高数矩阵的概念及运算
高等数学教材 矩阵
高等数学教材矩阵矩阵作为高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。
它不仅在线性代数中起着重要的作用，还在其他数学分支以及工程、物理等应用科学中扮演着重要角色。
本文将对矩阵的定义、运算和性质进行详细讲解，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 矩阵的定义在数学中，矩阵是按照长方阵列排列的数的集合。
矩阵通常用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示，如a_ij，其中i表示行数，j表示列数。
矩阵的维度由行数和列数确定。
2. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。
矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加和相减的原则，要求两个矩阵具有相同的维度。
矩阵乘法是将矩阵A的每个元素与矩阵B的每列元素进行相乘，再将结果相加得到新矩阵的元素。
3. 矩阵的性质矩阵具有许多有用的性质。
比如，矩阵的转置可以通过将矩阵的行和列互换得到；矩阵的逆可以用来解线性方程组；矩阵的迹是指主对角线上元素的和；矩阵的秩可以用来判断矩阵的线性相关性。
4. 矩阵的应用矩阵在实际问题中有广泛的应用。
例如，在工程领域，矩阵可以用来描述力和力矩的关系，从而帮助解决结构力学问题。
在图像处理中，矩阵可以用来表示图像的像素点，进行图像的缩放、旋转等操作。
在机器学习中，矩阵被广泛应用于数据挖掘和模式识别等领域。
总结：高等数学教材中的矩阵是一门重要的数学概念，通过对矩阵的定义、运算和性质进行深入理解，我们可以更好地应用矩阵解决实际问题。
无论是在线性代数还是其他领域，矩阵都扮演着重要的角色，为问题的建模和求解提供了有效的工具。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握矩阵的知识，提高数学应用能力。
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结矩阵是线性代数中重要的概念和工具之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对矩阵的基本知识点进行总结。
1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照长和宽排列的矩形数组，其中的元素可以是任意类型的数值。
一个矩阵由行和列组成，通常记作A=[a_ij]。
2. 矩阵的运算：(1) 矩阵的加法和减法：对应元素相加或相减。
(2) 矩阵的乘法：矩阵乘法是一种非交换运算，两个矩阵相乘的结果是第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列。
(3) 矩阵的转置：将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
(4) 矩阵的数量乘法：将矩阵的每个元素同一个实数相乘得到的新矩阵。
3. 矩阵的特殊类型：(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵。
(2) 零矩阵：所有元素都为零的矩阵。
(3) 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(4) 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其他元素都为零的矩阵。
(5) 上三角矩阵：下三角（低三角）矩阵：除了对角线及其以上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
4. 矩阵的性质：(1) 矩阵的加法和乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
(2) 矩阵乘法的转置性质：(AB)^T = B^T A^T。
(3) 矩阵的逆：如果矩阵A的逆存在，记作A^(-1)，则A和A^(-1)的乘积等于单位矩阵：A A^(-1) = I。
(4) 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组数。
5. 矩阵的应用：(1) 线性方程组的解：通过矩阵的运算和逆矩阵可以解决线性方程组的求解问题。
(2) 向量空间的表示：矩阵可以表示向量空间内的线性变换和线性组合。
(3) 特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量可以用于描述矩阵的性质和变换规律。
(4) 数据处理和机器学习：矩阵在数据处理和机器学习中广泛应用，用于存储和处理大量数据。
总的来说，矩阵是一种重要的数学工具，它的运算性质和特殊类型有助于解决线性方程组、描述线性变换和计算大量数据等问题。
高等数学教材矩阵
高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。
本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。
我们用大写字母A、B等来表示矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。
3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。
三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。
3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。
2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。
3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。
4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。
五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。
2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。
3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。
总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
矩阵的运算知识点总结
矩阵的运算知识点总结一、矩阵的定义在开始讨论矩阵的运算知识点之前，首先需要了解矩阵的定义。
矩阵是由数个数按矩形排列组成的数组。
一般地，我们定义一个m×n矩阵A为一个m行n列的数组，其中每个元素aij（i行j列的元素）都是一个实数。
数学上通常用大写字母A、B、C、...表示矩阵。
例如，一个3×2矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12、a21、a22、a31、a32是矩阵的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法当两个矩阵具有相同的行数和列数时，它们可以相加。
