9-有限元四面体及六面体单元[优质PPT]
有限元课件 单元分析
x x
3 6
y y
o
x
ui
三角形单元中的节点位移如下：
e
i j
m
vi
u v
j j
um
vm
建立单元内任意点的位移与节点位移的关系，单元节点位 移坐标为( xi,yi ), ( xj,yj ), ( xm,ym )
每一点的位移由下列方程给出，在 i点上 的水平位移方程为：
第四章 平面问题的有限元分析
引言
杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自然的，但对 于平面问题，待分析物体是连续的，并不存在实际结点。要将 物体“拆”成单元，必须用一些假想的线或面作人为地分割。 将物体进行分割时，必须保证相邻单元具有公共边界。假定相 邻单元仅在一些点（顶点或顶点加边中点）相连接。这些点即 为“结点”。实际计算时，可将连续体分成多种形状单元，为 讨论简单，现暂时规定只用一种单元来分割。
所以三角形单元是常应变单元。
单元的应力
根据弹性方程
D
DBe
令[S]=[D][B] [S] — 应力矩阵
把[S]矩阵分块，得
S DBi DBj DBm
其中[Si]如下
Si DBi
(i=i, j, m)
对于平面应力情况
Si
2
E
1 2
1
bi
bi
2
ci
ci
ci
根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对 于平面问题可用三角元，四边元等。 例如：
3. 选择单元的位移模式
结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来获得 单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位 移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单 元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至 于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。
有限元分析(FEA)方法PPT课件
(b)定义几何模型 应用实体建模
(c) 用P单元分网。 自适应网格对P方法是无效的
3.施加载荷、求解
应用实体模型加载，而不是有限元模型
求解：推荐采用条件共轭梯度法（PCG），但PCG对于壳体P单元无效
4.后处理 察看结果
有限元分析及应用讲义
举例： platep.dat
20 in
R=5 in
SEQV SMN=773.769 SMNB=708.94 SMX=4421 SMXB=4999
有限元分析及应用讲义
P方法及p单元的应用
P 单元的位移形函数
u=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2
v=a7+a8x+a9y+ a10x2+a11xy+a12y2
P方法的优点：
如果使用 p-方法 进行结构分析，可以依靠p单元自动调整单元多项式阶数（2-
– 导出 MeshTool 工具, 划分方式设为自由划 分.
– 推荐使用智能网格划分 进行自由网格划分, 激活它并指定一个尺寸级别. 存储数据库.
– 按 Mesh 按钮开始划分网格. 按拾取器中 [Pick All] 选择所有实体 (推荐).
– 或使用命令 VMESH,ALL 或 AMESH,ALL.
savg = 1100
s = 1000 Elem 1
s = 1100
s = 1200 Elem 2
s = 1300
(节点的 ss 是积分点 的外插）
savg = 1200
7
有限元分析及应用讲义
ANSYS网格误差估计
误差估计作用条件：
• 线性静力结构分析及线性稳态热分析 • 大多数 2-D 或 3-D 实体或壳单元 • PowerGraphics off
有限元八种三维单元介绍
有限元八种三维单元介绍有限元法被广泛应用于三维结构和材料的数值分析和设计中。
在有限元法中，三维结构或材料被划分为许多小的离散元素，称为有限元，然后对这些有限元进行数学建模和求解，以获得结构或材料的力学行为。
下面是八种常见的三维有限元单元的介绍：1. 四面体单元（Tetrahedral Element）：四面体单元是最基本的三维有限元单元之一、它由四个节点和四个三角形面组成，形状类似于一个四面体。
四面体单元简单且易于生成，适用于多种应用领域，如固体力学、热传导等。
2. 六面体单元（Hexahedral Element）：六面体单元是由八个节点和六个正方形面或长方形面组成的。
六面体单元具有较好的几何逼近能力，对于长方体型结构的分析非常有效。
在实际工程应用中，六面体单元常用于建筑结构、模具工程等领域。
3. 棱柱单元（Prism Element）：棱柱单元是由六个节点和五个四边形面组成的。
它可以看作是四面体单元和六面体单元的组合，通常用于模拟高层建筑、桥梁、矿井等结构的力学行为。
4. 改进六面体单元（Brick Element）：改进六面体单元是六面体单元的改进版，由二十个节点和十二个面组成。
改进六面体单元能够更好地逼近非六面体形状的结构，并且具有更高的计算精度。
