高数-矩阵的概念及运算
高等数学教材矩阵
高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。
本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。
我们用大写字母A、B等来表示矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。
3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。
三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。
3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。
2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。
3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。
4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。
五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。
2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。
3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。
总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
大学高等数学第六章2矩阵及其运算
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
编辑ppt
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
D4 2
要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵
来表示。
编辑ppt
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 编辑ppt
●矩阵的减法
a11
设
A
a m1
a1n
a mn
Am nAm nO m n
，则称矩阵
a11 a m1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A
。
a mn
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n编辑ppt
作AB 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0
0
2 0
0
2
2 0
高数-矩阵的概念及运算
a21 a22
an1 an2
an1 an2 ann
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
x1 2x2 3x3 8, 1 2 3
5x2 2x3 4,
2 x1
3x3 2
0 2
10 6 5
2
3 1
求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5
1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
M
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2 L amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
矩阵的定义与基本运算
矩阵的定义与基本运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如数学、物理、计算机科学等。
它是由一组数按照规定的排列方式组成的矩形阵列。
在本文中，我们将探讨矩阵的定义、基本运算以及其在实际应用中的重要性。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个大写字母表示，如A、B等。
一个m行n列的矩阵可以表示为A=[a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。
矩阵中的每个元素a_ij都是一个实数或复数。
矩阵的行数m和列数n分别称为矩阵的维数，记作m×n。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m×n，则它们的和记作C=A+B，其中C的维数也是m×n。
具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素与B的第i行第j列的元素之和。
2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。
如果矩阵A的维数是m×n，常数k是一个实数或复数，则kA表示将A的每个元素都乘以k得到的新矩阵。
具体而言，kA的第i行第j列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
如果矩阵A的维数是m×n，矩阵B的维数是n×p，则它们的乘积记作C=AB，其中C的维数是m×p。
具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素分别相乘后再相加得到的结果。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
如果矩阵A的维数是m×n，则它的转置记作A^T，维数是n×m。
具体而言，A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
三、矩阵在实际应用中的重要性矩阵在实际应用中具有广泛的重要性。
以下是矩阵在几个领域中的应用示例：1. 线性代数矩阵在线性代数中起着重要的作用。
线性方程组的求解可以通过矩阵的运算来实现。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。
矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。
矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。
例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。
矩阵知识点归纳范文
矩阵知识点归纳范文矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有广泛的应用。
矩阵可以表示一个线性方程组的系数矩阵，也可以用于描述图像处理、网络分析等领域。
以下是矩阵的基础知识点的归纳：1.矩阵的定义与表示：矩阵是一个有序的数表，通常用大写字母表示。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵通常用方括号[]或圆括号(表示，不同的元素用逗号或空格隔开。
矩阵的行数与列数分别称为矩阵的阶。
2.矩阵的运算：-矩阵的加法：两个相同阶的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
-矩阵的乘法：两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示为A*B=C。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行。
转置后的矩阵记作A^T。
转置满足以下性质：-(A^T)^T=A-(A+B)^T=A^T+B^T-(k*A)^T=k*A^T4.矩阵的逆：对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得A*B=B*A=I，其中I是单位矩阵，则称A可逆，B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
要求A可逆的一个必要条件是A的行列式不等于零。
