二轮专题复习(理) 专题五 第三节 圆锥曲线的综合问题
高考数学2轮复习专题5解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练文51
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(x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )·(2x 2＋2－2p )＝0 , 5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0 ,把x 1＋x 2＝4p ,x 1x 2＝－4p 代入得4p 2＋3p －1＝0 ,解得p ＝14或p ＝－1(舍去)．因此存在实数p ＝14,使得|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|成立．11．(2021·唐山一模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a b 在椭圆上 ,O为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P ,M ,N 为椭圆C 上的三点 ,假设四边形OPMN 为平行四边形 ,证明四边形OPMN 的面积S 为定值 ,并求该定值．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22 ,所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12,得a 2＝2b 2,①又点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a b 在椭圆C 上 ,所以b 2a 2＋a 2b4＝1 ,②联立①、②得a 2＝8 ,且b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线PN 的斜率k 不存在时 ,PN 的方程为x ＝2或x ＝－ 2 ,从而有|PN |＝2 3 ,S ＝12|PN |·|OM |＝12×23×22＝26；当直线PN 的斜率k 存在时 ,设直线PN 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0) ,P (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2)；将PN 的方程代入C 整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0 , 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2 ,x 1·x 2＝2m 2－81＋2k2 ,y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2. 由OM →＝OP →＋ON →, 得M⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4km1＋2k 2 2m 1＋2k 2. 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2. 又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k2,|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ,S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝2 6.综上可知 ,平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6.[典例] (本小题总分值12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ,直线l 过点B (1 ,0)且与x 轴不重合 ,l 交圆A 于C ,D 两点 ,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值 ,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1 ,直线l 交C 1于M ,N 两点 ,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点 ,求四边形MPNQ 面积的取值范围．标准解答：(1)因为|AD |＝|AC | ,EB ∥AC , 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ,所以|EB |＝|ED | , 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16 ,从而圆心A (－1 ,0) ,|AD |＝4. 所以|EA |＋|EB |＝4.(2分)又因为B (1 ,0) ,所以|AB |＝2 ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(4分)(2)解：当l 与x 轴不垂直时 ,设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0) ,M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1 ) x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0 ,那么x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3 ,x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3,所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12 (k 2＋1 )4k 2＋3.(6分) 过点B (1 ,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1) ,点A 到直线m 的距离为2k 2＋1,所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.(8分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3.(9分) 可得当l 与x 轴不垂直时 ,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12 ,83)．(10分) 当l 与x 轴垂直时 ,其方程为x ＝1 ,|MN |＝3 ,|PQ |＝8 , 故四边形MPNQ 的面积为12.综上可知 ,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12 ,83)．(12分)1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义 ,能根据圆锥曲线定义判断曲线类型 ,如此题第(1)问就涉及椭圆的定义．2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时 ,应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解 ,易出现忽略斜率不存在的情况 ,导致扣分 ,如此题第(2)问中的得分10分 ,导致失2分.3．写全得分关键：在解析几何类解答题中 ,直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程 ,根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点 ,在解答时一定要写清楚．解题程序 第|一步：利用条件与几何性质 ,求|EA |＋|EB |＝4. 第二步：由定义 ,求点E 的轨迹方程x 24＋y 23＝1(y ≠0)．第三步：联立方程 ,用斜率k 表示|MN |.第四步：用k 表示出|PQ | ,并得出四边形的面积．第五步：结合函数性质 ,求出当k 存在时S 的取值范围． 第六步：求出斜率不存在时面积S 的值 ,正确得出结论．[跟踪训练] (2021·郴州三模)抛物线E ：y 2＝8x ,圆M ：(x －2)2＋y 2＝4 ,点N 为抛物线E 上的动点 ,O 为坐标原点 ,线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C .(导学号 55410057)(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0 ,y 0)(x 0≥5)是曲线C 上的点 ,过点Q 作圆M 的两条切线 ,分别与x 轴交于A ,B 两点 ,求△QAB 的面积的最|小值．解：(1)设P (x ,y ) ,那么点N (2x ,2y )在抛物线E ：y 2＝8x 上 ,所以4y 2＝16x ,所以曲线C 的方程为y 2＝4x ；(2)设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 令y ＝0 ,得x ＝x 0－y 0k.圆心(2 ,0)到切线的距离d ＝|2k ＋y 0－kx 0|k 2＋1＝2 ,整理得(x 20－4x 0)k 2＋(4y 0－2x 0y 0)k ＋y 20－4＝0. 设两条切线的斜率分别为k 1 ,k 2 , 那么k 1＋k 2＝2x 0y 0－4y 0x 20－4x 0 ,k 1k 2＝y 20－4x 20－4x 0.所以△QAB 面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－y 0k 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－y 0k 2y 0＝2·x 20x 0－1.设t ＝x 0－1∈[4 ,＋∞) ,那么f (t )＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t＋2在[4 ,＋∞)上单调递增 , 所以f (t )≥252 ,即△QAB 面积的最|小值为252.。
高考数学二轮复习第一部分专题篇专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用一课件理
(2)令 t＝m1 ∈－ 26，0∪0， 26，则|AB|＝
t2＋1·
－2t2t＋4＋122t2＋32，
且
O
到直线
AB
的距离
d＝
t2＋12 t2＋1.
