13数学分析期末复习题03
《数学分析Ⅲ》期末考试卷03.doc
数学分析下册期末考试3（模拟试题）一、填空题（第1题每空2分，第2, 3, 4, 5题每题5分，共26分）du = ____________________ o2、设厶：x 2 + y 2 = a 2,则 j xdy - ydx =L4、 改变累次积分 pyj7（x, y ）么的次序为 ________________________ o5、 设 £＞：x+yW], 贝＞J jj （A /5 + V ）dxdy = _______________________ 二、断题（正确的打“O” ；错谋的打“X”；每题3分, 共15分） 判1若函数.f （x, y ）在点/Xx 0, y°）连续，则函数.f （x, y ）/?（x 0, y°）必存在一点阶偏导数。
（） 2、 若函数/（x, y ）在点〃（x （）, y 0）可微，则函数/（x, y ）在点/7（x （）, y （））连续。
（）3、 若函数/（x, y ）在点p （x°, y°）存在二阶偏导数人（％,儿）和几（心儿），则 必有 几（勺，儿）二几（％‘儿）。
（）4、 J f （x,y ）dx= J /（x, y ）dx o（ ）L （A 9B ） UB ,A ）5、已知u = In Jx? +于,则冀 OXdu 3、 设厶: x 二3cost,则曲线积分J （x 2+y 2）ds = L若函数/（x, y）在有界闭区域D上连续，则函数/（x, y）在D上可积。
（）1、用格林公式计算曲线积分I = j (e K sin y - 3y)dx + (e x cos y - 3)dy ,AO其中AO 为由A(a,0)到0(0,0)经过圆x 2 + y 2 =处上半部分的路线。
2、计算三重积分 + >,2 )dxdydz ,V其中是由抛物ilHz = x 24-/与平HHz 二4围成的立体。
每小题9分，共45分)三、计算题I = JJdS ,s4、计算第二型曲面积分其中S是球面宀于+二疋上被平面"d(OvdV/?)所截下的顶部(注0)。
数学分析III复习试题
级数部分（12-15章）一、叙述题1、设函数项级数∑∞=1)(n n x u 的部分和为)(x S n ，叙述∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛于和函数)(x S 的定义2、叙述函数列)(x f n 在数集D 上一致收敛于)(x f 的定义3、叙述函数列)(x f n 在D 上不一致收敛于)(x f 的定义4、叙述∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛的柯西准则二、填空题1、级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。
2、级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。
3、部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 条件4、对级数∑∞=1n n u ，0lim =∞→n n u 是它收敛的 条件.5、级数)3,2,1,0()1(11 =>⋅-∑∞=-n u u n n n n ，若满足条件 则此级数收敛。
6、若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n u 必定 ；若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1||n n u 必定 。
7、幂级数n n n x n∑∞=12的收敛区间为 。
8、幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为 。
9、∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 ，和函数S(x)为 。
10、nn n x a ∑∞=1在x=-3时收敛，则nn n x a ∑∞=1在3<x 时 。
11．函数)1ln(x +在0=x 的麦克劳林级数是 12、)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f(x)在x =0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则= 。
13、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=ππππx x x x x x f 0,10,)(展成以π2为周期的傅立叶级数的和函数为S(x)，则S （-3）= ，S （12）= ，S )(πk = ，k 为整数。
(整理)数学分析(3)期末试题B答案
2.()Lx y ds +=⎰ 其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 （ A ）A. 1+B. 1C.D. 03.()Ly x dy -=⎰.，其中L 为直线,AB(1,1),(2,2)A B （ D ）A. 1B. 2C.12D. 0 4 Syzdxdy =⎰⎰ ,其中S 是球面2221x y z ++=的上半部分并取外侧为正向。
( D )A. 2πB. πC. 1D. 05.Lydx xdy +=⎰. , 其中22:1L x y += （ A ）A. 0B. 1C. 2D. 3精品文档二、填空题：（本题共5小题, 每小题4分，共20分）1. 22()Dx y dxdy +=⎰⎰8π, 其中22:4D x y +≤ 2.Vxyzdxdydz =⎰⎰⎰8. 其中:02,0V x y z ≤≤≤≤≤≤3. 将(,)DI f x y d σ=⎰⎰ 化成先对x 后对y 的累次积分为24422(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰其中D 由24,2y x y x =-=围成。
4. 设L 是半圆周,0,sin ,cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x L则第一型曲线积分()22Lxy ds +=⎰ π5. 格林公式建立了区域D 上二重积分与D 的边界曲线L的第二型曲线积分之间的联系。
设函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域D 上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为LPdx Qdy +=⎰()DQ Pdxdy x y∂∂-∂∂⎰⎰。
