第一章复习题解答(数学分析)
高等数学第一章总习题及答案
7. 已知 lim
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 求 lim f ( x) . x →0 x 2 2x − 1
解
因为 lim(2 − 1) = 0 , lim
x →0
x
ln(1 +
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 故必有 lim ln(1 + f ( x) ) = 0 , x →0 sin x 2x − 1
2
2
x
1 1 . = ( )2 = 2 2
1
(4) (5) (6)
lim
x →0
1 x sin x 1 = lim 2 2 = . x →0 2 x
1
x
lim(1 + 3tan 2 x)cot
x →0
= [lim(1 + 3tan 2 x) 3tan x ]3 = e3 .
2
x →0
设 k 为任一个大于 2c 的自然数, 则当 n > k 时,
0 < x ≤ e, 在 x = e 处, lim+ f ( x) = ln e = 1 , lim− f ( x) = 1 , x →e x →e x > e,
故 f ( x) 在 x = e 处连续, 故函数连续区间为 (0, + ∞) .
9.
⎧ cos x , x ≥ 0, ⎪ ⎪x + 2 设 f ( x) = ⎨ 要使 f ( x) 在 (−∞, + ∞) 内连续, 应如何选择 ⎪ a − a − x , x < 0, ⎪ x ⎩
n →∞ n →∞
(B) 无界数列必定发散; (D) 单调数列必有极限.
yn . xn
数学分析选论习题解答
《数学分析选论》习题解答第 一 章 实 数 理 论１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ∉=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使；（２）存在严格递减数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使．证明如下：（１） 据假设，ξ>∈∀a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1==εn nn 相应地S a n ∈∃,使得 ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞→n n a lim .（２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取,3,2,,1min 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ，就能保证,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □２．证明§1.3例６的（ⅱ）．证 设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=，试证：{}B A S inf ,inf mininf =．现证明如下．由假设，B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有{}{}B A S B A x inf ,inf min inf inf ,inf min≥⇒≥．另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有S A S x inf inf inf ≥⇒≥；同理又有S B inf inf ≥．由此推得{}B A S inf ,inf mininf ≤．综上，证得结论 {}B A S inf ,inf mininf =成立． □３．设B A ,为有界数集，且∅≠⋂B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup min )sup(≤⋂； （２）{}B A B A inf ,inf max)(inf ≥⋂．并举出等号不成立的例子．证 这里只证（２），类似地可证（１）．设B A inf ,inf =β=α．则应满足：β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有．于是，B A z ⋂∈∀，必有{}βα≥⇒⎭⎬⎫β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界．由于B A ⋂亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf max inf≥⋂成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则，这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而，故得{}{}B A B A i n f ,i n f m a x i n f >⋂． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,，证明：（１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．证 这里只证（２），类似地可证（１）．由假设，B A inf ,inf =β=α都存在，现欲证β+α=+)(inf B A ．依据下确界定义，分两步证明如下：１）因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀，必有β+α≥+=y x z ．这说明B A +β+α是的一个下界．２）B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0，使得2,200ε+β>ε+α>y x ． 从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得，故B A +β+α是的最大下界．于是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证． □５．设B A ,为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集{}B b A a ab c AB ∈∈==,，证明：（１）B A AB sup sup )sup(⋅=； （２）B A AB inf inf )(inf ⋅=． 证 这里只证（１），类似地可证（２）．⎪⎩⎪⎨⎧⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅是AB 的一个上界．另一方面，B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0，满足ε->ε->B b A a sup ,sup 00，故)(000AB b a c ∈=∃，使得εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c ．由条件，不妨设0sup sup >+B A ，故当ε足够小时，εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为一任意小正数．这就证得B A sup sup ⋅是AB 的最小上界，即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证． □*６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．证 用反证法．倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性，则必存在两个正元素F ∈βα,，使序列}{αn 中没有一项大于β．于是，}{αn 有上界（β就是一个），从而由完备性假设，存在上确界λ=α}sup{n ．由上确界定义，对一切正整数n ，有α≥λn ；同时存在某个正整数0n ，使α-λ>α0n ．由此得出α+<λ≤α+)1()2(00n n ，这导致与0>α相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □７．试用确界原理证明区间套定理． 证 设{}],[n n b a 为一区间套，即满足：0)(lim ,1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞→n n n n n a b b b b a a a ．由于{}n a 有上界k b ，{}n b 有下界k a （+∈N k ），因此根据确界原理，存在{}{}β≤α=β=α且,inf,sup n n b a ．倘若β<α，则有,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ，而这与0)(lim =-∞→n n n a b 相矛盾，故ξ=β=α．又因 ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ，所以ξ是一切],[n n b a 的公共点．对于其他任一公共点 ,2,1,],[=∈ηn b a n n ，由于∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ，因此只能是η=ξ，这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点． □８．试用区间套定理证明确界原理．证 设S 为一非空有上界的数集，欲证S 存在上确界．为此构造区间套如下：令],[],[011M x b a =，其中M S S x ,)(0∅≠∈ 为S 的上界．记2111b a c +=，若1c 是S 的上界，则令],[],[1122c a b a =；否则，若1c 不是S 的上界，则令],[],[1122b c b a =．一般地，若记2nn n b a c +=，则令,2,1,,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c b c S c c a b a n n n n n n n n 的上界不是的上界当是．如此得到的{}],[n n b a 显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点ξ即为S 的上确界．由于上述区间套的特征是：对任何+∈Νn ，n b 恒为Ｓ的上界，而n a 则不为S 的上界，故S x ∈∀，有n b x ≤，再由ξ=∞→n n b lim ，便得ξ≤x ，这说明ξ是S 的一个上界；又因ξ=∞→n n a lim ，故ε-ξ>∃>ε∀n a ,0，由于n a 不是S 的上界，因此ε-ξ更加不是S 的上界．根据上确界的定义，证得S sup =ξ．同理可证，若S 为非空有下界的数集，则S 必有下确界． □ ９．试用区间套定理证明单调有界定理．证 设{}n x 为递增且有上界M 的数列，欲证{}n x 收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111M x b a =；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套{}],[n n b a ，使n a 不是{}n x 的上界，n b 恒为{}n x 的上界．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，且使ξ==∞→∞→n n n n b a lim lim ．下面进一步证明 ξ=∞→n n x lim ．一方面，由∞→≤k b x k n 取,的极限，得到,2,1,lim =ξ=≤∞→n b x k k n ．另一方面，ε-ξ>∈∃>ε∀+K a K 使,,0Ν；由于K a 不是{}n x 的上界，故K N a x >∃；又因{}n x 递增，故当N n >时，满足N n x x ≥．于是有N n x x a n N K >ξ≤<<<ε-ξ,，这就证得ξ=∞→n n x lim ．同理可证{}n x 为递减而有下界的情形． □ 10*．试用区间套定理证明聚点定理．证 设S 为实轴上的一个有界无限点集，欲证S 必定存在聚点．因S 有界，故0>∃M ，使得M x ≤，S x ∈∀．现设],[],[11M M b a -=，则],[11b a S ⊂．然后用逐次二等分法构造一区间套{}],[n n b a ，使得每次所选择的],[n n b a 都包含了S 中的无限多个点．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，n ∀．最后应用区间套定理的推论，,0>ε∀当n 充分大时，使得],[n n b a );εξ⊂(U ；由于],[n n b a 中包含了S 的无限多个点，因此);(εξU 中也包含了S 的无限多个点，根据聚点定义，上述ξ即为点集S 的一个聚点． □ 11*．