实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库（4）及参考答案
实变函数试题库（4）及参考答案实变函数试题库及参考答案（4）本科⼀、填空题1.设为两个集合,则.,A B __cA B A B -I 2.设,如果满⾜(其中表⽰的导集),则是nE R ?E E E '?E 'E E 3.若开区间为直线上开集的⼀个构成区间,则满(i) (,)αβG (,)αβ）（b a ,G(ii),a G b G4.设为⽆限集.则的基数(其中表⽰⾃然数集的基数) A A __A a a N5.设为可测集, ,则.12,E E 2mE <+∞1212(\)__m E E mE mE -6.设为可测集上的可测函数列,且,则由______定理可知得,{}()n f x E ()(),n f x f x x E ∈存在的⼦列,使得.{}()n f x {}()k n f x .()()()k a en f x f x x E →∈7.设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值存在且()f x E nR ?()f x E L 在上可积.（填“⼀定”“不⼀定”）|()|f x E L 8.若是上的绝对连续函数,则是上的有 ()f x [,]a b ()f x [,]a b ⼆、选择题1．设，则（）(){},001E x x =≤≤ 是中闭集是中完备集A 1mE =B 0mE =C E 2RDE 2R 2．设，是上的可测函数，则（）()f x ()g x E 、不⼀定是可测集、是可测集A ()()E x f x g x ??≥??B ()()E x f x g x ??≠??、是不可测集、不⼀定是可测C ()()E x f x g x ??≤??D ()()E x f x g x ??=??集3．下列集合关系成⽴的是（）A 、 B 、 (\)A B B A B =U U (\)A B B A =U C 、 D 、(\)B A A A ?U \B A A4. 若是开集，则（）()nE RA 、的导集B 、的开核C 、D 、的导集E E ?E E =E E =E E=三、多项选择题（每题⾄少有两个以上的正确答案）1．设是上有界函数，且可积，则（）()f x [],a b L 在上黎曼可积在上可测A ()f x [],a bB ()f x [],a b 在上⼏乎处处连续在上不⼀定连续C ()f x [],a bD ()f x [],a b 2. 设,则(){[0,1]}E =中的⽆理点A 、是可数集 B 、是闭集 C 、中的每个点均是聚点 D 、E E E 0mE >3. 若()⾄少有⼀个内点，则（）E R ?A 、可以等于０ B 、 C 、可能是可数集 D 、不可能是可数集*m E *0m E =E E 4．设是可测集，则的特征函数是（）[,]E a b ?E ()E x χA 、上的符号函数C 、上的连续函数[,]a b E B 、上的可测函数 D 、上的连续函数[,]a b [,]a b四、判断题1. 零测集上的函数是可测函数. （）2. 可列个闭集的并集仍为闭集（）3. 任何⽆限集均含有⼀个可列⼦集（）4. 设为可测集，则⼀定存在集，使，且. （）E G σG E G ?()\0m G E =五、定义题1. 为什么说有界变差函数⼏乎处处可微？2. 简述⽆穷多个开集的交集是否必为开集？3. 可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？E 4. 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？[],a b 六、计算题7. 设，为康托集，求.()[]3sin 0,1\xx Pf x x x P ?∈?=?∈??P ()[]0,1f x dx ?8. 求.()()0,ln limcos xn n x n e xdx n -→∞+?七、证明题1．设是上⼏乎处处有限的可测函数，且，(),(),(),()n n f x g x f x g x E ()()n f x f x ?，则()()n g x g x ?()()()() n n f x g x f x g x +?+2．设是上在上也是可积的(),()f x g x E L -E L -3．设是可测集上的⾮负可测函数，如果，则于()f x E ()0Ef x dx =?()0.f x a e =E4．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =U I实变函数试题库及参考答案（4）本科⼀、填空题1.等于2.闭集.3.4.5.6.黎斯7.不⼀定不⼀定8.界变差函数.(a,b)G ?≥≥2、单选题1.B 2.B 3.A 4.B3、多选题1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC四、判断题√×√√五、定义题1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表⽰成两个单调增函数的差，⽽单调函数⼏乎处处可微，所以有界变差函数⼏乎处处可微.2.答：不⼀定，如[]1111,11,1n n n +∞=??---+=- ??I 3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不⼀定是简单函数，可测函数⼀定可表⽰成简单函数列的极限形式.4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不⼀定为单调函数，有界变差函数可表⽰成单调函数之差.六、解答题1.解：因为，所以于0mP =(),.f x x a e =[]0,1于是⽽在上连续，所以()[][]0,10,1f x dx xdx =??x []0,1 因此.[]()2121000,11|22x xdx R x dx ===??()[]0,112f x dx =2.解：令()()()()0,ln cos xn n x n f x x e x nχ-+=显然在上可测，且()n f x ()0,+∞()()()()0,0,ln cos xn n x n e xdx f x dx n -+∞+=??因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n-++≤≤?∈+∞=L 不难验证，当⾜够⼤时，是单调递减⾮负函数，且()()ln n x n g x n+=n ，所以()lim 0n n g x →∞=()()()()()()0,0,0,ln lim lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==() 0,00dx +∞==?由勒贝格控制收敛定理 ()()0,limn n f x dx →∞+∞=?故.()()0,ln limcos 0xn n x n e xdx n -→∞+=?七、证明题1.