(本题共2小题，每题10分, 共20分）1．计算DI dxdy =⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。
。
3分先对x 后对y 积分：11112yxI dy dx dx dy ===⎰⎰⎰⎰ 。
6分2. 计算xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω 是三个坐标面与平面 x精品文档+ y + z =1所围成的区域解 画出区域 D ： 0101y x x ≤≤-≤≤ 。
数学分析 期末考试复习资料
数学分析（III ）一、判断题( × )1.若(),f x y 在点(),a b 连续,则(),f x y 在点(),a b 可微.( × )2.若(),f x y 在点(),a b 的两个累次极限存在且相等,则(),f x y 在点(),a b 的二重极限存在.( √ )3.若(),f x y 在点(),a b 可微,则(),f x y 在点(),a b 偏导数存在. ( × )4.若(),f x y 在点(),a b 存在极值,则()(),0,,0x y f a b f a b ''==.( √ )5.若(),,f x y z 在有界闭区域V 上连续,则(),,f x y z 在有界闭区域V 上可积.二、填空题1.设()22,4f x y x y x y +-=-+,则(),f x y =4xy +.2.()3300sin 2limx y x y x y→→+=+2.3.设sin sin cos u x y z =+-,则()0,0,0du=dx dy +.4.()Cx y z ds ++=⎰ ,其中[]:,,2,0,1C x t y t z t t ===∈.5.2Ddxdy =⎰⎰6π,其中(){}22,14D x y xy =≤+≤.三、解下列各题1.设()()22,sin u x y x y=++,求yux u ∂∂∂∂,. 解:(Ⅰ).()2222cos u x x yx∂=++∂()22222cos x xyx x y+=++(Ⅱ).()2222cos u y x yx∂=++∂2.设()32,2sin ,yu f x e x y =++且(),f s t 有连续偏导数,求2ux y ∂∂∂.解:(Ⅰ).2123.2cos .u x f x f x∂''=+∂(Ⅱ).()()221112212232.2cos 2yyu xef y f x e f y f x y∂''''''''=⋅++⋅+⋅∂∂()22111222323cos 4cos y yx e f x y e x f y x f ''''''=⋅+++⋅四、解下列各题1.求(),Dx y dxdy +⎰⎰其中D 由2,y x y x ==围成.解:(Ⅰ).画出积分区域(Ⅱ).() 0xDx y +⎰⎰32201322x x x dx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭320=2.求)2Vdxdydz ⎰⎰⎰,V 是由锥面()2224z x y =+与平面2z =所围区域.解:(Ⅰ).画出积分区域yy x(Ⅱ).)() 2 1 2 0222rVdxdydz d dr r rdz πθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰………… ……3分() 2 12322d r r rdr πθ=--⎰⎰53π=五、解下列各题（每题8分,共16分）1.求3323111sin cos 2333x ySx z dydz y x dzdx z e dxdy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ,其中S 是(){}2222,,V x y z xy z a=++≤的表面,取外侧为正侧()0a >.解:(Ⅰ).画出积分区域……………………………………………………………2分 zy(Ⅱ).原式=()222Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰ 2 22 0 0 0.sin a d d r r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰545a π=2 .求积分()()()34432,5254sin C B A x y dx x y x ydy -+-+⎰,其中曲线(),C A B 与x 轴围成的面积为S . 解:原式(),C B A A BA BP dx Q dy P dx Q dy →→+=+-+⎰⎰…3分 y()0420b Ddxdy dx =---+⎰⎰⎰……………………42S b =-+…………2分六、应用题（10分）在平面(0)x y z a a ++=>上求一点,使该点到点(),,a a a 的距离的平方最小.解:(Ⅰ).设(),,P x y z 是(0)x y z a a ++=>的任一点,设该点到点(),,a a a 的距离的平方为S ,则()()()222S x a y b z c =-+-+-.于是问题归结为求()()()222S x a y b z c =-+-+-在(0)x y z a a ++=> 下的最小值. ……………………………………………………………………..3分yx(Ⅱ).构造Lagrange 函数()()()()()222,,,x y z x a y b z c x y z a λλΦ=-+-+-+++-.故令()()()20,20,20,0.x a x y a y z a z x y z a λλλλ∂Φ⎧=-+=⎪∂⎪∂Φ⎪=-+=⎪∂⎪⎨∂Φ⎪=-+=⎪∂⎪∂Φ⎪=++-=⎪∂⎩ ,则1,31,31,34.3x a y a z a a λ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩.…………………………………5分(Ⅲ).由于该问题存在最优方案,而又只有一个可能最优方案点,故使点,,333a a a ⎛⎫⎪⎝⎭到 点(),,a a a 的距离的平方最小.………………………………………………………….2分七、证明题（每题9分,共18分）1.证明:2222cos()2sin 12x y x y dx x +∞++++⎰在(),-∞+∞一致收敛.证明:(Ⅰ).()()22222cos()2sin 14,0,,,22x y x y x y x x +++≤∈∞∈-∞+∞++………….5分(Ⅱ).242dx x +∞+⎰ 收敛……………………………………………………….2分(Ⅲ).2222cos()2sin 12x y x y dx x +∞++++⎰在(),-∞+∞一致收敛………….2分2.