区间估计
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
点估计和区间估计公式
点估计和区间估计公式统计学中，点估计和区间估计是两个重要的概念。
点估计是指通过样本数据来估计总体参数的值，而区间估计则是通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间。
本文将详细介绍点估计和区间估计的公式及其应用。
一、点估计公式点估计是通过样本数据来估计总体参数的值。
在统计学中，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指在给定样本数据的情况下，选择使得样本出现的概率最大的总体参数值作为估计值。
矩估计是指通过样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
点估计的公式如下：最大似然估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本概率密度函数为f(x;θ)，则总体参数的最大似然估计为：θ^=argmaxθL(θ;x1,x2,…,xn)=argmaxθ∏i=1nf(xi;θ)其中，L(θ;x1,x2,…,xn)为似然函数，θ^为总体参数的最大似然估计值。
矩估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本矩为μ1,μ2,…,μk，则总体参数的矩估计为：θ^=g(μ1,μ2,…,μk)其中，g为函数，θ^为总体参数的矩估计值。
二、区间估计公式区间估计是通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间。
在统计学中，常用的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计是指通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间，使得该区间内的真实总体参数值的概率达到一定的置信水平。
预测区间估计是指通过样本数据来估计未来观测值的区间，使得该区间内的未来观测值的概率达到一定的置信水平。
区间估计的公式如下：置信区间估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本均值为x̄，样本标准差为s，置信水平为1-α，则总体参数的置信区间为：x̄±tα/2,n−1×s/√n其中，tα/2,n−1为自由度为n-1、置信水平为1-α的t分布的上分位数。
预测区间估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本均值为x̄，样本标准差为s，置信水平为1-α，则未来观测值的预测区间为：x̄±tα/2,n−1×s×√1+1/n其中，tα/2,n−1为自由度为n-1、置信水平为1-α的t分布的上分位数。
区间估计
x
）
x
） ）
x x
（
有时在实际中常用的还有单侧置信区间:
ˆ ˆ ( X ,..., X ) 是统计量, 若对给定的 定义3: 设 L L 1 n
α(0< α <1)，对任意的θΘ,有
ˆ } 1- P{ L
ˆ 是θ的置信水平为 1- α的(单侧)置信下限. 则称 L
ˆ ˆ ( X ,..., X )是统计量, 若对给定的 定义4: 设 U U 1 n
(3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
2 (n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 1 (n 1) (n 1) 2 2 注：两边开方即得到 的置信区间
(3)
(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少）
解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， u1-/2=1.96 应抽取的样本量为
n
( u1 2 )2 2
E2 96.04 97
(1.96)2 2000 2 4002
即应抽取97人作为样本。
四、大样本置信区间
若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限 定理, 可近似地视为 2 x ~ N (, )
例如: 设 X1,…, Xn 是取自 N ( , 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
1、明确问题,是求哪个参数的置信区间? 置信水平是多少？
解： 选
的点估计为 X ,
2、寻找未知 参数的一个良 好估计.
3、寻找一个待估参数和样本的函数，要求其 分布为已知.
