例6 利用逆矩阵求解方程组
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且这种方法特别适用于线性方程组AX=B比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.[2] 杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法[J ]. 渭南师范学院学报, 2003.[3] 丘维声. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.[4] 杨子胥. 高等代数习题集[M] . 济南:山东科学技术出版社,1984.[5] 赵树原. 线性代数[M] . 北京:中国人民大学出版社,1997.[6] 李宗铎. 求逆矩阵的一个方法[ J ] . 数学通报,1983.[7] 贺福利等. 关于矩阵对角化的几个条件[J ] . 高等函授学报(自然科学版) ,2004 , (1)[8] 张禾瑞.郝炳新.高等代数[M].北京: 高等教育出版社.1999.[9] 王永葆.线性代数[M].长春：东北大学出版社.2001.[10] 同济大学遍.线性代数（第二版）.北京: 高等教育出版社，1982.[11] 王萼芳，丘维声编，高等代数讲义. 北京大学出版社，1983.[13] 华东师范大学数学系编.数学分析.人民教育出版社，1980[14] 杜汉玲求逆矩阵的方法与解析高等函授学报(自然科学版)第17卷第4期2004年8月[15] 苏敏逆矩阵求法的进一步研究河南纺织高等专科学校学报，2004 年第16 卷第2 期。
线性代数中的矩阵求逆
线性代数中的矩阵求逆线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性变换的性质。
在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。
矩阵求逆是矩阵运算中的一个关键问题，它在许多领域中都有着广泛的应用。
一、什么是矩阵求逆？在线性代数中，矩阵求逆是指对一个给定的方阵进行运算，得到一个与之相乘后等于单位矩阵的矩阵。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它就是可逆的，否则就是不可逆的。
二、矩阵求逆的条件要使一个矩阵可逆，必须满足以下两个条件：1. 方阵的行列式不等于0；2. 方阵的秩等于其阶数。
当一个矩阵满足这两个条件时，我们可以通过一系列的运算来求解其逆矩阵。
三、矩阵求逆的方法矩阵求逆有多种方法，其中最常用的是伴随矩阵法和初等变换法。
1. 伴随矩阵法伴随矩阵法是一种基于行列式和代数余子式的方法。
对于一个给定的n阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解其逆矩阵：1) 计算矩阵A的行列式D；2) 计算A的代数余子式矩阵A*；3) 将A*的每个元素转置得到伴随矩阵A'；4) 将A'除以行列式D得到逆矩阵A^-1。
2. 初等变换法初等变换法是一种基于初等行变换和初等列变换的方法。
对于一个给定的n阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解其逆矩阵：1) 将矩阵A扩展为一个n阶单位矩阵I；2) 对A和I同时进行一系列的初等行变换和初等列变换，直到A变为单位矩阵；3) 此时，I变为A的逆矩阵A^-1。
四、矩阵求逆的应用矩阵求逆在许多领域中都有着广泛的应用。
下面以几个典型的应用为例进行介绍：1. 线性方程组的求解在线性代数中，矩阵求逆可以用于求解线性方程组。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A是一个方阵，x和b是向量，我们可以通过求解矩阵A的逆矩阵来得到方程组的解x=A^-1b。
2. 矩阵的特征值和特征向量矩阵求逆还可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
对于一个给定的方阵A，如果我们知道它的逆矩阵A^-1，那么我们可以通过求解方程Av=λv来得到矩阵A的特征值λ和对应的特征向量v。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明 已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论 推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
初等行变换 用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
3.3 逆矩阵
1 1
7
6
即为矩阵方程的解.
推论1 若n阶方阵A, B 满足 AB=E, 则必有 BA=E 证 因为 AB=E, 由 A B AB E 1
知|A|≠0，于是有
A
1 A
A
1 A
A
A
E
BA
EBA
1 A
A
ABA
1 A
A
EA
1 A
A
A
E
推论2 若n阶方阵A, B 满足 AB=E 或 BA=E,
A32 0 , A33 1 ,
从而
5 9 1
A1
2
3
0
.
0 2 1
二、逆矩阵的应用
1.利用逆矩阵解线性方程组
例4
解线性方程组
3 -2
x1 x1
7 x2 5 x2
3x3 1, 2 x3 0,
-4 x1 10 x2 3 x3 2.