试用有限覆盖定理证明区间套定理．证 设{}],[n n b a 为一区间套，欲证存在惟一的点 ,2,1,],[=∈ξn b a n n ． 下面用反证法来构造],[11b a 的一个无限覆盖．倘若{}],[n n b a 不存在公共点ξ，则],[11b a 中任一点都不是区间套的公共点．于是，∈∀x ],[11b a ，使,],[n n b a ∃],[n n b a x ∉．即);(x x U δ∃与某个],[n n b a 不相交（ 注：这里用到了],[n n b a 为一闭区间 ）．当x 取遍],[11b a 时，这无限多个邻域构成],[11b a 的一个无限开覆盖：{}],[);(11b a x x U H x ∈δ=．依据有限覆盖定理，存在],[11b a 的一个有限覆盖：{}HNi x U U H ix i i ⊂=δ==,,2,1);(~，其中每个邻域N i b a U i i n n i ,,2,1,],[ =∅=⋂．若令{}Nn n n K ,,,max 21 =，则N i b a b a i i n n K K ,,2,1,],[],[ =⊂，从而N i U b a i K K ,,2,1,],[ =∅=⋂． （Ж）但是Ni iU 1=覆盖了],[11b a ，也就覆盖了],[K K b a ，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在 ,2,1,],[=∈ξn b a n n ．（有关ξ惟一性的证明，与一般方法相同．） □１２．设S 为非空有界数集．证明：S S y x Sy x inf sup ||sup ,-=-∈．证 设η<ξ=η=ξ且,sup ,inf S S （ 若η=ξ，则S 为单元素集，结论显然成立 ）．记{}Sy x y x E ∈-=,||，欲证ξ-η=Esup ．首先，S y x ∈∀,，有ξ-η≤-⇒η≤ξ≥||,y x y x ，这说明ξ-η是E 的一个上界．又因2,0ε-η>ε∀ ⎪⎭⎫⎝⎛ε+ξ2不再S 的上()下界，故S y x ∈∃00,，使ε-ξ-η≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫ε+ξ<ε-η>)(||220000y x y x , 所以ξ-η是E 的最小上界，于是所证结论成立． □１３．证明：若数集S 存在聚点ξ，则必能找出一个各项互异的数列{}S x n ⊂，使ξ=∞→n n x l i m．证 依据聚点定义，对S U x ⋂εξ∈∃=ε);(,1111 ．一般地，对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ξ=ε-1,1min n n x n ，,3,2,);(=⋂εξ∈∃n S Ux n n ．如此得到的数列{}S x n ⊂必定满足：,3,2,||||11=≠⇒ξ-<ξ---n x x x x n n n n ；ξ=⇒∞→→<ξ-∞→n n n x n nx lim )(01||． □41*．设S 为实轴上的一个无限点集．试证：若S 的任一无限子集必有属于S 的聚点，则（１）S 为有界集；（２）S 的所有聚点都属于S ．证 （１）倘若S 无上界，则对1111,,1M x S x M >∈∃=使；一般地，对于{},3,2,,,,max 1=>∈∃=-n Mx S x x n Mnn n n n使．这就得到一个各项互异的点列{}∞=⊂∞→n n n x S x lim,使．S 的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以S 必有上界．同理可证S 必有下界，故S 为有界集．（２）因S 为有界无限点集，故必有聚点．倘若S 的某一聚点S ∉ξ0，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列{}0lim,ξ=⊂∞→n n n x S x 使．据题设条件，{}nx 的惟一聚点0ξ应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ． □51*．证明：{}{}nn a a ∉ξ=sup，则必有ξ=∞→n n a lim ．举例说明，当上述ξ属于{}n a 时，结论不一定成立．证 利用§1.3 例4，{}{}n na a k⊂∃，使ξ=∞→knn a lim ，这说明ξ是{}na 的一个聚点．又因ξ又是{}n a 的上界，故{}n a 不可能再有比ξ更大的聚点．所以ξ是{}n a 的上极限．当{}n a ∈ξ时，结论不一定成立．例如，1,111sup ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 显然不是⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的上极限． □61*．指出下列数列的上、下极限：（１）{}n)1(1-+； （２）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12)1(n nn； （３）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧πnn 3cos； （４）⎭⎬⎫⎩⎨⎧π+4sin 12n n n ； （５）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧π+n n n sin12． 解（１）0lim ,2lim ,0,2122==≡≡∞→∞→-n n n n k k a a a a 故．（２）)(211412,21142122∞→-→---=→+=-k k k a k k a k k ，故21lim ,21lim -==∞→∞→n n n n a a ．（３）)(13cos211∞→≤π≤←n n nn， 故1lim lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n a a a ．（４）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=+⋅--=+-=+=+++=+⋅=π+=.38,18,12222,8,12,4,0,28,12,38,18,12224sin 12k k n n nk n n nk n k n n n k k n n n n n n a n故2lim ,2lim -==∞→∞→n n n n a a ．（５）)(sin )1(sin 1222∞→π→ππ⋅+π=π+=n n nnn n n na n ，故π===∞→∞→∞→n n n n n n a a a lim lim lim ． □71*．设{}n a 为有界数列，证明：（１）1lim )(lim =-=-∞→∞→n n n n a a ； （２）n n n n a a ∞→∞→-=-lim )(lim ．证 由)(sup )(inf ,)(inf )(sup k nk k nk k nk k nk a a a a ≥≥≥≥-=--=-，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）． □81*．设0lim >∞→n n a ，证明：（１）nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim； （２）nn nn a a ∞→∞→=lim 11lim；（３）若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ，或11lim lim =⋅∞→∞→n n n n a a ，则{}n a 必定收敛．证 由)(sup 11inf ,)(inf 11sup k nk k n k k nk k n k a a a a ≥≥≥≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）．若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则由（１）立即得到 n n n n a a ∞→∞→=lim lim ，因此极限n n a ∞→lim 存在，即得结论（３）． 类似地，若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则由（２）同样可证。
数学分析作业参考解答
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
同理得到： （1）递增； （2）递减； （3）递增； （4）递减. 7. 解：对于 0 < x ) y < ∞ ，有： f x
(
)
( ) ≥ f (x + y ) ，即： x + y f x ≥ xf x + y . ( ) ( ) ( ) x x +y ( ) () ( )
( )
f (c) − f (a ) f (c) − f (b) f (d ) − f (b) ≤ ≤ . c −a c −b d −b
第二章 极限论
§2 有界数集的确界
1. 证明：(1)方法 I: 当 n = 1 时， 1 1 成立 < 2 3 1 2k + 1
1 3 2k − 1 假设当 n = k 时，有 ⋅ ⋅ ⋅ < 2 4 2k 1 3 2k − 1 2k + 1 ⋅ ⋅ ⋅ < 2 4 2k 2k + 2 2k + 1 2k + 1 2k + 2 1
lim bn = b 可得， 3. 证明： 不妨设 a > b ， 由 lim an = a ， 对于 ε 0 =
n →∞ n →∞
a 0b ， ∃N 1, N 2 2
使得当 n > N 1 时， an − a <
a −b a −b ， n > N 2 时， bn − b < . 2 2 a +b < bn ，max an , bn = an . 2
同理可得： x + y f y ≥ yf x + y
两式相加可得： x + y f x + f y ≥ x + y f x + y 由于 x + y > 0 ，故 f x + f y ≥ f x + y
高数第一章考试例题答案解析
高数第一章考试例题答案解析在学习高等数学时，一章考试是一个重要的环节。
在这里，我们将介绍一些常见的高等数学第一章考试例题及其答案解析，从而帮助广大学子更好地学习、运用和修正高等数学知识。
1.题：在平面直角坐标系中，若设$frac{dx}{dt}=6$,$frac{dy}{dt}=4$,并$x_0=2$,$y_0=0$，求点$(x,y)$的位置。
答案：其中$frac{dx}{dt}=6$表示$x$在$t$的变化率为$6$，而$frac{dy}{dt}=4$表示$y$在$t$的变化率为$4$，根据提供的条件，当$t=0$时，$x_0=2$，$y_0=0$。
因此，当$t$变化时，可得$x=2+6t$，$y=0+4t$。
设$t=k$，则$x=2+6k$,$y=4k$，所以点$(x,y)$的位置为$(2+6k,4k)$。
2.题：求函数$y=x^2+2x-3$关于$x$的一阶导数。
答案：设函数$y=x^2+2x-3$，其关于$x$的一阶导数为$frac{dy}{dx}$，根据微分法则，有$frac{dy}{dx}=2x+2$。
3.题：已知$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值答案：设函数$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值，其一阶导数为$f(x)=4x-7$，求$f(x)$的零点为$x=frac{7}{4}$，此时函数$f(x)$取得极值，由$f(x)=2x^2-7x+6$，算得极值为$f(frac{7}{4})=frac{25}{8}$。
4.题：已知函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域。
答案：设函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域，由于分母$sin{x}$不能为零，因此$f(x)$的定义域为$ {cos{x}eq -3sin{x}}$。
从上述例题分析可知，高等数学中各章考试例题的答案解析有着非常清晰的规律性和解题思路，如果可以找到正确的解题方法，就可以轻松解答大部分考试例题。
数学分析课本(华师大三)-习题及答案第一章
第一章 实数集与函数一、填空题1． 已知函数)(x f 的定义域为[]4,0，则函数)1()1()(-++=x f x f x g 的定义域为_________。
