Rudin数学分析原理第一章答案
数学分析上册课后习题答案(叶淼林)
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目录-----------------------------------------------------------------第一章.....................3第七章 (106)1.1......................37.1. (106)1.2......................47.2. (114)1.3......................67.3. (124)1.4......................10第八章 (128)1.5......................148.1. (128)1.6......................168.2. (131)第二章.....................19第九章.. (133)2.1......................199.1 (133)2.2......................229.2 (135)2.3......................32第十章.. (138)2.4 (35)2.5 (39)2.6 (43)第三章 (49)3.1 (49)3.2 (52)3.3 (57)3.4 (61)第四章 (65)4.1 (65)4.2 (69)4.3 (71)4.4 (73)4.5 (78)4.6 (81)第五章 (84)5.1 (84)5.2 (86)5.3 (93)第六章 (98)6.2 (98)6.3 (100)6.4 (101)6.5 (103)第一章§1.11、（1）实数和数轴是一一对应的关系。
（2）是无限不循环小数，是无理数。
（3）两个无理数之和还是无理数，一个有理数与一个无理数之和是无理数，当有理数不为零时，一个有理数与一个无理数的乘积是无理数。
Rudin和他的《数学分析原理》
Rudin 和他的《数学分析原理》卢丁 (Walter Rudin) 1921年5月2日出生在维也纳的一个犹太家庭里。
早年的卢丁有些不幸。
1938年德奥合并时全家逃到法国，1940年法国投降时，卢丁又逃到了英国。
在英国，他加入了皇家海军，直到二战结束。
战后，他到了美国。
1945年秋季到杜克大学攻读博士学位，1949年6月获得了博士学位 (本书背面的介绍说1953年是不对的)。
然后他在麻省理工学院、罗切斯特大学任师数年，这本《数学分析原理》就是他在麻省理工学院教书时写的。
当时他获得博士学位才两年。
以后他转到威斯康辛大学的迈迪森分校任教授，直至退休。
在杜克，他与另一位数学家玛丽·艾伦 (Mary Ellen Estill)相遇，1953年结婚，现在他们一起居住在迈迪森。
卢丁一共写过七本书：著名的分析学三部曲《数学分析原理》、《实分析与复分析》、《泛函分析》以及《群上的傅里叶分析》、《多圆盘上函数论》、《单位球C n上的函数论》和自传《我记忆中的路》(The Way I Remember It)。
其中，《数学分析原理》和《实分析和复分析》常常分别被数学学生们称作“小卢丁” (Baby Rudin) 和“大卢丁” (Big Rudin)。
而被称为“小卢丁” 的那本就是我要介绍的《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis) 。
卢丁的《数学分析原理》是古典分析的经典教科书，在美国很受欢迎。
即使象陶哲轩(Terence Tao) 那样的著名教授，已经写了自己的《陶哲轩实分析》，也仍然使用这本书作为教材。
它恐怕是数学教材中被引用最多的教材了。
美国的数学系教程设计与中国有些不同。
美国的理工科大学生在入学后不管是哪个系的都统统学微积分课。
这样做对数学系学生的好处是，第一，数学系学生可以更多地接触到应该得到的感性认识和大量的广泛的应用；第二，万一发现自己不适合留在数学系的话，可以立即转系而不会有什么不适应 (同样，其他系的学生转到数学系也相对容易)。
书名：数学分析原理(英文版,第 版)
书评书名：数学分析原理（英文版，第3版）Principles of Mathematical Analysis （Third Edition）作者：（美）Walter Rudin出版商：机械工业出版社 2004作者介绍Walter Rudin，1921年出生于奥地利维也纳的一个富裕的犹太人家庭，1938年因祖国被纳粹德国占领而逃离奥地利，二次大战期间曾经服役于英国海军，二次大战结束后于1945年移民美国。
1953年Walter Rudin于杜克大学获得数学博士学位，然后在麻省理工学院、罗切斯特大学、耶鲁大学等学校任教。
从1959年起在威斯康星大学麦迪逊分校数学系任教。