证明对任何正数，由于0σ>|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+- 所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|[|()()|22n n E x f x f x E x g x g x σσ-≥-≥U 于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|][|()()|]22n n mE x f x f x mE x g x g x σσ≤-≥+-≥0()n →→∞ 故()()()()n n f x g x f x g x +?+2.证明因是上可积，所以在上可积，从⽽(),()f x g x E L -|()|,|()|f x g x E L -可积，|()||()|f x g x +L -|()||()|f x g x ≤=+在上可积E L -3.证明反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，[|()0]A E x f x =>()f x A 0mA =若不然，则0 mA >由于，所以存在，使11[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞==>=≥U 1N ≥1[|()]0mE x f x d N≥=> 于是11[|()[|()]111()()[|()0EE x f x E x f x NNd f x dx f x dx dx mE x f x N N N N≥≥≥≥=≥=>?因此，⽭盾，故于()0Ef x dx >?()0.f x a e =E4.证明\()()()()()(\)(\)c c c c cA B C A B C A B C A B A C A B A C ====U I U I I I I I I。
实变函数本科试题及答案
实变函数本科试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 实数集R上的开区间(a, b)是一个开集，这是因为它满足：A. 任意点的邻域性质B. 包含所有有理数C. 包含所有整数D. 包含所有实数答案：A2. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 空集B. (0, 1)C. 整数集ZD. 实数集R本身答案：C3. 一个函数在某点连续的充要条件是：A. 在该点导数存在B. 该点的左极限等于右极限C. 在该点的极限存在且等于函数值D. 在该点的振幅为零答案：C4. Lebesgue可测集的定义是基于：A. 开区间B. 闭区间C. 开集D. 半开半闭区间答案：A5. 如果一个实值函数在区间[a, b]上单调增加且有界，则根据Weierstrass定理，该函数必定：A. 有最大值和最小值B. 仅在有限点处不连续C. 仅在至多可数点处不连续D. 在区间[a, b]上连续答案：A6. 一个函数在某点的导数为0，这意味着该点是函数的：A. 驻点B. 极值点C. 拐点D. 渐近点答案：A7. 集合的外测度是：A. 集合所有开覆盖的体积的上确界B. 集合所有闭覆盖的体积的下确界C. 集合所有开覆盖的体积的下确界D. 集合所有闭覆盖的体积的上确界答案：A8. 如果一个函数在区间[a, b]上可积，则它的积分值：A. 必须为正B. 必须为负C. 可以是任意实数D. 必须为零答案：C9. 一个函数在某区间上一致连续的定义是：A. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值有界B. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值无界C. 函数在该区间的任意子区间上连续D. 函数在该区间的端点处的极限存在答案：A10. 根据Riemann积分的定义，如果一个函数在区间[a, b]上的积分存在，则：A. 该函数在该区间上必定连续B. 该函数在该区间上必定有界C. 该函数在该区间上必定单调增加D. 该函数在该区间上必定一致连续答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果函数f(x)在点x=c处的左极限为L，则记为______。
实变函数第四章答案
实变函数第四章▉▉第4章 Lebesgue （习题及参考解答）E E A 1．设是)(x f 上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有()0Af x dx =∫，试证：=0，)(x f ].[.E e a }1)(|{}0)(|{1kx f x E x f x E k ≥=≠∞=∪k ∀∈ 证明 因为，，而}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E −≤≥=∪，由已知，有111{||()|}{|()}{|()}()()()E x f x E x f x E x f x kkkf x dx f x dx f x dx ≥≥≤−=+∫∫∫000=+=.又因为11{|(){|()}1110(){|()}E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k≥≥0=≥=≥∫∫≥ 并且11{|()}{|()1110(){|()E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k ≥−≥−⎛⎞=≤−−≤⎜⎟⎝⎠∫∫}0−≤ 所以，0}1)(|{}1)(|{=−≤=≥kx f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=−≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE因此，11{|()0}[{|()|}k mE x f x m E x f x k∞=≠=≥∪111{|()|}00k k mE x f x k ∞∞==≤≥==∑∑0)(=x f .从而，，.].[.E e a2. 设，f g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数，都有a })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥)()(x g x f =，试证：，从而，()Ef x dx =∫()Eg x dx ∫.证明 我们证与f g 是同一个简单函数序列的极限函数. ∞=1){m m ψ对于及，令m ∀∈ 12,,1,0−=mm k }21)(2|{,m m k m k x f k x E E +≤≤= })(|{2,m x f x E E mm m ≥=并且再令，则是互不相交的可测集，并且. 定义简单函数k m E ,k m m k E E m ,21==∪∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. E x ∈)()(lim x f x m m =∞→ψ.下面证明：，m ∀∈ m m m E x 2,0∈E x ∈∀0+∞=)(0x f , 若. 事实上，，则，有)()(0∞→∞→=m m x m ψ)()(lim 00x f x m n =∞→ψ. 