七年级秋季培优讲义整式专题
初一整式的乘除培优同步讲义
学科教师辅导讲义 学员编号：年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师： 授课主题第01讲---整式的乘除 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方） ② 掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为m n m n a a a +•=（m,n 都是正整数，底数a 不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++••=都是正整数） ②(,m n m n a a a m n +=•都是正整数）（二）幂的乘方与积的乘方体系搭建2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下： ()(,,,m a b c ma mb mc m a b c ++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b ++=+++都是单项式）（五）同底数幂的除法1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为m n m n a a a -÷= （0,,a m n ≠都是正整数）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++÷÷=都是正整数）②(,m n m n a a a m n -=÷都是正整数），0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂①010)a a =≠（ ②1(0p p a a p a -=≠，是正整数），此式也可逆用，即11()(0,p p a a p p a a-==≠为正整数） 4、用科学计数法表示小于1的正数一般地，一个小于1的正数可以表示为10n a ⨯的形式，其中1≤a ＜10，n 是负整数，且n 的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。
七年级秋季培优讲义整式专题
2018年七年级秋季培优讲义——整式专题一知识解读整式加减：1.代数式的概念代数式是用基本的运算符号运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方把数字或字母连接而成的式子;单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2.代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3.整式的加减1单项式：数与字母的积的代数式叫单项式;数字因数叫单项式的系数;所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.2多项式：几个单项式的和叫多项式;多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数;单项式的个数也就是多项式的基数.3单项式和多项式统称为整式.4同类项;两个单项式中;如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等;那么这两个单项式叫同类项.5整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项;合并同类项的法则是：把系数相加减;字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念;合并同类项;去括号以及整式加减运算等.整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础;也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础;同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础;归纳起来就是要注意以下几点：1.理解四式单项式、多项式、整式、n 次m 项式、三数系数、次数、项数和二项常数项、同类项2.掌握三个法则去括号法则、添括号法则、合并同类项法则.3.熟悉两种排列升幂排列、降幂排列.整式加减的一般步骤1.根据去括号法则去括号.2.合并同类项.例题精讲例11已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式;求mn . 2已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ;求abc .例21先化简;再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+;其中12x =-;y ＝2. 2已知4m n -=;1mn =-;求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.例3已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式;当x ＝2时的值为－17;求当x ＝－2时;此多项式的值.例4已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关;求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.练1若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关;求代数式323222(42)a b a b ---的值.例5已知2234A x xy cy =-+;23B ax xy =-;222C x bxy y =-+;且23A B C x xy --=-+2y -;求a 、b 、c .例61当x ＝2时;代数式31ax bx -+的值等于－17;那么当x ＝－1时;求代数式31235ax bx --的值.2已知代数式3ax bx c ++;当x ＝0时的值为2;当x ＝3时的值为1;求当x ＝－3时代数式的值.3已知21x x +=;求432222012x x x x +--+的值.练2如果210a a +-=;求3222a a ++的值.例7倡导“节能减排”;鼓励居民节约用电.2012年7月1日起;湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度;方案如下：如：小明家3月份用电量为500度;则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=元.1若小华家4月份电量为100度;则应付费元;5月用电量为210度;则应付费元;6月份电量为450度;则应付费元；2若小华家7月份的用电量为x 度;请用x 表示应付的电费；3若小华家9月份已付电费177.9元;请你求出小华家9月份的用电量；4若小华家某月的电费为a 元;则小华家该月用电量属于第几档.例8观察下面有规律的三行单项式：x ; 22x ; 34x ; 48x ; 516x ; 632x ;……①2x -; 24x ; 38x -; 416x ; 532x -; 664x ;……②22x ; 33x -; 45x ; 59x -; 617x ; 733x -;……③1根据你发现的规律;第一行第8个单项式为；2第二行第n 个单项式为；3第三行第8个单项式为；第n 个单项式为；例9已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++是关于x 的恒等式;求1197531a a a a a a +++++的值.练3已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式;求24a a +的值.例101已知x ;y 为整数;且5|(9)x y +;求证：5|(87)x y +.2已知x 、y 、z 均为整数;且11|(725)x y z +-;求证：11|(3712)x y z -+.跟踪练习1.单项式3243x y z -的系数是;次数是. 2.已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式;单项式253n m x y -与该多项式次数相同;则mn ＝.3.4243527x x y xy ---是次项式;最高次项是;最高次项的系数是;常数项是.4.多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式;则m ＝;n ＝.5.已知133m x y +与42n mx y +-是同类项;则m ＝;n ＝;13423m n x y mx y ++-=.6.如果2(1)|2|0a b +++=;则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为. 7.已知两个多项式的和是2521x x -+;其中一个多项式是2235x x --;则另一个多项式是.8.电影院里第一排有a 个座位;后面每排都比前排多3个座位;则第10排有.9.