2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版

2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题

一、选择题

1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x –1)(x+2)<0}，则A∩B=( ) A ．{–1,0} B ．{0,1} C ．{–1,0,1} D ．{0,1,2}

2、若a 为实数，且(2+ai)(a –2i)= – 4i ，则a=( ) A ．–1 B ．0 C ．1 D ．2

3、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关

4、已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84

5、设函数f(x)=?

??1+log 2(2–x)(x<1)

2x –1(x≥1)，则f(–2)+f(log 212)=( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下左1图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

7、过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,–7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10

8、如上左2程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．14

9、已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球上的动点，若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π

10、如上左3图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数，则y=f(x)的图像大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ． 11、已知A ，B 为双曲线

E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )

A ． 5

B ．2

C ． 3

D ．2 12、设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(–1)=0，当x>0时，x f’(x)– f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )

A ．(–∞,–1)∪(0,1)

B ．(,0)∪(1,+∞)

C ．(–∞,–1)∪(–1,0)

D ．(,1)∪(1,+∞) 二、填空题

13、设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ = ．

14、若x ，y 满足约束条件???x –y+1≥0

x –2y≤0x+2y –2≤0

，则z=x+y 的最大值为 ．

15、(a+x)(1+x)4

的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ．

16、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=–1，a n+1=S n S n+1，则S n =________________． 三、解答题

17、△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．

(1)求sinB sinC ．

(2)若AD=1，DC=2

2，求BD 和AC 的长．

18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)

(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立．根据所给的数据，以事件发生的频率作为响应事件的概率，求C 的概率

19、如图，长方形ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1、D 1C 1上，A 1E=D 1F=4．过点

E ，

F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与α平面所成角的正弦值．

20、已知椭圆C ：9x 2+y 2=M 2(m>0)．直线l 不过圆点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

(2)若l 过点(m

3,m),延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．

21、设函数f(x)=e mx +x 2–mx ．

(1)证明：f(c)在(–∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；

(2)若对于任意x 1，x 2 [–1,1]，都有|f(x 1)–(x 2)|≤e –1，求m 的取值范围．

22、[选修4—1：几何证明选讲]如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边的高AD 交于点G ，切与AB ，AC 分别相切与E ，F 两点． (1)证明：EF ∥BC ；

(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=23，求四边形EBCF 的面积．

23、[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：

t≠0)，其中0≤α<π．

在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ． (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；

(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值

24、[选修4–5：不等式选讲]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d ，证明： (1)若ab>cd ，则a+b>c+d ；

(2)a+b>c+d 是|a –b|<|c –d|的充要条件．

2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题

1、答案：A ．∵(x –1)(x+2)<0，解得–2

2、答案：B ．∵(2+ai)(a –2i)=(2a+2a)+(a 2–4)i=–4i ，∴a 2–4=–4，解得a=0．

3、答案：D ．由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．

4、答案：B ．∵a 1+a 3+a 5=a 1+a 1q 2+a1q 4=3(1+q 2+q 4)=21，

∴1+q 2+q 4=7，整理得(q 2+3)(q 2–2)=0．解得q 2=2，∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 1q 4+a 1q 6=a 1q 2(1+q 2+q 4)=3×2×7=42． 5、答案：C ．∵f(–2)=1+log 2(2+2)=3，

()222lo g 121

lo g 3lo g 41

2lo g 122

2

f -+-==222lo

g 3lo g 2

lo g 6

2

2

6+===，

∴f(–2)+f(log 212)=9．

6、答案：D ．如图所示截面为ABC ，设边长为a ，则截取部分体积为13S △ADC ·|DB|=1

6a 3， 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3

a 3–16a 3

=1

5．

7、答案：

C ．由题可得???1+9+D+3E+F=010+4+4D+2E+F=01+49+

D –7E+F=0，解得所以圆方程为x 2+y 2–2x+4y –20=0，令x=0，解得 所以|MN|=|–2+26–(–2–26)|=46． 8、答案：B ．输入a=14，b=18．

第一步a≠b 成立，执行a>b ，不成立执行b=b –a=18–14=4； 第二步a≠b 成立，执行a>b ，成立执行a=a –b=14–a=10； 第三步a≠b 成立，执行a>b ，成立执行a=a –b=10–4=6； 第四步a≠b 成立，执行a>b ，成立执行a=a –b=6–4=2； 第四步a≠b 成立，执行a>b ，不成立执行b=b –a=4–a=2． 第五步a≠b 不成立，输出a=2．选B ．