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考点(kǎo diǎn)一
设△AOB 的面积为 S(t)，所以
考点(kǎo diǎn)一
S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤ 22，
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考点(kǎo diǎn)一
试题
解析
考点(kǎo diǎn) [例 2](2016·宜春中学模拟)设椭圆 M：ya22＋xb22＝1(a>b>0)的离心率
一
与双曲线 x2－y2＝1 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为 4.
考点(kǎo diǎn)
二
(1)求椭圆 M 的方程；
考点三
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考点
试题
解析
(kǎo diǎn)二
因为①式关于 k1，k2 的方程有解的充要条件是
1＋a2(a2－2)>1，
考点(kǎo diǎn) 所以 a> 2.
一
考点(kǎo diǎn)
因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要
二
条件为 1<a≤ 2.
考点三
由 e＝ac＝
(1)设直线 y＝kx＋1 被椭圆截得的线段为 AM，由xa22＋y2＝1
得
(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0， 故 x1＝0，x2＝－1＋2aa2k2k2.
因此|AM|＝ 1＋k2|x1－x2|＝12＋a2a|k2k| 2· 1＋k2.
(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有
高考数学二轮复习专题5.3圆锥曲线的热点问题精练理
第3讲 圆锥曲线的热点问题(建议用时：70分钟)一、选择题1．(2015·丽水调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( )．A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5]解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b a≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2.答案 B2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )．A.74 B ．2 C.94D ．4 解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案 C3．(2015·四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )．A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析 焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D. 答案 D4．(2015·新课标全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析 由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33， 所以－33<y 0<33. 答案 A5．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )． A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 由题意知r 1＝10，r 2＝2c ，且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <5⇒1<25c2<4， ∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c5－c；e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c2－1>13. 答案 B6．(2015·重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意A (a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D (x,0)，由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x ·b 2a a －c ＝－1，解得c －x ＝b 4a 2c －a ，所以c －x ＝b 4a 2c －a ＜a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，所以b 4a 2＜c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2＜1⇒0＜ba＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1,0)∪(0,1)，选A. 答案 A7．(2014·湖北卷)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )．A.433 B.233C ．3D ．2 解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆，双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3，得4c2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2.r 2＝a 1－a 2，∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c.令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12－r 2r 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 1－122＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1c max ＝433， 即1e 1＋1e 2的最大值为433. 答案 A 二、填空题8．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 答案 69．(2015·杭州调研)已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得d 1＋d 2＝|PA |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2，|PF |＋d 2大于或等于焦点F 到直线l 的距离， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1.答案522－1 10．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________． 解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 答案2211．(2015·金华模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析 由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2. 答案 (1,2)12．设F 1是椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则PF 1→·PO →的最大值为________．解析 设P (x 0，y 0)，依题意可得F 1(－3，0)，则PF 1→·P O →＝x 20＋y 20＋3x 0＝x 20＋1－x 204＋3x 0＝3x 204＋3x 0＋1＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2332.又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，PF 1→·P O →取得最大值4＋2 3. 答案 4＋2 3 三、解答题13．(2015·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1＜n ＜1. 直线PA 的方程为y －1＝n －1mx . 所以x M ＝m1－n，即M ⎝⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称， 所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1. 所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．14．(2015·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值． 解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 2＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k ＝2k 2＋4－m 2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t ≤1， 因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所在△ABQ 面积的最大值为6 3.15．(2015·天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c ＋y 22c ＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝c ＋c2＋⎝⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x2x ＋2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.。