某城市广场中央;有一如图阴影部分所示的花坛;其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米;重叠部分都是边长2米的正方形;圆的半径是r 米;则这个花坛的占地面积为.10.1化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；2化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；3已知多项式22911A x x =--;2354B x x =++;求(2)A B --.11.12323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--;其中a ＝－2；2若2|1||2|1a ab c -+-=-;且a 、b 、c 都为正整数;求65()2ab ab a b c ++--的值.12.已知m 、n 为正整数;单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式;①试求m 、n 的值；②当x＝－1;y ＝1时;求此单项式的值.13.已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项;求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值. 14.已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1;且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项;求m 的值.15.1多项式531ax bx ++;当x ＝2时;其值为－5;则x ＝－2时;该多项式的值为多少 2若241550x x +-=;求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.3若331x x -=;求432912372003x x x x +--+的值.4已知x ＝2时;多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3;则当x ＝－2时;求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16.武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤;夹克每件售价80元;T 恤每件售价50元;厂方在开展促销活动期间;向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T 恤；②夹克和T 恤按定价的80%付款;现客户要向服装厂购买夹克50件;T 恤x 件x ＞50. 1若该客户按方案①购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示；若该客户按方案②购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示；2若x ＝100;通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算3若两种优惠方案可同时使用;当x＝100时;你能给出一种更为省钱的购买方案吗试写出你的购买方案;并说明理由.17.观察下面的三个数列：①－1; ＋2; －3; ＋4; －5; ＋6;……②－3; 0; －5; ＋2; －7; ＋4;……③－2; ＋4; －6; ＋8; －10; ＋12;……1这三个数列的第n个数分别是；2在第一行中是否存在连续的三个数;使得和为－40 若存在;求出这三个数；若不存在;请说明理由；3是否存在这样的一列;使其中三个数的和为78 若存在;求出这三个数；若不存在;请说明理由.18.1已知a、b为整数;且10=+;如果17|(5)n a b-;请你证明：17|n.a b2已知一个三位数;它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数;证明：这个三位数也是11的倍数.。
七年级整式的乘除培优讲义全
整式的乘除培优讲义教师寄语：. 任何的限制，都是从自己的内心开始的。
忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。
【知识精要】:1幂的运算性质：①（、为正整数）②（为正整数）③（、为正整数）④（、为正整数，且）（）（，为正整数）2整式的乘法公式：①②③3. 科学记数法，其中4单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
5.单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘的法则；6．多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
7单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
【例题解析】:例1, 计算: 1、(a ＋b ＋c)(a －b －c) 2，,3、20082－2009×2007 4、 (2a-b)2(b+2a)2例2已知，求的值。
例3 [例2] 已知，，求的值。
()2a b c ++例4 [例3]已知，求的值。
例5 [例4] 已知，，求的值。
【课堂精练】:1. （为偶数）2. 0.00010490用科学记数法表示为3.4.5.6.7. 若，那么8. 如果，那么=（）A. B. C. D.9. 所得结果是（）A. B. C. D. 210. 已知为正整数，若能被整除，那么整数的取值范围是（）A. B. C. D.11. 要使成为一个完全平方式，则的值为（）A. B. C. D.12. 下列各式能用平方差公式计算的是（）A. B.C. D.13.计算：（1）（2）（3）（为正整数）（4）【培优拓展】:1.已知，求的值。
2. 若，求的值。
3. 已知，求的值。
4.己知x+5y=6 , 求x2+5xy+30y 的值。
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07整式的加减
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07整式的加减专题07 整式的加减阅读与思考整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：1．透彻理解“三式”和“四数”的概念“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数．2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项．例题与求解[例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______．(江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手．[例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a ＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b(“希望杯”初赛试题)解题思路：采用赋值法，令a＝12，b＝－12，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子．[例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋12by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－12时，代数式3ax－24by3＋4986的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x ＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式．[例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？(“希望杯”初赛试题)解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例目的是求第8站下车人数比第7站上车人数多出的数量．[例6] 能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排列成一圈后，任3个相邻数的和等于29？如果，请举出一例；如果不能，请简述理由．(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)解题思路：假设存在7个整数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7排成一圈后，满足题意，由此展开推理，若推出矛盾，则假设不成立．能力训练A 级1．若－4x m －2y 3与23x 3y 7－2n 是同类项，m 2＋2n ＝______．(“希望杯”初赛试题) 2．当x ＝1，y ＝－1时，ax ＋by －3＝0，那么当x ＝－1，y ＝1时，ax ＋by －3＝______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)3．若a ＋b ＜0，则化简|a ＋b －1|－|3－a －b |的结果是______．4．已知x 2＋x －1＝0，那么整式x 3＋2x 2＋2002的值为______．5．设2332,4536,x y z x y z ++=??++=?则3x －2y ＋z ＝______． (2013年全国初中数学联赛试题)6．已知A ＝a 2＋b 2－c 2，B ＝－4a 2＋2b 2＋3c 2，若A ＋B ＋C ＝0，则C ＝( )．A ．5a 2＋3b 2＋2c 2B ．5a 2－3b 2＋4c 2A ．3a 2－3b 2－2c 2 A ．3a 2＋b 2＋4c 27．