设()()2222222cos 0,,0,0.x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩ ,证明: (1).()()0,00,0,00x y f f ''==.证明:()()()3,00,00,0limlim cos0x x x fx x f f x x∆→∆→+∆-'==∆=∆由对称性,()0,00y f '=.……………………………………………………………………………………4分 (2).(),f x y 在()0,0可微. ()()000,0.0,0.limx y z f x f y ∆→∆→''⎡⎤∆-∆+∆.. ….. 2分=,0,0limx y f x y f ∆→∆→∆∆-2分()322200lim cos0x y x y ∆→∆→=∆+∆=.…………………………………1分八、证明题（9分）设()u f s =为连续函数,方程() 222y xx y z f s d s ++=⎰确定(),z z x y =,证明:()()()2f y f x z z z x y x y -⎛⎫∂∂+=-+ ⎪∂∂⎝⎭.证明:(Ⅰ).在() 222y xx y z f s ds ++=⎰两边对x 求偏导数,则()22z x zfx x∂+=-∂,故()2f x z zx x∂=--∂.……………………………………………………….3分(Ⅱ).在() 222y xx y z f s ds ++=⎰两边对y 求偏导数,则 ()22z y zfy y∂+=∂,故()2fy z zy x∂=-∂.………………………………………………………….3分(Ⅲ).故()()()2f y f x z z z x y x y -⎛⎫∂∂+=-+ ⎪∂∂⎝⎭.…………………………….3分。
2013数学三解析
2013年数学（三）真题解析一、选择题（1） 【答案】（D ）.【解】 由 lim * °^2）= lim=0,得（A ）正确；HfOX "° X,O （J7 ） • O （J7 2 ） .. O （H ） O （g2） c A 由 lim ----------:--------= lim -------- •———=0,得（E ）正确；h —o x H —o x x 由 lim O2）二。
2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C ）正确；x-*0 X工~0XH —0X2 I 3取 J ： 2 —o （JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。
（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9工-*0 X 事实上 O （2）+ O （J ：2 ） = O （J7）,应选（D ）・（2） 【答案】（C ）.【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一"一1 严小一1 r Jn （—工）_ r 1由塑工（工+l ）ln （r ）= J^iHCz+l ）ln （—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.. x 1 — 1 e jlnj — 1由凹+ l)ln 工=凹工(工+ l)ln 工lim-L 1 X x\n jc(•z + l)ln 3C，得工=1为可去间断点.jc In jc =!忙(工+1山工T ， x In (— x ) _乂 Cz+l)ln (— H ) x-^o~ z (攵 + l)ln( oc ) x -»o - 2 (z + l)ln( jc )而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由lim •r f ()+X X — 1 ].-- ----―――-----= lim X (j? + l)ln re zfo+(一"一1limx-^Olim x-*0x (a ： + l)ln h严F 一 1I9得 lim/Cz) = 1.X —0严 ]【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.12 = jj Ly +(— z )]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),°2i 4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x ) vo),应选(B ).°4(4)【答案】(D).【解】 方法一令lim/a ” = lim 牛=A $ 0.当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N 〉0,当 zz 〉N 时，| -y — 0 | < 1，从而 0 W a ” <C —,因为s 1收敛，所以由比较审敛法的基本形式得工s 收敛;” =1 九 n = 18 OO = OO当A>0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收n = 1 n = 1 九 n = l 兀敛，所以收敛，应选(D).n = 1I -I 00方法二 取a ” =-------，显然a ” > a 卄1 ,因为lima ” =1 # 0,所以工(一1)"一。
(2021年整理)数学分析(3)试卷及答案
祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）数学分析(3)试卷及答案的全部内容。
数学分析（3）期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项:1. 考试时间：120分钟。
2. 试卷含三大题,共100分.3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4. 遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分）1、 设z x u ytan =,则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
5、 设L 是从点(0，0）到点(1,1)的直线段,则第一型曲线积分⎰=L s x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ,则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________,其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。
