1.1矩阵的定义及计算
高斯消元法与矩阵运算
高斯消元法与矩阵运算在数学领域中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个学科的研究中。
而高斯消元法是一种解线性方程组的常用方法，通过矩阵运算将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
本文将探讨高斯消元法与矩阵运算的相关概念、原理和应用。
一、矩阵的基本概念与运算1.1 矩阵的定义与表示矩阵是由m行n列的数按一定顺序排列成的矩形数表，用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12、a21、a22、a31、a32为矩阵A的元素。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。
矩阵的加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，运算规则为对应元素相加或相减。
例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，其加法和减法运算如下：A +B = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22a31+b31 a32+b32]A -B = [a11-b11 a12-b12a21-b21 a22-b22a31-b31 a32-b32]矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，运算规则为按行乘以列并求和。
例如，对于一个3行2列的矩阵A和一个2行4列的矩阵B，其乘法运算如下：A *B = [a11*b11+a12*b21 a11*b12+a12*b22 a11*b13+a12*b23a11*b14+a12*b24a21*b11+a22*b21 a21*b12+a22*b22 a21*b13+a22*b23 a21*b14+a22*b24 a31*b11+a32*b21 a31*b12+a32*b22 a31*b13+a32*b23 a31*b14+a32*b24]二、高斯消元法的基本原理高斯消元法是一种解线性方程组的常用方法，其基本原理是通过矩阵运算将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
2.1 线性方程组的表示线性方程组可以表示为矩阵形式，即AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
1.1 矩阵的概念
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(7)
三角形矩阵
主对角线下 (上) 方的元素全为零的方阵称为 上 上 (下) 三角形矩阵 例如 三角形矩阵.
a11 a12 ⋯ a1n a11 a22 ⋯ a2n a21 a22 , . ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ a a ⋯ a ann n1 n 2 nn
2 −1 5 −1 3 7 , 5 7 4
对称矩阵
0 2 −3 −2 0 7 . 3 −7 0
1 2 − 4 3 − 9 8 5 2 , 4 2 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
３×４矩阵
1 3 −9 5 3
2 0 8 . −1 5
二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 也称为行向量). 也称为行向量 只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量 如 A = ( a11 ，a12 ，···，a1n ). ， 只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量 也称为列向量 只有一列的矩阵称为列矩阵 也称为列向量). 如
c
c ⋱
为常数） （c 为常数）. c n
n 阶数量矩阵
(6) 单位矩阵 的对角矩阵称为单 主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单 位矩阵, 位矩阵 简记为 E 或 I . 如
1 En =
1 ⋱
. 1 n
a11 a 21 B= . ⋮ a m1
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
矩阵与行列式的运算与特性总结
矩阵与行列式的运算与特性总结矩阵与行列式是线性代数中重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对矩阵与行列式的运算与特性进行总结，并介绍其在数学和科学中的应用。
一、矩阵的基本概念与运算1.1 矩阵的定义与表示矩阵是由若干个数按一定的规则排列成的矩形阵列。
一般用大写字母表示矩阵，如A、B等。
矩阵的行数和列数分别表示矩阵的阶数。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和乘法。
两个矩阵可以相加或相减的条件是它们的阶数相同，对应位置上的元素进行相加或相减。
矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，运算结果的行数与第一个矩阵的行数相同，列数与第二个矩阵的列数相同。
1.3 矩阵的转置与逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行得到的新矩阵。
逆矩阵是满足乘法交换律的矩阵，即矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
二、行列式的基本概念与特性2.1 行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值，用来表示线性方程组的解的情况。
行列式的值为零表示线性方程组无解，非零表示线性方程组有唯一解或无数解。
2.2 行列式的性质行列式具有以下特性：- 行列式与其转置行列式相等；- 行列式的两行（列）互换，行列式变号；- 行列式的某一行（列）乘以常数，等于常数乘以行列式；- 行列式的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变。
2.3 行列式的运算行列式的运算包括代数余子式、余子式、伴随矩阵和逆矩阵等。
代数余子式是行列式中每个元素对应的余子式乘以(-1)的幂次，而余子式是去掉某一行和某一列后所得到的行列式。
伴随矩阵是将原矩阵中的元素换成对应的代数余子式，并且将矩阵转置。
逆矩阵是满足矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
三、矩阵与行列式的应用3.1 线性方程组的求解矩阵与行列式的概念广泛应用于线性方程组的求解。
通过将系数矩阵与常数向量组成增广矩阵，并进行初等行变换，可以求得方程组的解或判断方程组是否有解。
3.2 统计学中的应用矩阵与行列式在统计学中也有重要的应用。
高中数学教案认识矩阵的行列式
高中数学教案认识矩阵的行列式高中数学教案：认识矩阵的行列式在高中数学中，矩阵及其行列式是一个重要的概念和工具。
矩阵是由数按照矩形排列而成的一种数学结构，而行列式则是矩阵所具有的一种特殊性质。