同时都有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．A ．4个B ．12个C ．15个D ．25个(北京市竞赛题)8．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：则代数式|a |－|a ＋b |＋|c －a |＋|b －c |化简后的结果是为( )．A ．－aB ．2a －2bC ．2c －aD ．a9．已知a ＋b ＝0，a ≠b ，则化简b a (a ＋1)＋a b(b ＋1)得( )． A ．2a B ．2b C ．＋2 D ．－210．已知单项式0.25x b y c 与单项式－0.125x m －1y 2n －1的和为0.625ax n y m ，求abc 的值．11．若a ，b 均为整数，且a ＋9b 能被5整除，求证：8a ＋7b 也能被5整除．(天津市竞赛试题)B 级1．设a ＜－b ＜c ＜0，那么|a ＋b |＋|b ＋c |－|c －a |＋|a ||＋b |＋|c |＝______．(“祖冲之杯”邀请赛试题)2．当x 的取值范围为______时，式子－4x ＋|4－7x |－|1－3x |＋4的值恒为一个常数，0b ac 第8题图这个值是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)3．当x ＝2时，代数式ax 3－bx ＋1的值等于－17，那么当x ＝－1时，代数式12ax －3bx 3－5的值等于______．4．已知(x ＋5)2＋|y 2＋y －6|＝0，则y 2－15xy ＋x 2＋x 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知a －b ＝2，b －c ＝－3，c －d ＝5，则(a －c )(b －d )÷(a －d )＝______．6．如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，P ＝|1－2x |＋|1－3x |＋…＋|1－9x |＋|1－10x |的值恒为一个常数，则此值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5(安徽省竞赛试题)7．如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6等于______；a 0＋a 2＋a 4＋a 6等于______．A ．1，365B ．0，729C ．1，729D ．1，0(“希望杯”邀请赛试题)8．设b ，c 是整数，当x 依次取1，3，6，11时，某学生算得多项式x 2＋bx ＋c 的值分别为3，5，21，93．经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．A ．当x ＝1时，x 2＋bx ＋c ＝3B ．当x ＝3时，x 2＋bx ＋c ＝5C ．当x ＝6时，x 2＋bx ＋c ＝21D ．当x ＝11时，x 2＋bx ＋c ＝93(武汉市选拔赛试题)9．已知y ＝ax 7＋bx 5＋cx 3＋dx ＋e ，其中a ，b ，c ，d ，e 为常数，当x ＝2时，y ＝23；当x ＝－2时，y ＝－35，那么e 的值是( )．A ．－6B ．6C ．－12D ．12(吉林省竞赛试题)10．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数，一个偶数，n 是整数，如果s ＝(a ＋n ＋1)·(b ＋2n ＋2)(c ＋3n ＋3)，那么( )．A ．s 是偶数B ．s 是奇数C ．s 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．s 的奇偶性不能确定(江苏省竞赛试题)11．(1)如图1，用字母a 表示阴暗部分的面积；(2)如图2，用字母a ，b 表示阴暗部分的面积；(3)如图3，把一个长方体礼品盒用丝带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需丝带(x －y )cm ，打好整个包装需用丝带总长度为多少？12．将一个三位数abc 中间数码去掉，成为一个两位数ac ，且满足abc ＝9ac ＋4c ，如155＝9×15＋4×5．试求出所有这样的三位数．图1 a a a xyz 图 3 b ab图2 a。
第三章整式的加减培优讲义华东师大版七年级数学上册
整式的加减培优讲义考点1.利用整体思想化简求值典例精析（2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x ﹣2x +x ＝（4﹣2+1）x ＝3x ，类似地，我们把（a +b ）看成一个整体，则4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a ﹣b ）2看成一个整体，合并3（a ﹣b ）2﹣6（a ﹣b ）2+5（a ﹣b ）2的结果是 ．（2）当x ＝1时，代数式a 2x 3+bx ﹣5的值为2，则当x ＝﹣1时，求代数式2a 2x 3+2bx ﹣10的值．拓广探索：（3）求2（3m 2+n ）﹣3（2m 2﹣mn ）﹣（4mn ﹣2m ）的值，其中m +n ＝3，mn ＝﹣9． 方法归纳整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的 某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法， 一般先将求 值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的 形式，再利用整体代入的方法求解.针对训练1.如果代数式8y 2﹣4y +6的值是﹣10，那么代数式2y 2﹣y ﹣4的值等于（ ）A ．0B ．﹣5C ．﹣8D ．8 2.对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2+b 3=a+b 2+3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为（a ，b ）．若（m ，n ）是“相随数对”，则2[4m +（2n +1）]+m ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．33.（2022秋•黄陂区期中）当x ＝2时，代数式ax 3﹣bx ﹣1的值为﹣15，则当x ＝﹣1时，代数式16ax 2+4bx +3的值为 ．4.（2022秋•济南期末）已知m ﹣n ＝2，mn ＝﹣5，则3（mn ﹣n ）﹣（mn ﹣3m ）的值为 ．5.先化简，再求值．若m 2+3mn ＝﹣5，则代数式5m 2﹣[5m 2﹣（2m 2﹣mn ）﹣7mn +7]的值．6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）．解：原式＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．参照本题阅读材料的做法解答：（1）把（a ﹣b ）6看成一个整体，合并3（a ﹣b ）6﹣5（a ﹣b ）6+7（a ﹣b ）6的结果是 ．（2）已知x 2﹣2y ＝1，求3x 2﹣6y ﹣2023的值．（3）已知a ﹣2b ＝3，2b ﹣c ＝﹣4，c ﹣d ＝10，求（a ﹣c ）+（2b ﹣d ）﹣（2b ﹣c ）的值．7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x 2+x +3的值为7，求代数式2x 2+2x ﹣3的值． 小明采用的方法如下：由题意得x 2+x +3＝7，则有x 2+x ＝4，2x 2+2x ﹣3＝2（x 2+x ）﹣3＝2×4﹣3＝5． 所以代数式2x 2+2x ﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x 2+x +1的值为10，求代数式﹣2x 2﹣2x +3的值．（2）当x ＝2时，代数式ax 3+bx +4的值为9，当x ＝﹣2时，求代数式ax 3+bx +3的值．[拓展应用]若a 2﹣ab ＝26，ab ﹣b 2＝﹣16，则代数式a 2﹣2ab +b 2的值为 ．8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a +3b ＝﹣4，求代数式2（a +b ）+4（2a +b ）+3的值．解法如下：原式＝2a +2b +8a +4b +3＝10a +6b +3＝2（5a +3b ）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5．利用整体思想，完成下面的问题：（1）已知﹣m 2＝m ，则m 2+m +1＝ ；（2）已知m ﹣n ＝2，求2（n ﹣m ）﹣4m +4n ﹣3的值．（3）已知m 2+2mn ＝﹣2，mn ﹣n 2＝﹣4，求3m 2+92mn +32n 2的值． 例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a ﹣b ＝2ab 成立的一对数a ，b 为“有趣数对”，记为（a ，b ）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；（2）若（k ，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；（3）若（m ，n ）是“有趣数对”，求代数式8[3mn −12m ﹣2（mn ﹣1）]﹣4（3m 2﹣n ）+12m 2的值．