二、计算题（每题8分，共56分）1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2xyy x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求x x x e x xd sine 02⎰∞+---。
提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22.5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。
数学分析第三学期期末复习卷两套卷七卷八卷九
数学分析第三学期期末复习卷三套卷七卷八卷九卷七一、填空（每空2分，共20分）1．设})1,0(|{中的无理数∈=x x E ，则 =E sup ；=E inf ；E 的聚点是 。
2．若0),(≠=∂∂a a a y f ，则=--→ax a a f a x f a x ),(),(lim 3．若),(y x f 关于x 是奇函数，即),(),(y x f y x f --=，区域D 关于y 轴对称， 则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(4．设曲面S 为)10,10(0≤≤≤≤=y x z ，下侧为正侧，),(y x f 在S 上连续， 则⎰⎰SdS y x f ),(的计算公式是 ；⎰⎰S dxdy y x f ),(的计算公式是 ；⎰⎰Sdydz y x f ),( 5．S 为球面1222=++z y x ，外侧为正侧，则=⎰⎰Sdxdy ；6．设S 为球面1222=++z y x ，则=++⎰⎰SdS z y x )(222 ；二、求偏导数或全微分（共20分）1．（10分）证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222222y x y x y x y x y x f 在原点（0, 0）连续且偏导数存在，但在此点不可微. 2．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 三、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .四、（50分）求下列积分1．（5分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．求⎰++-=L y x xdy ydx I 22，其中L 是包含原点的任一条分段光滑封闭曲线，逆时针方向为正.4．（15分）以S 表示椭球B ：1222222=++cz b y a x 的上半部分（0≥z ），αc o s ，βcos ，γcos 表示S 的外法线的方向余弦，计算曲面积分 ⎰⎰++SdS c z b y a x z )cos cos cos (222γβα. 5．（10分）求⎰⎰++S zdxdy ydzdx xdydz 其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.卷八一、（10分）讨论函数xy y x f 1sin),(=在点（0，0）的重极限与累次极限 二、（10分）设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 是连续的，并且每当固定x 时对y 是单调的，证明f 是R 2上的二元连续函数三、求偏导数或全微分（共20分） 1．（5分）求函数 )arcsin(x y z =的偏导数.2．（5分）求函数 0)()()(>=x f x f z y g 的全微分.3．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 四、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .五、（50分）求下列积分1．（10分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2 其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．（15分）求常数λ，使得曲线积分0)()(22222222=+-+⎰L dy y x y x dx y x y x λλ对上半平面内任何光滑闭曲线成立.4．（15分）计算⎰⎰++=Sdxdy z dzdx y dydz x I 222，其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-的外侧卷九一、（10分）讨论函数yx y x y x f 1sin 1sin )(),(+=在点（0，0）的重极限与累次极限二、（10分）设),(y x f 在集合2R G ⊂上对x 连续，对y 满足利普希茨条件： y y L y x f y x f ''-'≤''-'),(),(，其中（x , y’）, (x , y ’’)G ∈, L 为常数，试证明f 在G 上处处连续三、求偏导数或全微分（共20分）1．（5分）求函数 )arcsin(x y z =的偏导数.2．（5分）求函数 0)()()(>=x f x f z y g 的全微分.3．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 四、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .五、（50分）求下列积分1．（10分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2 其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．（15分）已知21)0(=f ，确定)(x f ，使⎰-+B A x dy x f dx y x f e )())((与路径无关，并求当A ，B 分别为（0, 0），（1, 1）时，曲线积分的值.4．（15分）设空间区域V 由曲面222y x a z --=（0>a ）与平面0=z 围成，记V 的表面外侧为S ，体积也记为M ，求证⎰⎰++-=Sdxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x M )1(2222。
数学分析期末复习题
数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限yx x ay x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。
