线性方程组和矩阵的概念及运算 (1)
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念之一，在数学和计算机科学中广泛运用。
它是由数个数按矩形排列而成的矩形阵列，可以表示向量、方程组以及线性变换等。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数按一定顺序排列而成，通常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中的aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n分别称为其维度，m×n为矩阵的规模。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和B的维度相等（均为m行n列），则它们可以相加。
矩阵相加的结果为一个新的维度相同的矩阵C，其元素由对应位置的矩阵A和B的元素相加得到。
即：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，只需将相应位置上的元素相减即可。
例如：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘指的是将矩阵的每个元素乘以一个常数k。
结果仍为同一维度的矩阵。
记为：C = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的运算规则如下：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，计算公式为：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调。
第二章 矩阵及其运算
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组 否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质： 转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
河北科大理学院
第二章 矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义 若 AT = A, 则称 为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称 为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章 矩阵及其运算 本章内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、 矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算 逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 矩阵分块法
第二章 矩阵及其运算
2
第4讲 矩阵的概念 讲
一 概念的引入 线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2
线性代数 第二章1
矩 阵 的 概 念及 运 算
主要内容
矩阵的定义 几种常用的特殊矩阵 矩阵的应用举例 矩阵的基本运算
一、矩阵的定义
引例 线性方程组的矩阵
定义 由 m × n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2,… , n)
排成的 m 行 n 列的数表，叫做一个 m × n 矩阵 列的数表，
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积 简称数乘, 记为 kA. 数量乘积, 简称数乘, kA.
注意
2. 运算规律
设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数，则 为同类型矩阵 为常数， (1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵合起来， 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的 线性运算. 线性运算
一般情形
定义 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n , (a (b
C = (cij)m×n , 其中 (c
cij = 轾1 ai 犏 臌
ai 2 L
轾j b1 犏 aip 犏 j = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj b2 犏 犏 M 犏 犏 b pj 犏 臌
1 O 1
n
.
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(6)
数量矩阵
主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 量矩阵. 量矩阵 例如 n 阶数量矩阵