方法归纳三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解 和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原 理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题.针对训练1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a ⊗b ＝a ﹣2b ．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x ⊗（﹣y ）化简后的结果是（ ）A ．x +2yB ．2x ﹣yC ．x ﹣2yD ．2x +y 2.（2022秋•荆门期末）定义一个新运算f （a ，b ）={a +b(a ＜b)a −b(a ＞b)，已知a 2＝4，b ＝1，则f （a ，b ）＝ ．3.（2023•北碚区校级开学）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“逊敏数”．例如：m ＝7523，满足2+3＝5，2×2+3＝7，所以7523是“逊敏数”；m ＝9624，满足2+4＝6，但2×2+4＝8≠9，所以9624不是“逊敏数”．（1）判断7431和6541是不是“逊敏数”，并说明理由；（2）若m 是“逊敏数”，且m 与12的和能被13整除，求满足条件的所有“逊敏数”m ．4.（2022秋•港北区期中）定义：若m +n ＝2，则称m 与n 是关于2的平衡数．（1）3与 是关于2的平衡数；5﹣x 与 （用含x 的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A ＝2x 2﹣3（x 2+x ）+4，B ＝2x ﹣[3x ﹣（4x +x 2）﹣2]，判断A 与B 是否是关于2的平衡数，并说明理由．5.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．例.（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 13 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．方法归纳图形变化规律问题解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度 入手，通过逐一观察图，分析和归纳出图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现 了从特殊到一般的数学思想. 针对训练1.（2022秋•新城区校级期中）按一定规律排列的单项式：x 3，2x 5，3x 7，4x 9，5x 11，6x 13……第n （n ≥1，n 为正整数）个单项式是（ ）A ．nx n +1B ．nx 2n +1C ．nx 2n ﹣1D ．x 2n +12.（2022秋•泗水县期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（ ）A ．1011张B ．1010张C ．1009张D ．1012张3.（2022•大同模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由相同的正方形和相同的圆组成的，正方形涂有阴影，依此规律，则第n 个图案中有 个圆．（用含有n 的代数式表示）4.如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n 个图形需要 个棋子（用含n 的代数式表示）．5.（2023•沙县一模）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．6.观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，…①1，﹣5，7，﹣17，31，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行数按什么规律排列，请直接写出第n 个数为 （n 是正整数）．（2）第②行数与第①行数有什么关系，请直接写出第②行第n 个数为 （n 是正整数）．第③行数与第①行数有什么关系，请直接写出第③行第n 个数为 （n 是正整数）．（3）取每行数的第21个数，分别设为a ，b ，c ，求12a +12b +2c 的值．。
七年级数学培优讲义：从课本到竞赛：整式(纯word版含答案)
第04讲 整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.(1)x ＋1 (2)1x (3)πr 2 (4)－32a 2b 解：（3）（4）是单项式；（1）是多项式，表示两项之和，（2）是分式 （3）是系数是π，次数为2；（4）系数是－32，次数为3. 【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式(1)a (2)－12 (3)1＋x 2 (4)x π (5)xy (6) 2πx 解：（1）（2）（4）（5）是单项式 02．说出下列单项式的系数与次数(1) －23x 2y (2)mn (3)5a 2 (4)－72ab 2c解：（1）系数－23，次数为3； （2）系数为1，次数为2； （3）系数为5，次数为2；（4）系数为－72，次数为4.【例2】 如果2x n y 4与12m 2x 2y |m -n |都是关于x 、y 的六次单项式，且系数相等，求m 、n 的值.解：⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4=6，2＋|m －n |=6，2=12m 2，解之⎩⎪⎨⎪⎧n =2，m=－2，【变式题组】01．一个含有x 、y 的五次单项式，x 的指数为3．且当x ＝2,y ＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.解：设该单项式为ax m y n ，则m=3，m ＋n=5，所以n=2;因此该单项式为ax 3y 2，当x =2，y ＝－1时，a ·23(－1)2=32，解之a=4，所以所求单项式为4x 3y 2. 02．（毕节）写出含有字母x 、y 的五次单项式 xy 4 (答案不唯一) .【例3】已知多项式－45x 2y 2＋23x 4y 3－xy ＋1 ⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？ 解：（1）这个七次四项式；（2）最高次项是7，二次项系数是－1，常数项是1． 【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴a 3－a 2b ＋ab 2－b 3 (2)3n 4－2n 2＋1 解：（1）三次四项式； （2）四次三项式 02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴x 3＋x 2－x －2 (2) －4x 3－x 2＋x －4 解：（1）三次四项式； （2）四次四项式【例4】 多项式7x m ＋kx 2－(3n ＋1)x ＋5是关于x 的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n －k 的值解：因为三次，所以最高次项是3，必有m=3，因为是三项，则必有k=0，一次项系数为－(3n ＋1)= －7，∴n=2； 因此m ＋n －k=5． 【变式题组】01．多项式3x |m |y 2＋(m ＋2)x 2y －1是四次三项式，则m 的值为（ A ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±102．已知关于x 、y 的多项式ax 2＋2bxy ＋x 2－x －2xy ＋y 不含二次项，求5a －8b 的值. 解：原式化为(a ＋1)x 2＋(2b －2)xy －x ＋y ，因为不含二次项， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1=0，2b －2=0，解之⎩⎪⎨⎪⎧a=－1，b =1， ∴5a －8b=－1303．已知多项式－56x 2y m +2＋xy 2－12x 3＋6是六次四项式，单项式23x 3n y 5-m z 的次数与这个多项式的次数相同，求n 的值. 解：2＋m ＋2=6，m=2；3n ＋5－m ＋1=6，n=23．【例5】已知代数式3x 2－2x ＋6的值是8，求32x 2－x ＋1的值. 解：3x 2－2x ＋6=8，∴3x 2－2x=2； ∴32x 2－x=1，32x 2－x ＋1=2． 【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a +3b +8的值为18，那么代数式9b －6a +2的值等于（ C ） A ．28 B ．－28 C ．32 D ．－32 02．（同山）若a 2+a =0,则2a 2+2a +2008的值为_____2008____.03．（潍坊）代数式3x 2－4x +6的值为9,则x 2－43x ＋6的值为_____7___. 【例6】证明代数式16＋m －{8m －[m －9－(3－6m )]}的值与m 的取值无关.证明：16＋m －{8m －[m －9－(3－6m )]} ＝16＋m －{8m －[m －9－3＋6m ]} ＝16＋m －[8m －(7m －12)] ＝16＋m －(8m －7m ＋12) ＝16＋m －(m ＋12) ＝16＋m －m －12 ＝4与m 的取值无关． 【变式题组】01．已知A =2x 2+3ax －2x －1，B=－x 2+ax －1,且3A ＋6B 的值与x 无关，求a 的值. 