即, .所以, +∞<)(0x f 若，则可取正整数，当)(00x f m >0m m ≥∀时, 有}21)(2|{})(0|{1210mm m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈−=∪ 故，存在使得)120(−≤≤mm k k }21)(2|{0mm k x f k x E x +<≤∈ mm k x f k 21)(20+<≤. 因此, 即，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ. 故000|()()|()()m m 0f x x f x x ψψ−=− 011()02222m m m m k k k f x +−<−=→=)()(lim 00x f x m n =∞→ψ.从而，实变函数第四章▉▉同理，对m ∀∈ ，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，. 12,,1,0−=mm k 并且.})(|{*,m x g x E E k m ≥=E x ∈)()(lim 0x g x m n =∞→ψ.，同上一样，我们可以证明：因，有a ∀∈ })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，则，a ∀∈ })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，，有)120(−≤≤∀m m k k,1{|()}22m k m mk k mE mE x f x +=≤< *,1{|()}22m k m m k k mE x g x mE +=≤<=并且.即，，mm m m m m mEm x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=N m ∈∀=)(x m ψ)(x m ϕ.)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.因此，⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(3. 若，计算.∫1,0[)(dx x f x x E |]1,0[{0∈=01]1,0[E E −=为有理数}，解 设，则∫]1,0[)(dx x f +=∫∫1)()(]1,0[E dx x f dx x f∫∫∫+==0111E EE dx xdx xdx x10E E E ==+∫∫∫ 2]2[11101]1,0[====∫∫x dx xdx x .4. 设是中n 个可测集，若内每一点至少属于个集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于n 1,,n E E ]1,0[]1,0[nq 1,,q n E E . 证明 令，其中：∑==ni E x x f i1)()(χi E χ为上的特征函数并且，有i E ]1,0[∈∀x q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ所以，. 又因为q qdx dx x f =≥∫∫]1,0]1,0[)(1[0,1][0,1]()()inE i q f x dx x χ=≤=∑∫∫dx1n.1110,1()()i i nnnE E i i i i E i x dx x dx mE χχ=======∑∑∑∑∫∫nqmE i <，则 如果每个∑∑===⋅=>ni n i i q nq n n qmE 11nqmE i ≥这与矛盾. 从而，存在∑=≤ni i mE q 1(1)i i n ≤≤. 使得5. 设与都是f g E 上的可积函数，试证明：22g f +E 也是上可积函数.E 证明：（1）先证：设与都是)(x f )(xF 0()f x ≤上的可测函数并且E E ()F x ≤ ，若在].[.E e a )(x F 可积，则在)(x f 可积.N m l ∈∀,)()(0x F x f ≤≤ ，故].[.E e a ，因为事实上，l l x F x f )}({)}({0≤≤.因此，+∞<≤≤≤∫∫∫EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E ∩=，}||||{∞<=x x S m . 从而，是∞=∫1})}({{l l E dx x F m实变函数第四章▉▉单调递增有上界的数列，故∫Edx x F )(∫∫∫≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因单调递增有上界，所以存在，并且∫∞=mE m dx x f 1})({∫∞→mE l dx x f )(lim∫∫∫+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(即. 所以，在+∞<≤∫dx x f E)(∫∞→∞→mE l l m dx x f )}({lim lim E )(x f 可积.E （2上可积.在E E 事实上，因为与在f g 上都可积. 所以, 与在||f ||g 上可积. 从而, +在E ||f ||g 上可积.||||f g ≤+E ，由（1）上可积.在6. 设+∞<mE ，是)(x f E 上的非负可测函数，，∞+<∫Edx x f )(})(|{k x f x E E k >=0lim =⋅∞→dx mE k k l .，试证明：k ∀∈ 证明 ，因为+∞<≤≤≤∫∫EE k dx x f dx x f kmE k)()(0所以)(0)(10∞→→≤≤∫k dx x f k mE Ek lim 0k k mE →∞=.故，又因为，由积分的绝对连续性（即，P85，定理4）, 对于∫+∞<Edx x f )(δ<mA 0>∀ε0>∃δE A ⊂,,使得对于任何可测集，恒有，∫Adx x f |)(|∫<=Adx x f ε)(.0>δN k ∈0对于，根据，存在0lim =∞→k k mE ，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤∫dx x f mE k kE k )(0.0lim =⋅∞→k k mE k .从而, +∞<mE E E 7. 设为可测集，并且，为)(x f 上的非负可测函数，，试证:在}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k E )(x f 上可积当且仅当级数收敛.∧∞=∑kk Ekm 1证明 设，k }1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ∈ )(⇒，因为在)(x f E 可积，故111()()kkk k k k EE E f x dx f x dx k dx k mE ∞∞∞====≥=∑∑∑∫∫∫⋅即，级数收敛.∑∞=∧⋅1k kEm k k ∀∈ )(⇐, 因为，则}1)(|{+<≤=k x f k x E E k k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤∫∫)1()1()(.