1.1矩阵概念及运算
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
1.1 矩阵的概念
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(7)
三角形矩阵
主对角线下 (上) 方的元素全为零的方阵称为 上 上 (下) 三角形矩阵 例如 三角形矩阵.
a11 a12 ⋯ a1n a11 a22 ⋯ a2n a21 a22 , . ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ a a ⋯ a ann n1 n 2 nn
2 −1 5 −1 3 7 , 5 7 4
对称矩阵
0 2 −3 −2 0 7 . 3 −7 0
1 2 − 4 3 − 9 8 5 2 , 4 2 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
３×４矩阵
1 3 −9 5 3
2 0 8 . −1 5
二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 也称为行向量). 也称为行向量 只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量 如 A = ( a11 ，a12 ，···，a1n ). ， 只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量 也称为列向量 只有一列的矩阵称为列矩阵 也称为列向量). 如
c
c ⋱
为常数） （c 为常数）. c n
n 阶数量矩阵
(6) 单位矩阵 的对角矩阵称为单 主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单 位矩阵, 位矩阵 简记为 E 或 I . 如
1 En =
1 ⋱
. 1 n
a11 a 21 B= . ⋮ a m1
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
矩阵代数简单介绍
线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
1.1矩阵及其运算
1 1 1 2 例6* 设A 0 1, B 0 1 . 求AB, BA.
AB BA( A与B可交换）
返回
IA=A=AI
( k I )A = kA = A(k I)
返回
1 1 2 2 例6 设A , B . 求AB, BA. 1 1 2 2
已知 A B, 求 x , y, z .
解
A B,
x 2, y 3, z 2.
返回
加法： A与B同型，定义 A B ( aij bij ). 注意： 对于同型矩阵才有意义.
2 1 1 例如，A 与B 不能相加. 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 0 1 2 2
⑥
⑦
k ( lA) ( kl ) A k ( A B) kA kB ( k l ) A kA lA
返回
⑧
kA lB
返回
三、矩阵的乘法
例2 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季度 各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10万 台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
1 B 0
1 0
返回
某航空公司在A,B,C,D四城 市之间开辟了若干航线 ,如 图所示表示了四城市间的航 班图,如果从A到B有航班,则 用带箭头的线连接 A 与B. 到站 B
B
A
C
D
A A
C
D
发站
B
C D
0 1 1 0
矩阵与行列式的计算与性质
矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。
本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。
一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。
一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。
3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。
4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。
5）方阵：行数等于列数的矩阵。
6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。
2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。
2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。
矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。
三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。
3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
1-1矩阵
a11 a21
a12 L a1n a22 L a2n
L L L L am1 am2 L amn
的矩阵， 称为 m 行 n 列 的矩阵， 矩阵. 简称 m× n 矩阵.
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n 记作： 记作： A = M M M a am1 L amn m1
0 O L 0 的方阵, 称为对角形矩阵， 对角形矩阵， 的方阵, 称为对角形矩阵 L L L ann L
简称对角阵 对角阵。 简称对角阵。 显然， 显然，由对角线上的元素就足以确定对角形矩 阵本身，故上述矩阵可记作： 阵本身，故上述矩阵可记作：
Λ = diag (a11 , a22 , L , ann )
简记为： 简记为：A = (aij ) = Am×n = (aij ) m×n 的元素。 这 m×n 个数称为 A 的元素。
同型矩阵： 同型矩阵： 如
5 4 1 1 0 3 同型矩阵。 4 2 4 与 0 2 1 为同型矩阵。
相等矩阵：两个矩阵的行数、列数相同。 相等矩阵：两个矩阵的行数、列数相同。 两个矩阵同型，且元素对应相等。 两个矩阵同型，且元素对应相等。
1 3 1×1+ 3× 4 1× 0 + 3×3 1× 2 + 3×1 13 9 5 1 0 2 BA = 2 1 = 2×1+1× 4 2× 0 +1×3 2× 2 +1×1 = 6 3 5 4 3 1 3 0 3×1+ 0× 4 3× 0 + 0×3 3× 2 + 0×1 3 0 6
注意： 矩阵乘法不满足交换律。 注意： AB ≠ BA ，即矩阵乘法不满足交换律。
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1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵的加法和数与矩阵的乘法，统称为矩阵的 线性运算。 性质：交换律、结合律、分配律、消去律 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-1
已知
1 2 A 1 1, 1 3 1 2 B 2 4, 1 3
矩阵 的列数 结果
矩阵 的行数
乘积矩阵 的行数 乘积矩阵 的列数 乘积矩阵 的 元素
矩阵 的行数 矩阵 的列数 矩阵 的第 行与
的第 列对应元素的乘积之和.