矩阵相加是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相加，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij + bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法定义与加法类似，对应位置的元素相减得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相减，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij - bij。
3. 矩阵的数量乘法矩阵与一个实数相乘，是将矩阵的每个元素都乘以该实数。
例如，对于矩阵A和实数k相乘，结果矩阵B的元素为：bij = k * aij。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A的转置矩阵AT，有AT 的第i行第j列元素为A的第j行第i列元素。
5. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的部分。
两个矩阵的乘法只有在满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。
如果A是一个m×p的矩阵，B是一个p×n的矩阵，它们的乘积为一个m×n的矩阵C。
矩阵的乘法运算过程中，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,p)b(p,j)。
以上就是矩阵的基本运算，矩阵运算的内容很广泛，包括了基本运算，特殊矩阵运算和矩阵运算的性质定理等。
矩阵的概念及其基本运算
第二讲 矩 阵一、矩阵的概念及其基本运算 1. 矩阵及其表示 ()()ij ijm n m na A a A ⨯⨯或或或基本矩阵:行矩阵 ()12,,,n A a a a =列矩阵 12n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭零矩阵 000000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭负矩阵 111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ∆---⎛⎫⎪---⎪=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭方阵()ij n nA a ⨯=⊃()()()()()()0 00 1, ij ij ij ii ii ij jia i j a i j a i j a a i a i a a i j =∀>=∀<=∀≠⊃=∀⊃=∀=∀上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵数量矩阵单位矩阵对称矩阵 (),ij ji a a i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=-∀⎪⎩反对称矩阵 特殊矩阵:可交换矩阵 AB BA =例如: 数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵, 即()()kE A A kE =秩1矩阵 例如: 不为零的行矩阵和列矩阵21ni i a αα='=∑2112122122212n n n n n a a a a a a aa a a a a a a a αα⎛⎫⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中()12,,,TT n a a a αο=≠2. 基本运算及其运算规律 相等 (1,2,,,1,2,,)ij ij a b i m j n ===A B B A =⇔= (交换律）, A B B C A C ==⇒= (传递律）加法 ()()()ijij ij ij m nm nm na b a b ⨯⨯⨯+=+A B B A +=+ (交换律）()()A B C A B C ++=++(结合律)()A O A A A O+=+-= (零矩阵的作用)数乘法 ()()ijij m nm nk a ka ⨯⨯=()()()()1A Akl A k lA k l A kA lA k A B kA lA==+=++=+（分配律）乘法 ()()()ijijij m pp nm na b c ⨯⨯⨯= （其中1pij ik kjk c a b==∑）()()AB C A BC =（结合律）()()()k AB kA B A kB ==（结合律） ()A B C AB AC +=+（左分配律）()A B C AC BC +=+（右分配律）m n n m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯==（单位矩阵的乘法作用）m n n p m p p m m n p n A O O O A O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯== (零矩阵的乘法作用)()()1 ,k k k l k llk kl kk k A A A A A A A A AB BA AB A B k l -+=====方阵的幂的性质)若则(以上与皆为正整数)(矩阵的转置 ()()T ijji m nn mA a A a ⨯⨯=⇒=()()()()TT TT T TTT TA AA B A B kA kA AB B A =+=+'==* 相等与加法运算的条件 * 乘法运算的条件* 乘法没有交换律 (例2.3, 例2.4, 例2.5)消去律 (例2.7)幂零律 (例如: 211,11A A O ⎛⎫==⎪--⎝⎭)3. 矩阵应用用矩阵表示线性变换 Y AX = 用矩阵表示线性方程组 AX B =二、逆矩阵1. 方阵行列式及其性质 方阵行列式 A A ⇒运算性质 TA A =11(0)n A AA A AAB BA A Bμμ--=≠===⋅2. 伴随矩阵及其性质伴随矩阵 1112121222*12Tn n n n nn A A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⇒⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭运算性质 **AA A A A E ==()()()()()***1*****2*1*(0)T T n n n A A kA k A k AB B A A AAA A---==≠===3. 逆矩阵及其性质若存在矩阵B , 使得AB BA E ==, 则称矩阵A 可逆, 称B 为A 的逆, 并记1B A -=.性质: 1)逆矩阵唯一.2)若,A B 是同阶可逆矩阵, 则AB 也是可逆矩阵, 且()111AB B A ---=.3)矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠.且当0A ≠时, 11AA A-*=. 