有限元四面体及六面体单元ppt课件
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有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元分析课件
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MSC中国
/
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ANSYS中国
http：///
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ABAQUS
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1.3 有限单元法的计算步骤
有限单元法的计算步骤归纳为以下三个 基本步骤： 网格划分（离散化） 单元分析 整体分析
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1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
弹性力学问题的单元分析，就是建立各 个单元的节点位移和节点力之间的关系 式。
由于将单元的节点位移作为基本变量， 单元分析首先要为单元内部的位移确定 一个近似表达式，然后计算单元的应变、 应力，再建立单元中节点力与节点位移 的关系式。
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1.3.2单元分析
单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移 u、v和两个结点力U、V。
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有限单元法的数学基础（1）
数学家们则发展了微分方程的近似解法， 包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。
在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作， 认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近 似法的一种变形，发展了用各种不同变 分原理导出的有限元计算公式。
4) 了解有限元软件的基本结构和有限单元法当 前的进展情况。
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课程评估
有限元中四面体单元与六面体单元比较
汽车工程系湖北汽车工业学院HUBEI UNIVERSITY OF AUTOMOTIVE TECHNOLOGY毕业设计英文翻译译文题目有限元中四面体单元与六面体单元比较班号T743-4 学号28 姓名陈柯译文字数专业车辆工程指导教师郝琪正文如今，有限元法已不仅仅被少数专业人士单纯的应用于机械行业，它已经成为一种面向虚拟产品开发的标准数值分析手段并能被没有很专业的有限元知识的初级产品设计着大量应用。
伴随着硬件平台及有限元软件的快速发展，有限元法已不局限于解决简单的问题。
如今的有限元模型通常都是很复杂的，使用六面体单元并不经济可行。
经验表明，大部分经济且行之有效的分析是通过二次四面体完成的。
正因如此，一复杂模型自由度会急剧增加至数以百万计。
通常情况下，迭代当成求解器用于线性方程组的的解算，图1展示了典型的四面体和六面体网状模型借助于现代化的有限元工具，得到分析结果并不困难，，然而，正确的结果只是进行相关分析的基石，精确的数值分析结果非常依赖单元质量本身。
如今并不存在一个通用的准则去决定如何选取单元类型，但还是有一些基于经验的原则贡我们参考，这有助于我们避免分析错误并检查结果的有效性这篇文章中我们比较了一些基于有限元四面体划分与六面体划分的分析及实验结果。
我们也同样对给基于四面体和六面体的复杂有限元模型的线性分析，非线性分析，动力分析结果做了比较图1：典型四面体及六面体模型1：四面体及六面体分析结果比较让我们来看一个用弯曲理论分析的纯弯曲问题，我们将计算结果和用线性六面体单元进行有限员计算的结果比较（位移和应力）。
图2 梁弯曲问题：梁顶部端点理论分析与计算结果图3 梁弯曲问题：梁应力分布的理论分析与数值分析结果如图2及图3所示：没有应变修正的线性六面体单元有限元模型求的得一个错误的应力分布，这种作物并不能通过改变单元数目来修正。
这种现象叫做剪切自锁。
图4 弯曲单元中使用应变修正函数与不使用应变修正函数单元示意图4（a）展示了纯弯曲载荷下正确的，期望得到的变形配置。
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
2
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
有限元模型建立.ppt
– 选择要分配属性的元素. – 在随后的对话框中设置正确的属性值.
或选择某些元素类型后，利用命令
3. 当划分网格后这些属性会自动转换到 单元上.
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
利用整体属性设置
1. 定义所有必须 的 类型，材料，实常数 和截面号
2. 利用网格划分工具中的单元属性 部分 – 选择 Global ，并单击SET按钮.
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
自由度值二次分布
线性近似，较差 结果
实际为二次曲线
用多个单元的线性近似 (好结果)
二阶近似 (最好的结果)
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
• 当选择单元类型，隐含地表示选择并接受假定 的该单元类型的形函数.因此，在选择单元类型 以前检验形函数信息.
– 除了线性及二次单元，第三种单元为P单元。P 单元支持单个单元内二到八阶变化的位移，包 括自动求解收敛控制。
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
网格密度 FEA分析的基本前提是当网格加密，单元数
目逐渐增加时，求解结果会无限接近于真实 解. 然而，当单元数目增加时，求解时间及计算 机资源的要求也相应地大量增加. 分析的目标通常是决定了滑动块向哪个方向 移动，如下：速度与精度的权衡.
• 不同的单元类型要求的不同的 截面.