又因并且，根据Lebesgue 基本定理，有∑∞==1)()()(k E x x f x f k χdx x x f dx x f m kE EE )()()(χ∫∫=1()()()kE k EE f x dx f x x dx χ∞==∑∫∫11()()kk k k k E f x dx kmE mE ∞∞===≤+∑∑∫+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.E 从而，在)(x f 上可积.8. 设是 上的可积函数，证明：.∫=−+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f f实变函数第四章▉▉R ′0>∀ε)(x ϕ证明 （1）先证：，使得，存在时直线上的连续函数∫<−+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于，记：N ∀∈ ⎪⎩⎪⎨⎧−<−>≤=N x f N N x f N N x f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([],[b a E x =∈，其中则0,|()|()[()](),()(),()N f x N f x f x f x N f x N f x N f x N≤⎧⎪−=−>⎨⎪+<−⎩因此，[,]|()[()]|N a b f x f x d −∫x=+dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫≤−dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫>−(||)|()[()]|N E f N f x f x d >−∫x =dx N x f N f E |)(|)|(|∫>+≤dx x f N f E |)(|)|(|∫>≤.0>∀ε0>∃δ因为在上是Lebesgue 可积的，故对于)(x f ],[b a ，，使∀δ<mA E A ⊂，恒有：Adx x f Aε<∫|)(|又因是单调的集列并且，则)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n ∩∞=1|)}(|{n f E =>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n 0)|(|=+∞=f mE .4|)(|)|(|ε<∫>dx x f N f E 0>δN ∃∈ .所以，对于，使得现在对于，取04>=NεηN x f )]([，由连续扩张定理，存在闭集F [,]a b ⊂)(x ϕ以及 上的连续函数，使得F F N x x f |)(|)]([ϕ=（A ）； NF E m 4)(ε<−（B ）；N x ≤|)(|ϕ（C ）. 因此，[,][]||[]|N N a b E Ff dx f dx ϕϕ−−=−∫∫([]||)|2()242N E Ff dx N m E F N Nεεϕ−≤+≤⋅−<⋅∫=从而，[,][,]()()||()[()]||[]()|N N a b a b f x x dx f x f x dx f x dx ϕϕ−≤−+−∫∫εεεϕ=+⋅≤−+≤∫∫>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E （2）再证：.0|)()(lim],[0=−+∫→dx x f b x f b a h 0>∀ε)(x ϕ，由（1）知，存在上的连续函数 使得对于3|)()(]1,1[εϕ<−∫+−dx x x f b a .)(x ϕ因为在上一致连续，则]1,1[+−b a )1(0<>∃δδ使得，当],[b a x ∈∀)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x −<−+εϕϕ.又因为[,]|()()|a b f x h f x dx +−≤∫[,]|()()|a b f x h x h dx ϕ+−+∫++dx x h x b a |)()(|],[∫−+ϕϕdx x f x b a |)()(|],[∫−ϕ],[b a x ∈(||1)h h δ∀<<(1,1x h a b )+∈−+，故并且对于，，有3|)()(|]1,1[εϕ<−≤∫+−dx x x f b a dx h x h x f b a |)()(|],[∫+−+ϕ所以，实变函数第四章▉▉≤−+∫dx x f h x f b a |)()(|],[[1,1]|()()|a b f x x d ϕ−+−∫xεεεε=++<333dx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[∫∫−+−+ϕϕϕ+.从而，.0|)()(|lim],[0=−+∫→dx x f h x f b a h9. 设是f E 上的非负可积函数，是任意常数，满足c ∫≤≤Edx x f c )(0试证：存在，使得.c dx x f E =∫1)(E E ⊂1证明：设常数，合于，当时，存在，使得. 不妨设.∫≤≤Edx x f c )(0∫=Edx x f c )(c ∫≤≤Edx x f c )(0c dx x f E =∫1)(E E =1我们先证：在∫−=Et t dx x f t F ∩],[)()(),0[0+∞∈∀t),0[+∞上连续，，事事实上，对于0t t >∀，因为000[,][,]0()()()()t t Et t EF t F t f x dx f x dx −−≤−=−∫∫∩∩00[,][,]()()t t Et t Ef x dx f x dx −−=+∫∫∩∩δ<mA 0>∃δE A ⊂∀由积分的绝对连续性（p.85，定理4），，有，，2)(|)(|ε<=∫∫AAdx x f dx x f .δ<−≤∀00:t t t δ<−≤−00)),([t t E t t m ∩，故故，对于，因为εεε=+=+=−≤∫∫−−22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F ∩∩.)()(lim 00t F t F t t =+→. 所以，),0[0+∞∈∀t 同理，对，用上述完全类似方法可得.故，在)()(lim 00t F t F t t =−→)(t F ),0[+∞上连续.又因为（根据p.89的定义4）, 则，使得c dx x f dx x f EEt t t >=∫∫−+∞→)()(lim],[∩00>∃t c dx x f t F Et t >=∫−∩],[0)()(.)()0(0t F c F <<.故由于在闭区间上连续，由连续函数的介值定理，∃],0[0t 1t ∈)(t F E E t t E ⊂−=∩],[1110(0,)t ，有，使得c t F dx x f dx x f Et t E ===∫∫−)()()(1],[01∩.E 10. 设是g 上的可测函数，是大于1的数，是的共轭数，即p q p 111=+qp . 如果对任意，都有)(E L f P ∈1()fg L E ∈，试证：. )(E L g q∈11． 