4)若A 可逆,数0k ≠, 则1*,,,T A A A kA -都可逆, 且()()()()()()11111**11111TT A A A A A A A AkA A k--------=====5)若A 可逆, 则()()()011(,)kk k k l k llk klA EA A A A A A A A k l ---+=====以上皆为整数4. 判定矩阵可逆的几个条件 (1)矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠.(2)矩阵A 可逆的充要条件是, 存在矩阵B , 使得AB E BA E ==或. 5. 逆矩阵的计算方法(1)伴随矩阵法 当0A ≠时, 11AA A-*=. (2)初等变换法 ()()1 A E E A -→三、初等变换初等变换 P39初等矩阵 对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵 P39 初等矩阵有三种类型 []()(), P i j P i k P i j k +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 初等矩阵是可逆矩阵 []()(),= 1 = 1P i j P i k k P i j k -+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦初等矩阵的逆矩阵分别为[][]()()()1111,=, = P i j P i j P i k P i P i j k P i j k k ---⎡⎤⎛⎫+=+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦初等变换的性质:定理1(P41 定理2.7)[],i j r r A B P i j A B ↔→⇔= （[],i jc c A B AP i j B ↔→⇔=）()()0i r kk A B P i k A B ⨯≠→⇔=⎡⎤⎣⎦ （()()0i c kk A B AP i k B ⨯≠→⇔=⎡⎤⎣⎦） (),i j r kr A B P i j k A B +→⇔=⎡⎤⎣⎦ （(),i jc kc A B AP i j k B +→⇔=⎡⎤⎣⎦）定理2(P44 定理 2.10) 任何矩阵A 都与形如rE O O O ⎛⎫⎪⎝⎭的矩阵等价（其中r 由A 唯一决定）. r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭称为矩阵A 的等价标准形. 推论（P44 定理2.12） 对于任意矩阵A , 一定存在可逆矩阵P Q 和, 使得r E O PAQ O O ⎛⎫=⎪⎝⎭. 推论（P44 定理2.11） 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵, 即可逆矩阵等于初等矩阵之积.6. 逆矩阵应用利用逆矩阵解线性方程组 01A AXB X A B ≠-==()()1A B E A B -→利用逆矩阵求逆线性变换 01A Y AX X A Y ≠-== 四、分块矩阵分块对角阵 12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,,)iA i n =是方阵分块对角阵的性质: (1) 12n A A A A =⋅;(2) 若0(1,2,,)i A i n ≠=, 则111121n A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 五、习题解答 1. P49 8. 提示: ()()()()()()112242222A E AE A E A E A E A E --+-=++-=-=()()()()()11122222442A E AE A E A E E E A E ---+-=++-=-+=2. P49 10.提示: 11010143100010143100100201001100201001001120010001120010X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭010100100,001001010⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是第一种初等矩阵, 其逆是自己. 由定理2.7易得X . 3. P49 11.提示: ()()()()()111AB A B A E B A B A E A A E A E E E A E ---=+⇒-=⇒=-=--+=+-4. P50 13. 提示: ()()()()11111111nn P AP PAP P AP P AP P APP APP AP P A P --------===5. P49 12.提示: 运用P50 13.的结果：()1nP AP -=1n P A P -.6. P50 16.提示: 0***1A n n AA A E A A A A a ≠-=⇒== 7. P50 17. 提示: 设()ijn nA a ⨯=, 则0*210,1,,A nTTij j AA AA A E AA O a i n =====⇒==∑,A 是实数矩阵0,ij a ij A O ⇒=∀⇒=. 产生矛盾, 故0A ≠.8. P50 18. 证明: E A -可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设E A -可逆, D 是其逆, 则()E A D E -=, 于是2232111k k k k D AD E AD A D A A D A D A A D A D A D E A A ----=-=-=+-==+++因此, E A -可逆, 且()11k E A E A A ---=+++.9. P50 19. 证明: E BA +可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设E A -可逆, D 是其逆, 则()E A D E -=, 于是2232111k k k k D AD E AD A D A A D A D A A D A D A D E A A ----=-=-=+-==+++因此, E A -可逆, 且()11k E A E A A ---=+++.10. P50 22.结论: 与对角阵可交换的矩阵一定是对角阵. 11. P50 4结论: 上（下）三角矩阵的积是上（下）三角矩阵；对角矩阵的积是对角矩阵. 12. P51 5.提示: (1)一方面 12 =c c Amm nnn m m E B E BA B AE OE E E BA E BA --==⋅--另一方面 21 c c Bmm nn n E B E O AE AE AB E AB-=-=-(2)m n nE BE AB AE λλ-=121011() c c Am n n m n m m E BABOE E E BA E BAλλλλλλλλ-≠--=⋅-=-分块对角阵性质＝13. P51 6. 提示:()()()()()111211211211111111*********D CA B r A r r r r A Br A B E O EA B A O C D O E O D CA B CA E E O A A B D CA B CA D CA B CA O E D CA B CA D CA B -----------------------⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭六、知识扩展 1. 