解：已知Ｘ ~ N(，2)，n=16, 1- = 95%，t1-/2=2.131 根据样本数据计算得： x 1490
解释区间估计
解释区间估计
区间估计是一种数据分析方法，它通过确定特定的数据范围来估计有关数据分布的信息。
区间估计旨在通过给定一组数据来估计特定的参数值，而不是对参数进行确切的确定。
它的主要思想是通过收集、汇总和分析数据来构造一个有限的精确估计范围，来更加准确地描述未知变量。
它是收集数据和抽样结果之后所产生的结果，我们可以通过它得到样本的参考值，而这个参考值也就是我们所要估计的参数值。
在实际操作中，由于未知参数的不确定性和可测量收集的数据的量，因此可能无法得到精确的估计，这时候就需要使用区间估计法来解决问题。
这种方法可以将未知变量衡量一段时间来创造一个特定范围，通过此范围再将其进行分析，以便获得更精确的估计值。
因此，可以看出区间估计是一种既强大又有效的数据分析方法，可以在所有数据中找到未知参数的特定范围，从而获得更精确的估计值。
它是一种很有效的概率分析方法，非常有效的帮助我们比较可能结果的特定数值范围，而不需要耗费大量的资源来得到一个精确的值。
名词解释区间估计
区间估计的名词解释
一、什么是区间估计？
区间估计是统计学中一种常用的参数估计方法，用于根据样本数据来估计总体参数的范围。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间通常包含总体参数的真实值。
区间估计的方法包括单侧区间估计和双侧区间估计。
二、区间估计的原理
区间估计的原理基于抽样分布理论。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
因此，我们可以利用样本均值和标准误差来估计总体均值的分布。
具体来说，我们首先根据样本数据计算出样本均值和标准误差。
然后，利用样本均值加减标准误差的倍数来计算出置信区间的上下限。
置信区间的置信度通常设置为 95% 或更高，这表示我们有 95% 的把握认为总体参数的真实值落在这个区间内。
三、区间估计的应用场景
区间估计在实际应用中具有广泛的应用价值，下面列举了一些常见的应用场景：
1. 估计总体均值：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计
算出样本均值和标准误差，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体均值。
2. 估计总体比例：例如，通过对某人群进行抽样调查，计算出
样本比例和标准误差，然后用区间估计方法估计该人群的总体比例。
3. 估计总体标准差：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计算出样本标准差和样本容量，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体标准差。
总之，区间估计是一种常用的参数估计方法，能够帮助我们在实际问题中对总体参数进行估计。
掌握区间估计的方法和原理，对于统计分析和决策具有重要意义。
主讲数理统计7区间估计
2. 区间估计
一 、设X1 , …, Xn为来自总体 Xf (x, ）的一个样 本， 为未知参数。所谓的区间估计，就是以
满足条件
ˆL ( X1, , Xn ) ˆU ( X1, , Xn )
为端点的区间，一旦有了样本X1, …, Xn，就把 估
计在区间
[ˆL ( X1, Xn ),ˆU ( X1, Xn )]
(X
Y
)
(1
2 )
~N(0, 1)
2 1
2 2
nm
寻找一个待估参数和
估计量的函数 ，要求
其分布为已知.
U
(X
Y ) (1 2 )
12
2 2
~N(0, 1)
( x)
nm
P{u /2
(X
Y ) (1
12
2 2
2 )
u1
2}
nm
u/2 u1-/2
P{u1 /2
(X
Y ) (1
2 1
率的观点解释，即：若进行m(m较大）次抽样，获得
m个置信区间，这些区间中约有（1）m个包含。
那么，就一个区间
[x n u1 2 , x n u1 2 ]
而言，有（1）%把握认为它包含。
区间估计的精度
区间估计的精度可以用区间长度来衡量： 对于
正态总体（方差 2已知）均值 的置信区间
[X
n u1 2 ,
Sn
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
t X
Sn
~t(n 1)
f (x)
P{t
2 (n
1)
X S
n
t1
2 (n
1)}
t /2 (n 1)
区间估计
P{| T | } 1 ，
由t分布表的构造及{| T | } 1 ，可知： P
t ( n 1),
2
X- P - t ( n 1) t ( n 1) 1 S/ n 2 2
设 总 体 ~ N ( , ), 为 已 知 ， 未 知 ， X
2 2
设 X 1 , , X n是 来 自 的 样 本 ， 求 的 置 信 水 平 X 为1－的 置 信 区 间 。
X 构造样本的函数 U / n
~ N (0,1).
查正态分布表 ( ) 1 / 2, z , 得：
s t (n 1) n 2
若n=26, 上式等于0.202 若n=27, 上式等于0.199
方差 的置信区间
2
设 给 定 置 信 水 平 为 ， 1－ X 1 , , X n是 来 自 ~ N ( , 2 )的 样 本 ， X X , S 2分 别 为 样 本 的 均 值 和 差 。 方
在某河流上设点定期监测氨氮含量。预研究结果显示氨氮多 次测定值的标准差为0.5mg/L。若希望测定月平均含量的绝 对误差不大于0.2mg/L，每月至少需要进行几次测定？置信 度为95%.