了解矩阵的行列式对于深入理解线性代数和高等数学具有重要意义。
本教案将带领学生深入认识矩阵的行列式，通过理论和实践相结合的方式，帮助学生掌握相关的概念和计算方法。
一、矩阵的概念及表示方法1.1 矩阵的定义：矩阵是一个由m行n列数排列成的数表，可以用大写字母表示，例如A。
1.2 矩阵的元素：矩阵中的每个数称为元素，用小写字母加下标表示，例如a_ij表示第i行第j列的元素。
1.3 矩阵的表示方法：可以用方括号或圆括号将矩阵元素括起来，元素之间用逗号或空格隔开。
例如，A=[a_ij]表示一个矩阵A，其中a_ij为矩阵A的元素。
二、行列式的定义及性质2.1 行列式的定义：行列式是一个与方阵相关的数值，它可以从矩阵的元素中按照一定规律计算出来。
一个n阶方阵A的行列式可以用det(A)或|A|表示。
2.2 行列式的计算方法：2.2.1 二阶行列式的计算方法：对于二阶方阵A=[a_ij]，行列式的计算方法为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.2.2 三阶及以上行列式的计算方法：对于n阶方阵A=[a_ij]，行列式的计算方法为：det(A) = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + a_1n * A_1n其中A_ij为元素a_ij的代数余子式。
2.3 行列式的性质：2.3.1 行列式与转置：对于任意方阵A，有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2.3.2 行列式与初等行变换：对于方阵A，若将其某一行（列）与另一行（列）互换位置，行列式的值变号。
2.3.3 行列式的性质：- 若矩阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
1.1矩阵及其运算
1 1 1 2 例6* 设A 0 1, B 0 1 . 求AB, BA.
AB BA( A与B可交换）
返回
IA=A=AI
( k I )A = kA = A(k I)
返回
1 1 2 2 例6 设A , B . 求AB, BA. 1 1 2 2
已知 A B, 求 x , y, z .
解
A B,
x 2, y 3, z 2.
返回
加法： A与B同型，定义 A B ( aij bij ). 注意： 对于同型矩阵才有意义.
2 1 1 例如，A 与B 不能相加. 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 0 1 2 2
⑥
⑦
k ( lA) ( kl ) A k ( A B) kA kB ( k l ) A kA lA
返回
⑧
kA lB
返回
三、矩阵的乘法
例2 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季度 各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10万 台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
1 B 0
1 0
返回
某航空公司在A,B,C,D四城 市之间开辟了若干航线 ,如 图所示表示了四城市间的航 班图,如果从A到B有航班,则 用带箭头的线连接 A 与B. 到站 B
B
A
C
D
A A
C
D
发站
B
C D
0 1 1 0
矩阵分析知识点总结
矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。
矩阵可以用大写字母表示。
1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。
- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。
行和列的个数分别称为行数和列数。
1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。
- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。
1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。
- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。
1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。
- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。
其秩等于不为零的行数。
- 同样列最简形矩阵都是列等价的。
其秩等于不为零的列数。
- 行秩等于列秩。
1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。
非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。
- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。
- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。
1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。
矩阵与行列式的计算与性质
矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。
本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。
一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。
一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。
3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。
4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。
5）方阵：行数等于列数的矩阵。
6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。
2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。
2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。
矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。
三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。
3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
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至少有一行不全为零
矩阵 至少有一元素不为零
023
0 0 0 0 0 0
0 0 0
b = (0, 0, 0, 0, 0)
例题
矩阵
3 阶复方阵
矩阵 三维行向量
矩阵 四维列向量
§1.1.4 同型矩阵和矩阵的相等
定义 若矩阵
与 有相同的行数，且列数也相同，则 为同型矩阵.