已知()11123,123αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 设A αβ'=, 求n A . 提示: ()()1nn nA αβαβαβ-'''==11111232332133312n n αβ--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2. 设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, E 为2阶单位矩阵, 矩阵B 满足2BA B E =+, 求B . （2006 数四）提示: ()22BA B E B A E E =+⇒-=()111111221111B A E ---⎛⎫⎛⎫⇒=-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 而(2)n ≥为正整数, 求12n n A A --. （1999 数三 四） (答案: O )（可试着推测结果）提示:22020402202A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()12222n n n A A A A A O --⇒-=-=4. 设010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 1B P AP -=, 其中P 为三阶可逆矩阵, 求200422B A -. (2004 数四) 提示: 24111A A E -⎛⎫⎪=-⇒=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭200421200421232223.1B A P A P A P P A --⎛⎫⎪-=-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭5. 设,,A B C 均为n 阶矩阵, 若,B E AB =+C A CA =+, 求B C -. （2005 数四） 提示: ()(),B E A E C E A A -=-=()() E A B C E A E A B C E-⎧⇒⎨--=-⎩⇒-=可逆 6. 设,,A B C 均为n 阶矩阵, 2,3A B ==-, 求*12A B-. （1998 数四） (答案: 2123n --)提示: 1*1*11222n n n A BA B AB---=⋅=. 7. 设矩阵211,3223A B A A E -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦, 求1B -. （2002 数四）提示: 方法一 先求出B , 再计算1B -方法二 由232B A A E =-+()()()()11122B A E A E B A E A E ---⇒=--⇒=--8. 设A 是任一(3)n n ≥阶方阵, k 为常数, 求()*kA . （1998 数二）提示: 方法一 因为kA 的余子式1n ij ij A k A -=, 故()*1*n kA k A -=.方法二 加强条件法 如果是选择题, 可设A 可逆, 0k ≠, 则()()*111*1n n kA kA kA k A A k A k---==⋅=. 9. 已知n 阶矩阵,A B 满足1()()B E A E A -=+-,证明: E B +可逆, 并求其逆. 若1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦, 求1()E B -+. （2000 数二） 提示: 方法一 1()()B E A E A -=+-,()()()22B AB E A E A B E A E E A E B E⇒+=-⇒+++=⇒++= 故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 方法二 1()()B E A E A -=+-,()111()(2)2()2()B E A E E A B E A E B E E A ---⇒=+-+⇒=+-⇒+=+故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 10. 已知矩阵,A B 满足124A B B E -=-, 证明矩阵2A E -可逆. 若120120002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求矩阵A .（2000 数二）提示: 由124A B B E -=-()()()()242428248AB B AA EB A E E A E B E E⇒-=⇒-=-+⇒--= 故2A E -可逆. 且()1284A E B E -=+-=11. 设矩阵X 满足*12,A X A X -=+ 求矩阵X . （1999 数二）提示: 由*12,A X A X -=+()()1222A X E AX A E A X E X A E A -⇒=+⇒-=⇒=- 12. 设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 且113,ABA BA E --=+ 求矩阵B . (2000 数一) 提示: 113,ABA BA E --=+()()()()1*11**33333()n AB B A A E B A E A B E A E A B A E B A A E A A A---⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=-=13. 矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA E +=++, 矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 求X . （2001数二）14. 已知n 阶矩阵,A B 满足条件AB B A -=, 求A . (若120210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦) (1999 数四） 提示: 由AB B A -=()()()1A EB E E A E B E -⇒--⇒=+-=15. 设矩阵,A B 满足关系式2AB A B =+, 求矩阵B . (若423110123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求B ) （1987 数三 四）16. 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-, 求B .(若100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求B ) （1998 数三 四）提示: 方法一*28A BA BA E =-,()()()**128(2,)2882A E BA E A E A B A E A BA A B A E A -⇒-=--⇒-=-⇒=--故，可逆方法二 若A 已知, 则A 必是可逆矩阵（方法一）, 则()()*11128282882A BA BA E A A B B A A E A B E B A E A ---=-⇒=-⇒-=-⇒=--17. 