数学分析的基本内容和方法

渤海大学数理学院毕业论文论文题目：简述数学分析中的基本内容和方法系别：数学系专业年级：数学与应用数学专业07级姓名：王迪学号：********指导教师：***日期：2011年5月20日目录一、数学分析中的研究对象 (3)二、数学分析的基本内容 (3)三、数学分析中的基本概念和相互关系 (3)1.极限概念 (4)2.连续和一致连续的概念 (5)3.收敛和一致收敛概念 (6)4.导数概念 (6)5.微分概念 (7)6.原函数和不定积分 (7)7.定积分 (8)8.一元函数中极限、连续、导数、微分之间的关系 (8)9.多元函数中，极限、连续、偏导数、方向导数和全微分之间的关系 (9)10.连续与一致连续的关系 (9)11.收敛和一致收敛的关系 (9)12.连续、不定积分和定积分的关系 (10)13.微分和积分的关系 (10)四、数学分析的主要计算 (11)1.极限的求法 (12)2.微分学中的计算 (13)3.积分学中的计算 (14)4.无穷级数中的计算 (14)五、数学分析的主要理论 (15)1.实数的连续性和极限的存在性 (16)2.连续函数的基本性质 (17)3.微分学的基本定理和泰勒公式 (18)4.积分中的理论 (19)5.无穷级数和广义积分的敛散性 (20)6.函数级数和广义参变量积分的一致收敛性 (21)六、数学分析的基本方法 (21)七、数学分析教学内容的初步实践与思考 (22)简述数学分析中的基本内容和方法王迪（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：数学分析的基础是实数理论。

实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。

正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。

应全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

关键词：极限，微分，积分，近似。

Contents and methods of mathematical analysisWang di(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:Mathematical analysis is based on the theory of real numbers. The real number system is the continuity of the most important feature, with the continuity of real numbers to discuss the limit, continuity, differentiation and integration. It is in discussing the function of the various limits of the legitimacy of the process of operation, it gradually established system of rigorous mathematical theory. Mathematical analysis should be fully grasp the basic theory of knowledge; develop logical thinking and rigorous reasoning ability; people with good computing power and skills; improve the mathematical model, and apply the tools of calculus to solve practical problems.Key word: Limits, differentiation, integration, and similar.引言数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。

这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析正是其中最重要的一个环节。

数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。

它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。

在后期的研究中，一方面不断借鉴已有的研究成果，另一方面要开拓思路，通过分析数学家们的探索与解决，将其中的数学思想与哲学思想体现出来，深入发掘，力争体现数学分析的重大影响。

一、数学分析中的研究对象数学分析就是要研究初等函数和各种形式表示的函数的某些性质，如极限的存在性，连续性，可导性，可积性等；研究函数的各种运算，如极限的运算，微分学饿运算，积分学的运算等等。

二、数学分析的基本内容基本内容有极限和级数，主要包括连续函数及其性质，实数理论，数值级数，幂级数和傅里叶级数；微分学主要包括一元函数的导数和微分的计算，微分学的基本定理，微分学的应用以及泰勒公式，还包括多元函数的微分学；积分学主要包括一元函数的不定积分和定积分以及广义积分，多元函数的重积分和曲线积分。

三、数学分析中的基本概念和相互关系1.极限概念所谓极限，简单明了的讲是指一个函数当自变量按一定规律变化时，函数值变化的趋势，若它的变化趋势是无限趋近于一个常量，则称极限存在，否则极限不存在。

Lim f(x)= A，x→x时的几何特征是：任给一个以直线y=Ａ为中心，2ε为宽的带子，都存在一个以x为中心的邻域(x0-δ，x+δ)，当自变量x进入此邻域，曲线f(x)进入上述带子。

极限概念从朴素的直观描述发展到数量上的精准刻画，即用“εδ-”或“ε-N”语言来描述极限，要特别注意，多元函数的极限时全面极限，即研究当连续变量x沿着任何方向以任何路线趋于定点x，或趋于无穷时，函数f(x)的变化趋势。

2.连续和一致连续的概念连续的概念是数学分析中的基本概念。

在数学分析中经常遇到的函数多事初等函数，而初等函数在它的定义域内部是连续的。

因此，也可以说数学分析研究的对象注意主要是连续函数。

函数在区间的连续性是用它在区间上每一点的连续性定义的，而函数在一点的连续性是用它在这一点的极限来定义的，即若lim f(x)=f(x)，x→x0时称f(x)在x连续。