9、答案：C ．设球的半径为r ，三棱锥O –ABC 的体积为V=13S △ABO ·h=13×12r 2h=1

6r 2h ，

点C 到平面ABO 的最大距离为r ，∴1

6r 3=36，解得r=6，球表面积为4πr 2=144π．

10、答案：B ．由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即0≤x≤π

4时，PA+PB=tan 2x+4+tanx ； 当点P 在CD 边上运动时，即π4≤x≤3π4，x≠π

2时，PA+PB=

(1

tan 2x –1)2+1+

(1

tan 2x +1)2+1，

当x=π2时，PA+PB=22；当点P 在边DA 上运动时，即3π

4≤x≤π时，PA+PB=tan 2x+4–tanx ， 从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=π2对称，且f(π4)>f(π

2)，且轨迹非线性，故选B ． 11、答案：D ．设双曲线方程为x 2a 2–y 2

b 2=1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，

过点M 作MD ⊥x 轴，垂足为D ．在Rt △BMD 中，|BD|=a ，|MD|=3a ，故点M 的坐标为M(2a,3a)，

代入双曲线方程得4a 2a 2–3a 2b 2=1，化简得a 2=b 2

，∴e=c 2a 2=a 2+b 2a 2=2．故选D ．

12、答案：A ．记函数g(x)=f(x)x ，则g'(x)=xf' (x)–f(x)

x 2

， 因为当x>0时，f'(x)–f(x)<0，故当x>0时，g'(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减； 又因为函数f(x)是奇函数，故函数g(x)在(–∞,0)单调递减， 且g(–1)=g(1)=0．当00，则f(x)>0；当x<–1时，g(x)<0，则f(x)>0， 综上所述，使得f(x)>0成立的x 的取值范围是(–∞,–1)∪(0,1)，故选A ． 二、填空题

13、答案：12．设λa +b =x(a +2b )，可得?

??λ=x 1=2x ，解得λ=x=1

2．

14、答案：3

2．如图所示，可行域为△ABC ，直线y=–x+z 经过点B 时，z 最大．

联立?

??x –2y=0x+2y –2=0，解得?

????x=1y=12，所以z max =1+12=3

2．

15、答案：3．(a+x)(1+x)4

=(C 0

4

a+C 14

ax+C 24

ax 2

+C 34ax 3+C 44ax 4)+ (C 04x+C 14x 2+C 24x 3+C 34x 4+C 44x 5

)，

所以C 14a+C 34a+C 04+C 24+C 4

4=32，解得a=3．

16、答案：–1n ．∵a n+1=S n+1–S n =S n S n+1，∴1S n –1S n+1=1．即1S n+1–1S n =–1，∴{1

S n

}是等差数列，

∴1S n =1S 1

–(n –1)=–1–n+1=–n ，即S n =–1n ．

三、解答题

17、答案：(1)1

2；(2)|BD|=2，|AC|=1．

(1)如图，由题意可得S △ABD =12|AB||AD|sin ∠BAD ，S △ADC =1

2|AC||AD|sin ∠CAD ， ∵S △ABD =2S △ADC ，∠BAD=∠DAC ，∴|AB|=2|AC|，∴sin ∠B sin ∠C =|AC||AB|=1

2． (2)设BC 边上的高为h ，则S △ABD =12|BD|·h=2S △ADC =2×12×2

2h ，

解得|BD|=2，设|AC|=x ，|AB|=2x ，则cos ∠BAD=4x 2

+1–2

4x ，cos ∠DAC=x 2+1–1

2

2x ．

∵cos ∠DAC=cos ∠BAD ，∴4x 2

+1–2

4x =x 2+1–12

2x ，解得x=1或x=–1 (舍去)．∴|AC|=1．

18、(1)如图所示．通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高， A 地区的分散程度大于B 地区．

(2)记事件不满意为事件A 1，B 1，满意为事件A 2，B 2，

非常满意为事件A 3，B 3．则由题意可得P(A 1)=420，P(A 2)=1220，P(A 3)=420，P(B 1)=1020，P(B 2)=820，P(B 3)=2

20，

则P(C)=P(A 2)P(B 1)+P(A 3)(P(B 1)+P(B 2))=1220×1020+420×(1020+820)=12

25． 19、(1)如图所示

(2)建立空间直角坐标系．由题意和(1)可得A(10,0,0)，F(0,4,8)，E(10,4,8)，G(10,10,0)，则向量AF =(–10,4,8)，EF =(–10,0,0)，EG =(0,6,–8)．

设平面EFHG 的一个法向量为n =(x,y,z)，则???n ·EF =0n ·EG =0，即???–10x=0

6y –8z=0

，解得x=0，令y=4，z=3，则n=(0,4,3)．

所以直线AF 与α平面所成角的正弦值为sinθ=|cos|=AF·n |AF||n|=16+24100+16+8416+9=22

5．

20、(1)设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0)，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则M(x 1+x 22,y 1+y 22)，联立方程?

