数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

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数学分析期末考试试题2

数学分析期末考试试题2### 数学分析期末考试试题2一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \sin x \)在区间[0, \( \pi \)]上的最大值是： - A. 1- B. \( \frac{\pi}{2} \)- C. \( \sqrt{2} \)- D. \( \sqrt{3} \)2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：- A. 0- B. 1- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 如果\( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，那么\( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \)的值是：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 无法确定4. 函数\( g(x) = x^2 + 3x + 2 \)的导数是：- A. \( 2x + 3 \)- B. \( x^2 + 3 \)- C. \( 2 + 3x \)- D. \( 3x + 2 \)5. 以下哪个序列是收敛的？- A. \( \{ \frac{1}{n} \} \)- B. \( \{ (-1)^n \} \)- C. \( \{ n^2 \} \)- D. \( \{ \frac{1}{n^2} \} \)二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点是______。

2. 如果\( \lim_{n \to \infty} a_n = L \)，则\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = \)______。

3. 函数\( h(x) = e^x \)的泰勒展开式在\( x = 0 \)处的前三项是______。

09级数学专业《数学分析》第三学期期末考试试题(B)

数学科学学院10－11学年第一学期期末考试试题考试科目：数学分析年级： 09适用专业：数学与应用数学考试时间：120分钟考试方式：闭卷试卷类别：B 试题满分：100分一．填空题（每题4分，共20分）1．2200x y →→= ．2．设n 是曲面222236x yz ++=在点(1,1,1)P 处指向外侧的法矢量，则u =P 点处沿n 方向的方向导数=_______．3．设数量场u =,则()div gradu =_ ____．4．交换积分顺序()()231320010,,x x I dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰= ．5．全微分()22sin cos x y dx x ydy +的所有原函数为．二．计算（每题8分，共40分）1．求arctany z x=的所有二阶偏导数． 2．求二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰．3．设L 是半圆周cos :sin x a t L y a t=⎧⎨=⎩，0t π≤≤，计算第一型曲线积分()22L I x y ds =+⎰． 4．计算()333S x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰ 外，其中S 为球面2222x y z R ++=的外侧．5．计算曲线积分224L xdy ydx I x y-=+⎰ ，其中L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周（1R ≠），取逆时针方向．三．证明题（每题10分，共40分）1．设,ϕψ均为二次可微函数，()()u x x y y x y ϕψ=+++，证明：2222220u u u x x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂． 2．设()1,1f x y xy=-，()[)[),0,10,1x y D ∈=⨯，证明：(),f x y 在D 上非一致连续． 3．设(),f x y 在[][],,a b c d ⨯上连续，则()(),dc I x f x y dy =⎰在[],a b 上连续．4．设函数()()2222220,0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明：(),f x y 在()0,0点可微．。

《数学分析》华东师大出版社第三学期期末复习试题3-7

一、填空（每空2分，共20分） 1．设})1,0(|{中的无理数∈=x x E ，则 =E sup ；=E inf ；E 的聚点是。

数学分析(3)试卷及答案

数学分析(3)期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项：1.考试时间：120分钟。

2.试卷含三大题，共100分。

3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4.遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分)1、设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。

2、设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。

3、椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

4、设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。

5、设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。

6、在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。

7、设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。

二、计算题(每题8分，共56分) 1、讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。

3、求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

《数学分析Ⅲ》期末考试卷03.doc

数学分析下册期末考试3（模拟试题）一、填空题（第1题每空2分，第2, 3, 4, 5题每题5分，共26分）du = ____________________ o2、设厶：x 2 + y 2 = a 2,则 j xdy - ydx =L4、改变累次积分 pyj7（x, y ）么的次序为 ________________________ o5、设 £＞：x+yW], 贝＞J jj （A /5 + V ）dxdy = _______________________ 二、断题（正确的打“O” ；错谋的打“X”；每题3分, 共15分）判1若函数.f （x, y ）在点/Xx 0, y°）连续，则函数.f （x, y ）/?（x 0, y°）必存在一点阶偏导数。

（） 2、若函数/（x, y ）在点〃（x （）, y 0）可微，则函数/（x, y ）在点/7（x （）, y （））连续。

（）3、若函数/（x, y ）在点p （x°, y°）存在二阶偏导数人（％,儿）和几（心儿），则必有几（勺，儿）二几（％‘儿）。

（）4、 J f （x,y ）dx= J /（x, y ）dx o（）L （A 9B ） UB ,A ）5、已知u = In Jx? +于,则冀 OXdu 3、设厶: x 二3cost,则曲线积分J （x 2+y 2）ds = L若函数/（x, y）在有界闭区域D上连续，则函数/（x, y）在D上可积。

