高数-矩阵的概念及运算
高等数学教材矩阵
高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。
本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。
我们用大写字母A、B等来表示矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。
3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。
三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。
3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。
2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。
3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。
4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。
五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。
2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。
3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。
总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
大学高等数学第六章2矩阵及其运算
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
编辑ppt
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
D4 2
要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵
来表示。
编辑ppt
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 编辑ppt
●矩阵的减法
a11
设
A
a m1
a1n
a mn
Am nAm nO m n
，则称矩阵
a11 a m1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A
。
a mn
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n编辑ppt
作AB 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0
0
2 0
0
2
2 0
高数-矩阵的概念及运算
a21 a22
an1 an2
an1 an2 ann
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
x1 2x2 3x3 8, 1 2 3
5x2 2x3 4,
2 x1
3x3 2
0 2
10 6 5
2
3 1
求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5
1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
M
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2 L amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
矩阵的定义与基本运算
矩阵的定义与基本运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如数学、物理、计算机科学等。
它是由一组数按照规定的排列方式组成的矩形阵列。
在本文中，我们将探讨矩阵的定义、基本运算以及其在实际应用中的重要性。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个大写字母表示，如A、B等。
一个m行n列的矩阵可以表示为A=[a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。
矩阵中的每个元素a_ij都是一个实数或复数。
矩阵的行数m和列数n分别称为矩阵的维数，记作m×n。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m×n，则它们的和记作C=A+B，其中C的维数也是m×n。
具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素与B的第i行第j列的元素之和。
2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。
如果矩阵A的维数是m×n，常数k是一个实数或复数，则kA表示将A的每个元素都乘以k得到的新矩阵。
具体而言，kA的第i行第j列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
如果矩阵A的维数是m×n，矩阵B的维数是n×p，则它们的乘积记作C=AB，其中C的维数是m×p。
具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素分别相乘后再相加得到的结果。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
如果矩阵A的维数是m×n，则它的转置记作A^T，维数是n×m。
具体而言，A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
三、矩阵在实际应用中的重要性矩阵在实际应用中具有广泛的重要性。
以下是矩阵在几个领域中的应用示例：1. 线性代数矩阵在线性代数中起着重要的作用。
线性方程组的求解可以通过矩阵的运算来实现。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。
矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。
矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。
例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。
矩阵知识点归纳范文
矩阵知识点归纳范文矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有广泛的应用。
矩阵可以表示一个线性方程组的系数矩阵，也可以用于描述图像处理、网络分析等领域。
以下是矩阵的基础知识点的归纳：1.矩阵的定义与表示：矩阵是一个有序的数表，通常用大写字母表示。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵通常用方括号[]或圆括号(表示，不同的元素用逗号或空格隔开。
矩阵的行数与列数分别称为矩阵的阶。
2.矩阵的运算：-矩阵的加法：两个相同阶的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
-矩阵的乘法：两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示为A*B=C。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行。
转置后的矩阵记作A^T。
转置满足以下性质：-(A^T)^T=A-(A+B)^T=A^T+B^T-(k*A)^T=k*A^T4.矩阵的逆：对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得A*B=B*A=I，其中I是单位矩阵，则称A可逆，B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
要求A可逆的一个必要条件是A的行列式不等于零。
逆矩阵满足以下性质：-(A^(-1))^(-1)=A-(A*B)^(-1)=B^(-1)*A^(-1)-(k*A)^(-1)=(1/k)*A^(-1)5.矩阵的行列式：矩阵 A 的行列式用 det(A) 表示，是一个数值，用于判断矩阵是否可逆。
行列式满足以下性质：- 如果 A 的其中一行（列）为 0，或者 A 的两行（列）相同，则det(A)=0。
-交换A的两行（列），行列式的值取负。
-如果A的其中一行（列）的元素全部乘以一个非零常数k，行列式的值乘以k。
-将A的其中一行（列）的元素与另一行（列）对应位置的元素相加乘以一个常数k，行列式的值不变。
6.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵行（列）的最大线性无关组中的向量个数。
秩可以用来判断矩阵的行（列）是否线性相关。
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则矩阵是数学中的一种重要工具，用于表示数字和符号的矩形阵列。
矩阵由m行n列的数字或符号排列组成，每个数字或符号称为矩阵的元素。
矩阵通常用大写字母表示，例如A，B，C等。
矩阵的大小由它的行数和列数决定，并用m×n表示。
矩阵的运算规则包括加法、减法、数乘和乘法四种运算。
1.加法：对应位置上的元素相加对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的加法定义如下：A+B=C其中C的元素由对应位置上的两个矩阵元素相加得到。
2.减法：对应位置上的元素相减对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的减法定义如下：A-B=D其中D的元素由对应位置上的两个矩阵元素相减得到。
3.数乘：矩阵的每个元素与一个标量相乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘定义如下：kA=E其中E的元素由矩阵A的每个元素与k相乘得到。
4.乘法：矩阵的行与列的对应元素相乘后求和对于两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘法定义如下：AB=F其中F是一个m×p的矩阵，F的每个元素由矩阵A的其中一行与矩阵B的对应列的元素相乘后求和得到。
矩阵的运算满足以下一些基本性质：1.加法的交换律：A+B=B+A2.加法的结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.加法的零元素：存在一个零矩阵O，满足A+O=A4.减法的定义：A-B=A+(-B)5.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)6.数乘的分配律：(k1+k2)A=k1A+k2A7.数乘的分配律：k(A+B)=kA+kB8.乘法的结合律：(AB)C=A(BC)9.乘法的分配律：A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC10.乘法的分配律：k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵的运算在应用中具有广泛的应用，包括线性代数、计算机图形学、优化、概率论等。
通过矩阵的运算规则，可以对线性方程组进行求解、描述线性变换、优化问题、图像处理等。
矩阵的运算规则是学习线性代数和其他数学领域的重要基础知识。
2.2高等数学矩阵的运算
(2) 结合律: (A+B)+C = A+(B+C).