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
C. 多种单元属性
• 大多数FEA模型多种属性，例如, 下面所示的silo结构 有两种单元类型，三种实常数集和两种材料.
TYPE 1 = shell TYPE 2 = beam
或选择某些元素类型后，利用命令
3. 当划分网格后这些属性会自动转换到 单元上.
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
利用整体属性设置
1. 定义所有必须 的 类型，材料，实常数 和截面号
2. 利用网格划分工具中的单元属性 部分 – 选择 Global ，并单击SET按钮.
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
自由度值二次分布
线性近似，较差 结果
实际为二次曲线
用多个单元的线性近似 (好结果)
二阶近似 (最好的结果)
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
• 当选择单元类型，隐含地表示选择并接受假定 的该单元类型的形函数.因此，在选择单元类型 以前检验形函数信息.
– 除了线性及二次单元，第三种单元为P单元。P 单元支持单个单元内二到八阶变化的位移，包 括自动求解收敛控制。
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
网格密度 FEA分析的基本前提是当网格加密，单元数
目逐渐增加时，求解结果会无限接近于真实 解. 然而，当单元数目增加时，求解时间及计算 机资源的要求也相应地大量增加. 分析的目标通常是决定了滑动块向哪个方向 移动，如下：速度与精度的权衡.
• 不同的单元类型要求的不同的 截面.
BBUIPATA
FINITE ELEMENT METHOD
C. 多种单元属性
• 大多数FEA模型多种属性，例如, 下面所示的silo结构 有两种单元类型，三种实常数集和两种材料.
TYPE 1 = shell TYPE 2 = beam
三维问题有限元分析(包括轴对称问题) ppt课件
向量表示为
x
y
z
xy
yz
T zx
在线弹性范围内，应力与应变间的物理关系矩阵表达式为
D
对于各向同性弹性体，在三维应力状态下，弹性
矩阵 D 的形式为
1
1
D
1
E 1 1
2
1
可假设为坐标的线性函数，为满足变形协调条件，取为
u 1 2x 3 y 4z v 5 6x 7 y 8z
w 9 10 x 11 y 12 z
(6-5)
式(6-5)含有12个待定系数a，可由单元的12项结 点位移决定.将4个结点的坐标值代入式(6-5)的u 式中。 i、j、m、n共4个结点，分别有
将位移的3个线性方程形成的线性方程组用矩阵表示为
u
v
N
第六章 三维问题有限元分析
PPT课件
1
四 教学基本内容
第五章 三维问题有限元分析
第一节 三维应力状态
第二节 4节点四面体单元 第三节 8节点六面体等参单元 第四节 20节点等参单元 第五节 ansys空间问题实例 第六节 空间轴对称问题有限元法
第七节 Ansys轴对称旋转问题实例
PPT课件
2
空间问题简介
xzy
0
0
y
z
zx
y 0
0
y
0
x z
0
0
z
uv
有限元讲稿四面体单元PPT课件
p x
解上述线性方程组，求出系数(a1,a2,a3,a4) 代入上式可得：
u Niui N ju j Nmum N pu p
同理可得v,w得位移关系为：
v Nivi N jv j Nmvm N pvp w Ni wi N j wj Nmwm N pwp
October 9, 2004
(u, v, w)
或表示为矩阵形式：
u1
1
N1 2 ,
1
N2 2
对二次单元有3个节点1= -1、2=1、3=0，形函数为：
N1
1
2
,
N2
1
2
,
N3 1 2
October 9, 2004
1=-1 =0 2=+1
1
o
2
一次单元
1=-1 1
3=0 o
3
2=+1 2
二次单元
第四章-13
第13页/共35页
（1）单元形函数
如图示，二维基本单元是平面内的正方形。局部坐标系原点位于正方形的中 心处，单元边界是4条直线。对平面线性单元有4个节点，形函数为：
u a1 a2 x a3 y a4 z v a5 a6 x a7 y a8z w a9 a10 x a11 y a12 z
October 9, 2004
第四章-1
第1页/共35页
（1）位移模式
将节点节点坐标和位移分量代入上式可得：
y j
o z
i m
ui a1 a2 xi a3 yi a4 zi u j a1 a2 x j a3 y j a4 z j um a1 a2 xm a3 ym a4 zm u p a1 a2 xp a3 y p a4 z p
有限元分析课件
02
1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语
03
从固体力学的角度来看，桁架结构与分割成有限个分区后的连续体在结构上存在相似性。
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。
有限单元法的数学基础（2）
1965年和（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同步骤求解。
1969年和指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
02
01
陈伯屏（结构矩阵方法） 钱令希（余能原理） 钱伟长（广义变分原理） 胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论） 20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷
应力
内力
把外载荷集中到节点上 把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上
01
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
02
令
建立结点的力平衡方程
根据约束条件，
01
对于第n+1个结点，第n个单元的内力与 第n+1个结点上的外载荷平衡，
有限元基本概念ppt课件
i1
i1
其中： Hi( xj )δij H'i(xj )0
'
Hi( xj )0 Hi( xj )δij
1 i j δij 0 i j