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 求满足AQ C =的可逆矩阵Q . （2004 数一）提示: 因为3212,c c c c A B B C +↔→→, 所以()()()1,2,3,21AP B BP C ==()()()()()()0111,23,211,23,21100001AP P C Q P P ⎛⎫⎪⇒=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭.18. 设A 为3阶矩阵, 将A 第2行加到第1行得B , 再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C , 记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则（A ）1C P AP -=; (B )1C PAP -=; (C )TC P AP =; (D )TC PAP =. （2006 数一）(答案: B ) 提示:11211121,r r c c r r c c A B B C A C +-+-→→⇒→1C PAP -∴=19. 设212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭, 111213212223313233,a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试给出,A B 间的关系式. 并证明,A B 同时可逆或同时不可逆.提示:1232r r r r A B ↔+→()()() 3,211,2 B P P A B A∴==-20. 设A 为()2n n ≥阶可逆矩阵, 交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为,A B 的伴随矩阵, 证明: 交换*A 的第1列与第2列得矩阵*B -. （2005 数一 二）。
高等数学矩阵
高等数学矩阵矩阵是高等数学中的重要概念之一，它在代数学、线性代数以及其他数学领域中起着重要作用。
矩阵由行和列组成，其中每个元素都可以是数字、符号或者是其他矩阵。
在本文中，我们将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及一些常见的矩阵类型。
一、矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的元素所组成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
我们用大写字母来表示矩阵，比如A、B 等。
矩阵中的每个元素用小写字母加上下标来表示，比如a11表示矩阵A中第一行第一列的元素。
二、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。
2. 矩阵的减法：对应位置的元素相减，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
矩阵相乘的结果为一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
4. 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素与一个数相乘，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。
三、常见的矩阵类型1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵，记作I。
3. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
4. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。
5. 上三角矩阵：主对角线及其以下的元素都不为0的矩阵。
6. 下三角矩阵：主对角线及其以上的元素都不为0的矩阵。
四、矩阵的应用领域1. 线性代数：矩阵在线性代数中起着至关重要的作用，它可以用来表示线性方程组、向量空间以及线性变换等概念。
2. 统计学：矩阵在统计学中用于处理大量的数据，如多元线性回归、主成分分析等。
3. 物理学：矩阵在物理学中用于描述物体的状态、运动以及相互作用等。
4. 电脑图形学：矩阵在电脑图形学中用于表示图像的变换、旋转、缩放等操作。
总结：矩阵作为高等数学中的重要概念，其应用广泛且不可忽视。
我们在学习和应用矩阵时，需要掌握矩阵的基本概念和运算规则，了解常见的矩阵类型，并将其运用于各个领域中。
大学高等数学第六章2矩阵及其运算
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
编辑ppt
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
D4 2
要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵
来表示。
编辑ppt
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 编辑ppt
●矩阵的减法
a11
设
A
a m1
a1n
a mn
Am nAm nO m n
，则称矩阵
a11 a m1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A
。
a mn
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n编辑ppt
作AB 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0
0
2 0
0
2
2 0
高数-矩阵的概念及运算
a21 a22
an1 an2
an1 an2 ann
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
x1 2x2 3x3 8, 1 2 3
5x2 2x3 4,
2 x1
3x3 2
0 2
10 6 5
2
3 1
求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5
1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
M
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2 L amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
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a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
说明
只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法
运算.
