2018全国卷3理数(含答案)-18年全国卷三

戴氏教育新津总校——理数绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A x|x1≥0 ，B 0 ，1，2 ，则 A BA ．0B． 1 C．1，2 D．0，1，22．1 i 2 iA ． 3 i B．3i C．3i D． 3 i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若sin 1，则 cos238 7 7 8A．B．C．D．99995．x 225x 的展开式中 x 4的系数为戴氏教育新津总校——理数戴氏教育新津总校——理数 A ．10 B ．20 C ． 40 D ．806．直线 x y 2 0分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 x 2 2 y 2 2上，则 △ABP 面积的取 值范围是 A ． 2，6B ． 4，8C ． 2 ，3 2D ． 2 2，3 27．函数 y x 4x 22 的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10位成员中使用移动支付的人数， DX 2.4 ， P X 4 P X 6 ，则 pA． 0.7 B ．0.6 C ． 0.4 D 0.3 9． △ ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 △ABC 的面积为 2 a22 b c ，则 C 4 π π ππ A ． B ． C ． D2 3 4610．设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积为 93，则三棱 锥 D ABC 体积的最大值为A ．12 3 B． 18 3 C． 24 3 D． 54 32211．设 F 1 ，F 2是双曲线 C ：x 2 y2 1（a 0，b 0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2作C 的一条渐近 ab线的垂线，垂足为 P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心率为A ． 5B ．2C ． 3D ． 212．设 a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3 ，则 A ． a b ab 0B ． ab a b 0C ． a b 0 abD ． ab 0 a b 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分。

13．已知向量 a = 1,2 ， b = 2, 2 ， c = 1,λ．若 c ∥ 2a+ b ，则 _ 14．曲线 y ax 1 e x在点 0 ，1 处的切线的斜率为 2 ，则 a __16 ．已知点 M 1，1 和抛物线 C ：y 24x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ， B 两点．若 ∠ AMB 90 ，则 k ．三、解答题：共 70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。

第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。

17．（ 12 分）等比数列 a n 中， a 1 1，a 5 4a 3 ．1）求 a n 的通项公式； 2）记 S n 为 a n 的前 n 项和．若 S m 63，求 m ． 18．（ 12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为 比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人。

第一组工人用第一种 生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位： min ）绘制了如 下茎叶图：15．函数 f x cos3x 6π在 0， π的零点个数为（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：3）根据（ 2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？2n ad bc ，附： K2a b c d a c b d19．（ 12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于 C ，D 的点．1）证明：平面AMD ⊥平面 BMC ；2）当三棱锥 M ABC 体积最大时，求面MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值．20．（ 12 分）22已知斜率为 k的直线 l 与椭圆C：x y 1交于A，B两点，线段AB 的中点为M 1，m m0 ．431（ 1）证明： k ；2（2）设F 为C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP FA FB 0．证明： FA ， FP ， FB 成等差戴氏教育新津总校——理数数列，并求该数列的公差．21．（ 12 分）已知函数f x 2 x ax2 ln 1 x 2x ．（1）若 a 0 ，证明：当 1 x 0时，f x 0；当 x 0 时，f x 0；（2）若 x 0 是f x 的极大值点，求 a ．（二）选考题：共 10分。