[ X - t ( n 1)
2
S n
, X t ( n 1)
2
S n
]
估值的最大绝对误差即样本均值到置信区间下限或上限的距离，
( 3) 从 不 等 式 Z ( X 1 , X n ; ) b得 到 等 价 的 不 等 式 a ˆ ˆ1 ˆ2 , 其 中ˆ1 （X 1 , X n） ，ˆ2 ˆ（X 1 , X n） 1 2 都是统计量 .
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STAT
4.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况
在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
织想进行一项新的研究，以估计美国当前总体平均日租赁中等
大小汽车的支出。在设计该项新的研究时，项目主管指定对总
体平均日租赁支出的估计误差边际为2美元，置信水平为95%。
解：依题意，1 95%,Z 1.96, 9.65, E 2
2
可得
n
(Z
2
)2
E
2 2
1.96
2
9.65 22
2
89.43
将以上结果取下一个整数（90）即为必要的样本容量。
p)
STAT
【例6】在例中，该公司想在1997年结果的基础上进行一项新的 调查，以重新估计女子高尔夫球手的总体中对得到的球座开球 此数感到满意的人数所占的比例。调查主管希望这项新的调查 在误差边际为0.025、置信水平为95%的条件下来进行，那么， 样本容量应该为多大？
解：依题意，1 95%,Z 1.96, p 0.44, E 0.025 2
为
2的Z值。
第四章
例(1).某厂质量管理部门负责人希望估计移交给接收部门的 5500 包 原材料的平均重量。一个由250包原材料组成的随机
样本所给出的平均值 x 65千克 ,总体 标准差 =15千克,试构
造总体未知的平均数 的置信区间,假定95%的置信区间已能
令人满意,并假定总体为正态分布。
解：已知总体服从正态分布，所以样本平均值也服从正态
18
45
27
42
36
39
STAT
上表是一个由36个投保人组成的简单随机样本的年龄数据。现 求总体的平均年龄的区间估计。
分析：区间估计包括两个部分——点估计和误差边际，只需分 别求出即可到的总体的区间估计。
解：已知 n 3（6 大样本）， 1 90%，Z 1.645 2
（1）样本的平均年龄
x
x 32 50 40 36 39.5
n
36
（2）误差边际
x
Z 2
n
总体标准差 （未知）
样本标准差 s
STAT
样本标准差
s (x x)2 7.77
误差边际
n 1
s
7.77
x
Z 2
Z
n
2
1.645 * n
2.13 36
（3）90%的置信区间为39.5 ±2.13 即（37.37，41.63）岁。
注意
（1）置信系数一般在抽样之前确定，根据样本所建立的区间能 包含总体参数的概率为
x , x 82 3.92,82 3.92
x
x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
STAT 图1 根据选择的在 x1 、x2 、x3 位置的样本均值建立的区间
例2：对某打土方 的工人作抽样调查，随机抽查144个工人，
据此求得每人每天平均完成工作量为5.25立方米。已知总体
服从正态分布，其标准差为1.5立方米，试用0.9545概率保
证，推断其全部工人每人每天平均完成工作量介于多少立
方米之间？
解：已知X—N( ,1.5)即总体服从正态分布。
X=5.25 n=144
式中，（1 ）为置信系数；
Z 为在标准正态分布的右 2
侧尾部中所提供的面积
为
2的Z值。
STAT
【例5】1997年菲瑞卡洛通讯公司对全国范围每内的902名女子高尔 夫球手进行了调查，以了解美国女子高尔夫球手对自己如何在场上
被对待的看法。调查发现，397名女子高尔夫球手对得到的球座开 球次数感到满意。试在95%的置信水平下估计总体比例的区间。
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间
【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。
可得
n
(Z )2 2
p(1 E2
p)
1.962
0.44 0.56 0.0252
1514.51
将以上结果取下一个整数（1515）即为必要的样本容量。
STAT
说明：
p 由于总体比例 在大多数情况下是未知的，可以有以下方 p 法取得 的值。