试证：1)1(1lim),0(1=+∫+∞∞→dt tkt kk k （i ）.dx x e dx x n x x n k ∫∫+∞−+∞−∞→=−),0(),0(11(lim αα(ii) .2≥∀k 证明：（i ）时，（寻找控制函数） )10(≤<t t 时，因为当tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；而当时，1>t 112111()(1)1((1)()2!k k k kk f t t k k t t k t t k k k=≤=−+⋅+++实变函数第四章▉▉224)211(2t t =−≤令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t t t tt F 1,410,4)(2从而，),0(+∞∈∀t ，并且在)()(t F t f k ≤)(t F ),0(+∞是R-可积的，故在)(t F ),0(+∞是L-可积的. 又因为tt kk tt kk kk k k k e etkt t ktt f −∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11则由Lebesgue 控制收敛定理，∫∫∫∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t fdt t fdt tkt kk kk kk k10==∫+∞−dt e t ∫∞−=),0(dt et.(ii), 定义n ∀∈ 1(1),(0,]()0,(n n x ,)xx n f x nx n α−⎧−∈⎪=⎨⎪∈+∞⎩， 并且，1)(−−=αx ex F x),0(+∞∈x ),0(+∞∈∀x ， 则对于,有)(1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==−=−−−∞→∞→αα. N n ∈∀，.)()(1x f x f n n +≤下面证明：ttx t G )1()(−=),0(+∞∈∀x ),1[+∞∈t ，取 事实上，，令，1ln()(ln txt t G −=，则▉▉第四章习题参考解答x t xt x t x t x t txt G t G −+−=−+−=′)1ln(11)1ln()()(2. x t xt x t h −+−=′)1ln()(，又因 又记222)()()(11)(x t xx t t x x t x t x tx t h −−−=−−−=′0)()()(222<−−=−−−=x t t x x t t tx x t x .xt xt x t G t G t h −+−=′=)1ln()()()(所以，关于单调递减并且故，t 0)(lim =∞→t h t ),1[+∞∈∀t ，有. 因此，0)(>t h 0)()()(>⋅=′t h t G t G .即, 在)(t G ),1[+∞n ∀∈ 单调增加. 从而，,)1(11()1()(1+=+−<−=+n G n x n x n G n n .所以,)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +−+−=+−<−=αα.因此, ，n ∀∈ 1)()(|)(|−−=≤=αx e x F x f x f x n n ),0(+∞∈x，因为在1)(−−=αx e x F x ),0(+∞上可积，由Lebesgue 控制收敛定理，有∫∫∫+∞−−+∞∞→−∞→===−),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.+∞<mE 12. 设，试证明：在E 上当且仅当0⇒k f 0||1||lim =+∫∞→dx f f Ek k k . k ∀∈ 0>∀σ)(⇒，因为证明 ，实变函数第四章▉▉)1|(|]||1||[σσσ−≥=≥+k k k f E f f E 并且（在0⇒k f E 上），则我们有01|(|lim )||1||{lim =−≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE .0||1||⇒+k k f f E .故在上，1||1||≤+k k f f k ∀∈ +∞<mE ，由Lebesgue又因为对于，并且有界收敛定理，有00||1||lim ==+∫∫∞→E E k k k dx dx f f .0>∀σ)(⇐，因为对于(||)0(||)11kk E f EmE f dx σσσσσσ≥≤≥=++∫ ∫≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ≤)(0∞→→k . 则有0)|(|lim 10≤≥−≤∞→δσσk k f mE . 从而，0)|(|lim =≥∞→δk k f mE . 即.0⇒k f。
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、x x f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是（ ）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是（ ）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是（ ）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
华中师大《实变函数》练习题库及答案
１《实变函数》练习题库及答案一、单项选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅ B ()\A B A =∅C ()\A B B A =D ()\B A A B =2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=4．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰B ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰5．下列集合关系成立的是（ ）A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．若n R E ⊂是闭集，则（ ）A E E '=B E E '⊂C E E '⊂D 0E E =7．设E 为无理数集，则（ ）A E 为闭集B E 是不可测集C mE =+∞D 0mE = 9．下列集合关系成立的是（ ）２A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D cc c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．设n R E ⊂，则( )A E E ⊃B E E '⊂C E E '⊂DE E =11．设P 为康托集，则（ ）A P 是可数集B 0mP =C P 是不可数集D P 是开集 13．下列集合关系成立的是（ ）A 若AB ⊂则c c B A ⊂ B 若A B ⊂则c c A B ⊂C 若A B ⊂则A B B =D 若A B ⊂则A B B =14．