逆矩阵满足以下性质：-(A^(-1))^(-1)=A-(A*B)^(-1)=B^(-1)*A^(-1)-(k*A)^(-1)=(1/k)*A^(-1)5.矩阵的行列式：矩阵 A 的行列式用 det(A) 表示，是一个数值，用于判断矩阵是否可逆。
行列式满足以下性质：- 如果 A 的其中一行（列）为 0，或者 A 的两行（列）相同，则det(A)=0。
-交换A的两行（列），行列式的值取负。
-如果A的其中一行（列）的元素全部乘以一个非零常数k，行列式的值乘以k。
-将A的其中一行（列）的元素与另一行（列）对应位置的元素相加乘以一个常数k，行列式的值不变。
6.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵行（列）的最大线性无关组中的向量个数。
秩可以用来判断矩阵的行（列）是否线性相关。
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则矩阵是数学中的一种重要工具，用于表示数字和符号的矩形阵列。
矩阵由m行n列的数字或符号排列组成，每个数字或符号称为矩阵的元素。
矩阵通常用大写字母表示，例如A，B，C等。
矩阵的大小由它的行数和列数决定，并用m×n表示。
矩阵的运算规则包括加法、减法、数乘和乘法四种运算。
1.加法：对应位置上的元素相加对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的加法定义如下：A+B=C其中C的元素由对应位置上的两个矩阵元素相加得到。
2.减法：对应位置上的元素相减对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的减法定义如下：A-B=D其中D的元素由对应位置上的两个矩阵元素相减得到。
3.数乘：矩阵的每个元素与一个标量相乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘定义如下：kA=E其中E的元素由矩阵A的每个元素与k相乘得到。
4.乘法：矩阵的行与列的对应元素相乘后求和对于两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘法定义如下：AB=F其中F是一个m×p的矩阵，F的每个元素由矩阵A的其中一行与矩阵B的对应列的元素相乘后求和得到。
矩阵的运算满足以下一些基本性质：1.加法的交换律：A+B=B+A2.加法的结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.加法的零元素：存在一个零矩阵O，满足A+O=A4.减法的定义：A-B=A+(-B)5.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)6.数乘的分配律：(k1+k2)A=k1A+k2A7.数乘的分配律：k(A+B)=kA+kB8.乘法的结合律：(AB)C=A(BC)9.乘法的分配律：A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC10.乘法的分配律：k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵的运算在应用中具有广泛的应用，包括线性代数、计算机图形学、优化、概率论等。
通过矩阵的运算规则，可以对线性方程组进行求解、描述线性变换、优化问题、图像处理等。
矩阵的运算规则是学习线性代数和其他数学领域的重要基础知识。
2.2高等数学矩阵的运算
(2) 结合律: (A+B)+C = A+(B+C).
(3)
A
a11
a21
am1
a12
a22
am1
a1n
a2n
amn
aij
.
称为矩阵A的负矩阵.
(4) A+(–A) = O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
x7 3
=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3
a11 x12
a22 x22
a33
x
2 3
(a12 a21 )x1 x2 (a13 a31 )x1 x3 (a23 a32 )x2 x3 .
4、共轭矩阵 定义: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用aij表示aij 的共轭 复数, 记A (aij ), 称 A 为A 的共轭矩阵. 运算性质
设A, B为复矩阵, 为复数, 且运算都是可行的, 则:
1 A B A B;
2 A A;
3 AB AB.
16
五、小结 加法 数与矩阵相乘
方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是: –A=AT.
例7: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E 为n 阶单位矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且
HHT = E.
证明: 因为 HT = (E – 2XXT)T = ET– 2(XXT)T = E – 2XXT = H.
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是现代数学中的一种重要数学工具，广泛应用于各个学科领域。
在线性代数中，矩阵是最基本的对象之一，研究的对象是矩阵的性质和运算规律。
本文将对矩阵的知识点进行完整归纳。
一、矩阵的定义与表示方法矩阵是m行n列的数表，由m×n个数组成。
它可以用方括号“[ ]”表示，其中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵的第i行第j列的元素记作a_ij。
二、矩阵的运算1.矩阵的加法：对应元素相加。
2.矩阵的减法：对应元素相减。
3.矩阵与标量的乘法：矩阵的每个元素都乘以该标量。
4.矩阵的乘法：第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列，求和得到结果矩阵的对应元素。
5.矩阵的转置：将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
6.矩阵的逆：如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，则称A为可逆矩阵。
三、特殊矩阵1.零矩阵：所有元素均为0的矩阵。
2.单位矩阵：对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵。
3.对称矩阵：转置后与原矩阵相等的矩阵。
4.上三角矩阵：主对角线以下的元素均为0的矩阵。
5.下三角矩阵：主对角线以上的元素均为0的矩阵。
6.对角矩阵：只有主对角线上有非零元素，其余元素均为0的矩阵。
7.可逆矩阵：存在逆矩阵的方阵。
8.奇异矩阵：不可逆的方阵。
四、矩阵的性质和定理1.矩阵的迹：矩阵主对角线上元素之和。
2.矩阵的转置积：(AB)^T=B^TA^T。
3.矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律：AB≠BA。
4.矩阵的乘法满足分配律：A(B+C)=AB+AC。
5.矩阵的行列式：用于判断矩阵是否可逆，计算方式为按行展开法或按列展开法。
6.矩阵的秩：矩阵的列向量或行向量的极大无关组中的向量个数。
7.矩阵的特征值与特征向量：Ax=λx，其中λ为特征值，x为特征向量。
8.矩阵的迹与特征值之间的关系：矩阵的迹等于特征值之和。
五、应用领域1.线性方程组的求解：通过矩阵运算可以求解线性方程组。
2.三角形面积计算：通过矩阵的行列式可以求解三角形的面积。
高一数学必修一 - 矩阵知识点总结
高一数学必修一 - 矩阵知识点总结
1. 矩阵的定义
矩阵是由数个数按一定规律排列成的矩形阵列。
一般用大写字
母表示矩阵，如A、B等。
2. 矩阵的基本运算
2.1 矩阵的加法
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数相等，对应位置上的元
素相加。
2.2 矩阵的数乘
即将矩阵的每个元素都乘以一个数。