他的主要研究领域为调和分析、算子理论和复变函数，是这些研究领域的国际著名学者。
Walter Rudin在麻省理工学院执教期间，写了这本著名的教科书“数学分析原理”作为大学生分析课程的教材，第一版于1953年出版，第二版与第三版分别于1964年与1976年出版。
除“数学分析原理”外，他还著有另外两本名著：“实复分析”（Real and Complex Analysis，1966）和“泛函分析”（Functional Analysis，1973），这些教材已被翻译成13种语言，在世界各地广泛使用。
以“数学分析原理”这本书作为教材的名校有加利福尼亚大学伯克利分校、哈佛大学、麻省理工学院等。
Walter Rudin在威斯康星大学麦迪逊分校数学系任教了32年，于1991年退休。
退休后他写了一部自传小说“我的回忆”（The way I remember it），在书中他描述了他的早年生活、骚乱的战争年代、以及他的数学生涯。
但是Walter Rudin作为数学家而闻名于世的还是这本著名的教科书“数学分析原理”，它被数学界亲切地称为“小鲁丁”（Baby Rudin），而另一本名著“实复分析”则被称为“大鲁丁”（Big Rudin）。
正因为写了这两本数学名著，Walter Rudin 于1993年荣获美国数学会颁发的Leroy P. Steele奖。
【精品】数学分析第一章习题分析.docx
第沖实数集与函敷 (1)第一节实数 (2)第二节效集僅界原理 (7)第三节fiftO (10)第四节具有某些特性的阪数 (17)总练习題答案 (22)第二章财极限 (26)第一节数列极限徵公 (27)第二节收敛数列的性质 (33)第三节数刘极限存在的条件 (39)总终习願唇* (44)第三章甬数极限 ........................................... ：・ .. (49)第一节面数极限低念 (50)第二节函数极限的性质 (55)第三节函数极限存在的条件 (60)第四节两个重要的极限 (64)第五卡无穷小董与无穷大R (69)总竦习題答案 (74)第酵献的连鸵 (79)第一节连续性豪念 (80)第二节连縊船性质 (86)第三节初等甬数的连线性 ............ : . (93)总绦习題菩案 (95)第五章导数和微分 (99)第一节导数的柢念 (100)第二节求导法H (107)一-唏三节滲变静数的导数 (114)第四节酗导数 ...................................................... ・“・117第五节» 分 (123)总练习题答案 (127)第六章微分中龊理及其觎 (130)第一节拉格朗日定理m的单调性 .......................................... BI第二节柯西中值定理和不定式极限 (140)s s223背F玄山鳥谡央」 225濟山M耳曲漱丰229s233s•册曲M#J r(涯) 242s s s殆2…••：254盂雷養監258259s^ss s s264誥**B i盂盅査穿268普令鉴雷畫抽273s 277•1s s§282T M283漓I*s s285s292s298誥H 書養 H93156羽W H阿涔30矗M g渐 -63S 169•s s ^§175176矗蛙益兽 -82节*笛料莽霞專常雷 183删I I*188 •ss ^l 189194孟盂睪 196节H 盂睾期盥聲睾賈 197n*W蛰®盥盂睾琳22金：2一22一8尹M册曲R222第一章实数集与函数本章大纲要求1 •掌握实数的概念及其性质2 •理解数集与邻域的概念，掌握有界集及确界的定义和确界原理3 •理解函数的概念，掌握函数的表示法及其有界性、单调性、周期性和奇偶性4 •掌握基本初等函数的性质和图形，理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念实数及其性质 买外绝对值与不等式有界性 单调性奇函数和偶函数 ［周期函数本章知识结构实数、数集与确界原理j 数集与确界原現 实 数 集 写 函 数［区间与邻域的概念与性质 （有界集确界原理〈确界、确界原理函数的定义及表示法函数的四则运算 函数概念复合函数反函数 初等函数数学分析同步捕导（上册）第一节实数一.基本内容SU — 2二、重点难点第一节实数及绝对值的相关概念及性质我们在屮学阶段均已接触过，只是那时尚未对一些性质做进一步讨论，如实数的阿基米德性及稠密性等，在本节的学习中我们应着重注意对学过的知识的系统归纳和总结，从更新的高度理解实数.三、典型例题分析例1.证明:对任意x e R,存在唯一的整数，记为［幻•使得［门<J<M+ I.这里称［刃为工的整数部分.证明先证存在性：若0 < I 时，则取［疋］=0,有［x］ < x < ［J］ +1.