解
3
设 A 2
4
7 5 10
3
2 ,
3
x1
AB BA E
(1)
则称A是可逆的，并把B 称为A 的逆, 记为 A1.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
则 B A1,且 A B 1
例7 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证 由A2 A 2E 0,
得AA E 2E
A
1 2
(
二阶方阵的逆矩阵的计算
二阶方阵的逆矩阵的计算在线性代数中，矩阵是一种经常使用的工具，用于表示线性方程组的系数矩阵或线性变换的矩阵。
在矩阵运算中，逆矩阵是一种非常重要的概念。
本文将重点讨论二阶方阵的逆矩阵的计算方法。
一、逆矩阵的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。
如果不存在逆矩阵，则称矩阵A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
二、二阶方阵的逆矩阵的计算对于一个2阶方阵A，其逆矩阵A-1的计算方法如下：A = [ a11 a12 ][ a21 a22 ]1. 计算矩阵A的行列式：|A| = a11*a22 - a12*a21如果|A|≠0，则矩阵A存在逆矩阵，否则不存在逆矩阵。
2. 计算矩阵A的伴随矩阵：adj(A) = [ a22 -a12 ][ -a21 a11 ]伴随矩阵是由矩阵A的代数余子式构成的矩阵的转置矩阵。
3. 计算矩阵A的逆矩阵：A-1 = (1/|A|) * adj(A)其中，(1/|A|)为矩阵A的行列式的倒数。
例如，对于一个2阶方阵A = [ 1 2 ; 3 4 ]，其逆矩阵的计算过程如下：|A| = 1*4 - 2*3 = -2因为|A|≠0，所以矩阵A存在逆矩阵。
adj(A) = [ 4 -2 ][ -3 1 ]A-1 = (1/|A|) * adj(A) = (-1/2) * [ 4 -2 ; -3 1 ] = [ -2 1 ; 3/2 -1/2 ]因此，矩阵A的逆矩阵为A-1 = [ -2 1 ; 3/2 -1/2 ]。
三、逆矩阵的应用逆矩阵在矩阵运算中有着广泛的应用，例如：1. 解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，如果矩阵A是非奇异矩阵，则可以通过求解逆矩阵来求解方程组的解，即x=A-1b。
2. 矩阵变换的求逆：对于一个线性变换A，如果其矩阵是非奇异矩阵，则可以通过求解逆矩阵来求解逆变换的矩阵，即A-1。
《线性代数》逆矩阵
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
矩阵的线性方程组解法
矩阵的线性方程组解法线性方程组是数学中的重要概念，它描述了一组线性方程之间的关系。
而求解线性方程组的方法之一就是利用矩阵的运算进行计算。
本文将介绍几种常见的矩阵解法，以帮助读者更好地理解线性方程组求解的过程。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的基本方法之一。
它通过矩阵的行变换来简化系数矩阵，并最终将线性方程组化简为上三角形式。
步骤如下：1. 构建增广矩阵：将系数矩阵和常数向量合并成一个增广矩阵。
2. 初等行变换：利用加减乘除的运算，将增广矩阵化为上三角矩阵。
3. 回代求解：从方程组的最后一行开始，依次求解每个变量。
二、矩阵的逆解法对于非奇异矩阵（可逆矩阵），可以利用矩阵的逆求解线性方程组。
设线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
解法如下：1. 判断A是否可逆：计算矩阵A的行列式，若不为零，则A可逆。
2. 计算逆矩阵：利用伴随矩阵法或初等变换法，求解A的逆矩阵A^-1。
3. 求解线性方程组：利用逆矩阵的性质，有 x=A^-1b。
三、克拉默法则克拉默法则是一种求解线性方程组的特殊方法，它通过计算行列式的比值来求解每个未知数的值。
步骤如下：1. 列出增广矩阵：将线性方程组化为增广矩阵形式。
2. 计算行列式：利用增广矩阵的系数部分，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
3. 计算未知数：利用克拉默法则，有 xi=det(Ai)/det(A)，其中Ai是用b替换第i列得到的矩阵。
四、LU分解法LU分解法是一种将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法。
通过LU分解后，可以利用前代法和回代法求解线性方程组。
步骤如下：1. 进行LU分解：将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，有 A=LU。
2. 利用前代法求解Ly=b：先解 Ly=b 得到y的值。
3. 利用回代法求解Ux=y：再解 Ux=y 得到x的值。
总结：本文介绍了矩阵的线性方程组解法，包括高斯消元法、矩阵的逆解法、克拉默法则和LU分解法。
用逆矩阵求解线性方程组的方法-Read
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
例 1.16 解线性方程组
x1 3 x2 7 x3 2 2 x1 4 x2 3 x3 1 3 x 7 x 2 x 3 1 2 3
1 2 2 3
1, M 5
1 0
0, M 6
0 0
0 1
0 4 D M 1 A1 M 2 A2 M 3 A3 M 4 A4 M 5 A5 M 6 A6
0
由拉普拉斯定理知
3 13 1 4 43
由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式 大部分为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值 比较简单.
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,, Anj 依次乘方程组1的n个方程, 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
解： 系数行列式 1 3 7 D 2 4 3 196 3 7 2
由于系数行列式不为零， 所以可以使用克拉默法则， 方程组有唯一解。此时
1 D 2 3
3 4 7
7 3 196 2
2 D1 1 3
1
3 4 7