5. 三棱柱单元（Pyramid Element）：三棱柱单元是由五个节点和五个三角形面组成的。
它常用于模拟塔楼、锥形结构等。
6. 角形单元（Wedge Element）：角形单元是由六个节点和五个三角形面、一个矩形面组成的。
角形单元适用于各种堆体力学和岩土工程中的应用。
7. 块心六面体单元（Tetrahedron with Myocardial Element）：块心六面体单元是四面体单元的进一步改进版，用于模拟心肌组织。
该单元是由十个节点和四个三角形面组成的，能够准确地捕捉心肌组织的特性。
8. 贝塞尔单元（Bézier Element）：贝塞尔单元是一种高次曲线或曲面的逼近单元。
有限元法讲稿9
1 1 x (1 ) x j (1 ) xm 2 2 1 1 y (1 ) y j (1 ) ym 2 2
消去 后，便成为以节点 j、m的坐标值（xj、yj)
b
x
ay
同样， 在整体坐标中的投影： b
面积
bx x d by y d
y y d d , y d
d 0
dxdy Aab
ax bx
x d ay x by d
y x d y x d
y d d | J | d d y
dxdy | J | d d
可以写成显式。
[k ] t
e
1
1 1
1
[ B]T [ D][B] | J | d d
• • • • • • [K]=
[Kii] [Kij] [Kim] [Kip] [Kji] [Kjj] [Kjm] [Kjp] [Kmi] [Kmj] [Kmm] [Kmp]
y N i x N y i y
; i、j、m、p J 称为雅可比距阵。 N i x N i y N i 1 J N i y 1 J x ; i、j、m、p y x
二、八节点四边形等参单元
单元型式：（增节点，提高精度） 一、插值函数 （8项，16个自由度）
u 1 2 3 4 2 5
20191214有限元讲稿第四章四面体单元rev2
由于位移模式是线性函数，因此在相邻单元边界上满足位移连续条件。
2020/5/1
6
（2）单元应变和应力
由弹性力学可知，在三维空间问题中，每个节点有六个应变与应力分量。
13
（1）单元形函数
与基本单元相对应，以点、曲线、曲面为边界的不规则形状单元称为“实际单 元”，将固定的直角坐标系称为“整体坐标系”或“基本坐标系”。实际单元定
义在整体坐标系中，如图所示。
2 y
1 x
o
一维单元
8
3
7
6
5
7 6
4 y
2z
4
3
8
5
o x1
1 xo y
2
二维单元
三维单元
2020/5/1
V 1 1 xj 6 1 xm
yj ym
zj , zm
ijm的方向转动时，右手螺旋 应向节点p的方向前进。
1 xp yp zp
2020/5/1
5
（1）位移模式
三维四面体单元节点位移分量可表示为：
u {f} v [N ] {}e[[I]N i [I]Nj [I]N m [I]N p] {}e
w
kip
kjp
kkpmpp
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9
（3）单元刚度矩阵
其中，子矩阵[krs]由下式确定：
[krs][Br]T[D][Bs]V
36(1E(1)(1)2)Vbrbsg1cgrb2s(crcgs2brdcsrds)
g1drbs g2brds
有限元八种三维单元介绍
有限元八种三维单元介绍有限元三维体单元常见单元有四面体4、10节点单元、六面体8、20、27节点单元、三棱柱6、15节点单元。
我们在2000年新问世的四面体20节点单元。
下面分别介绍如下：1 四面体4节点单元（常应变单元、一次单元），见图一。
单元内部的位移插值函数为一次多项式，即只含常数项和Z Y X ,,四项。
应变是位移的偏导数，故在单元内部，应力和应变为常数，位移和应力收敛速度都很慢，是非常落后的单元。
图一 四面体4节点单元（常应变单元）2 四面体10节点单元（二次单元），见图二。
用体积坐标定义的单元：单元内位移插值函数为二次完全多项式，即含常数项和Z Y X ,,,YZ XZ XY Z Y X ,,,,,222十项，在单元内部，应力和应变为一次完全多项式，位移收敛速度很快，但应力收敛速度仍较慢。
由于整体加密使用的节点数太多，而局部加密生成的单元奇异，刚度阵病态，故应力集中问题中很难得到精度较高的解，在不考虑应力集中、疲劳寿命的问题中，由于该单元使用节点较少、几何适应性强，被人们经常使用。
用直角坐标定义的单元：由六面体20节点单元通过节点重合退化得到。
这种单元误差较大，无法求节点应力,只能求出 GAUSS 积分点的应力值，不推荐使用。
3 四面体20节点单元（三次单元），见图三。
用体积坐标定义的单元，单元内位移插值函数为完全三次多项式，即含常数项和Z Y X ,,, YZ XZ XY Z Y X ,,,,,222，XYZ Y Z X Z Z Y X Y Z X Y X Z Y X ,,,,,,,,,222222333二十项，在单元内部，应力和应变为完全二次多项式，位移和应力收敛速度都很快，精度最高、几何适应性强，在应力集中、疲劳寿命分析问题中使用是非常有用和令人放心的单元。
4 三棱柱6节点单元（一次单元），见图四。
与四面体4 节点单元类似。
5 三棱柱15节点单元（二次单元），见图四。