求A B .
k a11 a11 k a a 22 22 , , 则 Ak 结论 若 A k ann ann
其中 k 为正整数.
矩阵多项式 设 为数域，并有多项式
其中
设
为
上一个
阶方阵，那么
以上结果表明：一般而言
AB 0 A 0 or B 0
矩阵乘法的运算规律
设 为数域
的数域
中的数，
是使下列各式都有意义
上的矩阵，则
1. 乘法结合律 2. 对加法的分配律 3. 数乘 4. 5. 在数的运算中，数 乘任何数 后仍为 ，这与 矩阵的乘法乘法规律 5. 非常类似.
可交换矩阵 定义 若矩阵 满足 ，则称 与 可交换.
为 一般有
阶方阵，故
矩阵乘法不满足交换律
例题 设
a11 a 22 , A diag (a11 , a22 , , ann ) ann
B (bij )nt , C (cij )sn ,
求 A B ,C A .
思考 在以上例题中，若A = E n , 会怎么样呢？
矩阵多项式：
f ( x ) ak x k ak 1 x k 1 a1 x a0
主对角元素.
副对角线
主对角线
提醒 一阶方阵就是一个数！此时不加括号！
特殊方阵：上三角阵，下三角阵
下三角阵 主对角线上方元素都为 0 的方阵
上三角阵 主对角线下方元素都为 0 的方阵
下三角阵
上三角阵
三角阵 上三角阵和下三角阵的统称.
特殊三角阵：对角阵 数量阵
单位阵
对角阵 非主对角元素都为0的方阵称为对角阵.
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求。
a b 解：设所求矩阵为 X , c d 由 AX XA,
得
a c b d a a b c d c cd
a b c 0, a d X 0 a , 其中a，b为实数
a11 0 0 a 22 diag (a11 , a22 ,..., ann ) 0 0 0 0
主对角元素相同的 对角阵称为数量阵
0 0 0
0 0 0 ann
主对角元素都为1的 对角阵称为单位阵
阶数量阵
阶单位阵
特殊矩阵之二：向量 行向量 行数为1的矩阵！
各工厂的总收入及总利润
总收入
总利润
单价 单位利润
总收入 总利润
求第 i 个工厂的总收入 c i 1 和利润c i 2 i = 1, 2, 3
则矩阵
的元素之间有如下关系
也即对任意的
，有
即矩阵
的
元素为
的第 行与矩阵
的第 列
对应元素的乘积之和.
矩阵的乘积 我们称引例中的矩阵 定义 设 与 的第 为矩阵 与 的乘积. 表 的第 列对应元素的乘积之和，即 行
有意义，它仍为
上一个
阶方阵，记为
，即
称为
的矩阵多项式. 的方阵多项式不是
提醒 矩阵
例题
1 1 2 , f ( A) ? f ( x) 3 x 2 6 x 2, A 0 2 1 1 0 1 1 1 2 1 1 2 0 2 1 A2 0 2 1 1 0 1 1 0 1 1 3 1 1 4 1 0 1 1
称
为 与 的乘积，记作
.
由上面的引例可见，矩阵乘法的定义是有着明显的实
际背景的，从而如上定义的矩阵的乘法是有意义的.
例题 设
计算
解答
1 0 (1) (1) 0 1 = 1 2 0 1 (1) (1) 1 = - 2 =1 1 0 0 (1) 11
矩 阵
向量 与线性 方程组
线性 代数
二 次 型
特征值 与特征 向量
第一章 矩阵及其运算
§1.1 矩阵的定义及运算
四川大学
§1.1.1 数域
引例 求方程
提醒 显然，所给方程 在有理数范围 在实数范围 在复数范围 内无解； 内有两解： 内有四解:
的解.
提醒 对给定方程而言，其解的情况与取值范围有关.
