2015年新课标高考理科数学模拟试卷(一)

2015届新课标高考模拟试卷（理科数学）——命题人:毋晓迪第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数iiz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 A ．21-B ．i 21C ．21D ．i 21-2. 已知：1:1.:||12p q x a x ≥-<-若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 A ．(2,3] B ．[2,3] C ．(2,3) D ．(,3]-∞3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-,则公比q = A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．45．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，其中a b B ===A 的取值一定 属于范围A ．)2,4(ππB ．)43,2(ππC ．),43()4,0(πππ⋃D ．)43,2()2,4(ππππ⋃6．为得到函数)32sin(π+=x y 的导函数．．．图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有点的 A ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移6πB ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移3π C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移125πD ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移65π 7．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面PAE ⊥平面 ABC8．已知函数2()2f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得()()21x g x f =，则实数a 的取值范围是A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．(0,3]D ．[3,)+∞9．在ABC ∆中，若6·=AC AB ，则ABC ∆面积的最大值为 A ．24 B ．16 C ．12 D．10．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM 的长为A ．12B ．22C ．33D ．6611．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数()0,0>>+=b a by ax z 的值是最大值为12，则23a b+的最小值为 A ．625 B ．38 C ． 311D ． 412．已知函数()xf x e ax b =--，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为A．2e C ．e D ．2e 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________.14．已知10(2)xa e x dx =+⎰(e 为自然对数的底数),函数ln ,0()2,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩,则21()(log )6f a f +=__________.15．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点， 则点M 到直线AD 1距离的最小值是________．16．定义方程()()f x f x '=的实数根o x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ． 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知函数())cos()sin 244f x x x x a ππ=++++的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．18.（本小题满分12分）某学校高一年级为了解学生在一次数学考试中的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分是100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90的分组作出如图4甲所示的频率分布直方图和图乙所示的样本分数茎叶图（图乙中仅列出了得分在[)60,50，[]100,90的数据）。

(I)求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；(II)在选取的样本中，从考试成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学为其他同学作交流，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[)90,80的学生个数，求ξ的分布列及数学期望。

甲x y 0频率组距成绩（分）茎叶图乙3 41 2 3 4 5 6 7 856789叶茎19. （本小题满分12分）如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且OM ∥AC . (1)求证：平面MOE ∥平面PAC ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PCB ；(3)设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cos θ的值．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,1(F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距。

(I)求椭圆C 方程；(II)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，是否存在直线l ，使得BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =（e 为无理数， 2.718e ≈） （1）求函数()f x 在点(),()e f e 处的切线方程； （2）设实数12a e>，求函数()f x 在[],2a a 上的最小值； （3）若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上，且AD=13AC ， AE= 23AB ，BD ，CE 相交于点F 。

（1）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（2）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径．23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】在直角坐标系中，以原点为极点,错误！未找到引用源。

轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，已知过点错误！未找到引用源。

的直线错误！未找到引用源。

的参数方程为错误！未找到引用源。

（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若错误！未找到引用源。

成等比数列,求错误！未找到引用源。

的值． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意的实数a (0≠a )和b ,不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立,记实数M 的最大值是m . (1)求m 的值;(2) (2)解不等式m x x ≤-+-|2||1|.模拟试卷（一）参考答案13. 22+ 14. 7 15. 33a 16. γ>α>β三、解答题：17.（1）()a x x a x x x f ++=++⎪⎭⎫⎝⎛+=2sin 2cos 32sin 22sin 3π 132sin 2≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x π12=+∴a ，1-=∴a（2）由πππππk x k 223222+≤+≤+-，解得ππππk x k +≤≤+-12125，所以函数的单调递增区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,12,125ππππ （3） 将()x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数()x g 的图象，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴322sin 2362sin 26ππππx x x f x g⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈35,32322,2,0ππππx x∴当32322ππ=+x 时，23322sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，()x g 取最大值13- 当23322ππ=+x 时，1322sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，()x g 取最小值-3.18、(I)由频率分布直方图和茎叶图知在[)60,50的频数为8，频率为16.0， 16.08=∴n，解得50=n ；…………………………2分 由在[]100,90的频数为2，频率为y 10，y 10502=∴，解得004.0=y ；…………………………4分 又104.010.040.01016.0=++++x ，解得03.0=x ；故所求50=n ；03.0=x ；004.0=y .…………………………6分 (II) 在区间[)90,80的学生人数为：55010.0=⨯（人）；在区间[]100,90的学生人数为：2人； 所以ξ的所有取值的可能为1，2，3.71)1(372215=⨯==C C C P ξ；74)2(371225=⨯==C C C P ξ；72)3(370235=⨯==C C C P ξ ξ的分布列为ξ的数学期望：7737271=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………12分19. [解析] (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥PA .因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ， 所以OE ∥平面PAC .因为OM ∥AC ，又AC ⊂平面PAC ，OM ⊄平面PAC ， 所以OM ∥平面PAC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ， 所以平面MOE ∥平面PAC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上， 所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥BC .因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .(3)如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz . 因为∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2， 所以CB ＝2cos30°＝3，AC ＝1. 延长MO 交CB 于点D . 因为OM ∥AC ，所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32，CD ＝12CB ＝32.所以P (1,0,2)，C (0,0,0)，B (0，3，0)，M (32，32，0)．所以CP →＝(1,0,2)，CB →＝(0，3，0)． 设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z )． 因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·CP →＝0，m ·CB →＝0.所以⎩⎨⎧x ，y ，z1，0，20，x ，y ，z 0，3，00.即⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0. 所以m ＝(－2,0,1)．同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－15.所以cos θ＝15.20、(I) 由题知⎪⎩⎪⎨⎧==+=c a c c b a 21222，解得42=a ，32=b ；所求椭圆C 的方程为13422=+y x …………………………4分 (II)①当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1=x ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=134122yx x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==23111y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-==23122y x ，即)23,1(M ，)23,1(-N ，而)3,0(B ，)0,1(F ； 易知BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1；所以，直线1=x 满足题意. …………………………7分②当直线l 的斜率存在时，设为k ，此时直线l 的方程为)1(-=x k y ，设),(11y x M ，),(22y x N由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去x 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 所以2221438kk x x +-=+，BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1；则F 为MN 的中点； 所以1221=+x x ，即24382221=+-=+kk x x ，化简得0382=+k ，此方程无解. ………………11分 综上，直线l ：1=x ，使得BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1成立. ………………12 21.⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即------3分（2）∵()ln 1f x x '=+()0f x '=令1x e =得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时,()0F x '<，()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0F x '>，()f x 单调递增.当min 1,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e ≥==时在单调递增min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ⎛⎫<<<<==- ⎪⎝⎭当时,得 (3) ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立，即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立， 即ln 1x x xk x +>-对任意1x >恒成立令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在(1,)+∞上单调递增。