2018年高考全国卷一理科数学(含答案)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（ ） A ．0B ．C ．D ．2．已知集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．125．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．28．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（）A．5B．6C．7D．89．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）A．B．3C．D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若满足约束条件，则的最大值为________．14．记为数列的前项和．若，则________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数，则的最小值是________．三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

）（一）必考题：共60分。

17．（12分）在平面四边形中，，，，．⑴求；⑵若，求．如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．⑴证明：平面平面；⑵求与平面所成角的正弦值．19．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．⑴当与轴垂直时，求直线的方程；⑵设为坐标原点，证明：．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？已知函数．⑴讨论的单调性；⑵若存在两个极值点，，证明：．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．⑴求的直角坐标方程；⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知．⑴当时，求不等式的解集；⑵若时不等式成立，求的取值范围．2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理 数 答 案一、选择题 1.答案： C 解答：，∴，∴选C. 2.答案： B解答：或，则.3.答案： A解答：假设建设前收入为，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为%，新农村建设后为；其他收入在新农村建设前为，新农村建设后为，养殖收入在新农村建设前为，新农村建设后为 故不正确的是A. 4.答案： B解答：，∴. 5.答案： D 解答：∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D. 6.答案： A121iz i i i-=+=+1z ={|2A x x =>1}x <-{|12}R C A x x =-≤≤a 2a 60a 37%2a ⋅4%a ⋅5%2a ⋅30%a ⋅30%2a ⋅11111132433(3)24996732022a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-51424(3)10a a d =+=+⨯-=-()f x ()()f x f x -=-1a =3()f x x x =+'(0)1f =y x =解答：. 7.答案： B解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B. 8.答案：D解答：由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或，∴，∴. 9.答案： C 解答：∵存在个零点，即与有两个交点，的图象如下：要使得与有两个交点，则有即，∴选C. 10.答案：11131()22244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-⋅+=-,MN MN ==MN 2(2)3y x =+1122(,),(,)M x y N x y 22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩1112x y =⎧⎨=⎩2244x y =⎧⎨=⎩(0,2),(3,4)FM FN ==03248FM FN ⋅=⨯+⨯=()()g x f x x a =++2()y f x =y x a =--)(xf y x a =--)(x f 1a -≤1a ≥-A解答：取,则，∴区域Ⅰ的面积为，区域Ⅲ的面积为，区域Ⅱ的面积为，故.11.答案： B解答：渐近线方程为：，即，∵为直角三角形，假设，如图，∴，直线方程为.联立∴，即，∴，故选B.12.答案： A解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积. 2AB AC ==BC =112222S =⨯⨯=231222S ππ=⋅-=-22312S S π=⋅-=12p p =2203x y -=3y x =±OMN ∆2ONM π∠=NM k =MN 2)y x =-32)y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩3(,)22N -ON =3MON π∠=3MN =α11AB D 11AB D EFGHMN EFGHMN 162S ==二、填空题 13.答案：解答：画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.14.答案： 解答：依题意，作差得，所以为公比为的等比数列，又因为，所以，所以，所以. 15.答案：解答：6(2,0)max 32206z =⨯+⨯=63-1121,21,n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩12n n a a +={}n a 211121a S a ==+11a =-12n n a -=-661(12)6312S -⋅-==--16恰有位女生，有种；恰有位女生，有种，∴不同的选法共有种.16.答案：解答：∵，∴最小正周期为，∴，令，即，∴或. ∴当，为函数的极小值点，即或, 当∴，， ∴最小值为三、解答题 17. 答案： （1；（2）5. 解答：1122412C C =221244C C =12416+=()2sin sin 2f x x x =+()f x 2T π=2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-'()0f x =22cos cos 10x x +-=1cos 2x =cos 1x =-1cos 2=3x π=53x π=cos 1,x =-x π=5()3f π=()3f π=(0)(2)0f f π==()0f π=()f x（1）在中，由正弦定理得：,∴, ∵,∴. （2）,∴，∴,∴,∴.