2[1].1及2.2矩阵的概念和矩阵的运算
![2[1].1及2.2矩阵的概念和矩阵的运算](https://img.taocdn.com/s3/m/4885e82ccfc789eb172dc889.png)
( 2 )有无解及有解时如何求解显然不能再利用克莱姆法则， 此时我们也希望通过未知量系数和常数项构成的矩形数表 来进行研究,即
3 −2 1 5 2 1 − 4 − 1
3
把矩形数表用一括号括起来以表 示它的整体性，这样的矩形数表 在众多问题中经常出现，为此我 们抽象出矩阵的概念.
简记为A = a ij
( )
m ×n
或 Am ×n
5
实矩阵: 实矩阵 元素是实数 复矩阵： 复矩阵： 元素是复数
1 0 3 5 例如： 例如： 是一个 2 × 4 实矩阵 实矩阵, − 9 6 4 3
13 6 2i 是一个 3 × 3 复矩阵 复矩阵, 2 2 2 2 2 2
第 二 章
1
§2.1
2
一、引例
例 求解下列线性方程组
3 x1 − 2 x 2 + x 3 = 5 3 x1 − 2 x 2 = 5 ( 1 ) ;( 2 ) 2 x1 + x 2 = − 1 2 x1 + x 2 − 4 x 3 = − 1
用克莱姆法则易求出 1 )的解，其解由方程组的未知量系数 ( 和常数项构成的行列式确定,与未知量的记号无关. ,与未知量的记号无关
23
例3：
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2× 2 − 3 − 6 2× 2
例4：
− 16 − 32 ? 16 2 × 2 8
a12 M ai 2 M am 2
L a1 s b11 L b1 j M b21 L b2 j L a is M M M bs1 L bsj L a ms
L b1n L b2 n × s× n M L bsn
矩阵与线性方程组的关系
矩阵与线性方程组的关系在线性代数中，矩阵和线性方程组是两个重要的概念。
矩阵是一个具有矩形排列的数的集合，而线性方程组是一组方程，其中的每个方程都是关于未知数的线性表达式。
本文将探讨矩阵与线性方程组之间的关系及其应用。
一、矩阵的定义与基本操作矩阵是由数域上的元素按照一定规律排列而成的矩形阵列。
一个矩阵通常用大写字母表示，例如A。
矩阵的行数和列数分别表示为m和n，可以记作A(m*n)。
矩阵中的每个元素用小写字母表示，并由其所在的行号和列号来指定。
例如A(i,j)表示矩阵A中位于第i行第j列的元素。
矩阵有一些基本的运算和操作，例如矩阵加法、矩阵数乘、矩阵乘法等。
矩阵加法的定义是，对于同型矩阵A和B，它们的和定义为相应位置元素相加得到的矩阵。
矩阵数乘的定义是，对于任意矩阵A和标量k，它们的乘积定义为将矩阵A的每个元素乘以标量k得到的矩阵。
矩阵乘法的定义是，对于矩阵A(m*p)和B(p*n)，它们的乘积AB 定义为矩阵C(m*n)，其中C(i,j)等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
二、线性方程组的定义与解法线性方程组是一个或多个关于未知数的线性方程组成的集合。
一个线性方程组通常用大括号包围，并用系数矩阵和常数向量来表示。
例如，以下是一个包含三个方程和三个未知数的线性方程组：{a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3要解线性方程组，可以使用矩阵的逆运算或高斯消元法等方法。
其中，矩阵的逆运算是通过求解逆矩阵来得到线性方程组的解。
逆矩阵的定义是，对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B为A的逆矩阵。
三、矩阵与线性方程组的关系矩阵和线性方程组之间存在着密切的关系。
对于一个由m个方程和n个未知数组成的线性方程组，可以使用矩阵的形式来表示。
设系数矩阵为A(m*n)，未知数向量为X(n*1)，常数向量为B(m*1)，则线性方程组可以表示为AX=B。
线性代数目录
线性代数⽬录第⼀章 线性⽅程组与矩阵 1第⼀节 矩阵的概念及运算 1 ⼀、矩阵的定义 1 ⼆、矩阵的线性运算 3 三、矩阵的乘法 4 四、矩阵的转置 6习题1-1 7第⼆节 分块矩阵 8 ⼀、分块矩阵的概念 8 ⼆、分块矩阵的运算 10习题1-2 13第三节 线性⽅程组与矩阵的初等变换 14 ⼀、矩阵的初等变换 14 ⼆、求解线性⽅程组 18习题1-3 22第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 23 ⼀、⽅阵的逆矩阵 24 ⼆、初等矩阵 25 三、初等矩阵与逆矩阵的应⽤ 26习题1-4 29本章⼩结 31拓展阅读 32测试题⼀ 33第⼆章 ⽅阵的⾏列式 35第⼀节 ⾏列式的定义 35 ⼀、排列 35 ⼆、ｎ 阶⾏列式 37 三、⼏类特殊的ｎ 阶⾏列式的值 39习题2-1 41第⼆节 ⾏列式的性质 41 ⼀、⾏列式的性质 41 ⼆、⾏列式的计算举例 45 三、⽅阵可逆的充要条件 48习题2-2 50第三节 ⾏列式按⾏(列)展开 51 ⼀、余⼦式与代数余⼦式 52 ⼆、⾏列式按⾏(列)展开 52习题2-3 57第四节 矩阵求逆公式与克莱默法则 58 ⼀、伴随矩阵与矩阵的求逆公式 58 ⼆、克莱默法则 