解：3A ＋6B=3(2x 2+3ax －2x －1)＋6(－x 2+ax －1) =6x 2+9ax －6x －3－6x 2＋6ax －6 =(15a －6)x －9因为与x 无关，所以15a －6＝0，a=25．02．若代数式(x 2＋ax －2y ＋7) －(bx 2－2x ＋9y －1)的值与字母x 的取值无关，求a 、b 的值.解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1=b ，a=－2， 因此a=－2，b=1．【例7】（北京市选拔赛）同时都含有a 、b 、c ，且系数为1的七次单项式共有（ C ）个 A ．4 B ．12 C ．15 D ．25 解：设所求单项式为a x b y c z ，且x+y+z=7,满足提交的共有有(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(1,4,2),(1,5,1),(2,1,4),(2,2,3),(2,3,2,),(2,4,1),(3,1,3), (3,2,2),(3,3,1),(4,1,2),(4,2,1),(5,1,1)共有15个． 【变式题组】01．已知m 、n 是自然数，a m -3b 2c －17a 2b n -3c 4＋112a m +1b n -1c 是八次三项式，求m 、n 值.解：a m -3b 2c 的次数为m ，－17a 2b n -3c 4的次数为n ＋3，112a m +1b n -1c 的次数为m ＋n ＋1 因为原式的八次式，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋1=8，m －3≥0，n －3≥0，n ＋3≤8，又因为m ，n都是自然数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m=3，n=4，或⎩⎪⎨⎪⎧m=4，n=3．02．整数n ＝__－1___时，多项式5x n +2－2x 2-n ＋2是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（ D ）A ．x －y2是单项式 B ．3x 2y 3z 的次数为5 C ．单项式ab 2系数为0 D ．x 4－1是四次二项式 02．a 表示一个两位数，b 表示一个一位数，如果把b 放在a 的右边组成一个三位数.则这个三位数是（ A ）A ．100b +aB ．10a +bC ．a +bD ．100a +b03．若多项式2y 2+3x 的值为1，则多项式4y 2＋6x －9的值是（ C ） A ．2 B ．17 C ．－7 D ．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n 元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ B ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋15m 元B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45n －45m 元C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15m 元D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －m 元05．若多项式k (k －1)x 2－kx ＋x －3是关于x 的一次多项式，则k 的值是（ A ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．不能确定06．若(1－n 2)x n y 3是关于x 、y 的五次单项式，则它的系数是_____－3_______.07．电影院里第1排有a 个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_a ＋27_个座位.08．若3a m b 3+4a n +1b m +2=7a x +1b y ,则代数式xy ＋mn 值为__0___.09．一项工作，甲单独做需a 天完成，乙单独做需b 天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____7⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ________.10．(河北)有一串单项式x ，－2x 2，3x 3，－4x 4，…，－10x 10，…． (1)请你写出第100个单项式； ⑵请你写出第n 个单项式. 解：（1）第100个单项式是－100x 100; （2）第n 个单项式是－(－1)n x n . 11．（天津）已知x ＝3时多项式ax 3+bx +5的值为－1，则当x ＝－3时这个多项式的值为多少？ 解：由题意得27a ＋3b +5=－1，即27a ＋3b =－6； 当x ＝－3时，多项式为－27a －3b+5=6+5=11．12．若关于x 、y 的多项式2x 2y －23x 3y 4＋(2a －3)x 3y 5与多项式－x 2b y 4+3x 2y －1的次数相同，并且最高次项的系数也相同，求a －b 的值.解：第一个多项式为8次，所以2b ＋4=8，b=2； 最高次项系数为2a －3=－1，解得a=1； 所以a －b=－1.13．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一. A ：计时制：0.05元/分B ：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）. 此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x 小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算. 解：（1）第一种方式：0.07x ； 第二种方式：50＋0.02x ；（2）如果按照第一种支付方式，则需要支付0.07×60×20=84（元）； 如果按照第二种支付方式，需要支付50＋0.002×60×20=74（元）． 所以按照第二种支付方式合算．培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数a 1,a 2,a 3,…,a n ,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若a 1=2,则a 2007为（ D ）A ．2007B ．2C ．12 D ．－102．（华师一附高招生）设记号※表示求a 、b 算术平均数的运算，即a ※b=a ＋b2,则下列等式中对于任意实数a 、b 、c 都成立的是（ B ）①a＋(b※c)=(a＋b) ※(a＋c) ②a※(b＋c)=(a＋b) ※c③a※(b＋c)= (a※b) ＋(a※c) ④(a※b)＋c=a2＋(b※2c)A．①②③B．①②④C．①③④D．②④03．已知－1<b<0，0<a<1,那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（A）A．a－b B．a＋b C．a＋b2D．a2＋b04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（C）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定05．（广安）已知4m=a，4n=b，则42m+n－1=______a2b4______.06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为__7a+4b___元.07．已知a－b=2004，b－c=2005，c－d=2007，则(a－c)(b－d)a－d=______4009×40126016_______.08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化简后的结果是_－2a －2b＋2c__.09．已知－m＋2n=5，则5(m－2n)2＋6n－3m－60=____80___.10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P大小关系_____M>P___.11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝__195___．12．（安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2，5，22五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2+3＝5.(1) 观察图形，填写下表：(2) 写出(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)n ×n 不同长度值的线段种数为(n －1)×(n －1)不同长度值的线段种数＋n(3)对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式.(n ＋2)(n －1)2 13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：⑴当AP ＝12AD 时（如图②）： ∵AP ＝12AD ，△ABP 和△ABD 的高相等，∴S △ABP ＝12S △ABD ．∵PD ＝AD －AP ＝12AD ，△CDP 和△CDA 的高相等，∴S △CDP ＝12S △CDA ．