??y=kx+b

9x 2+y 2=m 2，

消去y 整理得(9+k 2)x 2+2kbx+b 2–m 2=0(*)，∴x 1+x 2=–2kb 9+k 2，y 1+y 2=k(–2kb 9+k 2)+2b=18b

9+k 2， ∴k OM ·k AB =y 1+y 22x 1+x 22

·k=18b 9+k 2·(–9+k 2

2kb )·k=–9．

(2)假设直线l 存在，直线方程为y=kx+m(1–k)3，b=m(3–k)

3．

设点P(x P ,y P )，则由题意和(1)可得x P =x 1+x 2=–2kb 9+k 2，y P =y 1+y 2=18b

9+k 2，因为点P 在椭圆上，

所以9(–2kb 9+k 2)2+(18b 9+k 2)2=m 2，整理得36b 2=m 2(9+k 2)，即36(m(3–k)

3)2=m 2(9+k 2)，化简得k 2–8k+9=0，解得k=4±7， 有(*)知△=4k 2b 2–4(9+k 2)(b 2–

m 2)>0，验证可知21、(1)∵f(x)=e mx +x 2–mx ，∴f'(x)=me mx +2x –m ，R 上恒成立， ∴f'(x)=me mx +2x –m 在R 上单调递增．

又∵f'(0)=0，∴x>0时，f'(x)>0；∴x<0时，f'(x)<0． ∴f(x)在(–∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增．

(2)有(1)知f min (x)=f(0)=1，当m=0时，f(x)=1+x 2，此时f(x)在[–1,1]上的最大值是2，所以此时|f(x 1)–f(x 2)|≤e–1． 当m≠0时，f(–1)=e –m +1+m ，f(1)=e m +1–m ．

令g(m)=f(1)–f(–1)=e m –e –m –2m ，∵g'(m)=e m +e –m –2≥0，∴g(m)=f(1)–f(–1)=e m –e –m –2m 在R 上单调递增． 而g(0)=0，所以m>0时，g(m)>0，即f(1)0时，|f(x 1)–f(x 2)|≤f(1)–1=e m –m≤e–1，∴m≤1；

当m<0时，|f(x 1)–f(x 2)|≤f(–1)–1=e

–m +m≤e –m –(–m)≤e–1，∴–m≤1，∴–1≤m≤0． 所以，综上所述m 的取值范围是[–1,1]． 22、(1)如图所示，连接OE ，OF ，

则OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，即∠AEO=∠AFO=90°．

∵OE=OF ，∴∠OEF=∠OFE ，∴∠AEF=90°–∠OEF ，∠AFE=90°–∠OFE ，即∠AEF=∠AFE ．

∵∠AEF+∠AFE+∠EAF=180°，∴∠AEF=∠AFE=1

2(180°–∠EAF)．

∵△ABC 是等腰三角形，∴∠B=∠C=1

2(180°–∠BAC)，∴∠AEF=∠AFE=∠B=∠C ，∴EF ∥BC ． (2)设⊙O 的半径为r ，∴AG=r ，OA=2r ．

在Rt △AEO 中，∴AE 2+EO 2=AO 2．∴(23)2+r 2=(2r)2，解得r=2．

在Rt △AEO 中，sin ∠OAE=OE OA =r 2r =1

2．∴∠OAE=60°，

∵∠OAE=∠OAF=1

2∠EAF ，AE=AF ，∴∠EAF=2∠OAE=60°，∴△AEF 、△ABC 是等边三角形．

连接OM ，∴OM=2．∵OD ⊥MN ，∴MD=ND=1

2MN=3．

在Rt △ODM 中，OD=OM 2–MD 2=22–(3)2=1，∴AD=OA+AD=4+1=5．

在Rt △ADB 中，AB=AD cos ∠BAD =5cos30°=103

3．

∴四边形EBCF 的面积为S △ABC –S △AEF =34×(1033)2–34×(23)2=163

3．

23、(1)将曲线C 2，C 3化为直角坐标系方程C 2：x 2+y 2–2y=0，C 3：x 2+y 2–23x=0．

联立???x=0y=0或(0,0)，(32,32)．

(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ，其中0≤α<π．

∵A 的极坐标为(2sinα,α)，B 的极坐标为(23cosα,α)．∴|AB|=|2sinα–23cosα|=4|sin(α–π

3)|． 当α=5π

6时，|AB|取得最大值，最大值为4．

24、(1)由题意可得(a+b)2=a+b+2ab ，(c+d)2=c+d+2cd ，∵ab>cd ，∴ab>cd ，而a+b=c+d ， ∴(a+b)2>(c+d)2，即a+b>c+d ．

(2)a+b>c+d ，即a+b+2ab>c+d+2cd ，∴ab>cd ，∴ab>cd ，∴–4ab<–4cd ，∴(a+b)2–4ab<(c+d)2–4cd ，∴(a –b)2<(c –d)2，∴|a –b|<|c –d|．