2． 设x e x f =)(，[]21)(x x g f -=，则=)(x g _______3．函数 2112++-=x xy 的定义域是 ； ４．函数 x x y 1arctan 3+-= 的定义域是 ； ５．设 ⎩⎨⎧<+≥++=1 x , 2x 1 x , 14)(3x x x f ，则 )4(+x f = ； ６．函数 2tan 32sin2x x y += 的周期是 ； ７．把函数 32arcsin ln x y = 分解为简单函数 ；８．函数 1 x , 1≥-=x y 的反函数是 ； ９．函数 1+=x e y 的反函数是 ；10．设 , cos (x), )(2)(x a e x f a x +==-ϕ则 =)]([x f ϕ ；11．212arccosxx y +=的定义域是 ，值域是 ； 12．假设xx f -=11)(，则=)]([x f f ，=)]}([{x f f f ； 13．假设31)1(22++=+x x x x f ，则=)(x f ； 14．设⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤-=31 1-10 201 2)(x x x x x f x ，则)(x f 的定义域是 ，=)0(f ，)1(f = ； 15．函数xy ln 1=的定义域是 ； 16．设)(x f y =的定义域是]1,0[，则)(2x f 的定义域是 ；17．设函数, 1)(, ln 1)(+=+=x x g x x f 则=)]([x g f ； 18．设⎩⎨⎧<≤+<<-=20102 sin )(2x x x x x f ，则=)2(πf ；19．函数11+-=x x y 的反函数是 ； 20．函数x y ln 1+=的反函数是 ；二、选择填空1．点0x 的)0(>δδ邻域是区间〔 〕．)(A ], [00δδ+-x x )(B (δδ+-00, x x ］)(C ［δδ+-00, x x ) )(D 〔δδ+-00, x x 〕2．函数)1lg(1-=x y 的定义域是〔 〕． )(A ) , 1(∞+ )(B ) , 1()1 , 0(∞+)(C ) , 2()2 , 0(∞+ )(D ) , (22) , 1(∞+3．设3)(, ln )(+==x x g x x f ，则)]([x g f 的定义域是〔 〕．)(A ) , 3(∞+- )(B [∞+- , 3) )(C 3) , (-∞ )(D 3] , (-∞4．函数1)1ln(-+=x x y 的定义域是〔 〕．)(A }1|{->x x )(B }1|{>x x )(C }1|{-≥x x )(D }1|{≥x x5．函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=43 93 9)(22x x x x x f 的定义域是〔 〕． )(A )4 , 3[- )(B )4 , 3(- )(C 4] , 4[- )(D 4) , 4(-6．函数216ln 1x xx y -+-=的定义域是〔 〕． )(A 1) , 0( )(B 4) , (11) , 0( )(C 4) , 0( )(D 4] , (11) , 0(7．假设2)1()1(xx x f +=，则=)(x f 〔 〕． )(A 2)1(+x x )(B 2)1(xx + )(C 2)1(x + )(D 2)1(x - 8．⎩⎨⎧≥<=1x 01x sin )(x x f ，则=-)4(πf 〔 〕)(A 0 )(B 1 )(C 22 )(D 22- 9．如果)1,0( log ,2≠>==a a x u u y a ，则将y 表示成x 的函数是〔 〕)(A 2log x a )(B x a 2log )(C x a log 2 )(D x a 2log三、计算题1．试在数轴上表示出下面不等式的解:(1) x(x 2-1)>0; (2) |x-1|<|x-3|; (3)23x 12x 1x -<---;2．设a 与b 为已知实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示以下不等式的解:(1) |x-a|<|x-b|; (2) |x-a|<x-b; (3) |x 2-a|<b.3．用区间表示以下不等式的解:(1) |1-x|-x ≥0; (2) |x+x1|≤6; (3) (x-a)(x-b)(x-c)>0,(a 、b 、c 为常数且a<b<c); (4)sinx ≥22. 4．确定以下初等函数的存在域:(1) y=sin(sinx); (2) y=lg(lgx);(3) y=arcsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛10x lg; (4) y=lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛10x arcsin . 5. 设函数 ⎩⎨⎧>≤+=0.x ,20,x x,2f(x)x 求 (1) f(-3),f(0),f(1); (2) f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0) (△x>0).6. 设函数f(x)=x11+,求f(x+2),f(2x),f(x 2),f(f(x)),f(f(x)1) 7.试问以下复合函数是由那些些初等函数复合而成:(1) y=(1+x)20; (2) y=(arcsinx 2)2; (3) y=lg(1+2x 1+); (4) y=x sin 22 8.求以下函数的周期:(1) f(x)=cos 2x; (2) f(x)=2tg(3x); (3) f(x)=cos2x +2sin 3x . 9. 设函数f(x)=x1x 1+-,求: f(0),f(-x),f(x+1),f(x+1)f(x 1),f(x)1,f(x 2),f(f(x)). 10. 已知f (x1)=x+2x 1+,求f(x).四、证明题1． 证明: 对任何x ∈R,有(1)|x-1|+|x-2|≥1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.2．设a 、b 、c 为三个任意的实数,证明:|c b ||c a b a |2222-≤+-+你能说明此不等式的几何意义吗?3． 设x>0,b>0且a ≠b,证明x b x a ++介于1与ba 之间. 4．求以下数集的上、下确界,并依定义加以验证.(1) S={x|x 2<2};(2) S={x|x=n!,n 为自然数};(3) S={x|x 为(0,1)内的无理数}; (4) S={x|x=1-n21,n=1,2,…}. 5． S 为非空有下界数集.证明: infS=ξ∈S 的充要条件是ξ=minS.6．设S 是非空数集,定义S={x|-x ∈S },证明:(1)infS —=-supS; (2) supS —=infS.7．设A 、B 皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x ∈A,y ∈B}.证明:(1)sup(A+B)=supA+supB; (2) inf(A+B)=infA+infB.8. 证明: f(x)=2x 1x +是R 上的有界函数. 9. 证明以下函数在指定区间上的单调性:(1) y=3x-1在(-∞,+∞)内严格递增;(2) y=sinx 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上严格递增; (3) y=cocx 在[0,π]上严格递减.10. 证明: 设f(x)为严格单调函数,假设f(x 1)=f(x 2),则x 1=x 2.11. 设f(x)为定义在[-a,a]上的任一函数,证明:(1)F(x)=f(x)+f(-x),x ∈[-a,a]为偶函数;(2)G(x)=f(x)-f(-x) x ∈[-a,a]为奇函数.(3)f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和12. 设f(x)、g(x)为定义在D 上的有界函数,且f(x)≤g(x),x ∈D,证明:(1) g(x)sup f(x)sup D x D x ∈∈≤; (2) g(x)inf f(x)inf Dx D x ∈∈≤.13. 设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) f(x)inf -{-f(x)}sup D x D x ∈∈=; (2) f(x)sup -{-f(x)}inf Dx D x ∈∈=14. 证明:函数f(x)=tgx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内可无界函数,但在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内任一闭区间[a,b]上有界 15. 证明: f(x)=x+sinx 在(-∞,+∞)内是严格递增函数16. 设a,b 为实数,证明: (1) max{a,b}=21(a+b+|a-b|); (2) min{a,b}=21(a+b-|a-b|).。
谢惠民数学分析习题课讲义部分题目解答
数学分析习题课讲义问题解答第一章引论1.3.2练习题1.关于Bernoulli 不等式的推广:(1)证明:当12-≤≤-h 时Bernoulli 不等式nh h n+≥+1)1(仍成立;(2)证明:当0≥h 时成立不等式2)1()1(2h n n h n-≥+,并推广之;(3)证明:若),,2,1(1n i a i =->且同号,则成立不等式∑∏==+≥+ni in i iaa 111)1(.2.阶乘!n 在数学分析以及其他课程中经常出现,以下是几个有关的不等式,它们都可以从平均不等式得到:(1)证明:当1>n 时成立nn n )21(!+<;【证明】利用平均值不等式,有n nk nk kk n ∏∑==≥111所以nn n )21(!+≤因为1>n ,所以取等号的条件n === 21不满足,故nn n 21(!+<.(2)利用)1(]2)1)[(1()!(2n n n n ⋅⋅-⋅= 证明:当1>n 时成立nn n 62(!+<;【证明】利用平均值不等式,有n nk nk k n k k n k n ∏∑==-+≥-+11)1()1(1所以nn n n n n 62(]6)2)(1([!+<++≤(3)比较(1)和(2)中两个不等式的优劣,并说明原因;(4)证明:对任意实数r 成立nn k r n rk n n )(1)!(1∑=≤.【证明】利用平均值不等式,有n nk rn k rkk n ∏∑==≥111所以nn k r n rk n n )(1)!(1∑=≤3.证明几何平均值-调和平均值不等式:若0>k a ,n k ,,2,1 =,则有∑∏==≥nk knnk k a n a 1111)(【证明】利用平均值不等式,有n nk kn k ka a n ∏∑==≥11111所以∑∏==≥nk knnk k a n a 1111)(4.证明:当c b a ,,为非负数时成立333cb a ca bc ab abc ++≤++≤.【证明】由于cabc ab c b a a c c b b a ++≥++⇒≥-+-+-2222220)()()(所以33)(3)(2cabc ab cb a ca bc ab c b a ++≥++⇒++≥++利用平均值不等式,有323)(33abc ca bc ab ca bc ab =⋅⋅≥++所以33abc ca bc ab ≥++5.证明下列不等式:(1)b a b a -≥-和b a b a -≥-;【证明】利用三点不等式,有ab b a b b a =+-≥+-)(由对称性知ba b a ≥+-所以ba ab b a b a -=--≥-),max((2)∑∑∑===≤≤-n k k nk knk ka aaa 1121;有问:左边可否为∑=-nk k a a 21?【证明】利用(1)的结论,有∑∑∑====-≤-nk knk knk kaa aaa 21111反复利用三点不等式,有∑∑∑∑∑=====≤≤++≤+≤+=nk knk knk knk k nk ka aa a aa a a a132121211再利用这个结论,有∑∑∑===≤≤-nk knk knk ka aaa 2211(3)bb aa ba b a +++≤+++111;【证明】显然函数x x x x f +-=+=1111)(是单调增加的,所以有bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++111111(4)nnnna b a a b a -+≤-+)()(.【证明】利用三点不等式,有nnn n n n n n n b a b a b a a a b a a a b a )()()()(+≤+=+≤+-+=+-+第二章数列极限2.7.3参考题第一组参考题1.设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 分别收敛于数c b a ,,.取}{12-k a 的一个子列}{36-k a ,它收敛于数a ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c a =.取}{2k a 的一个子列}{6k a ,它收敛于数b ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c b =.