(3)
A
a11
a21
am1
a12
a22
am1
a1n
a2n
amn
aij
.
称为矩阵A的负矩阵.
(4) A+(–A) = O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
x7 3
=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3
a11 x12
a22 x22
a33
x
2 3
(a12 a21 )x1 x2 (a13 a31 )x1 x3 (a23 a32 )x2 x3 .
4、共轭矩阵 定义: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用aij表示aij 的共轭 复数, 记A (aij ), 称 A 为A 的共轭矩阵. 运算性质
设A, B为复矩阵, 为复数, 且运算都是可行的, 则:
1 A B A B;
2 A A;
3 AB AB.
16
五、小结 加法 数与矩阵相乘
方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是: –A=AT.
例7: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E 为n 阶单位矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且
HHT = E.
证明: 因为 HT = (E – 2XXT)T = ET– 2(XXT)T = E – 2XXT = H.
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接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
a21 a22
an1 an2
an1 an2 ann
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
x1 2x2 3x3 8, 1 2 3
5x2 2x3 4,
2 x1
3x3 2
0 2
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
说明
只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法
运算.
例如 (即引例)
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1
150
2.2 矩阵及其运算
矩阵也是是线性代数的重要工 具，矩阵理论的应用，最常见 也最重要的就是解线性方程组。
本节知识点和教学要求
知识点
– 矩阵的概念 -矩阵的加减和倍数
– 矩阵的乘法 -初等变换和矩阵的秩
– 逆矩阵
-求解可逆矩阵方程
教学要求
– 熟练掌握矩阵运算的基本法则
– 熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩
总公司
分公司
技术人员 生产工人 其他 技术人员 生产工人 其他
男
50
100
5
100
300
10
女
10
200
15Βιβλιοθήκη 2510020我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职 工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A ＋ B 表示，即
A
B
50 10
100 200
5 15
100
25
300 100
10 20
– 熟练运用初等变换求矩阵的逆
– 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程
2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)
51吋 47吋 42吋
简记为
一分店 7
3
5
7 3 5
二分店 1
2
0
1 2 0
某商店下半年电视销售情况(单位:百台)
一分店 二分店
51吋 10 2
47吋 6 3
42吋 5 1
行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个 矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。
零矩阵 矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。
0
0
k 1
2 5
0
0
O
k 2 1
即
0
5
2
k
1
转置矩阵AT
a11 a12 A a21 a22
a1n a2n
AT
a11 a12
(零矩阵的单位性)
(4)A + BT = AT + BT.
(保持转置性)
(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法
a11 a12 L
A
=
a21
a22
L
L L L
am1
am1
L
a1n
a2n
L
aij
,
amn
称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B.
这就是矩阵的减法
例2.2.1 设某公司的职工按男女区分统计如下
向量:1 × n阶矩阵——行向量,
n × 1阶矩阵——列向量.
• 矩阵的简记法:
– (aij)mn –用行向量表示
–用列向量表示
A1, A2,L An
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
M
Bm
矩阵的相等
矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才 相等.
行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!
5 0
2 3
8
4 2
的系数矩阵和增广矩阵分别是 n元线性方程组的情况见教材127页。
中国古代算书《九章算术》 中的“方程”
刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。 “程，课程也。群物总杂, 各列有数，总言其实。 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如 物数程之，并列为行，故谓之方程.”
这段话的意思可以从《方程》 章的第一道题看 出, 题目是 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾 一秉，实三十九斗; 上禾二秉，中禾三秉，下禾 一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉, 下禾 三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各 几何?” ( 秉——捆)
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
《方程》章的解法为
“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右 方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直 除。又乘其次, 亦以直除……” (直除——减去对应 的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：
用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减 去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数——上禾每 秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右 行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2) 矩阵加法的运算规律
1 A + B = B + A; (交换性) 2 A + B +C = A + B +C. (结合性)
3 Α + Ο = Ο + Α = Α.
10 6 5
2
3 1
求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5
1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
M
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2 L amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.