设nR E ⊂，则（ ）A ()E E = B 0E E ⊃ C E E '⊂ D E E '⊂15．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）A 1mE =B 0mE =C E 是2R 中闭集DE 是2R 中完备集16．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）A ()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集B ()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集C ()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集D ()()E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集１7．下列集合关系成立的是（ ）（A ）(\)A B B A B = （B ）(\)A B B A = （C ）(\)B A A A ⊆ （D ）\B A A ⊆３18. 若()nE R⊆是开集，则 （ ）（A ）E 的导集E ⊆ （B ）E 的开核E = （C ）E E = （D ）E 的导集E = 19. 设P 的康托集，则（A ）P 为可数集 （B ）P 为开集 （C ）0mP = （D ）1mP =20、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数 21．下列集合关系成立的是（ ）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅ （C ）(\)B A A =∅ （D ）A B A B ⊆ 22. 若()nE R⊆是闭集，则 （ ）（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '⊆ （D ）E E '= 23. 设Q 的有理数集，则（ ）（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集24.设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()0Ef x dx =⎰，则 （ ）（A ）在E 上，()f x 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f x ≥ （C ）在E 上，()0f x ≡ （D ）在E 上，()0f x ≠ 25.二、填空题４1．设,A B 为集合，则()\A B B _A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A _B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是_集 4．有限个开集的交是_集5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E _12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ⊂ 是可数集，则*m E _07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是_函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒_ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上_11．设,A B 为集合，则()\B A A _A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-= ，则A _a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设nE ⊂ ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是_集 14．任意个开集的并是_集15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ⊂，则1mE _2mE 16．设E 中只有孤立点，则*m E _017．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测18．可测函数列的下极限也是_函数19．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒_ 20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()Ef x dx =⎰_21．设,A B 为集合，则()\A B B _B５22．设A 为有理数集，则A _a （其中a 表示自然数集N 的基数） 23．设n E ⊂ ，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是_集 24．有限个闭集的交是_集 25．设n E ⊂ ，则*m E _026．设E 是n 中的区间，则*m E _E 的体积27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测28．可测函数列的极限也是_函数29．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()n f x _()g x30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有()Ef x dx =⎰_31．设,A B 为集合，则()\B A B A _A B32．设A 为无理数集，则A _c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 33．设nE ⊂ ，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是_集 34．任意个闭集的交是_集35．设n E ⊂ ，称E 是可测集，如果nT ∀⊂ ，()**m T m T E =+ _36．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*m F _037．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x a f xb ⎡⎤≤<⎣⎦是_，（a b ≤）则称()f x 在E 上可测 38．可测函数列的上确界也是_函数39．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒_40．设()()n f x f x ⇒，那么由_定理，(){}n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于６E41.