2.3 矩阵的乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
3. 矩阵的转置
将矩阵的行变为列，列变为行，得到的新矩阵称为原矩阵的转
置矩阵。
4. 矩阵的特殊类型
4.1 零矩阵
所有元素都为0的矩阵。
4.2 单位矩阵
对角线上元素都为1，其余元素为0的矩阵。
4.3 对称矩阵
矩阵A的转置矩阵等于矩阵A本身。
4.4 三角矩阵
上三角矩阵或下三角矩阵，除了对角线上及其以下或以上的元素外，其余元素都为0。
5. 矩阵的逆
如果一个矩阵A与另一个矩阵B相乘等于单位矩阵，那么矩阵A就称为可逆矩阵，B称为其逆矩阵。
6. 矩阵的应用
矩阵在线性代数、几何学、计算机科学等领域有广泛应用，常用于表示线性方程组、图像处理、网络分析等问题。
以上是高一数学必修一中关于矩阵的知识点总结。
参考资料：。
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接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
a21 a22
an1 an2
an1 an2 ann
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
x1 2x2 3x3 8, 1 2 3
5x2 2x3 4,
2 x1
3x3 2
0 2
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
说明
只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法
运算.
例如 (即引例)
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1
150
2.2 矩阵及其运算
矩阵也是是线性代数的重要工 具，矩阵理论的应用，最常见 也最重要的就是解线性方程组。
本节知识点和教学要求
知识点
– 矩阵的概念 -矩阵的加减和倍数
– 矩阵的乘法 -初等变换和矩阵的秩
– 逆矩阵
-求解可逆矩阵方程
教学要求
– 熟练掌握矩阵运算的基本法则
– 熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩
总公司
分公司
技术人员 生产工人 其他 技术人员 生产工人 其他
男
50
100
5
100
300
10
女
10
200
15Βιβλιοθήκη 2510020我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职 工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A ＋ B 表示，即
A
B
50 10
100 200
5 15
100
25
300 100
10 20
– 熟练运用初等变换求矩阵的逆
– 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程
2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)
51吋 47吋 42吋
简记为
一分店 7
3
5
7 3 5
二分店 1
2
0
1 2 0
某商店下半年电视销售情况(单位:百台)
一分店 二分店
51吋 10 2
47吋 6 3
42吋 5 1
行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个 矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。
零矩阵 矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。
0
0
k 1
2 5
0
0
O
k 2 1
即
0
5
2
k
1
转置矩阵AT
a11 a12 A a21 a22
a1n a2n
AT
a11 a12
(零矩阵的单位性)
(4)A + BT = AT + BT.
(保持转置性)
(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法
a11 a12 L
A
=
a21
a22
L
L L L
am1
am1
L
a1n
a2n
L
aij
,
amn
称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B.
这就是矩阵的减法
例2.2.1 设某公司的职工按男女区分统计如下
向量:1 × n阶矩阵——行向量,
n × 1阶矩阵——列向量.
• 矩阵的简记法:
– (aij)mn –用行向量表示
–用列向量表示
A1, A2,L An
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
M
Bm
矩阵的相等
矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才 相等.
行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!
5 0
2 3
8
4 2
的系数矩阵和增广矩阵分别是 n元线性方程组的情况见教材127页。
中国古代算书《九章算术》 中的“方程”
刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。 “程，课程也。群物总杂, 各列有数，总言其实。 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如 物数程之，并列为行，故谓之方程.”
这段话的意思可以从《方程》 章的第一道题看 出, 题目是 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾 一秉，实三十九斗; 上禾二秉，中禾三秉，下禾 一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉, 下禾 三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各 几何?” ( 秉——捆)
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
《方程》章的解法为
“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右 方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直 除。又乘其次, 亦以直除……” (直除——减去对应 的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：
用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减 去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数——上禾每 秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右 行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2) 矩阵加法的运算规律
1 A + B = B + A; (交换性) 2 A + B +C = A + B +C. (结合性)
3 Α + Ο = Ο + Α = Α.
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求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5
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定义
矩阵——矩形数表
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
M
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2 L amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.