59习题2-4 62本章⼩结 63拓展阅读 64测试题⼆ 65第三章 向量空间与线性⽅程组解的结构 67第⼀节 向量组及其线性组合 67 ⼀、向量的概念及运算 67 ⼆、向量组及其线性组合 69 三、向量组的等价 71习题3-1 74第⼆节 向量组的线性相关性 74⼀、向量组的线性相关与线性⽆关 75⼆、向量组线性相关性的⼀些重要结论 77习题3-2 80第三节 向量组的秩与矩阵的秩 81 ⼀、向量组秩的概念 81 ⼆、矩阵秩的概念 82 三、矩阵秩的求法 83 四、向量组的秩与矩阵的秩的关系 85习题3-3 87第四节 线性⽅程组解的结构 88 ⼀、线性⽅程组有解的判定定理 88 ⼆、齐次线性⽅程组解的结构 90 三、⾮齐次线性⽅程组解的结构 94习题3-4 96第五节 向量空间 97 ⼀、向量空间及其⼦空间 97 ⼆、向量空间的基、维数与坐标 99 三、基变换与坐标变换 101习题3-5 103本章⼩结 105拓展阅读 106测试题三 107第四章 相似矩阵及⼆次型 109第⼀节 向量的内积、长度及正交性 109 ⼀、向量的内积、长度 109 ⼆、正交向量组 110 三、施密特正交化过程 112 四、正交矩阵 113习题4-1 115第⼆节 ⽅阵的特征值与特征向量 115 ⼀、⽅阵的特征值与特征向量的概念及其求法 116 ⼆、⽅阵的特征值与特征向量的性质 119习题4-2 121第三节 相似矩阵 122 ⼀、⽅阵相似的定义和性质 122 ⼆、⽅阵的相似对⾓化 123习题4-3 124第四节 实对称矩阵的相似对⾓化 125 ⼀、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 125 ⼆、实对称矩阵的相似对⾓化 126习题4-4 129第五节 ⼆次型及其标准形 129 ⼀、⼆次型及其标准形的定义 130 ⼆、⽤正交变换化⼆次型为标准形 131 三、⽤配⽅法化⼆次型为标准形 134习题4-5 135第六节 正定⼆次型与正定矩阵 136 ⼀、惯性定理 136 ⼆、正定⼆次型与正定阵 137习题4-6 138本章⼩结 139拓展阅读 140测试题四 141第五章 线性空间与线性变换 143第⼀节 线性空间的定义与性质 143 ⼀、线性空间的定义 143 ⼆、线性空间的性质 145 三、线性空间的⼦空间 146习题5-1 147第⼆节 维数、基与坐标 147 ⼀、线性空间的基、维数与坐标 147 ⼆、基变换与坐标变换 149习题5-2 150第三节 线性变换 151 ⼀、线性变换的定义 151 ⼆、线性变换的性质 153 三、线性变换的矩阵表⽰式 154习题5-3 158本章⼩结 161拓展阅读 162测试题五 163部分习题答案 165。
矩阵与线性方程组
矩阵与线性方程组在数学中，矩阵与线性方程组有着密切的联系。
矩阵是线性代数中的基本工具之一，通过矩阵的运算可以解决线性方程组，或者将其转化为更简单的形式。
本文将介绍矩阵的定义、性质以及其与线性方程组的关系，并通过实例来说明其应用。
一、矩阵的定义和基本运算矩阵由数个数值排列成的矩形阵列组成，其中每个数值称为矩阵的元素，用小写字母表示。
一个m×n的矩阵具有m行和n列。
矩阵可以用方括号或圆括号来表示，如A=[a_ij]或A=(a_ij)，其中a_ij表示矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法。
矩阵的加法和减法只能在行数和列数相同的矩阵之间进行，即如果A和B是m×n的矩阵，则A±B也是m×n的矩阵。
数乘是指将一个矩阵的每个元素乘以一个常数，即如果A是m×n的矩阵，k是一个常数，则kA也是m×n的矩阵。
矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列相乘再相加得到一个新的矩阵，即若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则AB是m×p的矩阵。
二、矩阵的性质矩阵有许多重要的性质，包括可逆矩阵、特征值与特征向量、转置矩阵等。
其中，可逆矩阵是指存在一个同阶的矩阵与之相乘等于单位矩阵的矩阵，记作A^{-1}。
特征值与特征向量是指当一个n×n的矩阵A与一个非零向量x满足Ax=λx时，λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
转置矩阵是指将一个矩阵的行和列互换得到的新的矩阵，记作A^T。
三、矩阵与线性方程组的关系线性方程组是指由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的最高次数为1。
线性方程组可以用矩阵形式表示，即Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的矩阵，b是一个m×1的矩阵。
这个方程组的解可以通过求解矩阵方程Ax=b来得到。
通过矩阵的运算，我们可以将线性方程组转化为更简单的形式进行求解。
第十一章 矩阵与线性方程组
4 5
, 求A '.
am1
am
2
L
amn
1 3
解 A' 7 1 0 2
4
5
容易看出,若A为m n矩阵,则A'为n m矩阵, A中第i行第j列处的 元素aij ,在A'中则为第j行第i列的元素.