2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合应用
第三讲 圆锥曲线的综合应用 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题1．(2018·云南师大附中质检)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于255，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求证：λ1＋λ2为定值．解析：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝255，1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫255b 22＝1，∴a 2＝5，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0) ， 又易知F 点的坐标为(2,0)． 显然直线l 存在斜率， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程中，消去y 并整理得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0，∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k2.又∵MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，将各点坐标代入得λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2，∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 24－x 1＋x 2＋x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20k 21＋5k 2－20k 2－51＋5k 24－2·20k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k2＝－10， 即λ1＋λ2为定值．2．(2018·贵阳一模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点，并求出该点的坐标．解析：(1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k B D ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0， 恒过点(－1,0)．3．(2018·南宁模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)上一点P (t ，12)到焦点F 的距离为2t .(1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线C 上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解析：(1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a4＝2t ，则a ＝4t ，由点P (t ，12)在抛物线上，得at ＝14，∴a ×a 4＝14，则a 2＝1，由a ＞0，得a ＝1， ∴抛物线C 的方程为y 2＝x . (2)∵点A 在抛物线C 上，且y A ＝1， ∴x A ＝1.∴A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线的方程为x －3＝m (y ＋1)， 即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3， ∴k 1k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1y 2－y 1＋y 2＋1m 2y 1y 2＋m m ＋y 1＋y 2＋m ＋2＝－12，∴k 1k 2为定值．4．(2018·福州四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b2a＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 垂直于x 轴时，显然x 轴上任意一点T 都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t,0)满足条件，设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2①，其中Δ＞0恒成立，由TS 与TR 所在直线关于x 轴对称，得k TS ＋k TR ＝0(显然TS ，TR 的斜率存在)， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0 ②.因为R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上， 所以y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②得k x 1－x 2－t ＋k x 2－x 1－tx1－t x 2－t＝k [2x 1x 2－t ＋x 1＋x 2＋2t ]x 1－t x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0 ③， 将①代入③得8k 2－24－t ＋k 2＋2t＋4k23＋4k 2＝6t －243＋4k2＝0 ④， 则t ＝4，综上所述，存在T (4,0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．。
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题五 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合应用(一)课时作业 理(
曲线的综合应用(一)课时作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用(一)课时作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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圆锥曲线的综合应用(一）课时作业 理1．(2016·郑州质量预测）已知椭圆C 1：错误!－错误!＝1与双曲线C 2：错误!＋错误!＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为（ ) A.错误! B 。
错误! C ．(0,1)D.错误!解析：由题意知m 〉0，n <0，椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上,∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m ＋2＋n ＝m －n ，n ＝－1,∴e ＝错误!＝错误!＝错误!∈错误!. 答案：A2．(2016·武汉调研)椭圆C ：x 24＋错误!＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1],那么直线PA 1斜率的取值范围是( ) A 。
错误! B 。
错误! C 。
错误!D.错误!解析：椭圆的左顶点为A 1(－2，0),右顶点为A 2(2，0)，设点P （x 0，y 0），则错误!＋错误!＝1，得错误!＝－错误!.而k 2PA ＝错误!，k 1PA ＝错误!，所以k 2PA ·k 1PA ＝错误!＝－错误!。
又k 2PA ∈[－2,－1］，所以k 1PA ∈错误!。
答案:B3．过定点C (0，p )的直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ,B 两点，若点N 是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为（ ) A ．2错误!p B 。
高考数学二轮复习专题五第3讲圆锥曲线中的热点问题案文
