矩阵在线性方程组中的应用

矩阵在线性方程组中的应用摘要矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。

在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯—若尔当消去法。

但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。

而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。

我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。

关键词矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONSABSTRACTMatrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations;Cramer's Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some special system of linear equations with special matrices.KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations目录中文摘要 0英文摘要 (1)目录 (2)引言 01.矩阵和线性方程组的概述 01.1矩阵的概念 01.2线性方程组的概念 (1)1.3线性方程组解的情况 (2)2.矩阵在线性方程组中的应用 (2)2.1克拉默法则 (2)2.2高斯消元法 (4)2.3非齐次线性方程组新解法的解题步骤 (5)2.4直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法 (6)2.5利用追赶法解线性方程组 (8)2.5.1LU分解 (8)2.5.2追赶法 (9)2.6利用分块矩阵求解非齐次线性方程组 (11)2.7用加边矩阵求解非齐次线性方程组 (13)3．结论 (16)参考文献 (16)致谢...................................................... 错误!未定义书签。

引 言矩阵的概念最早在19世纪由英国数学家凯利提出。

在数学史上，研究过矩阵论的著名数学家有许多。

在文献[1]中介绍了英国数学家西尔维斯特于1852年对矩阵的合同发现著名的“惯性定理”。

在文献[2]中英国数学家凯莱发表了重要文章《矩阵论的研究报告》，对矩阵的基本理论进行了系统的阐述。

当然还有许多数学家对矩阵的发展做出了伟大的贡献。

随着时代的不断发展，矩阵已经在各个领域得到了广泛的运用，是一种非常常用的用具。

在数学领域中作为解决线性方程的工具之一，前人对此已经做了大量的的研究。

1693年，微积分的发现者之一德国数学家莱布尼茨建立了行列式论。

1750年，瑞士数学家克莱姆其后又定下了克拉默法则（又称克莱姆法则）。

1800年，高斯和威廉·若尔当建立了人们熟知的高斯—若尔当消去法。

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。

在文献[3]中了解到线性方程组在线性代数的教学中非常重要，行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性空间的基变换、坐标变换等，都和线性方程组有着非常密切的联系。

矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容，矩阵和线性方程组是相辅相成的，在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种。

对于一些线性方程组的特殊解法很少有进行归类、讲解。

本文主要研究用特殊矩阵解一些线性方程组的方法，通过认真阅读本课题相关文献，如陈祥云的《矩阵的初等变换及其应用》，辛奎东的《关于线性方程组新解法的探索》，刘红旭的《利用分块矩阵求解非齐次线性方程组》，杨可的《用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试》等等，分析、总结和归纳用特殊矩阵解线性方程组的解法。

1.矩阵和线性方程组的概述1.1矩阵的概念由mn 个数1,1)ij a i m j n ≤≤≤≤（，排成m 个横行n 个竖列的数表1111n m mn a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，称为m 行n 列矩阵或m n ⨯级矩阵，简称矩阵。

数ij a 位矩阵的元素，矩阵常简单记为A 或B 或C ⋅⋅⋅，，或简记为mn A ，m n A ⨯等。

1.2线性方程组的概念线性方程组的一般形式如下：11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ （1-1）其中12,,n x x x ⋅⋅⋅表示n 个未知量，m 是方程组的个数，ij a 则表示方程组的系数，i b 称为常数项。

假如所有的常数项i b 都等于0，即为111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ （1-2）则方程组（1-2）称为齐次线性方程组。

否则称为非其次线性方程组。

线性方程组（1-1）的解是数域K 的一个有序数组()12,,,n c c c ⋅⋅⋅，当未知量12,,n x x x ⋅⋅⋅分别用12,,,n c c c ⋅⋅⋅代入时，（1.1）中的每个方程都成立。

这里将方程组（1-1）记为矩阵形式11121212212n m m mn a a a a a A a a a ⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦， 12m b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

在此处把A 称为这个线性方程组的系数矩阵，假如再将常数项B 添加进去，让它称为矩阵的最后一列：11121121222212n n m m mnm a a a b aa ab a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称其为此线性方程组的增广矩阵，记为A 。

1.3线性方程组解的情况在求解线性方程组时，首先需要讨论线性方程组解的情况。

它可能无解，可能存在唯一解或者可能存在无穷多组解。

在这里，我们讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式。

对于一般情况下的线性方程组（1-1），将它的增广矩阵A 化为行阶梯矩阵。

这个阶梯形矩阵在适当调动前n 列的顺序之后可能有两种情形：11121112222210000000000000000r n r n rr rn r r c c c c d cc cd c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦或者 1112111222220000000000000000r n r n rr rn r c c c c d c c c d c c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中10,1,2,,0ii r c i r d +==≠。

在前一种情况我们判定为原来方程组无解，而在后一种情形方程组有解。

我们对后面一种情况进行讨论：a ：若r n =，则原方程组(1-1)有唯一解。

b ：若且r n <，则原方程组(1-1)有无穷多组解。

这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有n r -个，主变量有r 个。

2.矩阵在线性方程组中的应用2.1克拉默法则在这里简单介绍了利用克拉默法则解线性方程组。

克拉默法则：如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ (2-1)的系数矩阵的行列式111212122212det 0nn n n nna a a a a a A a a a ⋅⋅⋅=≠则方程组（2-2）有唯一解，并且det ,1,2,,det j i B x j n A==⋅⋅⋅其中det j B 是将系数行列式det A 的第j 列元12,,,j j nj a a a ，换成常数项12,,,n b b b 后的行列式。

下面运用克拉默法则解一个简单的线性方程组。

例2.1.1 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解： 21511306det =27002121476A ---=≠-- 而181519306det 81,52120476B ---==---22851196det 108,05121076B --==----321811396det 270252146B --==-- 421581309det 27.0215147B --==---所以[][]31212det det det ,,,,,,3,4,1,1det det det TTTn B B B x x x A A A ⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦。

即原方程组的解为[]3,4,1,1T--。

例2.2.2 当下述方程组有非零解时，a 取何值时：()()()1231231232220,2140,2410.a x x x x a x x x x a x -+-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=⎩解：该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵的行列式222det 2140,241a A a a --=+-=--+ 所以222det 214241a A a a --=+---+224(3)(3)(6).25a a a a a -=-=-++由上可知，当齐次方程组有非零解时，36a a ==-或。