∴S △PBC ＝S 四边形ABCD －S △ABP －S △CDP ＝S 四边形ABCD －12S △ABD －12S △CDA＝S 四边形ABCD －12 (S 四边形ABCD －S △DBC )－12 (S 四边形ABCD －S △ABC )＝12S △DBC ＋12S △ABC ．⑵当AP ＝13AD 时，探求S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程；解：AP ＝13AD ，※ABP 和※ABD 的高相等，所以S ※ABD =13S ※ABP ，又PD=AD －AP =23AD ，※CDP 和※CDA 的高相等，所以S =23S ※CDA ， ∴S ※PBC =S 四边形ABCD －S ※ABP －S ※CDP= S 四边形ABCD －13( S 四边形ABCD －S ※DBC ) －23( S 四边形ABCD －S ※ABC ) =13S ※DBC ＋23S ※ABC钉子数(n ×n ) S 值2×2 2 3×3 2+34×4 2＋3＋( 4 ) 5×5( 2＋3＋4＋5 )n =2 n =3 n =4 n =5图①P DC B AAB C D P图②⑶当AP ＝16AD 时，S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系式为：_S △PBC =16S ※DBC ＋56S ※ABC __； ⑷一般地，当AP ＝1n AD （n 表示正整数）时，探求S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程； 问题解决：当AP ＝m nAD （0≤m n≤1）时，S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系式为：___________．S △PBC =1n S ※DBC ＋n －1n S ※ABC解：AP ＝1n AD ，※ABP 和※ABD 的高相等，所以S ※ABD =1n S ※ABP ，又PD=AD －AP =n －1n AD ，※CDP 和※CDA 的高相等，所以S =n －1n S ※CDA ， ∴S ※PBC =S 四边形ABCD －S ※ABP －S ※CDP= S 四边形ABCD －1n ( S 四边形ABCD －S ※DBC ) －n －1n ( S 四边形ABCD －S ※ABC )=1n S ※DBC ＋n －1n S ※ABC ．。
七年级数学培优讲义第05讲 整式的加减
第05讲 整式的加减教学目的1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算．2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算．3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征．典题精析 【例１】如果3231y x a +和1233--b y x 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ） A ．⎩⎨⎧==21b a B ．⎩⎨⎧==20b a C ．⎩⎨⎧==12b a D ．⎩⎨⎧==11b a 【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关．解：由题意得⎩⎨⎧=-=+31232b a ，∴⎩⎨⎧==21b a 变式练习01．已知a ＝2，b ＝3，则（ ）A ．ax 3y 2与b m 3n 2是同类项B ．3x a y 3与bx 3y 3是同类项C ．Bx 2a ＋1y 4与ax 5y b ＋1是同类项D ．5m 2b n 5a 与6n 2b m 5a 是同类项02．若单项式2X 2y m 与－31x n y 3是同类项，则m ＝___________，n ＝___________． 03．指出下列哪些是同类项⑴a 2b 与－ab 2 ⑵xy 2与3y 2x (3)m －n 与5（n －m ） ⑷5ab 与6a 2b【例２】若多项式合并同类项后是三次二项式，则m 应满足的条件是___________．【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 解：因为化简后为三次二项式，而5x 3＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m －2＝0，∴m ＝－1变式练习01．计算：－（2x 2－3x －1)－2(x 2－3x ＋5)＋(x 2＋4x ＋3)02．31（2x －4y ）＋2y03．m －n －(m ＋n)【例３】求整式3x 2－5x ＋2与2x 2＋x －3的差．【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项． 解：（3x 2－5x ＋2)－（2x 2＋x －3)＝3x 2－5x ＋2－2x 2－x ＋3＝x 2－6x ＋5变式练习01．一个多项式加上－3x ＋2xy 得x 2－3xy ＋y 2，则这个多项式是___________．02．减去2－3x 等于6x 2－3x －8的代数式是___________．【例４】当a ＝43-，b ＝21时，求5（2a ＋b)2－3(3a ＋2b)2＋2(3a ＋2b)的值． 【解法指导】将（2a ＋b)2，（3a ＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值．解：5（2a ＋b)2－3(3a ＋2b)－3(2a ＋b)2＋2(3a ＋2b)＝(5－3)(2a ＋b)2＋(2－3)(3a ＋2b)＝2(2a ＋b)2－(3a ＋2b)∵a ＝43-，b ＝21∴原式＝413 变式练习01．先化简再求值：（2a ＋1)2－2(2a ＋1)＋3，其中a ＝2．02．已知a 2＋bc ＝14，b 2－2bc ＝－6，求3a 2＋4b 2－5bC ．【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除．【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除．证明：设此四位数为1000a ＋100b ＋10c ＋d ，则1000a ＋100b ＋10c ＋d －（a ＋b ＋c ＋d)＝999a ＋99b ＋9c ＝9(111a ＋11b ＋c)∵111a ＋11b ＋c 为整数，∴1000a ＋100b ＋10c ＋d ＝9(111a ＋11b ＋c)＋（a ＋b ＋c ＋d)∵9(111a ＋11b ＋c)与（a ＋b ＋c ＋d)均能被9整除∴1000a ＋100b ＋10c ＋d 也能被9整除变式练习01．已知a ＜b ＜c ，且x ＜y ＜z ，下列式子中值最大的可能是（ ）A ．ax ＋by ＋czB ．ax ＋cy ＋bzC ．bx ＋cy ＋azD ．bx ＋ay ＋cz02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数．【例６】将（x 2－x ＋1)6展开后得a 12x 12＋a 11x 11＋……＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，求a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0的值．【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x 项，如何消去x 项，可采用赋特殊值法．解：令x ＝1得a 12＋a 11＋……＋a 1＋a 0＝1令x ＝－1得a 12－a 11＋a 10－……－a 1＋a 0＝729两式相加得2（a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 2＋a 0）＝730∴a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 2＋a 0＝365变式练习01．已知（2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0(1)当x ＝0时，有何结论；(2)当x ＝1时，有何结论；(3)当x ＝－1时，有何结论；(4)求a 5＋a 3＋a 1的值．02．已知ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝(x －2)4 (1)求a ＋b ＋c ＋d ＋e ．(1) 试求a ＋c 的值．【例７】已知关于x 的二次多项式a(x 3－x 2＋3x)＋b(2x 2＋x)＋x 3－5，当x ＝2时的值为－17．求当x ＝－2时，该多项式的值．【解法指导】设法求出a 、b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a 、b 的等式．解：原式＝ax 3－ax 2＋3ax ＋2bx 2＋bx ＋x 3－5＝(a ＋1)x 3＋(2b －a)x 2＋(3a ＋b)x －5∵原式中的多项式是关于x 的二次多项式∴⎩⎨⎧≠-=+0201a b a ∴a ＝－1 又当x ＝2时，原式的值为－17． ∴(2b ＋1)⨯22＋[]521-3-⨯+⨯b ）（＝－17，∴b ＝－1 ∴原式＝－x 2－4x －5 ∴当x ＝－2时，原式＝－（－2）2－4⨯（－2）－5＝－1变式练习01．当x ＝－2时，代数式ax 3－bx ＋1＝－17．则x ＝－1时，12ax －3bx 3－5＝___________．02．已知y ＝ax 7＋bx 5＋cx 3＋dx ＋e ，其中a 、b 、c 、d 、e 为常数，当x ＝2，y ＝23，x ＝－2，y ＝－35，则e 为（ ）A ．