第3讲 圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真 题 感 悟1.(2015·全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→ ·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析 由题意M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，则x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20.由MF → 1·MF →2<0，得(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0， 即－33<y 0<33. 答案 A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解 由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4. 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，k 1＋k 2＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m＝－1，得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.则k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解之得m ＝－2k －1，此时Δ＝32(m ＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当m >－1时，Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1，即y ＋1＝k (x －2). 当x ＝2时，y ＝－1，所以l 过定点(2，－1).考 点 整 合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒 圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题. 3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3)得出结论.热点一 圆锥曲线中的最值、范围【例1】 (2016·浙江卷)如图所示，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)， 可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.∵AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0. 故y A y B ＝－4，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2tt 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t.∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，∴m ＜0或m ＞2.经检验知，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【训练1】 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 解 (1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 热点二 定点、定值问题 命题角度1 圆锥曲线中的定值【例2－1】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. (1)解 由题意知a ＝2，b ＝1. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆离心率e ＝c a ＝32. (2)证明 设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)， 则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB 方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)， 令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，由A 点坐标(2，0)得直线PA 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，所以S 四边形ABNM ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.即四边形ABNM 的面积为定值2.探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】 (2017·唐山一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆上，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值.(1)解 ∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2，①又点Q ⎝⎛⎭⎪⎫b ，a b在椭圆C 上，∴b 2a 2＋a 2b4＝1，② 联立①、②得a 2＝8，且b 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为x ＝2或x ＝－2，从而有|PN |＝23， 所以S ＝12|PN |·|OM |＝12×23×22＝26；当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将PN 的方程代入椭圆C 的方程， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2， 由OM → ＝OP → ＋ON →，得M ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2，2m 1＋2k 2.将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2. 又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，∴S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝48k 2＋242k 2＋1＝2 6. 综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6. 命题角度2 圆锥曲线中的定点问题【例2－2】 (2017·哈尔滨模拟)已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA → ·PB → ＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点.(1)解 设点P 坐标为(x ，y )，∴点Q 坐标为(0，y ). ∵2PA → ·PB → ＝|PQ →|2，∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2， 化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1k (x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立.∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，且x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.∴GH 中点E 1坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k 2＋1，－k 2k 2＋1，同理，MN 中点E 2坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋2，k k 2＋2，∴k E 1E 2＝－3k2（k 2－1）， ∴l E 1E 2的方程为y ＝－3k 2（k 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，∴过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，l E 1E 2的方程为y ＝0，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，综上所述，l E 1E 2过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 探究提高 1.动直线l 过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)2.动曲线C 过定点问题.引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练3】 (2017·菏泽调研)已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形.