于是有b a =.对任给的0>ε,存在正整数1N 与2N ,当1N n >时有εa a n <--12,当2N n >时有εa a n <-2.现取),max(221N N N =,当N n >时有εa a n <-,故}{n a 收敛于a .2.设}{n a 有界,且满足条件2+≤n n a a ,3+≤n n a a ,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】由条件2+≤n n a a 知}{12-k a 与}{2k a 都是单调增加的数列,又有界,故都收敛.由条件3+≤n n a a 知}{3k a 单调增加,又有界,故收敛.利用1的结论知}{n a 收敛.3.设}{1++n n a a 和}{2++n n a a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{1++n n a a 和}{2++n n a a 分别收敛于数b a ,.那么有ab a a a a a a n n n n n n n n -=+-+=-++∞→++∞→)]()[(lim )(lim 1212ba a a a a a a n n n n n n n n -=+-+=-+++∞→+∞→)]()[(lim )(lim 2211进而有)]()[(lim )(lim 1122=-+-=-+++∞→+∞→n n n n n n n n a a a a a a 故2)]()[(lim 21lim 22a a a a a a n n n n n n n =--+=++∞→∞→5.设∑=-+=nk n nka 12)11(,+∈N n ,计算n n a ∞→lim .【解】由于∑∑∑∑====++≤++=-+≤++nk n k n k n k nknn k n k n k n k n n 122122121221111111)11(111而2121lim lim 12=+=∞→=∞→∑n n n k n nk n 211111lim2=++∞→n n ,21111lim 2=++∞→nnn 故41lim =∞→n n a 7.设p a a a ,,,10 是1+p 个给定的数,且满足条件010=+++p a a a .求)1(lim 10p n a n a n a p n +++++∞→ 【解】)1(lim 10p n a n a n a p n +++++∞→ 1)[(lim 121p n a n a n a a a p p n +++++----=∞→()1([lim 1n p n a n n a p n -+++-+=∞→ 01(lim 1=++++++=∞→np n pa n n a p n 8.证明:当10<<k 时,0])1[(lim =-+∞→kkn n n 【证明】(这里用到后面将要学习的等价无穷小知识)0lim ]1)11[(lim ])1[(lim 1==-+=-+-∞→∞→∞→k n k k n k k n n k nn n n 12.证明:nnn n n)2(e !)e(<<.【证明】利用数列})11{(nn+单调增加趋于e ,有!)e(!!)1()11()211()111(e 21n nn n n n n n n n n n<⇒>+=+++> 利用1.3.2中题2的结论:nn n )21(!+<,有nn n n n n n n n n n n n )2(e !!2)1()11(e <⇒>+=+>14.设n na n 2131211-++++= ,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】一方面,有01211212111<++-+=++-+=-+nn n n n n a a n n 另一方面,有n n n a n 2124323221-++++++++> n n n 21(2)34(223(21--+++-+-+= 221212221->-++-=n n 根据单调有界定理知}{n a 收敛.15.设已知存在极限na a a n n +++∞→ 21lim ,证明:0lim =∞→n an n .【证明】设T T na a a n n→=+++ 21,∞→n ,于是1)1(---=n n n T n nT a ,2≥n ,由此得0])11([lim lim1=-=--=-∞→∞→T T T nT n a n n n n n 17.设对每个n 有1<n x 和41)1(1≥-+n n x x ,证明}{n a 收敛,并求其极限.【证明】显然有0>n x ,2≥n .所以有1211)21()1(41+++≤⇒+-≤-≤n n n n n n x x x x x x 根据单调有界定理知}{n a 收敛,且可设收敛于数10≤≤A ,于是有41)1(≥-A A ,解得21=A .18.设b a =1,c a =2,在3≥n 时,221--+=n n n a a a ,证明}{n a 收敛,并求其极限.【证明】由于)(21211-----=-n n n n a a a a ,所以)(21()()21(21221b c a a a a n n n n --=--=----,进而有b bc a b c a n n n n +-----=+-++-+--=---)()21(1)21(1]21()21()21)[((11032 ,于是32lim c b a n n +=∞→.第二组参考题1.设n a n +++= 21,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】利用不等式1111211+-=+-+-≤+-n n n n n ,+∈N n 以及221-≤-n n ,3≥n 有2213411231+≤≤+-+-++≤+-+-++≤ n n n n a n 又因为}{n a 是单调增加的数列,利用单调有界定理知}{n a 收敛.2.证明:对每个正整数n ,成立不等式n k n nk n 2e!1)11(0->+∑=.【证明】利用1.3.2中题1的结论:∑∏==+≥+ni in i iaa 111)1(,),,2,1(1n i a i =->且同号,当2≥n 时有∑∑∑===---++=-==+nk n k k n k k k n n n k n k n k n n k n C n 200)11()11(!111)!(!!11)11(∑∑==--++=----++>nk nk n k k k n k n k 22)2)1(1(!111111(!111 n k k n k nk n k nk 2e !1)!2(121!1020->--=∑∑∑===当1=n 时,2e22->显然成立.3.求极限)e !π2sin(lim n n n ∞→.【解】利用命题2.5.4,有1(π21!!(π2e !π2)11!!(π211(π200n N n k n n n k n n N nk n k +=+<<++=++∑∑==所以nn n n n n π2sin e)!π2sin(1π2sin<<+,4≥n 利用夹逼准则知π2)e !π2sin(lim =∞→n n n 4.记n S n 1211+++= ,+∈N n .用n K 表示使得n S k ≥的最小下标,求极限nn n K K 1lim +∞→.【解】由条件知n K K n S n n 1+≤≤与01lim=∞→nn K 因为γn S n n =-∞→)ln (lim 而nn n K n K K n K S K n n 1ln ln ln +-≤-≤-所以)ln (lim )ln (lim n n n n K n γK n -≥≥-∞→∞→于是γK n n n =-∞→)ln (lim 所以11)]ln 1()ln [(lim lnlim 11=+-+--=+∞→+∞→n n n nn n K n K n K K 故elim 1=+∞→nn n K K 5.设∑==nk k n n Cnx 02ln 1,+∈N n ,求n n x ∞→lim .【解】利用Stolz 定理,有220112)1(ln ln lim ln 1limlim n n C CCn x nk kn n k k n n nk k nn n n -+-==∑∑∑=+=+∞→=∞→∞→1211ln lim 12)ln (ln lim 01+-++=+-=∑∑=∞→=+∞→n kn n n C Cnk n nk k nk n n )12()32(11ln 22ln lim 01+-+-++--++=∑∑=+=∞→n n k n n k n n nk n k n 11ln 12ln (lim 2110∑∑==∞→-++--++=n k n k n k n n k n n 2112ln lim 21)12ln 12(ln lim 211=++=+++++=∞→=∞→∑n n n n n n n n n k n 6.将二项式系数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n ,,1,0 的算术平均值和几何平均值分别记为n A 和n G .证明:(1)2lim =∞→n n n A ;(2)e lim =∞→n n n G .【证明】由于n nnA n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ 10)11(,所以有22lim 2lim lim ===∞→∞→∞→n n n nn nn n nn A 因为)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以21)!!1!0()!(n n G n nn ⨯⨯⨯=+ ,所以有)!!2!1ln(2!ln )1(exp(lim ])!!2!1()!([lim lim 21212n n n n n n G n n n n n n n ⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯=∞→+∞→∞→ 12!ln )1ln(exp(lim )12)!1ln(2!ln )1()!1ln()2(exp(lim +-+=++-+-++=∞→∞→n n n n n n n n n n n n )21exp(212ln)1(exp(lim =+++=∞→n n n n 7.设∑==nk kn aA 1,+∈N n ,数列}{n A 收敛.又有一个单调增加的正数数列}{n p ,且为正无穷大量.证明:lim2211=+++∞→nnn n p a p a p a p【证明】利用Stolz 定理,有nn n n n n n n n p A A p A A p A p p a p a p a p )()(lim lim 1122112211-∞→∞→-++-+=+++ nnn n n n n p A p A p p A p p A p p +-++-+-=--∞→11232121)()()(lim 0lim lim lim )(lim11=+-=+--=∞→∞→∞→++∞→n n n n n n nn nn n n A A A p p A p p 8.设}{n a 满足1)(lim 12=∑=∞→ni i n n aa ,证明:13lim 3=∞→n n a n .【证明】令∑==ni in aS 12.因为1)(lim 12=∑=∞→ni i nn aa ,所以}{n a 不会恒为零,故}{n S 当n 足够大时是单调增加的正数列.若+∞=∞→n n S lim ,则01limlim 12==∑=∞→∞→ni i n n n a a ;若}{n S 收敛,则0lim 0lim 2=⇒=∞→∞→n n n n a a ;即总有0lim =∞→n n a .所以1lim )(lim lim 11211111==-=++∞→++++∞→+∞→n n n n n n n n n n n S a a a S a S a 以及+∞=∞→n n S lim ,故31)(1lim )1(lim lim )(lim lim 2121213313333=++=--+==⋅=+++∞→+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n nn S S S S a S S n n S n S S a n na 所以13lim 3=∞→n n a n 12.设10<<λ,}{n a 收敛于a .证明:λa a λa λa λa n n n n n -=++++--∞→1)(lim 0221 【证明】令a a b n n -=,那么)]()()[(lim )(lim 010221a b λa b λa b a λa λa λa n n n n n n n n n ++++++=++++-∞→--∞→ λa b λb λb λλa b λb λb n n n n n n n n n n -++++=+++++++=-∞→∞→-∞→1)(lim )1(lim )(lim 0101 故只需要证明)(lim 01=+++-∞→b λb λb n n n n 存在正数M 使得M b n <恒成立.对任给的0>ε,存在正整数N ,当N n >时有εb n <.