第一章复习题解答(数学分析)

第一章复习题 一.填空

1、数集,...}2,1:)1({=-n n

n

的上确界为 1 ，下确界为 -1 。 2、 =∈-=E R x x x E

sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ;

3、)(lim 2

n n n n -+∞

→ = _______

1

2

________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞

→lim （有限）. 则有a = {}sup n a .

5. 设,2

12,21221

2n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题

１、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。

Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ）

A 、 先给定ε后唯一确定δ;

B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一;

C 、 先给定δ后确定ε;

D 、 δ与ε无关.

3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1

{

2n

a ； B 、}1{a n

； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个；

(C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞

→||lim ，则 （ D ）

(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞

→lim ；

(C) a x n n -=∞

→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。

6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞

→n n x lim ； (B) +∞=∞

→n n x lim ；

(C) -∞=∞

→n n x lim ； (D) 存在}{n x 的一个子列}{k n x ，使得∞=∞

→k n k x lim

7.设数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ D ）

(A) 收敛； (B) 发散；

(C) 是无穷大； (D)可能收敛也可能发散。

8. {n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n

c ，则

（ B ）

A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；

B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；

C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；

D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；

9. “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有ε2||≤-a x n ”是数列}{n x 收敛于a 的（ C ）

(A) 充分条件但非必要条件； (B) 必要条件但非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件。 10. 设2

sin

π

n n x n =，则数列}{n x 是 （ D ） (A) 收敛列； (B) 无穷大； (C) 发散的有界列； (D) 无界但不是无穷大

三．写出下列各式精确的分析定义 1． lim n n a a →∞

≠

00000,0,,

n N n N a a εε?>?>?>-≥

2．根据柯西准则叙述lim n n a →∞

存在的充要条件

0,0,,,

n m N n m N a a εε?>?>?>-<

四．计算题

1．)1(lim 33n n n -+∞

→

解：0n n →∞

==

2.22212lim(

)12n n

n n n n

→∞

++++++L

解:因为22222(1)(1)

1222

121

n n n n n

n n n n n n n ++≤+++≤+++++L 22(1)(1)1lim

lim 2()2(1)2

n n n n n n n n n →∞→∞++==++

由敛迫原理得：222121

lim()122

n n n n n n →∞

+++=+++L

3.312lim n n n

→∞+++L 解：2212(1)1lim lim 22

n n n n n n n →∞→∞++++==

4.n 当2>n 时，

11121<-

lim ==∞

→∞→n n n n ，

所以11

1lim =-

∞

→n n n

.

5.552221

lim .1

n n n n n →∞+--+ 解：545

5245

21

2221lim lim 211

11n n n n n n n n n n

→∞→∞+-+-==-+-+ 6.21lim 1.4n

n n →∞?

?+ ???

解：1

2

241211lim 1lim 144n

n n n e n n →∞→∞?????

?+=+= ? ? ? ???????

7.设0>a

，}{n x 满足：,00>x 11(),0,1,2,2n n n

a x x n x +=

+=L

证明：}{n x 收敛，并求。n n x ∞

→lim

证明：此时有0>n x . 由均值不等式,对n ?,有112n n n a x x x +??=

+ ??

?≥=数列}{n x 有下界. ()

1221111122n n n x a a

x x +?

?

??

?=+≤+= ? ?

??

?

?

?

, ? n x 数列}{n x 递减.

于是数列}{n x 递减有下界 . 由单调有界原理 , 数列}{n x 收敛 . 设x x n n =∞

→lim ,

应有x ≥

对式112n n n a x x x +??=+ ???两端取极限,得12a x x x ??

=+ ???

.

解得x =.

由

x ≥得

lim n n x →∞

=

五．1.求数集{}22s x x =<的上、下确界，并依定义加以验证；

解 2s u p =S ，2inf -=S . 下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似

进行）.

S x ∈?，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界.

20x ；若22<<-α，则由实数

的稠密性，必有实数 r ，使得22<

<<-r α，即S r ∈，α不是上界，

所以2sup =S . 2. 求函数[]() 1 2, 0 . 1n f x x n x ==∈L （,）的上确界[]

)(sup 1.0x f x ∈ 解：[]

)(sup 1.0x f x ∈=1

1）[0,1]x ?∈ ()

1n

f x x =≤ 2）01α?<<， 取01x =，于是，01n

x α<=

所以 []

)(sup 1.0x f x ∈=1

六.证明题

1.用极限的定义证明23

5

233lim

22=--+∞→n n n n 。 证明 因为 n

n n n n n n n n n n n n 3

2525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+

)1(>n ，于是0>?ε，取}3

,1max{ε=N ，N n >?，有 ε<<--+n

n n n 3

231232

2. 所以2

3

123lim 22=-+∞→n n n n 2证明：若lim n n a A →∞

=，则lim n n a A →∞

=. 当且仅当A 为何值时反之也成立？

证明 设a a n n =∞

→lim ，由数列极限的定义，,0,0>?>?N ε N n >?，

ε<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有||||lim a a n n =∞

→. 但此结论反之不一定成立，例如数列

})1{(n -.

当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0||lim =∞

→n n a ，于是,0,0>?>?N ε N n >?，

ε<=||||n n a a ，所以a a n n =∞

→lim .

3．,lim ,lim b b a a n n n n ==∞

→∞

→且,b a <证明：存在N ，当n>N 时，有.n n b a <

证明 1 由b a <，有b b a a <+<

2. 因为2

lim b

a a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在

01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<

. 又因为2

lim b

a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2

b

a b n +>. 于是取},max{21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2

.

证明 2：,lim ,lim b b a a n n n n ==∞

→∞

→且,b a <则lim()<0n n n a b a b →∞

-=-，

由保号性定理，存在0N >，使得当n N >时有0n n a b -<即.n n b a <