(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点. (1)解 设坐标原点为O ，∵四边形ABPQ 是平行四边形，∴|AB →|＝|PQ →|，∵|PQ → |＝2|OB → |，∴|AB → |＝2|OB → |，则点B 的横坐标为a3， ∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，43，代入椭圆C 的方程得b 2＝2，又c 2＝2，∴a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 设直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，N (x 0，y 0)，DA ⊥AM ，∴D (2，4k ).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），消去y 得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 则－2x 0＝8k 2－41＋2k 2，即x 0＝2－4k 21＋2k2，∴y 0＝k (x 0＋2)＝4k 1＋2k 2，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设G (t ，0)，则t ≠－2，若以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，则DG ⊥AN ，∴GD → ·AN →＝0恒成立.∵GD → ＝(2－t ，4k )，AN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k21＋2k 2，4k 1＋2k 2， ∴GD → ·AN → ＝(2－t )·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k2＝0恒成立， 即8k 2t 1＋2k2＝0恒成立， ∴t ＝0，∴点G 是定点(0，0). 热点三 圆锥曲线中的存在性问题【例3】 (2017·长沙调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，F 为其右焦点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1， 解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k23＋4k 2，①x 1x 2＝64k 2－123＋4k2.②因为△AMF 与△MFN 的面积相等， 所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③ 由①③消去x 2得x 1＝4＋16k23＋4k2.④将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝64k 2－123＋4k 2⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5. ∴k ＝±56，经检验满足题设 故直线l 的方程为y ＝56(x －4)或y ＝－56(x －4). 探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练4】 (2017·新乡三模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值； (2)是否存在实数p ，使|2QA → ＋QB → |＝|2QA → －QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由. 解 (1)∵直线2x －y ＋2＝0与y 轴的交点为(0，2)， ∴F (0，2)，则抛物线C 的方程为x 2＝8y ，准线l ：y ＝－2. 设过D 作DG ⊥l 于G ，则|DF |＋|DE |＝|DG |＋|DE |，当E ，D ，G 三点共线时，|DF |＋|DE |取最小值2＋3＝5. (2)假设存在，抛物线x 2＝2py 与直线y ＝2x ＋2联立方程组得：x 2－4px －4p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝(4p )2＋16p ＝16(p 2＋p )>0，则x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝ －4p ， ∴Q (2p ，2p ).∵|2QA → ＋QB →|＝|2QA → －QB →|，∴QA ⊥QB . 则QA → ·QB →＝0，得(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p ) ＝(x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )(2x 2＋2－2p ) ＝5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0， 代入得4p 2＋3p －1＝0，解得p ＝14或p ＝－1(舍去).因此存在实数p ＝14，且满足Δ>0，使得|2QA → ＋QB → |＝|2QA → －QB →|成立.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值.3.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.一、选择题1.(2017·全国Ⅱ卷)若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A.(2，＋∞)B.(2，2)C.(1，2)D.( 1，2)解析 由题意e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2，因为a >1，所以1<1＋1a2<2，则1<e < 2.答案 C2.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→ ·PF 2→的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析 设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→ ·PF 2→ ＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→ ·PF 2→的最大值是1. 答案 B3.(2017·沈阳二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2 B.12 C.14D.18解析 根据题意，抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min＝18. 答案 D4.(2017·全国Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )A.(3，＋∞)B.[1，3)C.(0，3)D.(0，1]解析 依题意，当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°，即3m≥3，解得0<m ≤1.答案 D5.(2017·全国Ⅱ卷)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B.2 2 C.2 3D.3 3解析 由题知MF ：y ＝3(x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝3，所以M (3，23).因为MN ⊥l ，所以N (－1，23)， 因为F (1，0)，所以NF ：y ＝－3(x －1)， 所以M 到NF 的距离为|3（3－1）＋23|（－3）2＋12＝2 3. 答案 C 二、填空题6.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝b a x 消去y ，得b 2a 2x 2＝x .由x 0>1，知b 2a2<1，b 2<a 2.∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2<2，因此1<e < 2.答案 (1，2)7.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP → ·FQ →的最小值为________.解析 如图，在Rt△QPF 中，FP → ·FQ → ＝|FP → ||FQ → |cos∠PFQ ＝|FP → ||FQ → ||PF →||FQ →| ＝|FP →|2＝|FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2， ∴FP → ·FQ →的最小值为3. 答案 38.(2017·济南模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________. 解析 不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1.又y 1y 2＝－p 2＝－4.∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x，在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3. 答案 3 三、解答题9.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q (x Q ，y Q )(点Q 异于点P )，若0<x Q <1，求直线l 斜率k 的取值范围.