实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nn f x fx ∞==∑是[0,1]上的Lebesgue可积函数。

（×）2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nn f x fx ∞==∑是[0,1]上的Lebesgue可测函数。

（√）3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞=⎰⎰。

（×）4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}()k n f x ，使得，[0,1][0,1]lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞→∞<⎰⎰。

（×，比如{}()n f x 为单调递增时，由Levi 定理，这样的子列一定不存在。

） 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}()k n f x ，使得，[0,1][0,1]lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞→∞=⎰⎰。

（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。

） 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞≤⎰⎰。

（√）7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞≥⎰⎰。

（×）8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数，则()f x 必为[0,1]上的可测函数。

（√，Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系）9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在，则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。

（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数0n >，()f x 在[0,]n 上黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1[0,)[0,]n n ∞=+∞=上的可测函数）10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在[0,1]上的下方图形，()lim ()n nf x f x =，则()[0,1],n G f 单调递增，且()()()1lim [0,1],[0,1],[0,1],n nnn G f G fG f ¥===U ，()()[0,1],lim [0,1],n nmG f mG f =。

（√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。

）二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） （自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）1、单调收敛定理（即Levi 定理）2、Fatou 引理（法都引理）3、非负可测函数的Fubini 定理和Lebesgue 可积函数的Fubini 定理4、Lebesgue 控制收敛定理（两个）5、Lebesgue 基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理）6、积分的绝对连续性三、计算题（请完整写出计算过程和结果）1、设0D 为[0,]π中的零测集，30sin ,(),x x x D f x e x D ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ ，求[0,]()d f x x π⎰。

解：由题设()sin f x x =，..a e 于[0,]π，而sin x 在[0,]π上连续，于是由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得[0,][0,]()d sin d ()sin (cos )2f x x x x R xdx x ππππ===-=⎰⎰⎰。

2、设Q 为[0,+)∞中有理数全体，23sin ,[0,)\(),x x xxe x Q f x ex Q-⎧∈+∞⎪=⎨∈⎪⎩ ，求[0.)()d f x x +∞⎰。

解：因为Q 为可数集，所以0mQ =，从而2()x f x xe -=，..a e 于[0,)+∞，而2x xe-在[0,)+∞上非负连续，且22011()()d ()d 22x xR f x x R xe x e +∞+∞--+∞==-=⎰⎰， 所以由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得222[0.)[0.)11()d d ()d 22x x x f x x xex R xex e+∞---+∞+∞+∞===-=⎰⎰⎰。

3、设P 为[0,1]上的Cantor 三分集，2,[0,)\()sin(),x x xe x Pf x e x P-⎧∈+∞⎪=⎨∈⎪⎩ ，求[0.)()d f x x +∞⎰。

解：因为0mP =，所以2()x f x xe -=，..a e 于[0,)+∞，而2x xe -在[0,)+∞上非负连续，且22011()()d ()d 22x xR f x x R xe x e +∞+∞--+∞==-=⎰⎰， 所以由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得222[0.)[0.)11()d d ()d 22x x xf x x xe x R xe x e +∞---+∞+∞+∞===-=⎰⎰⎰。

4、计算20lim(1)d nn x n x e x n-→∞+⎰。

解： 令2[0,]()(1)()n xn n x f x e x nχ-=+，易见()n f x 在[0,)+∞非负可测，且()n f x 单调上升lim ()xn n f x e-→∞=，故由单调收敛定理200lim (1)d d 1n x x n xe x e x n+∞+∞--→∞+==⎰⎰。

5、积分计算（1）设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E =⨯上函数f 定义如下：1,,(,)sin ,.xyx y f x y x y e x y +∉⎧=⎨++∈⎩求 ()d Ef z z ⎰。

（2）设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E =⨯上函数f 定义如下：sin ,(,),(,)ln(1||),(,).xx y x y f x y e xy x y ∉⨯⎧=⎨++∈⨯⎩ 求 ()d Ef z z ⎰。

解：（1）记12{,,}r r =，令{(,):}k k A x y E x y r =?=，则()0,k m A =故10,k k m A ¥=骣÷ç=÷ç÷桫U 从而(,)1f x y =几乎处处于E 。

显然，1是E 上的连续函数，从而在E 上有界且Riemann 可积，故由Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系定理，1在E 上Lebesgue 可积且1d (R)1d d 1.EEz x y ==蝌由于(,)1f x y =几乎处处于E ，故由积分的基本性质 .(d )d 11EEf z z z ==⎰⎰（2）解：因()0,m ?い从而(,)sin f x y x y =几乎处处于E 。

显然，sin x y 是E上的连续函数，从而在E 上有界且Riemann 可积，故由Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系定理，sin x y 在E 上Lebesgue 可积且1101sin d(,)(R)sin d d d sin d (1cos1).2EEx y x y x y x y x xy y ===-蝌蝌 由于(,)sin f x y x y =几乎处处于E ，故由积分的基本性质 1s i n d (,)(1c o ()d s 1).2E Ef x y z y x z =-=⎰⎰三、证明题（请完整地写出以下命题的证明）1、用Fubini 定理证明：若(,)f x y 为2R =(,+)(,+)-∞∞⨯-∞∞上的非负可测函数，则d (,)d d (,)d x yx f x y y y f x y x +∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰。

证明：记00{(,)}{(,)}0x y D x y x y y xy x ≤<+∞≤<+∞==≤≤≤≤+∞，令(,),(,)(,)0,(,)f x y x y DF x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩，由题设易知(,)F x y 也是2R 上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini 定理2d (,)d d (,)d (,)d d x Rx f x y y x F x y y F x y x y +∞+∞+∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d yy F x y x y f x y x +∞+∞+∞+∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰。

2、设E 是R n中的可测集，若（1）1k k E E ∞==⋃，其中k E 为可测集，12E E ⊂⊂；（2）()f x ，()n f x (12)n =都是E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞= ..a e 于E ；（3）存在E 上的Lebesgue 可积函数()F x ，使得n ∀，()()n f x F x ≤ ()x E ∈。

证明：()f x 在E 上也Lebesgue 可积，且 lim()d ()d nn n E Ef x x f x x →∞=⎰⎰。

证明：记()()()n n n E f x f x x χ=⋅，由题设知lim ()()n n f x f x →∞= ..a e 于E （事实上x E ∀∈，存在0n ，当0n n ≥时，总有n x E ∈，从而()1n E x χ=，于是()()()()n n n E n f x f x x f x χ=⋅=。

）又 ()()()()()n n n E n f x f x x f x F x χ=⋅≤≤，()F x 在E 上Lebesgue 可积 所以 由Lebesgue 控制收敛定理，并注意到()()()()n nn n E n EEE f x dx f x x dx f x dx χ=⋅=⎰⎰⎰可得lim ()lim ()()nn n n n E EEf x dx f x dx f x dx →∞→∞==⎰⎰⎰。

3、设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (12)n =，()f x 都是E 上的Lebesgue 可积函数，若lim ()()n n f x f x →∞= ()x E ∈，且lim ()d ()d n n EEf x x f x x →∞=⎰⎰，证明：（1）()()()()()n n n F x f x f x f x f x =+--在E 上非负可测；（2）用Fatou 引理证明：lim()()d 0n n Ef x f x x →∞-=⎰。