4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。
5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。
6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。
8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求=t dtdu 。
10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C=(2,-2,1)的方向导数。
12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。
13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。
14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。
15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。
16． 求函数z=arctg xy在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α的范围为：0≤α<π）。
17. 设数量场u=222zy x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1<z<2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。
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数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限yx x ay x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。
4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。
5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。
6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。
8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求=t dtdu 。
10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C ϖ=(2,-2,1)的方向导数。
12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。
13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。
14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。
15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。
16． 求函数z=arctg xy在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α的范围为：0≤α<π）。
17. 设数量场u=222zy x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1<z<2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。
18. 求曲线x 2+y 2+z 2=4a 2，x 2+y 2=2ax 在点(a ，a ，2a)处的法平面方程。
19．求x 2+z 2=10，y 2+z 2=10在点(1,1,3)处的切线方程。
20. 设u=f(x,y,z)，ϕ(x 2,e y ,z)=0，y=sinx ，其中f ，ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂z ϕ，求dxdu。
21．求函数u=22y x z +的全微分；22．求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。
（f 具有连续的二阶偏导数) 23．设f ，g 为连续可微函数，u=f(x,xy)，v=g(x+xy)，求xvx u ∂∂⋅∂∂。
24．设w=f(u,v)有连续二阶偏导数，u=y x，v=xy ，求y x w ∂∂∂2。
25．设u+v=x+y ，y x v u =sin sin ，求xu ∂∂，x v∂∂。
26. 设u=xyf(x-2y,x 2y)，f(u,v)有二阶连续偏导数，求22xu ∂∂。
27．设x 3-3xyz=10，求xy z∂∂∂2。
28．设x=u+v ，y=uv ，z=u 2+v 2，求z x /，z y /。
29. 设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定，其中f 具有连续的二阶偏导数，试求yx z∂∂∂2。
30. 设u=u(x,y)。
已知du=(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy 求u 。
31．设z=f(sinx,cosy,e x+y )，而f(u,v,w)的二阶偏导数连续，求x z∂∂，22xz ∂∂。
32. 设z=φ(xy)+ψ(yx)，求：y x z ∂∂∂2。
33. 设u=yf(y x)+xg(x y )，其中函数f ，g 具有二阶连续导数，求y x u y xu x ∂∂∂+∂∂222。
34. 设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdz 。
二、证明题1. 用极限定义证明6)4(lim 221=--→→y x y x 。
2. 用极限定义证明2)2(lim 2210=+-→→y xy x y x 。
3. 设A ，B 是R 2中互不相交的有界闭集。
求证：存在开集W ，V 满足W ⊇A ，V ⊇B ，W I V=∅。
4. 设G 1，G 2是R 2中两个不相交的开集。
试证明：G 1I 2G =∅。
（其中2G 表示G 2连同其边界所成集合，称其为G 2的闭包）5. 设u=f(z)，其中z 是由方程z=x+yg(z)所确定的x 和y 的函数，求证xuz g y u ∂∂=∂∂)(。