∴. 18.答案： （1）略；（2. 解答：（1）分别为的中点，则，∴，ABD ∆52sin 45sin ADB =∠sin 5ADB ∠=90ADB ∠<cos ADB ∠==2ADB BDC π∠+∠=cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅25=5BC =,E F ,AD BC //EF AB EF BF ⊥又，，∴平面， 平面，∴平面平面. （2），，∴，又，，∴平面，∴， 设，则，，∴过作交于点， 由平面平面，∴平面，连结，则即为直线与平面所成的角， 由，∴， 而，∴， ∴与平面. 19. 答案： （1）；（2）略. 解答：（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：.（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设PF BF ⊥EF PFF ⋂=BF ⊥PEF BE ⊂ABFD PEF ⊥ABFD PFBF ⊥//BF ED PF ED ⊥PF PD ⊥EDDP D ⋂=PF ⊥PED PF PE ⊥4AB =4EF =2PF =PE =P PH EF ⊥EF H PEF ⊥ABFD PH ⊥ABFD DH PDH ∠DP ABFD PE PF EF PH ⋅=⋅24PH ==4PD =sin 4PH PDH PD ∠==DP ABFD (2)2y x =±-1x =2112y +=2y =±(1,2A ±2AM k =±AM 2)2y x =±-l l其方程为，，联立椭圆方程有即，∴，，，∴，∴. 20. 答案： 略 解答：（1）由题可知（）.∴∴当时，，即在上递增；当时，，即在上递减. ∴在点处取得最大值，即.（2）（i ）设余下产品中不合格品数量为，则，由题可知，∴. ∴（元）.（ii ）由（i ）可知一箱产品若全部检验只需花费元，若余下的不检验则要元，所以应该对余下的产品作检验. 21. 答案：（1）见解析；（2）见解析. 解答：(1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y 22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(21)4220k x k x k +-+-=2122421k x x k +=+21222221k x x k -=+1212121212[(23()4]22(2)(2)AM BMy y k x x x x k k x x x x -+++=+=----2222124412(4)21210(2)(2)k k k k k x x --+++==--AM BM k k =-OMA OMB ∠=∠221820()(1)f p C p p =-01p <<2182172172020()[2(1)18(1)(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p =-+-⨯-=--1(0,)10p ∈()0f p '>()f p 1(0,)101(,1)10p ∈()0f p '<()f p 1(,1)10()f p 110p =0110p =Y 4025X Y =+1(180,)10Y B 11801810EY np ==⨯=(4025)4025402518490EX E Y EY =+=+=+⨯=400490（1）①∵，∴，∴当时，，，∴此时在上为单调递增.②∵，即或，此时方程两根为，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减.当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证成立，即要证成立，∴，即要证() 令，可得在上为增函数，∴，1()ln f x x a x x =-+221'()x ax f x x -+=-22a -≤≤0∆≤'()0f x ≤()f x (0,)+∞0∆>2a <-2a >210x ax -+=12x x ==2a <-'()f x (0,)+∞2a >0∆>()fx ()fx ()fx )+∞2a ≤()f x (0,)+∞2a >()fx)+∞()fx 210x ax -+=12,x x 2a >1212,1x x a x x +=⋅=120x x <<121x x =1211221211()()ln (ln )f x f x x a x x a x x x -=-+--+21122()(ln ln )x x a x x =-+-12121212()()ln ln 2f x f x x x a x x x x --=-+⋅--1212()()2f x f x a x x -<--1212ln ln 1x x x x -<-1122212ln 0(1)xx x x x x x -+<>-2221212ln 0x x x x x --+∴<-22212ln 0x x x --+>21x >1()2ln (1)g x x x x x=--+>()g x (1,)+∞()(1)0g x g >=∴成立，即成立. 22. 答案：（1）；（2） 解答：（1）由可得：，化为.（2）与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径为，则，解得，故的方程为. 23. 答案：（1）；（2）. 解答：（1）当时，， ∴的解集为.（2）当时，，当时，不成立. 当时，，∴，不符合题意. 当时，，成立.当时，，∴，即.1212ln ln 1x x x x -<-1212()()2f x f x a x x -<--22(1)4x y ++=423y x =-+22cos 30ρρθ+-=22230x y x ++-=22(1)4x y ++=1C 2C 2(0)y kx k =+<2C 2C (1,0)-22=43k =-1C 423y x =-+1{|}2x x >(0,2]1a =21()|1||1|21121x f x x x xx x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩()1f x >1{|}2x x >0a =()|1|1f x x =+-(0,1)x ∈()f x x >0a <(0,1)x ∈()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+<01a <≤(0,1)x ∈()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+>1a >1(1),1()1(1)2,a x x af x a x x a ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩(1)121a -⋅+≥2a ≤a(0,2]综上所述，的取值范围为.。