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c2解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝1，c ＝3， 椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y －32＝k (x －1)， 代入方程x 24＋y 2＝1.消去y 得(1＋4k 2)x 2＋(43k －8k 2)x ＋4k 2－43k －1＝0， ∴x Q ·1＝4k 2－43k －11＋4k 2， ∵0<x Q <1，∴0<4k 2－43k －11＋4k 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－43k －11＋4k 2>0，4k 2－43k －11＋4k2<1. 解得－36<k <3－22或k >3＋22，经检验，满足题意. ∴直线l 斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，3－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22，＋∞. 10.(2017·延安调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值.(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.11.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x－2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2 ＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.。
2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题五 3 第3讲 圆锥曲线的综合问题 学案 Word版含解析
第3讲 圆锥曲线的综合问题年份卷别考查内容及考题位置命题分析卷Ⅰ直线与椭圆的位置关系·T 19卷Ⅱ直线与抛物线的位置关系、弦长问题·T192018卷Ⅲ直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算、证明问题·T 20卷Ⅰ椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系·T 20卷Ⅱ点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综合问题·T 202017卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T 20卷Ⅰ定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的位置关系及范围问题·T 20卷Ⅱ直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T 202016卷Ⅲ证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T 20解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线的位置关系．(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解．(3)轨迹方程及探索性问题的求解. 定点问题(综合型)[典型例题]已知椭圆＋＝1(a >b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等x 2a 2y 2b2差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.PM → MQ → PN → NQ →(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．【解】 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为＋y 2＝1.x 23(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由＝λ1，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，PM → MQ →所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，所以λ1＝－1.m y1同理由＝λ2知λ2＝－1.PN → NQ →m y2因为λ1＋λ2＝－3，所以－1＋－1＝－3，m y 1my2所以y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立{x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ），)得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，②且有y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，③2mt 2t 2＋3t 2m 2－3t 2＋3③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，所以(mt )2＝1，由题意mt <0，所以mt ＝－1，满足②，故直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的2种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．[提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y ＝kx ＋b ，若b 为常量，则直线恒过点(0，b )；若为常量，则直线恒过点.b k (－bk，0)(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0(λ为参数)．解方程组即得定点坐标． {f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，)[对点训练]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－，求证：直线AB 过x 轴上一定点．12解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p ＝2.所以抛物线Cp2的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ，B .(t 24，t )(t 24，－t )因为直线OA ，OB 的斜率之积为－，12所以·＝－，化简得t 2＝32.t t24－t t 2412所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组{y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，)消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0.由根与系数的关系得y A y B ＝，4bk因为直线OA ，OB 的斜率之积为－，12所以·＝－，即x A x B ＋2y A y B ＝0.y A x A y B x B 12即·＋2y A y B ＝0，y 4y4解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝＝－32，即b ＝－8k ，4bk所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综合①②可知，直线AB 过定点(8，0)． 定值问题(综合型)[典型例题](2018·沈阳教学质量监测(一))设O 为坐标原点，动点M 在椭圆＋＝1上，过Mx 29y 24作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足＝.NP → 2NM →(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1，0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1，0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：＋为定值．