数域的定义及常见数域 定义 设复数集的子集 包含数0和1，如果对 中的
任意两个数，它们的和差积商（除数不为零） 仍在 结论 整数集 中，则称 为一个数域.
不是数域（关于商运算不封闭）；
有理数集 ，实数集 ，复数集 都是数域， 分别称为有理数域，实数域，复数域. 思考 数集 是数域吗？
§1.1.2 矩阵的背景
一. 二维表格
工厂＼产品 I II III IV
1
2 3
13
11 12
34
38 32
54
61 47
67
59 74
数据的位置和值 长方形数表
§1.1.2 矩阵的背景
二. 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 2n n 2 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
显然，若 与
可交换，
与
必为同阶方阵.
1 0 例题 设 A ，求所有与 可交换的矩阵. 1 0
解答 设矩阵 与 可交换，则 必为 阶方阵，故设
a b X . c d
与 可交换
1 0 a b a b 1 0 1 0 1 0 c d c d
列向量 列数为1的矩阵！
向 量 行向量和列向量统称为向量！
向量的表示 常用小写的希腊字母 , , 等表示！
(a1 , a2 ,, an )
b1 b 2 bn
向量的维数及分量！
特殊矩阵之三：零矩阵 零矩阵 元素全为零的矩阵！ 零矩阵可记作 矩阵 矩阵 或 .
参考书和应用软件
•《高等代数教程》 王萼芳 清华大学出版社
•《线性代数学习指导》 杨志和等 四川大学出版社 •《Introduction to Linear Algebra》 Johnson, Riess, Arnold • Softwares: Matlab, Maple… 机械工业出版社
行列式
例题 设 解答 由矩阵乘法有
计算
其中 矩阵.
为
元素为1，
其中元素均为零的
第 行
第 列
矩阵乘法运算与数乘法运算的不同 例题 设 计算 提示
矩阵乘法不满足消去律
AB AC且 A 0 BC
1 1 1 1 0 0 BA 0 1 1 1 1 0 0
解答
f ( A) 3A2 பைடு நூலகம் 6 A 2 En
1 3 1 1 1 2 1 0 0 6* 0 2 1 2 0 1 0 3* 1 4 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1
§1.1.3 矩阵的定义及表示 定义 数域 中 个数 上的
排成的 行 列的长方形数表，称为数域 分别为矩阵的行数和列数. sn 表示 矩阵常用大写字母如 ，或 矩阵，其中
，即
方括号或圆括号 表示，称 行第 为矩阵 列元素. 的第
特殊矩阵之一：方阵 方阵 若矩阵 则称 为 的行数和列数相等，即 阶方阵，此时称 ， 为
欢迎新同学
线性代数
线性代数（理工）
四川大学 数学学院
张慎语 周厚隆 编 沈晓静 讲 （email: shenxj@）
重要工具
如果不熟悉线性代数的概念，如线 性性质，向量，线性空间，矩阵等 等，要去学习自然科学，现在看来 就和文盲差不多，甚至学习社会科 学也是如此。 L．戈丁 《数学概观》
a11 a12 a1n b1
数据的位置和值
长方形数表
a21 a22 a2 n b2 an1 an 2 ann bn
§1.1.2 矩阵的背景
三. 图的邻接关系
2
1 5
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 1 1 0 1
3
4 长方形数表
其中 为任意常数.
§1.1.4 矩阵的幂运算 对于 阶方阵 而言，自乘 是有意义的，由此
引入方阵乘幂的概念，规定
个
矩阵乘幂指数律
提醒 一般而言，
思考 何时有
对角矩阵的幂
a11 b11 a b 22 22 , B , 例题 设 A ann bnn
称矩阵 与
定义 设有同型矩阵 相等 例题 设 若
aij bij i 1, 2,, s, j 1, 2,, n
3x 4 y 2w x 4 2 y 3 A ,B , x yz z 6 8
求
§1.1.5 矩阵的加法运算
定义 设有同型矩阵 A aij 加法
为数，则
§1.1.3 矩阵的乘法运算及性质 矩阵理论得到迅速的发展和应用，最重要的原因之 一就是对矩阵赋予了乘法运算. 引例 某地有三厂 矩阵 量，矩阵 阵 生产产品 表各产品的单价及单位利润，矩