若h根据实数的阿基米德性质，存在正整数N■使得工< N,令E = | j<n,n为正整数”则E工0,因为N€ E，因此％= minE存在11有％—1丢工<心・令［x］= no-l,则［刃< X R］ +1・若X 0,则一工〉0,由上面所证，存在正整数［一/］使得［一刃〈一工 < ［一刃+ 1所以一(［—刃 +1)< x <一［—龙］当工=一［一幻时，一［一刃W工 <-［—工］+1.令［工］=—［-工］•则［x］ < X < ［刃 + 1当X <—［一王］时•则一［―工］—1 <工 <—［一攵］・令［工］=—［一文］一1 ,则［x］ < J < ［z］ +1综上,存在性成立.再证唯一性；设都为整数且"<x<n + l,w^x<m + l,那么—(?n + 1) <—x m由此得••n—(m + l)<0<M+l — Z/1 即”一加一1 < 0 < 九一m + 1U学分析15步■粤(上SB)得—1 < m — n < 1由此得加一刃=0,即加=几例2•试在数轴上表示出下列不等式的解；(1)|| 工+ 1 Hz-1 ||<1；⑵|卄2 |+|x-2|<12解(1)先对不等式两端平方并化筒得x2+y <1 J2 -1 I即疋一】>++* 或J2 - 1 <~ (J2 4-1-)显热前者不可能•故解得1 . . 1"7<J<2如图】一1・图1-1(2)令工一2 =蓟则得H + 4I+UK12 或"+ 4|<12-两边平方,化简得再对上式两端平方得/+竝一32£0于是一8©〈4即—6 £工g 6・如图1 一2・—4—I—>—•_・ 6-3036 x0B1-2例3・设实数“6满足丨a|<l,|i|<l.证明不等式第一章实槪靈与函槪乞+01 + ab证明要证明的不等式等价于即同时有一盂〉°与】+応〉。
Rudin数学分析原理
Rudin数学分析原理《数学分析原理》是Walter Rudin所著的一本经典数学教材，被广泛用于大学本科生的数学分析课程。
以下是该教材的详细内容概述：第一章：实数系统1.1 实数的定义1.2 有序集和上确界性质1.3 数列的极限第二章：基本拓扑结构2.1 开集和闭集2.2 有界集和紧集2.3 连通集和分离集第三章：数列和级数3.1 数列的收敛性3.2 数列的子列和上极限、下极限3.3 级数的收敛性和绝对收敛性第四章：连续函数4.1 连续函数的定义4.2 连续函数的性质4.3 一致连续函数和Lipschitz函数第五章：微分学5.1 导数的定义5.2 导数的基本性质5.3 高阶导数和泰勒展开5.4 中值定理和洛必达法则第六章：积分学6.1 黎曼积分的定义6.2 黎曼积分的基本性质6.3 黎曼积分的换元法和分部积分法6.4 黎曼积分的收敛性和绝对收敛性第七章：级数和累积点7.1 级数的收敛性和绝对收敛性7.2 累积点的定义和性质7.3 紧致性和列紧致性第八章：一元函数的连续性和微分性8.1 连续函数的性质8.2 一元函数的微分性质第九章：曲线积分学9.1 曲线积分的定义和性质9.2 曲线积分的计算方法第十章：多元函数的微分学10.1 多元函数的偏导数和全微分10.2 多元函数的链式法则10.3 多元函数的隐函数定理第十一章：多重积分学11.1 二重积分的定义和性质11.2 二重积分的计算方法11.3 三重积分的定义和性质11.4 三重积分的计算方法第十二章：曲面积分学12.1 曲面积分的定义和性质12.2 曲面积分的计算方法第十三章：向量分析13.1 向量场的概念和性质13.2 向量场的散度和旋度13.3 向量场的格林定理和斯托克斯定理以上是《数学分析原理》的主要内容，该教材涵盖了实数系统、拓扑结构、数列和级数、连续函数、微分学、积分学、级数和累积点、一元函数的连续性和微分性、曲线积分学、多元函数的微分学、多重积分学、曲面积分学以及向量分析等数学分析的基本概念、定理和方法。
数学分析原理答案
数学分析原理答案数学分析原理答案【篇一：数学分析教材和参考书】：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,asf播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
实复分析rudin 习题解答1
then it is clear that F1 = 1, F2 = 1, and Fn+1 = Fn + Fn−1 for n > 1. So, Fn = xn for all n. Remark: The study of the Fibonacci numbers is important; the reader can see the book, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications by Koshy and Thomas.