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
经推导：
n
n
P 2 n - 1 ( x ) 1 2 W i 'x ix x i W i2 x u ix - x iW i2 x u i '
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
• 有限元方法的分类
依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为： 位移法：以位移为基本未知量 力法：应力为基本未知量 混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量
• 有限元位移法的基本概念
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
ε
B
e
δ
x
0
0
0
y
0
0
B
y
0
x
z
0
N
0
0
1
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0
0
N 2
0
z y
z
0
x
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
ji ji
i,j0,1,2, n
可令：
Ni
x
C x x 0 x x 1 x x i - 1 x x i + 1 x x n
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的应变和应力为一次线性变化，因而比4节点四面体常应变单
元精度高。
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例
空
（1）结构的离散化与编号
间
问
题
分
析
的
算
例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
8. 4节点四面体单元的常系数应变和应力
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
1. 单元的几何和节点描述
8
该单元为由8节点组成的正六面体单元(hexahedron element)，每个节点有3 个位移(即3个自由度)，单元的节点及节点位移如图所示
2.空间8节点六面体单元分析的算例
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
2.空间8节点六面体单元分析的算例
（1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
2.空间8节点六面体单元分析的算例
（1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
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4 节 点 四 面 体
(4-108)
空间问题有限基本元概念分析
3.单元应变场的表达
4 节 点 四 面 体
(4-109) (4-110)
空间问题有限基本元概念分析
4.单元应力场的表达
4 节 点 四 面 体
(4-111)
空间问题有限基本元概念分析
5.单元的刚度矩阵及节点等效载荷矩阵
4 节 点 四 面 体
节
点
正
六
面
体
(4-115)
(4-116)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
8
该单元有8个节点，因此每个方向的位移场可以设定8个待定系数， 根据确定位移模式的基本原则（从低阶到高阶、唯一确定性），选
节
取该单元的位移模式为
点
正
六
(4-117)
面
体
(4-118)
空间问题有限基本元概念分析
3.其它物理参量的表达
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
点
Hale Waihona Puke 四面(4-104)
体
(4-105)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
4
将式(9-3)代入节点条件(9-4)中，可求取待定系数(ai，bi，ci)，i＝0，1，
节
2，3。在求得待定系数后，可重写式(9-3)为
点
四
面
(4-106)
体
(4-107)
空间问题有限基本元概念分析
3.单元应变场的表达
面
体
空间问题有限基本元概念分析
1. 4节点四面体单元几何和节点描述
4 节 点 四 面 体
(4-102) (4-103)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
4
该单元有4个节点，单元的节点位移有12个自由度(DOF)。因此每个方向的
节
位移场可以设定4个待定系数，根据节点个数以及确定位移模式的基本原则 （从低阶到高阶的完备性、唯一确定性），选取该单元的位移模式为
节
点 117)可知，该单元的位移在x，y，z方向呈线性变化，所以称
正 为线性位移模式，正因为在单元的边界上，位移是按线性变 六 面 化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证
体 两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的
位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)的，它
8
在得到该单元的形状函数矩阵后，就可以按照有限元分析的标准过 程推导相应的几何矩阵、刚度矩阵、节点等效载荷矩阵以及刚度方
节
程，相关情况如下
点
正
(4-119)
六
面
体
(4-120)
(4-121)
(4-122)
空间问题有限基本元概念分析
4. 8节点正六面体单元的一次线性应变和应力
8
与平面4节点四边形单元类似，由单元的位移表达式(4-
空间问题有限基本元概念分析
1. 4节点四面体单元几何和节点描述
空间问题4节点四面体单元具有几何特征简单、描述能力强的特点，
4
是空间问题有限元分析中最基础的单元，也是最重要的单元之一。
节
点 该单元为由4节点组成的四面体单元(tetrahedron element)，每个节点 四 有3个位移(即三个自由度)，单元的节点及节点位移如图所示。
6.单元刚度方程
(4-112) (4-113)
(4-114)
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