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-2 已知
2 A 1 1 1 1 3 1 , B 2 0 , 2 1 1
1.1 矩阵的概念及其运算
若 A 和 B 可交换，则 A和B 为同阶方阵.
判断下述矩阵A、B是否可以交换
2 A 1 1 1 1 3 1 , B 2 0 2 1 1
不可交换
1.1 矩阵的概念及其运算
对角矩阵可与任意矩阵交换？？ 对角矩阵可与任意同阶方阵交换？？
数量矩阵
单位矩阵
En、E、I 记作：
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵的线性运算：加、减、数乘
定义1-2 设 ， ，规定矩阵 与
a12 b12 a1n b1n a22 b22 a2 n b2 n , am 2 bm 2 amn bmn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-5 设矩阵 A aij nn 和 B bij nn 都是上三角阵，
C AB ，证明 C 也是上三角阵，并且 C 的对
角元 cii aiibii
i 1, 2,, n .
1.1 矩阵的概念及其运算
证明：
a11 A aii
称为
型矩阵。记作：
或
1.1 矩阵的概念及其运算
若矩阵 A和 B 的行数相同且列数也相同，则 称矩阵 A和 B 是同型矩阵，简称 A 和 B 同型。
若矩阵 A 和 B同型，并且其对应的元素 aij 和bij 都相等，则称 A 和B 相等，记作 A B 。 分 实矩阵——元素都是实数的矩阵； 类 复矩阵——元素都是复数的矩阵； 所有m n 型实矩阵的集合记作 R mn 。
a1n b11 b1 j ain B b jj ann
b1n b jn bnn
b1 j b jj 0 cij 0, , 0, aii , , ain 0 aii bii 0
a11 a 21 a m1
a11 a12 a1n i j a a22 a2 n 21 aij 0 an 2 ann a n1
i j a 11 aij 0 0 0
并且5 X A B 4 A, 求 X .
8 解： 4 5 1 2 1 2 1 1 11 13 X 9 A B 9 1 1 2 4 5 5 5 5 1 3 1 3 8 6 5
求 AB， BA 及AC .
解：
0 0 2 2 0 0 AB , BA , AC 0 0 2 2 0 0
1.1 矩阵的概念及其运算
练习：已知
1,0,,0,1 , A I T , B I 2 T ,
1.1 矩阵的概念及其运算
定义1-3
数 与矩阵 的乘积规定为
kA Ak kaij
即数
m n
,
与矩阵 的
与矩阵 相乘就是把数
每个元素相乘。 数乘运算对每个元素都要作用。
1.1 矩阵的概念及其运算
4 4 2 2 2 6 2 3 1
3 4 1 4 3 12 5 4 5
n 1
1.1 矩阵的概念及其运算
a11 0 0
0 a22 0
0 0 ann
对角矩阵
diag a11 , a22 , , ann 记作：
a 0 0 0 a 0 0 0 a 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Omn、O 元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作：
1.1 矩阵的概念及其运算
几种特殊的矩阵
a11 , a12 , , a1n
a11 a21 am 1 a12 a1n a22 a2 n n m am 2 amn
a11 0 i j aij 0 0
特殊矩阵
矩 只有一行的矩阵称为行矩阵，1 n 型 阵 只有一列的矩阵称为列矩阵，m 1 型 的 型 n n 型矩阵称为n阶方阵
n阶方阵A中自左上角到右下角的直线称为A的主对角线，位于 主对角线上的元素称为A的对角元；自左下角到右上角的直线称 为A的副对角线。 对角元满足i=j，副对角线上元素满足i+j=n+1
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法的运算法则 (3)矩阵乘法满足结合律和分配律
①
AB C A BC ; AB kA B A kB , 其中 k 为数； B C AB AC;
②k
③A
④
B C A BA CA.