1|AB |1|CD |【解】 (1)设P (x ，y )，易知N (x ，0)，＝(0，y )，NP →又＝ ＝，所以M ，NM → 12NP →(0，y 2)(x ，y 2)又点M 在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.x 29(y2)24x 29y 28所以点P 的轨迹E 的方程为＋＝1.x 29y 28(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝，163所以＋＝.1|AB |1|CD |1748当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝，|CD |＝6，163所以＋＝.1|AB |1|CD |1748当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－(x －1)，1k设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立直线l 1与曲线E 的方程{y ＝k （x －1），x 29＋y 28＝1，)得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，可得{Δ＝（－18k 2）2－4（8＋9k 2）（9k 2－72）＝2 304（k 2＋1）>0，x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，)所以|AB |＝·＝，1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 248（1＋k 2）8＋9k 2联立直线l 2与曲线E 的方程得x 2－x ＋－72＝0，{y ＝－1k （x －1），x 29＋y 28＝1，)(8＋9k 2)18k 29k 2同理可得|CD |＝·＝.1＋1k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 448（1＋k 2）9＋8k 2所以＋＝＋＝.1|AB |1|CD |8＋9k 248（k 2＋1）9＋8k 248（k 2＋1）1748综上可得＋为定值．1|AB |1|CD |求定值问题常见的2种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关．这符合一般与特殊的思维辩证关系．简称为：特殊探路，一般论证．(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]已知椭圆C ：＋＝1，A 为椭圆C 上的一点，其坐标为，E ，F 是椭圆C 上的x 24y 23(1，32)两动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．求证：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值．解：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋(k ≠0)，32联立消去y ，{x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）＋32)得(4k 2＋3)x 2＋(12k －8k 2)x ＋4－12＝0，(32－k )2则x E ＝＝，①4(32－k )2－12（4k 2＋3）x A 4k 2－12k －34k 2＋3又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，故以上k 用－k 代替得x F ＝，②4k 2＋12k －34k 2＋3所以k EF ＝y F －y Ex F －xE＝[－k （x F －1）＋32]－[k （x E －1）＋32]x F －x E＝.－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E把①②两式代入上式，得k EF ＝，为定值．12 最值和范围问题(综合型)[典型例题]命题角度一 构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆＋＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，x 2a 2y2b2直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A ，B 两点．记λ＝·，x 2a 2y 2b2OA → OB →且≤λ≤.2334(1)求椭圆的方程；(2)求k 的取值范围．【解】 (1)由题意知2c ＝2，即c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，所以b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，故所求椭圆方程为＋y 2＝1.x 22(2)由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，得m 2＝k 2＋1.由得(1＋2k 2)x 2＋{y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1)4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，λ＝·＝x 1x 2＋－4km 1＋2k 22m 2－21＋2k 2OA → OB →y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝.k 2＋11＋2k 2由≤λ≤，得≤k 2≤1，即k 的取值范围是∪.233412[－1，－22][22，1]先通过直线与圆相切得到k ，m 的关系，然后利用已知条件中的不等关系≤λ≤，结2334合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k ，m 的不等式，再由k ，m 的关系，消元，得到关于k的不等式，通过解不等式达到目的． 方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式已知A 是椭圆E ：＋＝1(t >3)的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两x 2t y 23点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解】 (1)由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ，可得直线AM 的斜率k 为1.因为t ＝4，所以A (－2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程E ：＋x 24＝1，可得7x 2＋16x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－，所以M ，N ，y 2327(－27，127)(－27，－127)则△AMN 的面积为××＝.12247(－27＋2)14449(2)由题意知t >3，k >0，A (－，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋)代入＋＝1得(3＋t t x 2t y 23tk 2)x 2＋2tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.设M (x 1，y 1)，则x 1·(－)＝，即x 1＝，故|AM |＝t t t 2k 2－3t3＋tk 2t （3－tk 2）3＋tk 2|x 1＋|＝.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－(x ＋)，故同理可得|AN |＝t 1＋k 26t （1＋k 2）3＋tk 21k t .由2|AM |＝|AN |得＝，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝时上式不成立，6k t （1＋k 2）3k 2＋t 23＋tk 2k 3k 2＋t 32因此t ＝.3k （2k －1）k 3－2由t >3，得>3，所以＝<0，即<0.3k （2k －1）k 3－2k 3－2k 2＋k －2k 3－2（k －2）（k 2＋1）k 3－2k －2k 3－2由此得或解得<k <2.因此k 的取值范围是(，2)．{k －2>0，k 3－2<0){k －2<0，k 3－2>0，)3232(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题．(2)本题通过已知条件2|AM |＝|AN |得到新参数k 与已知参数t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件t >3建立关于k 的不等式． 方法三：利用判别式构建目标不等式已知点F 为椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构x 2a 2y 2b2成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .x 4y2(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线＋＝1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，x 4y2若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．【解】 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝c ，3则椭圆E 为＋＝1.x 24c 2y 23c2由消去y ，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.