－6B ． 6C ．－12D ．12巩固提高01．若－3x2m y 3与2x 4y n 是同类项，则n m -的值是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．－102．一个单项式减去x 2－y 2等于x 2＋y 2，则这个单项式是（ ）A ．2x 2B ．2y 2C ．－2x 2D ．－2y 203．若M 和N 都是关于x 的二次三项式，则M ＋N 一定是（ ）A ．二次三项式B ．一次多项式C ．三项式D ．次数不高于2的整式04．当x ＝3时，多项式ax 5＋bx 3＋cx －10的值为7．则当x ＝－3时，这个多项式的值是（ ）A ．－3B ．－27C ．－7D ．705．已知多项式A ＝x 2＋2y 2－z 2，B ＝－4x 2＋3y 2＋2z 2，且A ＋B ＋C ＝0，则多项式c 为（ ）A ．5x 2－y 2－z 2B ．3x 2－y 2－3z 2C ．3x 2－5y 2－z 2D ．3x 2－5y 2＋z 206．已知3=x y ，则x y x -3等于（ ） A ．34 B ．1 C ．32 D ．007．某人上山的速度为a 千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b 千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是（ ）A ．2b a +千米/时B ．2ab 千米/时C ．ab b a 2+千米/时D ．ba ab +2千米/时 08．使（ax 2－2xy ＋y 2)－(－ax 2＋bxy ＋2y 2)＝6x 2－9xy ＋cy 2成立的a 、b 、c 的值分别是（ ）A ．３，７，１B ．－３，－７，－１C ．３，－７，－１D ．－３，７，－１09．k ＝___________时，多项式3x 2－2kxy ＋3y 2＋xy 21－4中不含ｘy 项． 10．若2a －b ＝2，则6＋8a －4b ＝___________11．某项工程，甲独做需m 天完成，甲乙合作需n 天完成，那么乙独做需要___________天完成．12．x 2－xy ＝－3，2xy －y 2＝－8，则2x 2－y 2＝___________．13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为ｘ，再把ｂ放a 的左边，也组成一个五位数，设为y ，试问x －y 能被9整除吗？请说明理由．14．若代数式（x 2＋ax －2y ＋7)－(bx 2－2x ＋9y －1)的值与字母x 的取值无关，求a 、b 的值．15．设A ＝x 2－2xy －y 2，B ＝－2x 2＋xy －y 2，B ＝－2x 2＋xy －y 2，当x ＜y ＜0时，比较A 与B 的值的大小．培优升级检测01．A 是一个三位数，b 是一位数，如果把b 置于a 的右边，则所得的四位数是（ ）A ．abB ．a ＋bC ．1000b ＋aD ．10a ＋b02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ ）A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个03．有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a 、b 、c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A ．3c b a ++B ．3-c b a + C ．A ＋b －c D ．3(a ＋b －c) 04．如果对于某一特定范围内x 的任何允许值P ＝x 21-＋x 3-1＋……＋x 9-1＋x 10-1的值恒为一常数，则此值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．505．已知a ＋b ＝0，a≠0，则化简)1()1(+++b ba a ab 得（ ）A ．2aB ．2bC ．2D ．－206．如果a 个同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么c 个同学以同样速度搬a 块砖，所需的小时数（ ）A ．b a c 22B ．ab c 2C ．2cab D ．22c b a 07．如果单项式3x a ＋2y b －2与5x 3y a ＋2的和为8x 3y a ＋2，那么a b b a ---＝_________． 08．如果x 2＋2x ＝3则x 4＋7x 3＋8x 2－13x ＋15＝_________．09．将1，2，3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式21（b a b a ++-）中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时_________．10．已知两个多项式A和B，A＝nx n＋4＋x3－n－x3＋x－3，B＝3x n＋4－x4＋x3＋nx2－2x－1，试判断是否存在整数n，使A－B为五次六项式．11．设xyz都是整数，且11整除7x＋2y－5z．求证：11整除3x－7y＋12z．12．在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数abc(a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数acb，bac，bca，cab与cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc，现在设N＝3194，请你当魔术师，求出abc来．13．将一个三位数abc的中间数去掉，成为一个两位数ac，且满足abc＝9ac＋4c（如155＝9⨯15＋4⨯5）．试求出所有这样的三位数．。
初一数学培优专题讲义二--有理数和整式的加减
初一数学培优专题讲义二 有理数和整式的加减一（单项式、多项式、求代数式的值）一、 有理数的混合运算要点：有理数的加减法要注意几个优先：凑整优先，同分母优先，相反数优先，同号优先；有理数的乘法要注意：先定符号，倒数优先，分配律优先。
交换加数的位置时连同符号一并移动。
连减取负当加算。
1． 填一填，注意运算的小节点：（1） )22(15-+= （2） 1015--= （3） )7()8.3(---=（4） 2(2)-= ；=-3)21( ； (—2)3= ；23-= ； =⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=-433 2．计算：（观察结构最优先，确定符号是关键，先后顺序要理清）（1）（－12）÷4×（－6）÷2； （2）（－58）×（－4）2－0.25×（－5）×（－4）3； （3）－22－(－2)2+(－3)2×(－32)－42÷|－4| （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-⨯+-⨯÷-)31(24)32(41232222 （5）（注意观察，用巧算） 1＋3＋5＋…＋99－（2＋4＋6＋…＋98）.2． 突破绝对值的化简：（一）利用数轴，注意数形结合，变绝对值号为括号，再去括号3．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是____________________。
4．已知a 、b 、c 在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
（二）根据限定条件化简：5．已知b a >，化简：a b b a ---=________6.若x ＝2，y ＝3，则x y +的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．5或1D ．以上都不对7．化简： （1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）8．已知a 、b 、c 是有理数，且a+b+c=0，abc >0，求||||||c b a b a c a c b +++++的值。
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2018年七年级秋季培优讲义——整式专题（一）【知识解读】整式加减：1. 代数式的概念代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2. 代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3. 整式的加减（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.（2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数.（3）单项式和多项式统称为整式.（4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项.（5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等. 整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：1. 理解四式（单项式、多项式、整式、n 次m 项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项）2. 掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）.3. 熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）.