设,A B 为两个集合,则__cA B A B - .42.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是____集.43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)_______________(ii)__________.44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数). 45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >是______,则()f x 是E 上的可测函数.47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E .48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a en f x f x x E →∈.49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上____________L 可积.50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x ____[,]a b 上的有界变差函数. 51．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A52．设nE R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是_____集 53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的________区间54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数____ a (其中a 表示自然数集N 的基数) 55．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B -７56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是______57．若()E R ⊆是可数集，则__0mE58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()()a en f x f x x E →∈，则()()n f x f x ⇒ x E ∈_________59． 设()f x 为可测集()nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值_________ 60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个_______________________61.设B 是1R 中无理数集，则=B 。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ?),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-?--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ?知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由+∞<="" 4、(="" b="" m="" ma="" p="" √="" 。
从而移项可得结论。
="" 知，+∞<-+∞理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数，从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合,1,,31,21,1,0n 到集合 ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ?知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(，故mA mA A B mmB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ?Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
实变函数测试题与答案
实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。
2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射，因此它们的基数相同。
3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合，则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。
4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$，则$E$ 是闭集。
5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间，则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。
6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集，则$m(E)=b-a$。
7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。
8.XXX{R}$，$x$ 是 $E$ 的聚点，$f(x)$ 是实变函数，则存在 $\{x_n\}\subset E$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。
9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且对于任意$\sigma>0$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。
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实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - .
2.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是
3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)
）（b a ,G (ii),a G b G ∉∉
4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数)
5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -.