（1）使用有同样或者类似单元的以前样本的样本比例； （2）抽取一个预备样本进行试验性研究。用实验性样本的比例
x 的抽样分布
2 x
基于x2 3.92的 区间
95%的所有x的值
3.92 3.92 x1
x2
基于x1 3.92的 区间
x3 基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
STAT
上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。
因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。
2
5
x 5.25
5.5
x
z 注意：n>30为大样本，查标准正态分布表
置信水平
2
(t)
记住
0.6827
1
0.9000
1.645
0.9500
1.96
0.9545
2
0.9973
3
再例：
STAT
4.1.4计算区间估计：未知时的大样本情况
在大多数的情况下，总体的标准差都是未知的。根据抽样
分布定理，在大样本的情况下，可用样本的标准差s作为总体标
STAT
4.4总体比例的区间估计
8.4.1区间估计
p 对总体比例 的区间估计在原理上与总体均值的区间估计相
同。同样要利用样本比例 p 的抽样分布来进行估计。 若，n 30, np 5, n(1 p) 5 则样本比例近似服从正态分布。
同样，抽样误差 p p p
类似的，利用抽样分布（正态分布）来计算抽样误差
（2）置信区间的长度（准确度）在置信度一定的情况下，与样 本容量的大小呈反方向变动，若要提高估计准确度，可以扩大 样本容量来达到。
STAT
4.3确定样本容量
误差边际
x
Z 2
n
其计算需要已知Z ,和样本容量n。 若我们选择了置信度2 1,就可以确定Z
2
在已知 和Z 后，我们可以求出误差边际为任何数值时的 2
p 作为 的估计值。 p （3）运用对 值的判断或者“最好的猜测”；
（4）如果上面的方法都不适用，采用 p 0.5 。
例1：某灯泡厂日产白炽灯泡15000只，根据历史资料可知一 等品率为90%，现要求极限误差为2%，概率保证程度为 95.45% ，问不重复抽样时，应抽取多少只灯泡？
例2：某洗衣机厂生产一批新型号的洗衣机投放市场,为了解 这种洗衣机在市场上的销路，该厂在市场上调查喜欢这种洗 衣机的人数比率。要求置信度为95%，估计误差在4%以内， 问需要抽多大的样本？
准差的点估计值，仍然采用上述区间估计的方法进行总体参数
的估计。
未知时的大样本下的区间估计
x Z 2
n
式中，（1 ）为置信系数；
Z 为在标准正态分布的右 2
侧尾部中所提供的面积
为
2的Z值。
STAT
【例2】 斯泰特怀特保险公司每年都需对人寿保险单进行审
查，现公司抽取36个寿保人作为一个简单随即样本，得到关于、 投保人年龄、保费数量、保险单的现金值、残废补偿选择等项 目的资料。为了便于研究，某位经理要求了解寿险投保人总体 平均年龄的90%的区间估计。
z2=2
z z x
,
x
(5.25 2 1.5 , 5.25 2 1.5 )
2n
2 n
144
144
(5, 5.5)
所以我们可以0.9545的概率保证全体工人每人每天平均完成 工作量介于5—5.5立方米之间。
第四章 参数估计
如图：
0.02275 2
1 =0.9545
0.02275
分布。并知，x =65， =15，查标准正态分布表，与置信水
平95%相对应的Z值为1.96，所以总体平均数置信区间为：
z x
65 1.96
15
65 1.86
2n
250
即：63.14 — 66.86(千克)之间
所以我们有95%的把握说总体平均数u介于63.14—66.86千克 之间。
第四章 参数估计
例3：某厂生产电子元件10000只，采用重复抽样方式抽取 100只作耐用检验，计算结果平均寿命是9000小时，总体的方 差是8100小时，当概率保证程度为95.45%时，电子元件的平 均寿命落在哪个区间？若概率保证程度提高到99.73%，允许 的极限误差为原来的1/2时，需要抽取多少只电子元件？
例1：某灯泡厂日产白炽灯泡15000只，根据历史资料可知一 等品率为90%，现要求极限误差为2%，概率保证程度为 95.45% ，问不重复抽样时，应抽取多少只灯泡？
通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1
置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度的
正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估计量