Then S = N. Proof : (A ⇒ B ): If S = N, then N − S = φ. So, by (A), there exists the smallest integer w such that w ∈ N − S. Note that w > 1 by (1), so we consider w − 1 as follows. Since w − 1 ∈ / N − S, we know that w − 1 ∈ S. By (2), we know that w ∈ S which contadicts to w ∈ N − S. Hence, S = N. (B ⇒ C ): It is obvious. (C ⇒ A): We have proved it by this exercise.
p
1.3 If 2
n
Proof : If n is not a prime, then say n = ab, where a > 1 and b > 1. So, we have
b−1
2ab − 1 = (2a − 1)
k=0
数学分析原理部分参考答案
chapter one
3. Prove that if f is a real function on a measurable space X such that
{x : f (x) ≥ r} is measurable for every rational r, then f is measurable.
{x : f (x) < g(x)}, {f (x) = g(x)}
are measurable. (b)Prove that the set of points at which a sequence of measurable real-
valued functions converges (to a finite limit) is measurable.
on X for n = 1, 2, 3, · · ·. Moreover, gn(x) → f1(x) − f (x) as n → ∞, for every
x ∈ X. By the Lebesgue’s monotone convergence theorem, we have
lim gndµ = (f1 − f )dµ.
the word ”nonnegative” is omitted? Is the truth of the statements affected if
R1 is replaced by a general topological space?
[proof]: (a) Because for every real number α,
inf (ak) ≤ inf bk, n = 1, 2, · · · .
k≥n
k≥n
数学分析原理答案
数学分析原理答案【篇一：数学分析教材和参考书】：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,asf播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
代数学引论答案(第一章)
1.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.证明: [方法1] 对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G为交换群.2.证明:群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射.证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射.由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为,并且群G为一个交换群,可得.因此有.综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射.(Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群.若映射是一同构映射,则对任意有,另一方面，由逆元的性质可知.因此对任意有,即映射是一同构映射,则群G为一个交换群.3.设n为一个正整数, nZ为正整数加法群Z的一个子群，证明nZ与Z同构.证明:我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.4.证明:在S4中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构.证明:可记a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下：由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭，并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S4的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群.假设B与U4同构,并设f为B到U4的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U4不同构.[讨论] B与U4都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.5. 证明:如果在一阶为2n 的群中有一n 阶子群，它一定是正规子群.证明:[方法1]设H 是2n 阶群G 的n 阶子群, 那么对任意a H, 有H aH=,并且aH G,H G,又注意到aH 和H 中都有n 个元素, 故此H aH=G.同理可证对任意a H, 有H Ha=, H Ha=G ，因此对任意a H ，有aH=Ha.对任意a H, 显然aH H, Ha H 又因aH,Ha 及H 中都有n 个元素，故aH=Ha=H.综上可知对任意a G,有aH=Ha ，因此H 是G 的正规子群.[方法2] 设H 是2n 阶群G 的n 阶子群,那么任取a H, h H, 显然有aha -1H.对给定的x H, 有H xH=, H xH=G.这是因为若假设y H xH, 则存在h H ，使得y=xh,即x=yh -1H 产生矛盾,因此H xH=;另一方面, xH G,H G, 又注意到xH 和H 中都有n 个元素, 故此H xH=G.那么任取a H,由上面的分析可知a xH, 从而可令a=xh 1这里h 1H.假设存在h H, 使得aha -1H,则必有aha -1xH,从而可令aha -1=xh2，这里h 2H.那么，xh 1ha -1=xh 2,即a= h 2h 1h H,产生矛盾.因此，任取a H, h H, 有aha -1H.综上可知对任取a G, h H, 有aha -1H,因此H 为G 的一个正规子群.6. 设群G 的阶为一偶数,证明G 中必有一元素a e 适合a 2=e.证明: 设b G ，且阶数大于2，那么b≠b -1,而b -1的阶数与b 的阶数相等.换句话说G 中阶数大于2的元素成对出现，幺元e 的阶数为1，注意到G 的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，(切确的说阶数为2的元素有奇数个).[讨论][1] 设G 是一2n 阶交换群，n 为奇数则G 中只有一个2阶元.为什么？提示：采用反证法，并注意用Lagrange 定理.[2] 群G 中，任取a G ，有a n =e ，那么G 一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和n 有什么关系？7. 设H ，K 为群G 的子群，HK 为G 的一子群当且仅当HK=KH.证明：(Ⅰ)设HK=KH ，下面证明HK 为G 的一子群.任取a,b ∈HK,可令a=h 1k 1，b=h 2k 2这里h i ∈H ，k i ∈K ，i=1,2. 那么ab=(h 1k 1)(h 2k 2)=h 1(k 1h 2)k 2 ---------------(1)因HK=KH ，故此k 1h 2= h 3k 3 ----------------------(2)。
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The Real and Complex Number
Systems
Written by Men-Gen Tsai
email:b89902089@.tw 1.