所以当N n >时有估计11101b λb λb λb λb b λb λb n N N n N N n n n n n n ++++++≤+++-+---- M λλελλn N n N n )()1(1++++++≤--- M λN ελN n -++-≤)1(11因为0lim =-∞→Nn n λ,所以存在正整数N N >1,当1N n >时有εMN λN n )1(1+<-,此时有估计ελb λb λb n n n )111(01+-≤+++- 故)(lim 01=+++-∞→b λb λb n n n n 17.令20≥y ,221-=-n n y y ,+∈N n .设nn y y y y y y S 10100111+++=.证明:24lim 200--=∞→y y S n n 【证明】令10-+=a a y ,1≥a .可归纳得出nna ay n 22-+=,+∈N n ,即12211++=n na a y n .当1=a ,即20=y 时有2≡n y ,于是24121212120012--=→+++=+y y S n n ,∞→n ,命题成立;当1>a 时,有)1111(111)1()1)(1(121211211022222222222210+++++----=--=+++=n n n n n n aa a a a a a a a a a a a a y y y n 于是a a a a a a a a a S n k k n nk n n n 1)1111(lim 1)1111(lim 1lim 2212220222=----=----=+++∞→=∞→∞→∑而aa a a a y y 12)()(2411200=--+=----.第三章实数系的基本定理第四章函数极限4.5.2参考题7.对一般的正整数n 计算极限30sin sin limxxn nx x -→.【解】31030)sin )1sin((sin lim sin sin lim x x x k kx x x n nx nk x x ∑=→→---=-31031021sin 2sin 2sin 4lim ]2cos )21[cos(2sin 2lim x xk x k x x x x k x n k x n k x ∑∑=→=→--=--=6)1()1(2121--=--=∑=n n k k n k 11.设函数f 在),0(+∞上单调增加,且有1)()2(lim =+∞→x f x f x .证明:对每个0>a ,成立1)()(lim =+∞→x f ax f x .【证明】当1>a 时,存在正整数k 使得k k a 221≤≤-,于是)2()(lim )2()()2()2()()2(lim )()(lim 112x f ax f x f ax f x f x f x f x f x f ax f k x k x x -+∞→-+∞→+∞→==)2()(lim )2()()2()2(lim )2()(lim 11x f ax f x f ax f x f x f x f ax f k x k k k x k x +∞→-+∞→-+∞→==由于f 单调增加,所以1)2()(1≥-x f ax f k ,1)2()(≤x f ax f k,所以有)()(lim1)()(limx f ax f x f ax f x x +∞→+∞→≤≤故1)()(lim=+∞→x f ax f x 当10<<a 时,利用上述结果,有1)((1lim )()(1lim )()(lim ===+∞→=+∞→+∞→t f atf ax f x f x f ax f t t ax x x 当1=a 时显然,故对每个0>a ,成立1)()(lim =+∞→x f ax f x .第五章连续函数第六章导数与微分6.1.4练习题6.2.4练习题6.3.4练习题6.4.2参考题第一组参考题1.利用导数的定义计算极限xx x x sin )sin 1()tan 1(lim 10100--+→.【解】利用导数的定义,有xx x x sin )sin 1()tan 1(lim 10100--+→x x x x x x x x sin 1)sin 1(lim sin tan tan 1)tan 1(lim 100100---+-+=→→20))1((1))1((010010='++⨯'+===x x x x 2.设231)(2++=x x x f ,计算)0()100(f ,要求相对误差不超过1%.【解】由于2111)2)(1(1)(+-+=++=x x x x x f 所以101101)100()2(!100)1(!100)(+-+=x x x f 所以)211(!100)0(101)100(-=f 取!100)0()100(≈f,则相对误差为01.0121211(!100)211(!100!100101101101<-=---.3.设f 在点a 处可导,0)(≠a f .计算n n a f n a f ])()1([lim +∞→.【解】)()1(ln exp(lim ])()1([lim a f n a f n a f n a f n n n +=+∞→∞→由于)()(exp(1)()1()(1exp(lim ))()1(ln exp(lim a f a f xa f x a f a f a f x a f x x x '=-+=++∞→+∞→利用Heine 归结原则,有))()(exp()()1([lim a f a f a f n a f n n '=+∞→5.设0)0(=f ,)0(f '存在.定义数列)()2(1(222nn f n f n f x n +++= ,+∈N n ,试求n n x ∞→lim .【解】由于xx f x f x f f x x )(lim 0)0()(lim)0(00→→=--=',所以对任给的0>ε,存在0>δ,当δx <<0时有])0([)(])0([εf x x f εf x +'<<-'取11[+=δN ,当N n >时有δnn<<20,所以有])0()[21(])0(21(222222εf nnn n x εf n n n n n +'+++<<-'+++ 而n n n n n n 2121222+=+++ 所以εf x n nn <'-+)0(12故2)0(lim )0(lim 2)]0(12[lim 0f x f x f x n n n n n n n n '=⇒'-='-+=∞→∞→∞→6.求下列数列极限:(1))sin 2sin 1(sinlim 222n nn n n +++∞→ ;【解】运用上题的结论,考虑函数x x f sin )(=,即得21)0(21)sin 2sin 1(sinlim 222='=+++∞→f n n n n n (2))]1()21)(11[(lim 222n nn n n +++∞→ .【解】运用上题的结论,考虑函数)1ln()(x x f +=,即得e ))0(21exp(1(2111[(lim 222='=+++∞→f n n n n n 7.设xx y -+=11,计算)()(x y n ,+∈N n .【解】由于x xx x y ---=---=1121)1(2,通过求导找规律直接可得2122121)()1(2!)!32()1(2!)!12()(--+----+--=n nn n n x n x n x y ,2≥n 以及xx y -+-='-121)1(238.设f 在R 上有任意阶导数,证明:对每个正整数n 成立)(1)(1)]1([)1()1(1n n n n n xf x x f x -+-=【证明】用数学归纳法,当1=n 时,右式='='-=)1(1])1([2xf x xf 左式;假设当n k =时成立)(1)(1)]1([)1()1(1k k k k k xf x x f x -+-=;当1+=n k 时有)1(11)1(11([)1()]1([)1(+-+++⋅-=-n n n n n n x f x x x f x ∑+=-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10)1(1)(11([1)1(n k k n n k n x f x x k n })]1()[1()]1([{)1()(1)1(11n n n n n x f x n x f x x -+-+++⋅-=)1(1])1(1[)(1)(1xf x n x f x x n n n n +++-'⋅-=)1(1)]1(1)1(1[)(1)1(3)(2xf x n x f x x f x n x n n n n n n +++++--+-⋅-=1(1)1(2xf x n n ++=由归纳原理知命题成立.10.证明组合恒等式:(1)112-=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n k n k ,+∈N n ;【证明】考虑恒等式∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k nx k n x 1)1(,对x 求导得∑=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k n x k n k x n 111)1(,再令1=x 即得112-=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n k n k (2)2122)1(-=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n n k n k ,+∈N n .【证明】由(1)可知∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n k kn x k n k x nx 11)1(,对x 求导得∑=---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++nk k n n x k n k x x n x n 11221])1()1()1[(再令1=x 即得2122)1(-=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n n k n k 第二组参考题1.(1)求∑=n k kx 1sin 和∑=nk kx 1cos ;【解】利用积化和差公式)cos()cos(sin sin 2y x y x y x --+=-可知2cos)21cos(])21cos()21[cos(sin 2sin 211x x n x k x k kx x nk n k -+=--+=-∑∑==于是有2sin2)21cos(2cos sin 1x xn x kx nk +-=∑=,π2k x ≠,Z ∈k 当π2k x =时有0sin 1=∑=nk kx ;同样地,利用公式)sin()sin(cos sin 2x y y x y x --+=可知2sin)21sin(])21sin()21[sin(cos 2sin 211x x n x k x k kx x nk n k -+=--+=∑∑==于是有2sin22sin )21sin(cos 1x xx n kx nk -+=∑=,π2k x ≠,Z ∈k 当π2k x =时∑=nk kx 1cos 发散;(2)求∑=nk kx k 1sin 和∑=n k kx k 1cos .【解】利用(1)的结论,对结果求导即知4.证明:Legendre 多项式nnn n n x xn x P )1(d d !21)(2-=满足方程)()12()()(11x P n x P x P n n n +='-'-+【证明】直接计算可得])1()1(2[d d )!1(21)1(d d )!1(21)(2111122211nn n n n n n n n x x n xn x x n x P -++=-+='++++++++])1(2)1[(d d !21])1([d d !211222211-++-+-=-=n n n n n n n n n x nx x x n x x x n ])1)(11[(d d )!1(21)(1221---+--+=n nn n n x x x n x P ])1[(d d )!1(21)()12(121----++=n nn n n x x n x P n )()()12(1x P x P n n n -'++=5.证明:Legendre 多项式满足方程)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n 【证明】考虑函数nx y )1(2-=,求导得12)1(2--='n x nx y ,即nxy y x 2)1(2='-,两边求1+n 次导数,利用Leibniz 公式,有∑∑+=-+++=-++='-1)1()(11)1()(21)()(2)()1(n k k n k k n n k k n k k n y x C n y x C即])1([2)1()1(2)1()()1()()1()2(2n n n n n y n xy n y n n xy n y x ++=++++-+++整理得)()1()2(2)1(2)1(n n n y n n xy y x +=+-++故0)1(2)1()()1()2(2=++--++n n n y n n xy y x 所以)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n 第七章微分学的基本定理7.2.4练习题10.