（）1、用格林公式计算曲线积分I = j (e K sin y - 3y)dx + (e x cos y - 3)dy ,AO其中AO 为由A(a,0)到0(0,0)经过圆x 2 + y 2 =处上半部分的路线。

2、计算三重积分 + >,2 )dxdydz ,V其中是由抛物ilHz = x 24-/与平HHz 二4围成的立体。

每小题9分，共45分)三、计算题I = JJdS ,s4、计算第二型曲面积分其中S是球面宀于+二疋上被平面"d(OvdV/?)所截下的顶部(注0)。

数学分析第三学期期末复习卷两套卷七卷八卷九

数学分析第三学期期末复习卷三套卷七卷八卷九卷七一、填空（每空2分，共20分）1．设})1,0(|{中的无理数∈=x x E ，则 =E sup ；=E inf ；E 的聚点是。

2．若0),(≠=∂∂a a a y f ，则=--→ax a a f a x f a x ),(),(lim 3．若),(y x f 关于x 是奇函数，即),(),(y x f y x f --=，区域D 关于y 轴对称，则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(4．设曲面S 为)10,10(0≤≤≤≤=y x z ，下侧为正侧，),(y x f 在S 上连续，则⎰⎰SdS y x f ),(的计算公式是；⎰⎰S dxdy y x f ),(的计算公式是；⎰⎰Sdydz y x f ),( 5．S 为球面1222=++z y x ，外侧为正侧，则=⎰⎰Sdxdy ；6．设S 为球面1222=++z y x ，则=++⎰⎰SdS z y x )(222 ；二、求偏导数或全微分（共20分）1．（10分）证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222222y x y x y x y x y x f 在原点（0, 0）连续且偏导数存在，但在此点不可微. 2．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 三、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .四、（50分）求下列积分1．（5分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．求⎰++-=L y x xdy ydx I 22，其中L 是包含原点的任一条分段光滑封闭曲线，逆时针方向为正.4．（15分）以S 表示椭球B ：1222222=++cz b y a x 的上半部分（0≥z ），αc o s ，βcos ，γcos 表示S 的外法线的方向余弦，计算曲面积分 ⎰⎰++SdS c z b y a x z )cos cos cos (222γβα. 5．（10分）求⎰⎰++S zdxdy ydzdx xdydz 其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.卷八一、（10分）讨论函数xy y x f 1sin),(=在点（0，0）的重极限与累次极限二、（10分）设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 是连续的，并且每当固定x 时对y 是单调的，证明f 是R 2上的二元连续函数三、求偏导数或全微分（共20分） 1．（5分）求函数 )arcsin(x y z =的偏导数.2．（5分）求函数 0)()()(>=x f x f z y g 的全微分.3．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 四、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .五、（50分）求下列积分1．（10分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2 其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．（15分）求常数λ，使得曲线积分0)()(22222222=+-+⎰L dy y x y x dx y x y x λλ对上半平面内任何光滑闭曲线成立.4．（15分）计算⎰⎰++=Sdxdy z dzdx y dydz x I 222，其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-的外侧卷九一、（10分）讨论函数yx y x y x f 1sin 1sin )(),(+=在点（0，0）的重极限与累次极限二、（10分）设),(y x f 在集合2R G ⊂上对x 连续，对y 满足利普希茨条件： y y L y x f y x f ''-'≤''-'),(),(，其中（x , y’）, (x , y ’’)G ∈, L 为常数，试证明f 在G 上处处连续三、求偏导数或全微分（共20分）1．（5分）求函数 )arcsin(x y z =的偏导数.2．（5分）求函数 0)()()(>=x f x f z y g 的全微分.3．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂. 四、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x .五、（50分）求下列积分1．（10分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--12201202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 2．（10分）求⎰Lds y 2 其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x3．（15分）已知21)0(=f ，确定)(x f ，使⎰-+B A x dy x f dx y x f e )())((与路径无关，并求当A ，B 分别为（0, 0），（1, 1）时，曲线积分的值.4．（15分）设空间区域V 由曲面222y x a z --=（0>a ）与平面0=z 围成，记V 的表面外侧为S ，体积也记为M ，求证⎰⎰++-=Sdxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x M )1(2222。