转置矩阵具有以下性质.
(1)( A') ' A; (2)( A B) ' A' B '
(3) AE EA A;
(4)( A)B (AB) A(B),(为常数).
例5 求解矩阵方程.
2 1
1 2
X
1 1
2 4
,
X
为二阶方阵.
解
设X
x11
x21
x12 x22
,
由题设
2 1x22
1 1
2 4
.
所以
2x11 +x21 x11 2x21
2x12 x22 x12 2x22
L , Ak Ak1A, (k 2,3,L , n).
可以证明Ak Ap Ak p , ( Ak ) p Akp , (k, p为非负整数),当A, B不 可交换时,(AB)k Ak Bk
设线性方程组的一般形式为
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La21 x1
a22 x2 L
第十一章 矩阵与线性方程组
第一节 矩阵的概念及运算 第二节 逆矩阵 第三节 矩阵的秩与初等变换 第四节 线性方程的矩阵求解 第五节 数字实验五 用Mathematica进行矩阵运算和解
线性方程组
第十一章 矩阵与线性方程组
矩阵是解线性方程组的一个十分重要的数学工具，是线性 代数的一个主要研究对象.
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主讲：凌婷
本章要点：
P204
1.线性方程组、矩阵的概念及运算 2.行列式的性质及计算、克莱姆法则 3.矩阵的初等变换及矩阵的秩、逆矩阵 4.求解线性方程组
2
§12.1 线性方程组和矩阵的概念及运算
P204
自然科学、工程技术和经济管理中的许多问题经常可以归 结为解线性方程组。那什么叫线性方程组呢？
a11x1 a12x2 ... a1n xn 0 a...21x1 a22x2 ... a2n xn 0 am1x1 am2 x2 ... amn xn 0
称为齐次线性方程组，相应的，当常数项 bi (i 1,2,..., m)
不全为0时，方程组称为非齐次线性方程组。
例如：
给定一个线性方程组a21x1 a22x2 ... a2n xn b2
...
am1x1 am2 x2 ... amn xn bm
如果保持每个变量前面系数的相对位置不变，将得到 一个矩形数表，这样的矩形数表被定义为矩阵。
a11
记作A
a21 ... am1
a12 a22 ... am2
aij (i 1,2,..., m; j 1,2,..., n) 为常数，也称为第i 个方程第 j 个
个未知数 x j 的系数，bi (i 1,2,..., m)为常数项。
3
线性是指未知数 x1, x2 ,..., xn 的次数均为一次。特别的， 当线性方程组中的常数项 bi (i 1,2,..., m)全为0时，方程组
1 13
2 列
4
c22 10
c12 4
c11 0
c31 4
(1) 2 21 0 3 1 4 4
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
的行数时，两个矩阵才能相乘.
AB不存在
1 2 3
例4
3 5
2 8
1
1 9
33
6
6 0
8
1 23
不存在.
又如
1
AB
2 313
... ...
a2n xn
b2 ,
as1x1 as2 x2 ... asn xn bs .
a11 a12 ... a1n b1
[
A
:
B]
a21 ... a s1
a22 ... as1
... ... ...
a2n ... asn
b2
... bs
增广矩阵
称为线性方程组的增广矩阵，记为 A
8 5
9 4
，
3 2 1
则
3
A
3 3
1 6
38 35
3 9 3 3 4 18
24 15
27 12
3 3 3 2 3 1 9 6 3
数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 s n 矩阵， ,为数）
1 A A; 2 A A A;
3 A B A B.
0 0 0 1
P206
7 三角矩阵 a11
上三角矩阵
A
0 0
0
a12 a22 0
0
0
下三角矩 a1n
a2n ann
a11
A
a21
an1
0 a22 an2
0 0
0 0 0 ann
a 0 0 0
8 数量矩阵
A
0 0
a 0
0
0 0
0 0 0 a
12.1.3 矩阵的运算
1.矩阵的加法 2.数与矩阵的乘法 3.矩阵的乘法 4.矩阵的转置
Ｐ207
1.同型矩阵与矩阵相等的概念 Ｐ208
a.两个矩阵的行数、列数对应相等时,称为同型矩阵.