设f 在]1,1[-上有任意阶导数,0)0()(=n f,+∈∀N n ,且存在常数0≥C ,使得对所有+∈N n 和]1,1[-∈x 成立不等式n n C n x f !)()(≤.证明:0)(≡x f .【证明】写出nn n n n n x n ξf x n ξf x n f x f f x f !)(!)()!1()0()0()0()()()(1)1(=+-++'+=-- ,x ξ≤,所以有nn n Cxξf n x x f ≤=)(!)()(若10<≤C ,那么0)(→≤n C x f ,∞→n 此时有0)(≡x f ,]1,1[-∈x ;若1≥C ,那么当Cx C 2121<<-时有021)(→≤nx f ,∞→n 此时有0)(≡x f ,]21,21[CC x -∈,在这之上有0)0()(=n f ,+∈∀N n ,故以此类推可知分别在]22,21[C C ,]21,22[CC --,…等区间上都有0)(≡x f ,从而有0)(≡x f ,]1,1[-∈x .11.设f 在],[b a 上二阶可微,且0)()(='='b f a f .证明:存在),(b a ξ∈,使得成立)()()(4)(2a fb f a b ξf --≥''.【证明】写出2121))((21)())((21))(()()(a x ξf a f a x ξf a x a f a f x f -''+=-''+-'+=2222))((21)())((21))(()()(b x ξf b f b x ξf b x b f b f x f -''+=-''+-'+=其中b ξx ξa <<<<21.取2ba x +=,则分别有4)(2)()()2(21a b ξf a f b a f -''+=+,4)(2)()(2(22a b ξf b f b a f -''+=+以上两式相减可得4)()]()([21)()(0212a b ξf ξf a f b f -''-''+-=移项后,由三点不等式可得)(])()([21)()()(4122ξf ξf ξf a f b f a b ''≤''+''≤--其中))(,)(max()(21ξf ξf ξf ''''=''.13.设f 在),[+∞a 上二阶可微,且0)(≥x f ,0)(≤''x f ,证明:在a x ≥时0)(≥'x f .【证明】假设存在),[0+∞∈a x 使得0)(0<'x f ,那么当0x x ≥时)()(0x f x f '≤',进而有)()()()()()(0000x f x x ξf x x x f x f '-≤'-=-,x ξx ≤≤0,只需再令)()(000x f x f x x '->便得0)(<x f ,这与0)(≥x f 矛盾,所以在a x ≥时0)(≥'x f .14.设f 在)1,1(-上1+n 阶可微,0)0()1(≠+n f,+∈N n ,在10<<x 上有n n n n x n x θf x n f x f f x f !)()!1()0()0()0()()(1)1(+-++'+=-- ,其中10<<θ,证明:11lim 0+=→n θx .【证明】由导数定义可知xθf x θf fn n x n )0()(lim)0()()(0)1(-=→+1)(1)1(0)0(!])!1()0()0()0()([lim +--→----'--=n nn n n x x θx f n x n f x f f x f 而其中又有1)(1)1(0)0(!])!1()0()0()0()([lim +--→----'--n nn n n x x x f n x n f x f f x f 1)0()0()(lim 11)!1(!)0(!)(lim )1()()(0)()(0+=-+=+-=+→→n f x f x f n x n n f n x f n n n x n n x 所以11lim 1lim 1)0()0(00)1()1(+=⇒+=→→++n θθn f fx x n n 15.证明:在1≤x 时存在)1,0(∈θ,使得2)(1arcsin x θx x -=,且有31lim 0=→θx .【证明】利用Lagrange 中值定理知存在ξ介于0与x 之间使得210arcsin arcsin ξx x -=-当0=x 时任取)1,0(∈θ;当10≤<x 时有10<<x ξ,令xξθ=,故存在)1,0(∈θ使得2)(1arcsin x θx x -=所以31))(arcsin (arcsin lim arcsin arcsin lim arcsin 1lim lim 4022220222020=+-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x θx x x x 故31lim 0=→θx 16.设f 在)(0x O δ上n 阶可微,且0)()(0)1(0===''-x fx f n ,0)(0)(≠x f n .证明:当δh <<0时,成立h h θx f x f h x f )()()(000+'=-+,10<<θ,且成立11lim -→=n h nθ.【证明】利用Lagrange 中值定理知存在ξ介于0x 与h x +0之间使得hξf x f h x f )()()(00'=-+因而有100<-<h x ξ,令hx ξθ0-=,则成立h h θx f x f h x f )()()(000+'=-+,10<<θ.所以有1100000)()()()()()(--⋅'-+'='--+n n n θh θx f h θx f h h x f x f h x f 而!)(!)(lim )()()(lim 0)(0)1(00000n x f h n h x f h h x f x f h x f n n h n h =+='--+-→→)!1()()!1()(lim )()(lim )()()(lim 0)(0)1(010001000-=-+='-+'='-+'-→-→-→n x f t n t x f t x f t x f h θx f h θx f n n t n t n h 故10101lim 1lim -→-→=⇒=n h n h nθn θ7.3.2参考题第一组参考题1.设有n 个实数n a a a ,,,21 满足12)1(31121=--++--n a a a n n 证明:方程0)12cos(3cos cos )(21=-+++=x n a x a x a x f n 在区间2π,0(中至少有一个根.【证明】构造辅助函数x n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )(21--+++= 则可见0)2π()0(==F F .对F 在区间]2π,0[上用Rolle 定理,就知道)()(x f x F ='在区间)2π,0(中有零点.2.设0≠c ,证明:方程0345=+++c bx ax x 至少有两个根不是实根.【证明】设c bx ax x x f +++=345)(,那么22234)345(345)(x b ax x bx ax x x f ++=++='若03452=++b ax x 有两个相同实根,那么0≥'f ,此时f 严格单调增加,故方程只有一个实根,还有四个根不是实根;若03452=++b ax x 无实根,那么f 严格单调增加,同上;若03452=++b ax x 有两不同实根21x x <,那么f 在),(1x -∞,),(2+∞x 上严格单调增加,在),(21x x 上严格单调减少,此时方程至多有3个实根,还有两个根不是实根.3.设0≠a ,证明:方程n n na x a x 222)(+=+只有一个实根0=x .【证明】设n n na x a xx f 222)()(+-+=,那么])([2)(1212--+-='n n a x x n x f 当0>a 时,0)(<'x f ;当0<a 时,0)(>'x f .总之f 是严格单调的,故至多有一个实根,而0=x 是它的一个实根,所以方程只有一个实根0=x .4.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,且满足条件0)()(>b f a f ,0)2()(<+ba f a f 证明:对每个实数k ,在),(b a 内存在点ξ,使成立0)()(=-'ξkf ξf .【证明】因为0)2()(<+b a f a f ,0)2()(<+b a f b f ,所以f 在)2,(b a a +和),2(b ba +上分别存在一个零点1x 与2x .构造辅助函数)(e )(x f x g kx-=,那么0)()(21==x g x g ,于是存在),(21x x ξ∈使得有0)(='ξg ,0)]()([e =-'-ξkf ξf ξk ,故0)()(=-'ξkf ξf .5.设∑==nk xλkk c x f 1e)(,其中n λλ,,1 为互异实数,n c c ,,1 不同时为0.证明:f 的零点个数小于n .【证明】用数学归纳法.当1=n 时xλc x f 1e )(1=,而01≠c ,此时f 没有零点;假设当n 时命题成立;当1+n 时,不妨令01≠+n c ,那么e )(0eee)(11)(11)(11111==⇒===∑∑∑+=-+=-+=n k x λλk n k xλλk xλn k xλk k k k c x g c c x f 而∑+=--='12)(11e )()(n k x λλk kk c λλx g 的零点个数至多有1-n 个,所以g 的零点个数至多有n 个,即f 的零点个数至多有n 个.根据归纳原理知命题成立.7.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,但不是线性函数,证明:存在),(,b a ηξ∈,使成立)()()()(ηf ab a f b f ξf '>-->'【证明】构造辅助函数)()()()()()(a f a x ab a f b f x f x g -----=因为f 不是线性函数,所以g 不恒为零,而0)()(==b g a g ,所以存在),(b a c ∈使得0)(≠c g ,不妨设为0)(>c g .于是存在),(,b a ηξ∈,使成立0)()()(>'=--ξg a c a g c g ,0)()()(<'=--ηg bc b g c g 即有)()()()(ηf ab a f b f ξf '>-->'8.设f 在],[b a 上二阶可微,0)()(==b f a f ,且在某点),(b a c ∈处有0)(>c f ,证明:存在),(b a ξ∈,使0)(<''ξf .【证明】利用Lagrange 中值定理,存在),(1c a ξ∈与),(2b c ξ∈使得0)()()(1>'=--ξf a c a f c f ,0)()()(2<'=--ξf cb c f b f 再次利用此定理,存在),(21ξξξ∈使得)()()(1212<''=-'-'ξf ξξξf ξf 9.利用例题7.1.3的方法(或其他方法)解决以下问题:(1)设f 在],[b a 上三阶可微,且0)()()(=='=b f a f a f ,证明:对每个],[b a x ∈,存在),(b a ξ∈,使成立)()(!3)()(2b x a x ξf x f --'''=【证明】当),(b a x ∈时构造辅助函数)()()()()()()(22t f b t a t b x a x x f t g -----=那么有0)()()(===x g b g a g ,于是存在b ξx ξa <<<<21使得0)()(21='='ξg ξg ,又)())](()(2[)()()()(2t f a t a t b t b x a x x f t g '---+---='所以0)(='a g ,于是存在2211ξηξηa <<<<使得0)()(21=''=''ηg ηg ,最后存在21ηξη<<使得)()(3)()(0)()()()(60)(22b x a x ξf x f ξf b x a x x f ξg --'''=⇒='''---⇒='''当a x =或b x =时任取),(b a ξ∈等式都成立.(2)设f 在]1,0[上五阶可微,且0)1()1()1()32(31(=''='===f f f f f ,证明:对每个]1,0[∈x ,存在)1,0(∈ξ,使成立3)5()1)(32)(31(!5)()(---=x x x ξf x f 【证明】当}32,31{\)1,0[∈x 时构造辅助函数)()1)(3231()132)(31()()(33t f t t t x x x x f t g -------=重复(1)中的操作,最终存在)1,0(∈ξ使等式成立.当31=x 或32=x 或1=x 时任取),(b a ξ∈等式都成立.