例如 (即引例)
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1
《方程》章的解法为
“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右 方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直 除。又乘其次, 亦以直除……” (直除——减去对应 的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：
用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减 去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数——上禾每 秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右 行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:
行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个 矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。
零矩阵 矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。
0
0
k 1
2 5
0
0
O
k 2 1
即
0
5
2
k
1
转置矩阵AT
a11 a12 A a21 a22
a1n a2n
an1
an2
ann
2.2 矩阵及其运算
矩阵也是是线性代数的重要工 具，矩阵理论的应用，最常见 也最重要的就是解线性方程组。
温州大学教育学院 王靖庶
本节知识点和教学要求
知识点
– 矩阵的概念 -矩阵的加减和倍数
– 矩阵的乘法 -初等变换和矩阵的秩
– 逆矩阵
-求解可逆矩阵方程
教学要求
– 熟练掌握矩阵运算的基本法则
– 熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩
150
35
400 300
15 35
'
从矩阵 A ＋ B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男 性技术人员、生产工人、其他职工分别为150 、 400 、 15 人，而女性职工分别为 35 、 300 、 35 人．
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
– 熟练运用初等变换求矩阵的逆
– 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程
2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)
51吋 47吋 42吋
简记为
一分店 7
3
5
7 3 5
二分店 1
2
0
1 2 0
某商店下半年电视销售情况(单位:百台)
一分店 二分店
51吋 10 2
47吋 6 3
42吋 5 1
中国古代算书《九章算术》 中的“方程”
刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。 “程，课程也。群物总杂, 各列有数，总言其实。 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如 物数程之，并列为行，故谓之方程.”
这段话的意思可以从《方程》 章的第一道题看 出, 题目是 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾 一秉，实三十九斗; 上禾二秉，中禾三秉，下禾 一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉, 下禾 三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各 几何?” ( 秉——捆)
向量:1 × n阶矩阵——行向量,
n × 1阶矩阵——列向量.
• 矩阵的简记法:
– (aij)mn
–用行向量表示
A1, A2, An
–用列向量表示
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
Bm
矩阵的相等
矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才 相等.
行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!
(零矩阵的单位性)
(4)A + BT = AT + BT.
(保持转置性)
(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法
a11
A
=
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
aij
,
amn
称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B.
这就是矩阵的减法
例2.2.1 设某公司的职工按男女区分统计如下
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
10 6 5
2
3 1
求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5
1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2
amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2) 矩阵加法的运算规律
1 A + B = B + A; (交换性) 2 A + B + Α + Ο = Ο + Α = Α.
a11 a21 AT a12 a22
aann12
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
1x1 2x2 3x3 8, 0 55x2 22x3 44, 22x1 0 3x3 2
的系数矩阵和增广矩阵分别是 n元线性方程组的情况见教材127页。
总公司
分公司
技术人员 生产工人 其他 技术人员 生产工人 其他
男
50
100
5
100
300
10
女
10
200
15
25
100
20
我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职 工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A ＋ B 表示，即
A
B
50 10
100 200
5 15
100
25
300 100
10 20