数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下哪个选项不是闭区间[a, b]上连续函数的性质？A. 有界性B. 保号性C. 介值性D. 可微性3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1在x=-1处的泰勒展开式（展开到x^2项）是：A. -1+2x-x^2B. 1-2x+x^2C. -1+2x+x^2D. 1+2x-x^25. 以下哪个级数是发散的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...6. 函数f(x)=x^2在x=1处的高阶导数f^(n)(x)（n≥2）是：A. 0B. 1C. 2D. 47. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. sin(e^x) + CD. cos(e^x) + C8. 函数f(x)=x^2在[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/39. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题2分，共10分）11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极小值，则f'(2)=_________。

12. 若函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得最大值，则b=_________。

13. 函数f(x)=ln(x)的原函数是_________。

数学分析第三学期试题

《数学分析》《第三学期》期末考试试题一．将函数()()2f x x x ππ=-≤≤展开为Fourier 级数（10分）二．计算（每题9分共54分） 1．求极限22limx y x yx xy y →∞→∞+-+2．设()2arctan ,x z x y y e =+=，求x dzdx = 3．求二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰4．设函数(),z z x y =是由方程ln x zz y=确定的，求z x ∂∂及z y ∂∂5．求第二型曲线积分()()2211L x dy ydxI x y --=-+⎰ ，其中L 为环绕点()1,0的简单、可求长的闭曲线 6．求三重积分,V其中V 是由曲面222,1x y z z +==所界的区域三．判断反常积分30sin p x dx x +∞⎰关于p 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的一致收敛性（10分）四．（第1题10分，第2题16分共26分） 1．设()(),,,y f x y f x y 都在[][],,a b c d ⨯上连续，则()(),ba I y f x y dx =⎰在[],c d 上可微，并且在[],c d 上成立()(),b y a dI y f x y dx dy=⎰2．设()22220,0,,0x y f x y x y +≠=+=⎩证明：（1）(),f x y 在()0,0的邻域中连续；（2）(),f x y 在()0,0的邻域中具有有界的偏导函数(),x f x y '，(),y f x y '；（3）(),f x y 在点()0,0不能微分。

《数学分析》《第三学期》期末考试试题一. 概念题（5分）叙述含参变量的无穷积分1(,)f x y dx +∞⎰关于参数y 在数集Y 上不一致收敛的定义.二. 填空题（每题3分，共15分）1. 函数u xyz =在点(1,1,1)沿()2,1,3l =-的方向导数为 .2. 设()x x y =是由方程22221x y a b+=所确定的函数, 则dxdy= . 3. 01sin limx y xyx →→= .4. 设(,)z z x y =是由方程2222221x y z a b c ++=所确定的函数, 则zx∂=∂ . 5. 螺旋线cos ,sin ,x a t y a t z ct ===上对应3t π=处的切线为 .三. 计算题（每题6分，共30分）1. 求22()()x y D I edxdy -+=⎰⎰的值, 其中()D 是闭圆域2220x y R ≤+≤.2. 设(,)u f x y =, 且其一阶、二阶偏导数都存在且连续. 若cos ,sin x r y r θθ==, 求22u r ∂∂，22uθ∂∂.3. 用柱坐标变换计算()V I zdxdydz =⎰⎰⎰, 其中()V 是上半球体:2221,0x y z z ++≤≥.4. 求函数222u x xy y x y =-+-+的极值.5. 计算333()S x dydz y dzdx z dxdy++⎰⎰外, 其中()S 为球面222x y z R++=. 四. 解答题（每题10分，共50分） 1. 求224L xdy ydxI x y+-=+⎰, 其中L 为以(1,0)为圆心, R 为半径的圆周(1)R ≠, L +表示逆时针方向.2. 设函数(,)f x y 在矩形[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,)ba y f x y dxϕ=⎰在[,]c d 上连续. 3.试验证函数(,)h x y =在原点(0,0)点连续, 且两个偏导数都存在, 但在(0,0) 不可微.4. 求22(2sin )(2cos sin )x y x dx y x x y dy -+-的原函数.5. 设平面区域()D 在x 轴和y 轴上投影长度分别为,x y l l , (),αβ为()D 内任一点,证明: 22()1()()4x y D x x dxdy l l αβ--≤⎰⎰.。

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第三学期《数学分析》期末试题
一、选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（）
A 充分条件
B 必要条件
C 充分必要条件
D 无关条件 2、
=∂∂),(00|)
,(y x x
y x f （） A x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim
00000
； B x
y x x f x ∆∆+→∆)
,(lim 000；
C x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim
00000
； D x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆)
,(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）
A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微；
B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；
C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在；
D 以上全不对。