6. 证明由方程F(z x ,z y )=0所确定的函数z=z(x,y)，满足方程yzy x z x ∂∂+∂∂=z 。
7. 设z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0(),( ,0)0,0(),( ,)(y x y x y x y x x ，证明：（1）)0,0(x f '，)0,0(y f '存在；（2）f(x,y)在(0,0)处不可微。
8. 设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0(),( 0)0,0(),( 223y x y x y x x 。
证明f(x,y)在(0,0)不可微。
9. 设z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0(),( ,0 )0,0(),( ,222y x y x y x yx 。
证明：(1)f(x,y)在原点(0,0)连续；(2)x f ∂∂)0,0(，y f ∂∂)0,0(存在；(3)x y x f ∂∂),(，yy x f ∂∂),(在(0,0)不连续；(4)f(x,y)在点(0,0)不可微。
10. 设10.φ(0,1)=0；20.φ(x,y)在点(0,1)邻域内连续可微；30.y φ(0,1)≠0。
求证：存在δ>0，在[-δ,δ]存在唯一连续可微函数y=y(x)满足：0)sin ,(0=⎰yxdx x φ，并求y /(0)。
11. 设F(u,v)处处可微，试证明曲面F(l x-mz,l y-nz)=0（其中l ,m,n 均不为0）上所有切平面与一条 固定直线平行。
12. 研究含参量积分⎰∞++021)sin(dx x x p (p ≥0)的一致收敛性。
13. 研究函数F(α)=dx x e x ⎰∞+-0α，在(0,1)内的连续性。
14. 证明积分F(α)=⎰+∞--0)(2dx e x α是参数α的连续函数。
15. 设F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ，其中f(x)在[0，1]中取正值的连续函数。
证明F(y)在0点不连续，在y ≠0的任一点都连续。
16. 设f(x)在[0,+∞)可积，除+∞外只有x=0为瑕点。
求证：⎰⎰+∞+∞-+→=00)()(lim dx x f dx x f e x αα。
17. 研究函数F(α)=⎰-πααπ0)(sin dx x x x 在(0,2)内的连续性。
18. 设u(x,y)在平面区域D 上有二阶连续的偏导数。
证明：u(x,y)满足02222≡∂∂+∂∂yu xu （称u(x,y)为调和函数）的充要条件是：对D 内任一圆周C ，且C 围成的区域包含于D ，都有0=∂∂⎰C ds nu(其中n ρ是圆周C 的外法向量)。
数学分析(三)复习题参考答案一、计算题1．求二重极限yx x a y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；解：原式=yx x x a y x x +→∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+11lim =e 。
2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角；解：Θ椭球面在点(-1,-2,3)处的切平面的法向量为n ϖ=(-3,-2,3)，平面z=1的法向量为k ϖ=(0,0,1)。
∴这两个平面的交角θ=arccos22223。
3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。
解：当x=21，y=21时，函数z=xy 在极大值41。
4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。
解：在（1，2）有极小值7-10ln2。
5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。
解：令z x =4-2x=0，z y =-4-2y=0，得x=2，y=-2，则A=z xx =-2，B=z xy =0，C=z yy =-2，ΘAC-B 2>0，且A<0，∴(2，-2)是原函数的极大值点，其极大值为8。
6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
解：z(-1,-1)=-2与z(1,1)=-2均为极小值，z(0,0)非极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。
解：令z x =3x 2y 2(6-x-y)-x 3y 2=x 2y 2(18-4x-3y)=0，z y =2x 3y(6-x-y)-x 3y 2=x 3y(12-2x-3y)=0，Θx>0，y>0，解得稳定点(3,2)。
又A=z xx |(3,2)=-144，B=z xy |(3,2)=0，C=z yy |(3,2)=-162，∴AC-B 2>0，且A<0， ∴原函数在点(3,2)取得极大值108。
8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
解：当x=0和y=1时，函数z=x 2+(y-1)2有极小值0。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求0=t dtdu。
解：Θ),(),(y x G F ∂∂=1112-x =-2x-1，),(),(y t G F ∂∂=1112---t =2t+1，),(),(t x G F ∂∂=1122--tx =-2x+2t ，且t=0时由原方程组x 2+y=t 2，x-y=t+2，可得x 2+x-2=0，解得x=1或x=-2，对应地y=-1或y=-4。
∴=t dtdu=2e 4或=t dtdu =22-e 。
10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
解：令f(x,y,z)=z e -z+xy-3=0，则f x =y ，f y =x ，f z =z e -1，∴在点(2,1,0)处的切平面的法向量为n ϖ=(1,2,0)，故切平面方程：x+2y-4=0；法线方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0212z y x 或写成⎩⎨⎧==-032z y x 。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C ϖ=(2,-2,1)的方向导数。