(3)设f 在],[b a 上三阶可微,证明:存在),(b a ξ∈,使成立)()(121)]()()[(21)()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-+=【证明】【法一】设2a b c +=,2a b h -=,待证等式化为)(32)]()([)()(3ξf x h c f h c f h h c f h c f '''-+'+-'+-=+令K x h c f h c f h h c f h c f 332)]()([)()(-+'+-'+-=+构造辅助函数K x x c f x c f x x c f x c f x g 332)]()([)()()(++'+-'---+=那么0)()0(==h g g ,利用Rolle 中值定理,存在),0(1h x ∈使得0)(1='x g ,而)(]2)()([)(x xh xK x c f x c f x x g =++''--''='所以0)()0(1==x h h ,于是存在),0(12x x ∈使得0)(2='x h ,而Kx c f x c f x h 2)()()(++'''--'''-='所以有)()(2)()(222ξf K ξf x c f x c f K '''=⇒'''=+'''+-'''=【法二】考虑函数)]()()[(21)()()(a f x f a x a f x f x F '+'---=,3)()(a x x G -=那么0)()()()(='=='=a G a G a F a F ,连续运用Cauchy 中值定理,知)(121)()()()()()()()()()()()()()(ξf ξG ξF a G c G a F c F c G c F a G b G a F b F b G b F '''-=''''='-''-'=''=--=其中b c ξa <<<.(4)设f 在],[b a 上二阶可微,证明:对每个),(b a c ∈,有),(b a ξ∈,使成立))(()())(()())(()()(21b c a c c f a b c b b f c a b a a f ξf --+--+--=''【证明】构造辅助函数)())(())()(())(())()(())(())()(()(x f b c a c b x a x c f a b c b a x c x b f c a b a c x b x a f x g -----+----+----=那么有0)()()(===c g b g a g ,于是存在c ξb ξa <<<<21使得0)()(21='='ξg ξg ,进而知存在),(21ξξξ∈使得0)(=''ξg ,即))(()())(()())(()()(21b c a c c f a b c b b f c a b a a f ξf --+--+--=''10.设b a <<0,f 在],[b a 上可微,证明:存在),(b a ξ∈,使成立)()()()(1ξf ξξf b f a f b a b a '-=-【证明】利用Cauchy 中值定理,知存在),(b a ξ∈,使成立)()(1)()(11)()()()()()(122ξf ξξf ξξξf ξf ξa b a a f b b f b a a bf b af b f a f b a b a '-=--'=--=--=-16.设f 在]2,0[上二阶可微,且1)(≤x f ,1)(≤''x f ,证明:2)(≤'x f .【证明】写出21))((21))(()()0(x ξf x x f x f f -''+-'+=22)2)((21)2)(()()2(x ξf x x f x f f -''+-'+=其中2021≤≤≤≤ξx ξ.两式相减得])()2)(([21)(2)0()2(2122x ξf x ξf x f f f ''--''+'=-所以2122)()2)((21)0()2()(2x ξf x ξf f f x f ''--''+-≤'])2[(21)0()2(22x x f f +-++≤44212=⨯+≤故2)(≤'x f 18.设当],0[a x ∈时有M x f ≤'')(.又已知f 在),0(a 中取到最大值.证明:Ma a f f ≤'+')()0(.【证明】设f 在点),0(a b ∈处取得最大值,由Fermat 定理知0)(='b f .写出))(()()(1a b ξf a f b f -''+'='bξf f b f )()0()(2''+'='其中),(1a b ξ∈,),0(2b ξ∈.由此有估计Mab ξf b a ξf a f f ≤''+-''='+')()()()()0(21第二组参考题5.设f 在],[b a 上可微,)()(b f a f '=',证明:存在),(b a ξ∈,使成立aξa f ξf ξf --=')()()(【证明】考虑函数x a f x f x g )()()('-=,那么0)()(='='b g a g ,待证式为aξa g ξg ξg --=')()()(.考虑辅助函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<--=ax b x a ax a g x g x G ,0,)()()(若)()(a g b g =,那么有0)()(==a G b G ,于是存在),(b a ξ∈使得0)(='ξG ,即aξa g ξg ξg a ξa g ξg a ξξg --='⇒=-+--')()()(0)()()())((2若)()(a g b g >,那么0)()()()()()())(()(22<--=-+--'='a b b g a g a b a g b g a b b g b G 以及0)(>b G ,所以在b x =的某个左邻域],[b δb -内有点c 使得0)()(>>b G c G ,从而)(x G 在),(b a 内取到最大值,故存在),(b a ξ∈使得0)(='ξG .若)()(a g b g <,同理.6.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,又有),(b a c ∈使成立0)(='c f ,证明:存在),(b a ξ∈,满足ab a f ξf ξf --=')()()(【证明】构造辅助函数ab x a f x f x g ---=e)]()([)(那么ab xa b a f x f x f x g -----'='e ])()()([)(.如果0)(='c g ,那么取c ξ=即可.如果0)(>'c g ,那么)()(a f c f <,于是0)(<c g ,所以存在),(0c a x ∈使得0)()()(0<--='ac a g c g x g ,由达布定理知存在),(0c x ξ∈使得0)(='ξg .如果0)(<'c g ,同理.7.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 上可微,0)(=a f ,0)(>x f ,],(b a x ∈∀,证明:对每个0>α,存在),(,21b a x x ∈,使成立)()()()(2211x f x f αx f x f '='【证明】只需考虑1>α的情形.构造辅助函数)(ln )(x f x F =,],(b a x ∈,则-∞=+→)(lim x F ax .记λb F =)(,可取),(b a c ∈使得1)(-=λc F ,由Lagrange 中值定理知)()()(11ξF cb c F b F c b '=--=-,),(1b c ξ∈再取),(c a d ∈使得cb ab αλd F ---=)(,由Lagrange 中值定理知)(1)()()(12ξF αcb αc b a b a b αd b d F b F ξF '>-=--->--=',),(2d a ξ∈由达布定理可知存在),(3b a ξ∈使得)()(13ξF αξF '='.8.设f 在),(+∞-∞上二阶连续可微,1)(≤x f ,且有4)]0([)]0([22='+f f ,证明:存在ξ,使成立0)()(=''+ξf ξf .【证明】在]2,0[上利用Lagrange 中值定理,知存在)2,0(1∈x 使得1)(2)0()2()(11≤'⇒-='x f f f x f 同理存在)0,2(2-∈x 使得1)(2)0()2()(22≤'⇒---='x f f f x f 构造辅助函数22)]([)]([)(x f x f x h '+=,]2,2[-∈x ,于是2)(1≤x h ,2)(2≤x h ,4)0(=h ,所以h 在)2,2(-∈ξ处取到最大值,于是0)(='ξh ,即有)()]()([2='''+ξf ξf ξf 由于3)]([4)]([22≥-≥'ξf ξf ,所以0)(≠'ξf ,故0)()(=''+ξf ξf .9.设f 在),(+∞-∞上二阶连续可微,且对所有R ,∈h x 成立。
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第沖实数集与函敷 (1)第一节实数 (2)第二节效集僅界原理 (7)第三节fiftO (10)第四节具有某些特性的阪数 (17)总练习題答案 (22)第二章财极限 (26)第一节数列极限徵公 (27)第二节收敛数列的性质 (33)第三节数刘极限存在的条件 (39)总终习願唇* (44)第三章甬数极限 ........................................... ：・ .. (49)第一节面数极限低念 (50)第二节函数极限的性质 (55)第三节函数极限存在的条件 (60)第四节两个重要的极限 (64)第五卡无穷小董与无穷大R (69)总竦习題答案 (74)第酵献的连鸵 (79)第一节连续性豪念 (80)第二节连縊船性质 (86)第三节初等甬数的连线性 ............ : . (93)总绦习題菩案 (95)第五章导数和微分 (99)第一节导数的柢念 (100)第二节求导法H (107)一-唏三节滲变静数的导数 (114)第四节酗导数 ...................................................... ・“・117第五节» 分 (123)总练习题答案 (127)第六章微分中龊理及其觎 (130)第一节拉格朗日定理m的单调性 .......................................... BI第二节柯西中值定理和不定式极限 (140)s s223背F玄山鳥谡央」 225濟山M耳曲漱丰229s233s•册曲M#J r(涯) 242s s s殆2…••：254盂雷養監258259s^ss s s264誥**B i盂盅査穿268普令鉴雷畫抽273s 277•1s s§282T M283漓I*s s285s292s298誥H 書養 H93156羽W H阿涔30矗M g渐 -63S 169•s s ^§175176矗蛙益兽 -82节*笛料莽霞專常雷 183删I I*188 •ss ^l 189194孟盂睪 196节H 盂睾期盥聲睾賈 197n*W蛰®盥盂睾琳22金：2一22一8尹M册曲R222第一章实数集与函数本章大纲要求1 •掌握实数的概念及其性质2 •理解数集与邻域的概念，掌握有界集及确界的定义和确界原理3 •理解函数的概念，掌握函数的表示法及其有界性、单调性、周期性和奇偶性4 •掌握基本初等函数的性质和图形，理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念实数及其性质 买外绝对值与不等式有界性 单调性奇函数和偶函数 ［周期函数本章知识结构实数、数集与确界原理j 数集与确界原現 实 数 集 写 函 数［区间与邻域的概念与性质 （有界集确界原理〈确界、确界原理函数的定义及表示法函数的四则运算 函数概念复合函数反函数 初等函数数学分析同步捕导（上册）第一节实数一.基本内容SU — 2二、重点难点第一节实数及绝对值的相关概念及性质我们在屮学阶段均已接触过，只是那时尚未对一些性质做进一步讨论，如实数的阿基米德性及稠密性等，在本节的学习中我们应着重注意对学过的知识的系统归纳和总结，从更新的高度理解实数.三、典型例题分析例1.证明:对任意x e R,存在唯一的整数，记为［幻•使得［门<J<M+ I.这里称［刃为工的整数部分.证明先证存在性：若0 < I 时，则取［疋］=0,有［x］ < x < ［J］ +1.若h根据实数的阿基米德性质，存在正整数N■使得工< N,令E = | j<n,n为正整数”则E工0,因为N€ E，因此％= minE存在11有％—1丢工<心・令［x］= no-l,则［刃< X R］ +1・若X 0,则一工〉0,由上面所证，存在正整数［一/］使得［一刃〈一工 < ［一刃+ 1所以一(［—刃 +1)< x <一［—龙］当工=一［一幻时，一［一刃W工 <-［—工］+1.令［工］=—［-工］•则［x］ < X < ［刃 + 1当X <—［一王］时•则一［―工］—1 <工 <—［一攵］・令［工］=—［一文］一1 ,则［x］ < J < ［z］ +1综上,存在性成立.再证唯一性；设都为整数且"<x<n + l,w^x<m + l,那么—(?n + 1) <—x m由此得••n—(m + l)<0<M+l — Z/1 即”一加一1 < 0 < 九一m + 1U学分析15步■粤(上SB)得—1 < m — n < 1由此得加一刃=0,即加=几例2•试在数轴上表示出下列不等式的解；(1)|| 工+ 1 Hz-1 ||<1；⑵|卄2 |+|x-2|<12解(1)先对不等式两端平方并化筒得x2+y <1 J2 -1 I即疋一】>++* 或J2 - 1 <~ (J2 4-1-)显热前者不可能•故解得1 . . 1"7<J<2如图】一1・图1-1(2)令工一2 =蓟则得H + 4I+UK12 或"+ 4|<12-两边平方,化简得再对上式两端平方得/+竝一32£0于是一8©〈4即—6 £工g 6・如图1 一2・—4—I—>—•_・ 6-3036 x0B1-2例3・设实数“6满足丨a|<l,|i|<l.证明不等式第一章实槪靈与函槪乞+01 + ab证明要证明的不等式等价于即同时有一盂〉°与】+応〉。