2.
3.
4.
5.
6.Fix b>1.
(a)If m,n,p,q are integers,n>0,q>0,and r=m/n=p/q,prove
that
(b m)1/n=(b p)1/q.
Hence it makes sense to define b r=(b m)1/n.
(b)Prove that b r+s=b r b s if r and s are rational.
(c)If x is real,define B(x)to be the set of all numbers b t,where t is
rational and t≤x.Prove that
b r=sup B(r)
where r is rational.Hence it makes sense to define
b x=sup B(x)
for every real x.
(d)Prove that b x+y=b x b y for all real x and y.
1
Proof:For(a):mq=np since m/n=p/q.Thus b mq=b np. By Theorem1.21we know that(b mq)1/(mn)=(b np)1/(mn),that is, (b m)1/n=(b p)1/q,that is,b r is well-defined.
For(b):Let r=m/n and s=p/q where m,n,p,q are integers,and n>0,q>0.Hence(b r+s)nq=(b m/n+p/q)nq=(b(mq+np)/(nq))nq= b mq+np=b mq b np=(b m/n)nq(b p/q)nq=(b m/n b p/q)nq.By Theorem1.21 we know that((b r+s)nq)1/(nq)=((b m/n b p/q)nq)1/(nq),that is b r+s= b m/n b p/q=b r b s.
For(c):Note that b r∈B(r).For all b t∈B(r)where t is rational and t≤r.Hence,b r=b t b r−t≥b t1r−t since b>1and r−t≥0.Hence b r is an upper bound of B(r).Hence b r=sup B(r).
For(d):b x b y=sup B(x)sup B(y)≥b t x b t y=b t x+t y for all rational t x≤x and t y≤y.Note that t x+t y≤x+y and t x+t y is rational. Therefore,sup B(x)sup B(y)is a upper bound of B(x+y),that is, b x b y≥sup B(x+y)=b(x+y).
Conversely,we claim that b x b r=b x+r if x∈R1and r∈Q.The following is my proof.
b x+r=sup B(x+r)=sup{b s:s≤x+r,s∈Q}
=sup{b s−r b r:s−r≤x,s−r∈Q}
=b r sup{b s−r:s−r≤x,s−r∈Q}
=b r sup B(x)
=b r b x.
And we also claim that b x+y≥b x if y≥0.The following is my proof:
2
(r∈Q)
B(x)={b r:r≤x}⊂{b r:r≤x+y}=B(x+y), Therefore,sup B(x+y)≥sup B(x),that is,b x+y≥b x.
Hence,
b x+y=sup B(x+y)
=sup{b r:r≤x+y,r∈Q}
=sup{b s b r−s:r≤x+y,s≤x,r∈Q,s∈Q}
≥sup{sup B(x)b r−s:r≤x+y,s≤x,r∈Q,s∈Q}
=sup B(x)sup{b r−s:r≤x+y,s≤x,r∈Q,s∈Q}
=sup B(x)sup{b r−s:r−s≤x+y−s,s≤x,r−s∈Q}
=sup B(x)sup B(x+y−s)
≥sup B(x)sup B(y)
=b x b y
Therefore,b x+y=b x b y.
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