b.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
对应元素相等,即aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n,
有方程的两边恒相等。
例如： (- 1 ,2, 3 ) 为线性方程组 22
43xx11
2x2 - x2
- x3 2 x3
1 -1
x1 2 x2 - x3 2
的一组解。
线性方程组的解有三种情况:
有唯一解; 有无穷多解; 无解;
例如：
线性方程组2x1xΒιβλιοθήκη 2x2 x21 1
有唯一解；
平面直角坐标系下，表示两条直线，其相交，只有唯一1个交点。
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
4.矩阵的乘法：
Ｐ209
设A aij 是一个
矩阵，B bij 是一个n m
矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积
是一个 s m 矩阵 C cij ，其中
Csm Asn Bnm
n
cij aikbkj ,i 1,2,, s, j 1,2,, m k 1 n
则称矩阵A与B 相等,记作 A B.
2.矩阵的加法
P209
设有两个 s n 矩阵
A
aij
sn
, B
bij
,
sn
那么矩阵A与 B 的和记作A+B ，规定为
a11 b11
A
B
a21 b21
a12 b12 a22 b22
a1n b1n a2n b2n
as1 bs1 as2 bs2 asn bsn
1
5
0
1 3 1
1
2 0 , 4 34
(1
10
C11
0
(2)
3
4
2
B
1 3
2 1 1 1
3)
21
(21)
1
453
1 2 0 3
4 (3)
求C 4
A
16
B
C33
A34
B43
1
0
1 5
3 1
0 4
1 3 1
2 1 2
1 1 1
5 6 7
10 2 6 .
2 17 10 33
1 2
是一个
31
矩阵,
4
2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,
4 是一个 11 矩阵.
几种特殊的矩阵
13 11 4
1 方阵
An Ann 7 4 4 6 8 933
P206
矩阵A的行数与列数相等，即m=n时，矩阵A称为n阶方 阵 对， 角记线作上的An元,左素上a1角1, a到22右,下, a角nn的称连为线主称对为角主线对元角素线。，主
(1230)11
1
3
2
2
3
111
1011
10
1 31
从这两题你看到
3 2
1 2 313
3 2
6 4
9 6
131 BA ( )331 2 3 33
了什么现象？
AB可乘吗?
AB BA?
例5
A
a1 a2
, B b1,b2 ,,bn 1n
an n1
则
AB
a1 a2
b1, b2,, bn 1n
x1 b1
令
x
x2
,
b
b2
xn bs
线性方程组可写为矩阵方程 Asn xn1 bs1
系数矩 阵A
简记为
Ax b
n元线性(一次)方程组的矩阵表示
P212
n元线性方程组
把A和B写在一起
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a21 x1
a22
x2
3 AB AB
AC ,
A
P211 E为单位阵(也记为I )
BE
CI
1
A 0
0
1BA
0
0C A;
0
B （其 0中0 为1数 ）;
4 Amn Enn Emm Amn Amn;
k
5
数量矩阵
kE
0
0 k
0 0
0 0 k
6 若A是 n 阶矩阵，则 Ak 为A的 k 次幂，即
系数矩阵A
由矩阵乘法，上式可写为
12
1 322
x1 x2
21
53
21
令
A 12
1322 ,
X
x1 x2
,b 21
3 5
21
线性方程组可写为矩阵方程 Ax b
可求得X x1 4 , x2 1
1 1 4 3
2
322
121
5
21
n元线性(一次)方程组的矩阵表示
P212
例 写出线性方程组 的增广矩阵和该线性方程组的矩阵形式。
42xx112xx22
3x3 5x3
1 4
x1
2x3 6
解 只要将方程组中的未知量和等号去掉，再添上矩阵符号，
就得到方程组的增广矩阵，即
A
:
B
称为矩阵 A 的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
16
3.数与矩阵相乘
P209
数 与矩阵 A 的乘积记作 A或 A , 规定为
a11 a12 a1n
A
A
a21
a22
a2n
.
as1 as1 as n
数与矩阵中的每个 元素相乘
例
1 A 6
线性方程组
2
x1
x2
1
x1 - 2 x2
1 1
2
有无穷多解；
平面直角坐标系下，表示两条直线，其重叠，有无穷多个交点。
而线性方程组
2
x1
x1 -
1 2
x2 x2
1 1
无解； 两条直线平行