高等数学课后习题及参考答案(第一章)
高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解 由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解 由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ; 解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x .(5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n nn =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 1)1(lim -→; 解 11)(1)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解 2221221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明 仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明 仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明 因为n n 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明 因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明 当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明 因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim limlim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ. 习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=QQx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x .。
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第一章复习题 一.填空1、数集,...}2,1:)1({=-n nn的上确界为 1 ，下确界为 -1 。
2、 =∈-=E R x x x Esup ,|][{则 1 , =E inf 0 ;3、)(lim 2n n n n -+∞→ = _______12________。
4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞→lim （有限）. 则有a = {}sup n a .5. 设,212,212212n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题１、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。
Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ）A 、 先给定ε后唯一确定δ;B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一;C 、 先给定δ后确定ε;D 、 δ与ε无关.3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1{2na ； B 、}1{an； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个；(C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞→||lim ，则 （ D ）(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞→lim ；(C) a x n n -=∞→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。
6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞→n n x lim ； (B) +∞=∞→n n x lim ；(C) -∞=∞→n n x lim ； (D) 存在}{n x 的一个子列}{k n x ，使得∞=∞→k n k x lim7.设数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ D ）(A) 收敛； (B) 发散；(C) 是无穷大； (D)可能收敛也可能发散。
8. {n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b nc ，则（ B ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；9. “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有ε2||≤-a x n ”是数列}{n x 收敛于a 的（ C ）(A) 充分条件但非必要条件； (B) 必要条件但非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件。
10. 设2sinπn n x n =，则数列}{n x 是 （ D ） (A) 收敛列； (B) 无穷大； (C) 发散的有界列； (D) 无界但不是无穷大三．写出下列各式精确的分析定义 1． lim n n a a →∞≠00000,0,,n N n N a a εε∃>∀>∃>-≥2．根据柯西准则叙述lim n n a →∞存在的充要条件0,0,,,n m N n m N a a εε∀>∃>∀>-<四．计算题1．)1(lim 33n n n -+∞→解：0n n →∞==2.22212lim()12n nn n n n→∞++++++解:因为22222(1)(1)1222121n n n n nn n n n n n n ++≤+++≤+++++ 22(1)(1)1limlim 2()2(1)2n n n n n n n n n →∞→∞++==++由敛迫原理得：222121lim()122n n n n n n →∞+++=+++3.312lim n nn→∞+++解：2212(1)1lim lim 22n n n n n n n →∞→∞++++==4.n 当2>n 时，11121<-<n ，n n n n 11121<-<，而11lim 21lim ==∞→∞→n n n n ，所以111lim =-∞→n n n.5.552221lim .1n n n n n →∞+--+ 解：5455245212221lim lim 21111n n n n n n n n n n→∞→∞+-+-==-+-+ 6.21lim 1.4nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：12241211lim 1lim 144nn n n e n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7.设0>a，}{n x 满足：,00>x 11(),0,1,2,2n n na x x n x +=+=证明：}{n x 收敛，并求。
n n x ∞→lim证明：此时有0>n x . 由均值不等式,对n ∀,有112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥=,数列}{n x 有下界. ()1221111122n n n x a ax x +⎛⎫⎛⎫⎪=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭, ⇒ n x 数列}{n x 递减.于是数列}{n x 递减有下界 . 由单调有界原理 , 数列}{n x 收敛 . 设x x n n =∞→lim ,应有x ≥. 对式112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两端取极限,得12a x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解得x =.由x ≥得lim n n x →∞=五．1.求数集{}22s x x =<的上、下确界，并依定义加以验证；解 2sup =S ，2inf -=S . 下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似进行）.S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界. 2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得22<<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以2sup =S .2. 求函数[]() 1 2, 0 . 1nf x x n x ==∈（,）的上确界[])(sup 1.0x f x ∈解：[])(sup 1.0x f x ∈=11）[0,1]x ∀∈ () 1nf x x =≤2）01α∀<<， 取01x =，于是，01nx α<= 所以 [])(sup 1.0x f x ∈=1六.证明题1.用极限的定义证明235233lim 22=--+∞→n n n n 。
证明 因为 n n nn n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有ε<<--+nn n n 32312322. 所以23123lim 22=-+∞→n n n n 2证明：若lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=. 当且仅当A 为何值时反之也成立？证明 设a a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N ε N n >∀，ε<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有||||lim a a n n =∞→. 但此结论反之不一定成立，例如数列})1{(n -.当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0||lim =∞→n n a ，于是,0,0>∃>∀N ε N n >∀，ε<=||||n n a a ，所以a a n n =∞→lim .3．,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→且,b a <证明：存在N ，当n>N 时，有.n n b a <证明 1 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim ba b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2ba b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2.证明 2：,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→且,b a <则lim()<0n n n a b a b →∞-=-，由保号性定理，存在0N >，使得当n N >时有0n n a b -<即.n n b a <。