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分）x cos ，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为（为参数），过点 0， 2 且倾斜角为y sin的直线 l 与⊙O交于 A，B 两点．（ 1）求的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分）设函数f x 2x 1 x 1 ．（ 1）画出y f x 的图像；（2）当x∈ 0，，f x ≤ax b ，求 a b的最小值．参考答案：113. 14. 3 15.3 16.2217.（12 分）解：（ 1）设{ a n} 的公比为q ，由题设得a n q n 1.由已知得q4 4q2，解得q 0 （舍去），q 2或q 2.故a n ( 2)n 1或a n n1（2）若a n（ 2）n 1，则S n 1 （ 2）.由S m 63得（ 2）m 188，此方程没有正整数解 .3若a n 2 ，则S n 2 1.由S m 63得2 64，解得m 6.综上，m 6.18.（12 分）解：（ 1）第二种生产方式的效率更高 .理由如下：（ i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟 .因此第二种生产方式的效率更高 .（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高 .（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高 .（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎 8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高 .学科 * 网以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 .戴氏教育新津总校——理数2）由茎叶图知m 79 81 80. 2列联表如下：超过m 不超过m 第一种生产方式15 5第二种生产方式 5 153）由于K 2 40（15 15 5 5）10 6.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异20 20 20 2019.（12 分）解：（1）由题设知 ,平面 CMD ⊥平面 ABCD ,交线为 CD.因为 BC⊥CD,BC 平面 ABCD ,所以BC⊥平面 CMD, 故 BC⊥ DM.因为 M 为CD 上异于 C， D 的点 ,且 DC为直径，又 BC CM =C,所以 DM ⊥平面 BMC.而 DM 平面 AMD ,故平面 AMD ⊥平面 BMC.当三棱锥 M-ABC 体积最大时， M为CD的中点 .由题设得D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M (0,1,1) ，AM ( 2,1,1),AB (0,2,0), DA (2,0,0)设n (x,y,z) 是平面 MAB 的法向量 ,则n AM 0, 即2x y z 0,n AB 0. 2y 0.可取n (1,0, 2) .所以 DM ⊥CM.2）以 D 为坐标原点 ,DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz.戴氏教育新津总校——理数DA 是平面 MCD 的法向量 ,因此n DA 5，5|n ||DA| sin n ,DA 2 5所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是25 20. (12 分) 解：( 1)设A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2)，则22 x 1y 1 43221,x 42 y 32 1. 两式相减，并由y 1 y 2 k 得x1 x2x1x2y1 3y2k 0.由题设知 x 1 x 2 1,y 1 y2 m ，223.① 4m31由题设得 0 m ，故 k .2)由题意得 F (1,0) ，设 P(x 3,y 3)，则(x 3 1, y 3) (x 1 1,y 1) (x 2 1,y 2) (0,0) .由( 1)及题设得x 3 3 (x 1 x 2) 1,y 3 (y 1 y 2) 2m 0.又点 3 3 3P 在 C 上，所以 m 3，从而 P(1, 3)，|FP| 3.同理 x2|FB| 2 2 |FA| (x 1 1)2 y 12x1(x 1 1)2 3(1 41) 2 2所以 |FA| |FB | 4 1(x 1 x 2) 3.2故2| FP| |FA| |FB|，即 | FA |,| FP |,| FB |成等差数列 .cos戴氏教育新津总校——理数6a 1 如果 6a 1 0，则当 0 x6a 1，且 |x| min{ 1, 1} 时， h (x) 0，故 x 0不是 h(x) 的极 4a |a|当 1 x 0时， g (x) 0；当 x 0时， g (x) 0.故当 x 1时， g(x) g(0) 0，且仅当 x 0时， g(x) 0，从而 f (x) 0 ，且仅当 x 0时， f (x) 0.所以 f (x) 在 ( 1, ) 单调递增 .学.科网 又 f (0) 0，故当 1 x 0时， f (x) 0；当 x 0时， f (x) 0.2)( i)若 a 0，由( 1)知，当 x 0 时， f (x) (2 x)ln(1 x) 2x 0 f (0) ，这与 x 0是f (x) 的极大值点矛盾 . 2时， 2 x ax 20，故 h(x) 与 f (x) 符号相同 .又 h(0) f(0) 0，故 x 0是 f (x) 的极大值点当且仅当 x 0是 h(x) 的极大值点 .h(x)1 2(2 x ax 2) 2x(1 2ax) x 2(a 2x 2 4ax 6a 1) h(x)1 x (2 x ax 2 )2(x1)(ax 2 x 2)2设该数列的公差为 d ，则2|d| ||FB | |FA || 1| x 1 x 2 | 1(x 1 x 2)24x 1x 2 .②223将m 代入①得4 k1所以 l 的方程为 yx 47，代入 C 的方程，并整理得 7x 2 14x 1 0. 4故x 1 x 2 2, x 1x 21，代入②解得 |d| 3 2128 28所以该数列的公差为3 21 或3 21 28 2821. (12 分 )解：( 1)当 a 0时， f (x) (2 x)ln(1 x) 2x ，xf (x) ln(1 x) x1x设函数 g(x) f (x) ln(1 x) x，则 g (x) 1xx2.(1 x)2ii)若 a 0 ，设函数 h(x)2f x (x)ax 2ln(1 x)2x2 x ax 2由于当|x| min{1, |a|(2 x ax 2 )2大值点 .如果6a 1 0，则a 2x 2 4ax 6a 1 0存在根 x 1 0 ，故当 x (x 1,0) ，且 |x| min{ 1, 1}时，|a|h (x) 0，所以 x 0不是 h(x) 的极大值点 .h (x) 0.所以 x 0是 h( x)的极大值点，从而 x 0是1 综上， a 1.622． [选修 4—4：坐标系与参数方程 ](10 分)(4,2)或 (2, 4 )．( , ) ．44x tcos ,2) l 的参数方程为(t 为参数，y 2 tsin如果 6a 1 0，则 h(x)x (x 24)(x 1)(x 26x 12)2 .则当x ( 1, 0)时， h(x) 0；当 x (0,1)时，f (x) 的极大值点 解析】(1) O 的直角坐标方程为 x 2 y 21．当2 时， l 与 O 交于两点．当时，2记 tan k ，则 l 的方程为 y kx 2 ．2l 与 O 交于两点当且仅当 | 1 2k 2 | 1，解得 k 1 或 k 1 ，即 综上， 的取值范围是设 A ，B ， P 对应的参数分别为 t A ，t B ，t P ，则t P t A2t B ，且 t A ，t B 满足 t 22 2tsin 1 0．于是t A t B 2 2sin ， t P2sin ．又点 P 的坐标 (x,y) 满足x t P cos ,2 t P sin .所以点 P 的轨迹的参数方程是2 x sin2 , 2 2 ( 为参数，2 2 4 y2 4)．23． [选修 4—5：不等式选讲 ](10 分)13x,x ,21 解析】(1) f (x) x 2, x 1, y f (x) 的图像如图所示．23x,x 1.2)由( 1)知，y f ( x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3，戴氏教育新津总校——理数故当且仅当a 3且b 2时，f (x) ax b 在［0, )成立，因此a b 的最小值为5．。