4、2
222
2)
(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。

5、设y
x
e z =，则=∂∂+∂∂y
z y x z x
（ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）
1、证明函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=+≠++=0
00),(22222
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，
但它在该点不可微；
2、设
⎰⎰'=-x x
t
x f x f dt d e x f 0)
(),(,)(2
求ττ；
3、设有隐函数,0
x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；
4、计算
(cos sin )
x C
e ydx ydy -⎰
，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点
的光滑曲线；
5、计算
zdS
∑
⎰⎰，其中∑为22
z x y =+在
1
4z ≤
的部分；
三、验证或解答（满分24分，每小题8分）
1、验证曲线积分⎰+++++L
dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的
原函数；
3、验证函数
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222
22
2
y x y x y x xy y x f
在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.
部分题目参考答案：
二、1、证明：||||
02
2
xy y
x xy ≤+≤（4分）
2
2
)
0,0(),(lim
y
x xy y x +→=0所以函数在（0，0）
点连续，（3分）又00
lim
0=∆→∆x
x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，
（4分）但2
2)0,0(),(lim
y x y
x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）
由于2
22
2
'0
00)()(,)()(x x
x x
x
t
x
x
x
t
xe dt e dt d e
x f dt d e
x f ----==-+=='=⎰⎰⎰⎰⎰ττττ，所
以 2
1
2121)(21)(22
220
020
+-=-=--==----⎰⎰x x
x
t
t x
t
e e t d e dt te x
f .
二、3、 [解法 1] 由隐函数、复合函数求导法
''
11''''1212221F zF z
z
x y x
xF yF F F z z ⋅
∂=-=
∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ''
22''''
1212221
F zF z z
x y y
xF yF F F z z ⋅∂=-=
∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
[解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得
''120x y F d F d z z ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，''12220
zdx xdz zdy ydz F F z z --⋅+⋅=
''12''
12zF dx zF dy dz xF yF +=+，故 ''12'
'
'
'1212zF zF z
z
x xF yF y xF yF ∂∂==∂+∂+.
由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.
二、4、解令X =cos x e y ，Y =sin x e y -，则 x Y ∂∂=y X
∂∂=
sin x e y -,故被积表达式
(cos sin )
x e ydx xdy -一定有原函数，注意到
(cos )x d e y =(cos sin )x e ydx xdy -,知
(,)u x y =cos x e y 是(cos sin )x
e ydx xdy -的一个原函数，故由定理21.13，有
(cos sin )
x C
e ydx ydy -⎰
=
(,)
(0,0)
cos |x a b e y =cos 1a
e b -.
二、5、解曲面∑在0x y 平面上的投影区域
2
22
1(,)2xy D x y x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+≤⎨⎬
⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，而2,2z z
x y x y ∂∂==∂∂，于是曲面的面积微元
()()2
2
1x y dS z z d σ''=++=22144x y d σ++ 所以
2222()144xy
D zdS x y x y d σ∑
=+++=
⎰⎰⎰⎰
12220
14d r x rdr
π
θ+⎰
⎰
（在极坐标系下计算）
1
40
1
2142t π=+⎰
2
()r t = 2
421
12
)8
u u du π
+=
-=
(14)u t =+.
三、1、解由于,1,,,=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂+=+=+=z
P
x R y R z Q x Q y P y x R x z Q z y P 所以曲线积分与路线无关. 现在求 ⎰⎰
+++++=
M
M dz y x dy x z dx z y z y x u 0.)()()(),,(
取M M 0为沿平行于x 轴的直线到),,(001z y x M ，再沿平行于y 轴的直线到
),,(02z y x M ，最后沿平行于z 轴的直线到),,(z y x M .于是
c
xz yz xy z y x z y x y x z y x z x z y x z y dr
y x dt x z ds z y z y x u x
x y
y z
z +++=+-+++-+++-+=+++++=⎰⎰⎰000000000000)()()()()()()()()(),,(0
其中000000z y z x y x c ---=是一个常数，若取0M 为原点，则得
.),,(yz xz xy z y x u ++=
三、3、证明
)
,0(02lim
),(lim ,,2
200
y f y x xy
y x f R x R y x x ==+=∈∀∈∀→→分别有，与
)
0,(02lim
),(lim 2
200
x f y x xy
y x f y y ==+=→→，即),(y x f 在原点（0，0）分别对y x 或都连续
当y x =时，却有
)0,0(0122lim 2lim ),(lim 22
0220
000f x x y x xy y x f x y x y x =≠==+=→→→→→，即),(y x f 在
原点（0，0）不连续（其实),(y x f 在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.。