与四面体10 节点单元类似。
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体
空间问题有限基本元概念分析
1. 4节点四面体单元几何和节点描述
4 节 点 四 面 体
(4-102) (4-103)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
4
该单元有4个节点，单元的节点位移有12个自由度(DOF)。因此每个方向的
节
位移场可以设定4个待定系数，根据节点个数以及确定位移模式的基本原则 （从低阶到高阶的完备性、唯一确定性），选取该单元的位移模式为
畅想网络
Imagination Network
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2.空间8节点六面体单元分析的算例
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
2.空间8节点六面体单元分析的算例
（1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
2.空间8节点六面体单元分析的算例
（1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
节
点
正
六
面
体
(4-115)
(4-116)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
8
该单元有8个节点，因此每个方向的位移场可以设定8个待定系数， 根据确定位移模式的基本原则（从低阶到高阶、唯一确定性），选
节
取该单元的位移模式为
点
正
六
(4-117)
面
体
(4-118)
空间问题有限基本元概念分析
3.其它物理参量的表达
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析x，y，z方向呈线性变化，所以称
正 为线性位移模式，正因为在单元的边界上，位移是按线性变 六 面 化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证
体 两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的
位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)的，它
8
在得到该单元的形状函数矩阵后，就可以按照有限元分析的标准过 程推导相应的几何矩阵、刚度矩阵、节点等效载荷矩阵以及刚度方
节
程，相关情况如下
点
正
(4-119)
六
面
体
(4-120)
(4-121)
(4-122)
空间问题有限基本元概念分析
4. 8节点正六面体单元的一次线性应变和应力
8
与平面4节点四边形单元类似，由单元的位移表达式(4-
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
8. 4节点四面体单元的常系数应变和应力
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
1. 单元的几何和节点描述
8
该单元为由8节点组成的正六面体单元(hexahedron element)，每个节点有3 个位移(即3个自由度)，单元的节点及节点位移如图所示
点
四
面
(4-104)
体
(4-105)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
4
将式(9-3)代入节点条件(9-4)中，可求取待定系数(ai，bi，ci)，i＝0，1，
节
2，3。在求得待定系数后，可重写式(9-3)为
点
四
面
(4-106)
体
(4-107)
空间问题有限基本元概念分析
3.单元应变场的表达
的应变和应力为一次线性变化，因而比4节点四面体常应变单
元精度高。
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例
空
（1）结构的离散化与编号
间
问
题
分
析
的
算
例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
空间问题有限元分析 基本概念
1.4节点四面体单元几何和节点描述
4 节
空间问题4节点四面体单元具有几何特征简单、描述能力强的特点， 是空间问题有限元分析中最基础的单元，也是最重要的单元之一。
点
四 该单元为由4节点组成的四面体单元(tetrahedronelement)，每个节点有 面 3个位移(即三个自由度)，单元的节点及节点位移如图所示。
6.单元刚度方程
(4-112) (4-113)
(4-114)
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
(4-108)
空间问题有限基本元概念分析
3.单元应变场的表达
4 节 点 四 面 体
(4-109) (4-110)
空间问题有限基本元概念分析
4.单元应力场的表达
4 节 点 四 面 体
(4-111)
空间问题有限基本元概念分析
5.单元的刚度矩阵及节点等效载荷矩阵
4 节 点 四 面 体