这个定义说明：判断某个函数在一点的连续性，需要验证一下三点：（1）f(x)在x0有定义，即f（x）有意义；（2）极限存在为A；（3）f（x0）=A 。

只有三者都成立，才能说f（x）在x连续。

有上述定义可知，函数f(x)在x0点极限存在仅仅是它在x连续的必要条件，那些仅在x0极限存在，而在x没有定义或者虽然有定义，其函数值与其极限值不相等的函数在这一点是不连续的。

因此，连续虽然可用极限存在来定义，但“连续”还不是“极限存在”，“连续”和“极限”是两个不同的概念。

既然函数的连续性是用它的极限存在性定义的，那么，描述极限的“εδ-”语言也可以用来描述连续。

极限的运算法则和某些性质（如不等式的性质）连续函数也都具备。

在一元函数中，把那些左极限和右极限都存在但不相等，或者是虽然相等但不等于在该点的函数值这样的点称为第一类间断点，其余的点称为第二类间断点。

同极限一样，函数在一点的连续性，只反映函数的局部性质。

有一种错误的理解，认为“函数只要在一点连续，在这一点的附近就连续”。

看这个例子：f(x)=x ，当x 为有理数，f(x)=0，当x 为无理数。

容易验证它只在x=0点来连续，而在其他任何点都不连续。

而讲函数在某区间上一直连续，不仅要求函数在区间上的每个点要以这一点的函数值作为它的变化趋势，还进一步要求它在区间上所有点附近有大体均匀一致的变化趋势。

也就是说，要求存在一个与x 无关的正数δ，使得对自变量的任何两个值x 1和x 2，不管它们在区间的何处，只要它们的距离小于δ，相应的函数值f （x 1）和f （x 2）的差的绝对值要小于预先给定的任意小的正数ε。

可见函数的一致连续是比连续更强的概念，它反应函数在整个区间上的全局性质。

3.收敛和一致收敛概念收敛概念是在无穷级数中最早出现的，它同极限概念没有什么区别，无穷级数的收敛性等价于它的部分和数列的收敛性（即极限存在性）。

函数级数的一致收敛概念也是数学分析中的基本概念。

讲函数列(){}n f x （n=1，2，…）在某区间（a ，b ）上收敛，是指它在（a ，b ）上每一点都收敛。

也就是说，对每个x ∈（a ，b ），当n 趋于∞时，函数列(){}n f x 有一个确定的变化趋势。

用“ε-N ”语言来描述：对于每个x ，∀正数ε,∃N (正数),尽管对于不同的x,找到的N 不一样,即N 与x 有关。

而讲函数列(){}n f x 在（a ，b ）上一致收敛，不仅要求对于每个 x ∈（a ，b ），函数值要有一个确定的变化趋势，还进一步要求它在区间上的所有点有均匀的收敛速度。

也就是说，要求存在一个与x 无关的自然数N ，使得对区间（a ，b ）内任何一个x ，它都满足收敛的条件。

这样的N 不是所有收敛的函数列都存在的，如果对于每个x ∈（a ，b ），找到的N （x ）有一个正的上界，即().sup x a b ∈N （x ）存在，那么取0N 大于().sup x a b ∈N （x ），就可以断定函数列是一致收敛了。

和一致连续与连续的关系相同，一致收敛的概念是比收敛的概念更强，它反映了函数列(或函数级数)的整体特性，而收敛概念只反映函数列的局部特性。

4.导数概念导数概念主要包括一元函数的导数（即微商）与多元函数的偏导数和方向导数，其中最重要的是一元函数的导数概念，它是微积分的核心概念。

函数在区间上的导数是用它在区间上的每一点的导数定义的，而函数在一点的导数是用函数在这一点的平均变化率的极限定义的。

即若极限()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆存在，称函数f(x)在x 点可导，其极限值记为f '（x ），它表示函数在x 点的变化率。

在几何上，f '（x ）表示曲线在点（x ，f(x)）处的切线的斜率。

多元函数y=f(x)在一点x ∈X ⊂R m 上的偏导数是指函数在这一点沿某个坐标轴方向变化的变化率。

在一元函数中，单侧导数是用平均变化率的单侧极限定义的。

即00lim x ∆→±()()f x x f x x +∆-∆=f '±(x)称为函数在x 点的右左导数。

要注意，函数在一点的右（左）导数f '±(x)同导函数在一点的右（左）极限f '（x ±0）是不同的两个概念。