6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()
()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E
上L 可积.（填“一定”“不一定”）
8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有
二、选择题
1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）
A 1mE =
B 0mE =
C E 是2R 中闭集
D
E 是2R 中完备集
2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）
A 、()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集
B 、()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集
C 、()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集
D 、()()
E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集
3．下列集合关系成立的是（）
A 、(\)A
B B A B = B 、(\)A B B A =
C 、(\)B A A A ⊆
D 、\B A A ⊆
4. 若()
n E R ⊆是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ⊆ B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
1．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（ ）
A ()f x 在[],a b 上黎曼可积
B ()f x 在[],a b 上可测
C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续
D ()f x 在[],a b 上不一定连续
2. 设{[0,1]}E =中的无理点,则()
A 、E 是可数集
B 、E 是闭集
C 、E 中的每个点均是聚点
D 、0m
E >
3. 若E (R ⊆)至少有一个内点，则（）
A 、*m E 可以等于０
B 、*
0m E = C 、E 可能是可数集 D 、E 不可能是可数集
4．设[,]E a b ⊆是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（）
A 、[,]a b 上的符号函数 C 、E 上的连续函数
B 、[,]a b 上的可测函数 D 、[,]a b 上的连续函数
四、判断题
1. 零测集上的函数是可测函数. （ ）
2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）
3. 任何无限集均含有一个可列子集 （ ）
4. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ⊆，且()\0m G E =. （ ）
五、定义题
1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？
2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
3. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？
4. [],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
六、计算题
7. 设()[]3sin 0,1\x x P f x x
x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，P 为康托集，求()[]0,1f x dx ⎰.
8. 求()()
0,ln lim cos x n n x n e xdx n -→∞+⎰.
七、证明题
1．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()()()n n f x g x f x g x +⇒+
2．设(),()f x g x 是E 上L -E 上也是L -可积的
3．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果()0E f x dx =⎰，则()0
.f x a e =于E
4．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =
实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.等于
2.闭集.
3.(a,b)G ⊆
4.≥
5.≥
6.黎斯
7.不一定不一定
8.界变差函数.
二、单选题
1.B
2.B
3.A
4.B
三、多选题
1.BD
2.CD
3.BD
4.ABC
四、判断题
√×√√
五、定义题
1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.
2.答：不一定，如[]1111,11,1n n n +∞=⎛
⎫---+=- ⎪⎝⎭
3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.
4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.
六、解答题
1.解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1
于是
()[][]0,10,1f x dx xdx =⎰⎰
而x 在[]0,1上连续，所以 []()2
121000,11|22x xdx R x dx ===⎰⎰因此()[]
0,112f x dx =⎰. 2.解：令()()()()0,ln cos x n n x n f x x e x n
χ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且()()()()
0,0,ln cos x n n x n e xdx f x dx n -+∞+=⎰⎰ 因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n
-++≤≤∀∈+∞= 不难验证()()ln n x n g x n
+=，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞
=，所以
()()()()()()0,0,0,ln lim lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==⎰⎰⎰()
0,00dx +∞==⎰ 由勒贝格控制收敛定理()()0,lim 0n n f x dx →∞+∞=⎰
故()()
0,ln lim
cos 0x n n x n e xdx n -→∞+=⎰.
七、证明题
1.证明 对任何正数0σ>，由于
|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+-
所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥
[|()()|][|()()|]22n n E x f x f x E x g x g x σ
σ
⊂-≥-≥
于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥
[|()()|][|()()|]22n n mE x f x f x mE x g x g x σ
σ
≤-≥+-≥0()n →→∞
故()()()()n n f x g x f x g x +⇒+
2.证明 因(),()f x g x 是E 上L -可积，所以|()|,|()|f x g x 在E 上L -可积，从而 |()||()|f x g x +L -可积，
|()||()|f x g x =+
E 上L -可积
3.证明 反证，令[|()0]A E x f x =>，则由()f x 的可测性知，A 是可测集.下证0mA =，若不然，则0mA > 由于1
1[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞==>=≥ ，所以存在1N ≥，使 1[|()]0mE x f x d N ≥
=> 于是11[|()][|()]111()()[|()]0E E x f x E x f x N N
d f x dx f x dx dx mE x f x N N N N ≥≥≥≥=≥=>⎰⎰⎰
因此
()0E f x dx >⎰，矛盾，故()0.f x a e =于E
4.证明 \()()()()()(\)(\)c c c c c A B C A B C A B C A B A C A B A C ====。