1.1 矩阵的概念及其运算
线性代数
董波
数学科学学院 dongbodlut@ 大黑楼B1113
考核方式
期末考试 期中考试 平时作业 上机实验
课程内容--矩阵
线性方程组（第3、5章） 向量组的线性相关性（4、6章） 正定性（第8章） 判断矩阵 行列式（第2章） 秩（第4章） 特征值（第7章） 概念（第1章） 运算 特殊矩阵 矩阵作用
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法
1.1 矩阵的概念及其运算
定义1-4
设
，
，规定矩阵 与 的
，其中
乘积是一个为 m n 型矩阵
记作
.
C的第(i,j)个元素为A的第i行与B的第j列 对应元素乘积之和
1.1 矩阵的概念及其运算
判断下面两个矩阵能否相乘
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘积
矩阵乘法的 前提条件
i j i j
1.1 矩阵的概念及其运算
补充结论
(1)
(2)
两个同阶下三角阵的乘积仍为同阶下三角阵； 两个同阶对角阵的乘积仍为同阶对角阵，即将两 个对角阵的对角元对应相乘。
1.1 矩阵的概念及其运算
线性方程组的矩阵形式
含有m个方程n个未知数的线性方程组称为 m n 型线 性方程组。
一 般 形 式
例1-4 设矩阵
2 A 1,1, 1 , B 5 , 3
求 AB，BA 及 BA . 解： BA
20
20
BA BA B AB AB A AB BA
19
2 2 2 19 4 5 5 5 3 3 3
a12 a22 0
0 a22 an 2
0 a22 0
a1n a2 n ann
0 0 ann
0 0 ann
m 1
a11 a21 a n1
的和为
a11 b11 a21 a21 A B am1 bm1
即两个矩阵的加法就是把他们对应的元素相加。 两同型矩阵才可进行加法运算。
1.1 矩阵的概念及其运算
负矩阵 令 矩阵的减法：
A B A B
即 与 对应的元素相减。
两同型矩阵才可进行减法运算。
…….
H
实际例子：课程表
பைடு நூலகம்
定义1-1 由
A的第 i 行 第 j 列元素
个数 aij i 1, 2,, m; j 1, 2,, n
a11 a21 am1 a12 a1n a22 a2 n am 2 amn
排成的 m 行 n 列的矩形数表
与任意矩阵均可交换的矩阵不存在. 与任意方阵均可交换的矩阵只能是同阶数量矩阵. 任意两同阶对角矩阵可交换. 单位矩阵与任意同阶方阵可交换.
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法的运算法则
(2)矩阵乘法不满足消去律
① A O时，AB AC
B C；
② AB O
A O 或 B O；
③ A O 且 B O ，但 AB 未必不为 O . 判断：设 A Rmn , 若对任意矩阵 B Rn1 , 均有 AB 0, 则A为零矩阵。
元 素 的 值
上三角矩阵：对角线下方元素为0。
下三角矩阵：对角线上方元素为0。 对角矩阵：非对角元均为0。
a0 a11 12 11 a a22 21 0 a n1 n2 a0
a 0 1n a 2n 0 0 ann nn
矩阵乘法中的单位 矩阵 E 相当于数的 乘法中的1作用类似
Em Amn Amn En Amn