共轭梯度法求解（UMP)问题
min
f
(x1, x2 )

1 2
x12

x22 ，已知 x0

2x2 x3 x5 7
x j 0, j 1,L ,5
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⒈解：
x1 x2 02 x1 1 -2 x4 0 2 x5 0 2
x3 x4 -6 -1 10 -2 1 10
x5 RHS 00 01 06 17
的对偶问题为
x1 0, x2 0, x3 0
_______________________
max 10w1 w2 s.t. w1 0

w2 0 w1 2w2 0

2w1 4w2 1
3w1 3w2 1
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k
pk
_________________________
f (xk 1) 2
k

f (xk ) 2
k 0,1, 2,L , n 1
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二、选择题（满分 20 分）
⒈0.618 法每轮的搜索区间长度为上一轮搜索区间长度的（ ）
10 -2 1 10
01 06 17
x1 x2 x3 x4 x5 RHS
0 0 -4 -2 0 -6
x1 1 0
-1 1
07
x2 0 1
-1 0.5
03
x5 0 0
3 -1
11
最优解 x (7, 3, 0, 0,1)T 最优值 z＝－6
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二高、等整数数学（线A性）I规划 ⒈整数线性规划问题，0－1 规划问题，混合整数线性规划问题，纯 整数线性规划问题 ⒉整数线性规划问题的松弛问题及与原问题的关系 ⒊Gomory 割平面法：基本思想，生成行的割平面条件，割平面， 求解加入割平面的改进松弛问题用对偶单纯性方法，计算步骤 ⒋分枝定界法：基本思想，分枝，分枝树，树叶，被剪枝，死点， 活点，算法步骤
A
5 1倍 B 0.382 倍 C
5 1
倍D
5 1倍
2
2
⒉若 f1 , f 2 : Rn R 都是非空凸集 S 上的凸函数，则 f1 f2 是 S
上的（ ）
A 凸函数 B 凹wenku.baidu.com数 C 单调增函数 D 单调减函数
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（）
A 线性相关 位向量
B 线性无关 C 含有零向量 D 均为单
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5．设 f : Rn R 在点 x Rn 处可微。若 x* 是(UMP)的局部最优
解，则（ ）
A f (x* ) 0
B f ( x* ) 0
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⒌高线等性数规学（划A的）I基本定理：可行解是基本可行解与正分量对应的列向 量的线性无关性、基本可行解与可行域的顶点，可行解存在性与基 本可行解存在性关系，线性规划有有限最优值与最优基本可行解存 在性 ⒍单纯性方法：基 B 的典则方程组(典式），检验数，检验向量，问 题典式，最优判别准则，无界判别准则，更小目标值准则，换基， 退出基列，进入基列，离基变量，进基变量，非退化线性规划问题 的迭代次数的有限性，单纯形方法步骤 ⒎单纯形表，转轴元，旋转列，旋转行，旋转 ⒏两阶段法：辅助问题及与原问题的关系 ⒐对偶理论：线性规划问题的对偶问题，互为对偶，原问题与对偶 问题的目标函数值的关系，原问题与对偶问题的关系（其中一个有 最优解另一个也有最优解且最优值相等，其中一个无界另一个无可 行解，其中一个无可行解另一个无界或无可行解），互补松紧性条 件，对偶单纯形法