整式加减的一般步骤1. 根据去括号法则去括号.2. 合并同类项.【例题精讲】【例1】（1）已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式，求mn .（2）已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ，求abc .【例2】（1）先化简，再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+，其中12x =-，y ＝2.（2）已知4m n -=，1mn =-，求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值. 【例3】已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式，当x ＝2时的值为－17，求当x ＝－2时，此多项式的值.【例4】已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关，求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.【练1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式323222(42)a b a b ---的值.【例5】已知2234A x xy cy =-+，23B ax xy =-，222C x bxy y =-+，且23A B C x xy --=-+ 2y -，求a 、b 、c .【例6】（1）当x ＝2时，代数式31ax bx -+的值等于－17，那么当x ＝－1时，求代数式31235ax bx --的值.（2）已知代数式3ax bx c ++，当x ＝0时的值为2，当x ＝3时的值为1，求当x ＝－3时代数式的值.（3）已知21x x +=，求432222012x x x x +--+的值.【练2】如果210a a +-=，求3222a a ++的值.【例7】倡导“节能减排”，鼓励居民节约用电. 2012年7月1日起，湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度，方案如下：如：小明家3月份用电量为500度，则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=（元）.（1）若小华家4月份电量为100度，则应付费 元，5月用电量为210度，则应付费元，6月份电量为450度，则应付费 元；（2）若小华家7月份的用电量为x 度，请用x 表示应付的电费；（3）若小华家9月份已付电费177.9元，请你求出小华家9月份的用电量；（4）若小华家某月的电费为a 元，则小华家该月用电量属于第几档.【例8】观察下面有规律的三行单项式：x ， 22x ， 34x ， 48x ， 516x ，632x ，……① 2x -， 24x ，38x -， 416x ， 532x -， 664x ，……② 22x ， 33x -， 45x ， 59x -， 617x ，733x -，……③ （1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为 ；（2）第二行第n 个单项式为 ；（3）第三行第8个单项式为 ；第n 个单项式为 ；【例9】已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++是关于x 的恒等式，求1197531a a a a a a +++++的值.【练3】已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式，求24a a +的值.【例10】（1）已知x ，y 为整数，且5|(9)x y +，求证：5|(87)x y +.（2）已知x 、y 、z 均为整数，且11|(725)x y z +-，求证：11|(3712)x y z -+.【跟踪练习】1. 单项式3243x y z -的系数是 ，次数是 .2. 已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式，单项式253n m x y -与该多项式次数相同，则mn ＝ .3. 4243527x x y xy ---是 次 项式，最高次项是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 .4. 多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式，则m ＝ ，n ＝ .5. 已知133m x y +与42n mx y +-是同类项，则m ＝ ，n ＝ ，13423m n x y mx y ++-= .6. 如果2(1)|2|0a b +++=，则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为 .7. 已知两个多项式的和是2521x x -+，其中一个多项式是2235x x --，则另一个多项式是 .8. 电影院里第一排有a 个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有 .9. 某城市广场中央，有一如图阴影部分所示的花坛，其中四个长方形的长和宽都分别是a米和b 米，重叠部分都是边长2米的正方形，圆的半径是r 米，则这个花坛的占地面积为 .10.（1）化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；（2）化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；（3）已知多项式22911A x x =--，2354B x x =++，求(2)A B --.11.（1）2323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--，其中a ＝－2；（2）若2|1||2|1a ab c -+-=-，且a 、b 、c 都为正整数，求65()2ab ab a b c ++--的值.12. 已知m 、n 为正整数，单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式，①试求m 、n 的值；②当x ＝－1，y ＝1时，求此单项式的值.13. 已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项，求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值. 14. 已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1，且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项，求m 的值.15.（1）多项式531ax bx ++，当x ＝2时，其值为－5，则x ＝－2时，该多项式的值为多少？（2）若241550x x +-=，求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.（3）若331x x -=，求432912372003x x x x +--+的值.（4）已知x ＝2时，多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3，则当x ＝－2时，求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16. 武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤，夹克每件售价80元，T 恤每件售价50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T 恤；②夹克和T 恤按定价的80%付款，现客户要向服装厂购买夹克50件，T 恤x 件（x ＞50）.（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款 元，T 恤需付款 元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款 元，T 恤需付款 元（用含x 的式子表示）；（2）若x ＝100，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？（3）若两种优惠方案可同时使用，当x ＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由.17. 观察下面的三个数列：①－1， ＋2， －3， ＋4， －5， ＋6，……②－3， 0， －5， ＋2， －7， ＋4，……③－2， ＋4， －6， ＋8， －10， ＋12，……（1）这三个数列的第n 个数分别是 ；（2）在第一行中是否存在连续的三个数，使得和为－40？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由；（3）是否存在这样的一列，使其中三个数的和为78？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由.18.（1）已知a 、b 为整数，且10n a b =+，如果17|(5)a b -，请你证明：17|n .（2）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数，证明：这个三位数也是11的倍数.。