{x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1)因为直线＋＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，x 4y2所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1，所以椭圆E 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)由(1)得M ，(1，32)因为直线＋＝1与y 轴交于P (0，2)，x 4y2所以|PM |2＝，54①当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋)×(2－)＝1，33所以λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝，45②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由消去y ，{y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0)整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则x 1x 2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，k 2>.43＋4k 214所以|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋＝λ，13＋4k 254所以λ＝，45(1＋13＋4k 2)因为k 2>，所以<λ<1.1445综上所述，λ的取值范围是.[45，1)此题抓住直线l与椭圆E 交于不同的两点A ，B 这一条件，利用判别式Δ>0构建关于k的不等式，从而求得λ的取值范围． 方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－平分，设弦MN12的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．【解】 (1)设抛物线的顶点为G (x ，y )，则其焦点为F (2x －1，y )，由题意可知点A 到直线x ＝1的距离为2，则|AF |＝2，所以＝2，所以轨迹C 的方程为x 2＋＝1(x ≠1)．4x 2＋y 2y 24(2)设弦MN 的中点为P ，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的(－12，y 0)点，可知4x ＋y ＝4，4x ＋y ＝4，两式相减，2M 2M 2N 2N 得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，①将x M ＋x N ＝2×＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，＝－，(－12)y M －y N x M －x N 1k 代入①式得k ＝－.y 02又点P 在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－k ＋m ，所(－12，y 0)12以m ＝y 0＋k ＝y 0.1234由点P 在线段BB ′上(B ′(x ′B ，y ′B )，B (x B ，y B )为直线x ＝－(－12，y 0)与椭圆的交点，如图所示)，所以y ′B <y 0<y B ，即－<y 0<.所以－<m <，且m ≠0.1233334334故m 的取值范围为∪.(－334，0)(0，334)利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式． 命题角度二 构建函数模型求最值或范围若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．方法一：构建二次函数模型已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的离心率为，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，x 2a 2y 2b233过F 2的直线l 与C 相交于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为4.3(1)求椭圆C 的方程；(2)设＝λ，T (2，0)，若λ∈[－3，－1]，求|＋|的取值范围．F 2A → F 2B → TA → TB →【解】 (1)由离心率e ＝，可知＝，由△F 1AB 的周长为4，得4a ＝4，所以a ＝33c a 3333，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆C 的方程为＋＝1.3x 23y 22(2)当直线l 的斜率不存在，即λ＝－1时，设A 在x 轴上方，则A ，B ，(1，233)(1，－233)又T (2，0)，所以|＋|＝＝2.TA → TB →|(－1，233)＋(－1，－233)|当直线l 的斜率存在，即λ∈[－3，－1)时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，显然y 1≠0，y 2≠0，{y ＝kx －k ，x 23＋y 22＝1)则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝，y 1y 26k 22＋3k 23k 2－62＋3k 2－4k 2＋3k 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝.－4k 22＋3k 2因为＝λ，F 2(1，0)，所以＝λ，λ<0.F 2A → F 2B → y 1y2易知λ＋＋2＝＝＝，由λ∈[－3，－1)，得λ＋∈，1λ（y 1＋y 2）2y 1y 2(－4k2＋3k 2)2－4k 22＋3k 2－42＋3k21λ[－103，－2)即λ＋＋2∈，1λ[－43，0)故－≤<0，解得k2≥.43－42＋3k 213因为＝(x 1－2，y 1)，＝(x 2－2，y 2)，TA → TB →所以＋＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)TA → TB →＝，(－6k 2＋82＋3k 2，－4k 2＋3k 2)故|＋|2＝＋＝＝＝TA → TB → (－6k 2＋82＋3k 2)2 (－4k 2＋3k 2)236k 4＋112k 2＋64（2＋3k 2）24（2＋3k 2）2＋643（2＋3k 2）＋163（2＋3k 2）24＋·＋·.64312＋3k 2163(12＋3k 2)2令t ＝，因为k 2≥，所以0<≤，即t ∈，所以|＋|2＝4＋t ＋t 2＝12＋3k 21312＋3k 213(0，13]TA → TB → 643163(t ＋2)2－∈，163523(4，31627]所以|＋|∈.TA → TB →(2，22379]综上，|＋|的取值范围为.TA → TB →[2，22379]本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等．其中难点是代数化后，目标函数比较复杂，若直接计算则相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数中有相同的式子，此时可把式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而将函数转化成一个12＋3k 212＋3k 2简单的二次函数． 方法二：构建双曲线型函数y ＝a ＋(b ≠0)bx已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b2F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －ab ＝0相切．3(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为4，求·2F 2P →的最大值．F 2Q →【解】 (1)由题意知＝c ，|－3ab |a 2＋4b 2则3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，即3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]，所以a 2＝2c 2，所以e ＝.22(2)因为△PQF 2的周长为4，2所以4a ＝4，即a ＝.22由(1)知b 2＝c 2＝1，故椭圆方程为＋y 2＝1，x 22且焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，方程为x ＝－1，P ，Q ，(－1，22)(－1，－22)＝，＝，故·＝.F 2P →(－2，22)F 2Q → (－2，－22)F 2P → F 2Q → 72②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由消去y ，得(2k 2＋{y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2)1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.4k 22k 2＋12k 2－22k 2＋1所以·＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋F 2P → F 2Q →x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)＋(k 2－1)＋k 2＋1＝＝－，2k 2－22k 2＋1(－4k 22k 2＋1)7k 2－12k 2＋17292（2k 2＋1）令t ＝2(2k 2＋1)，则·＝－(t >2)，所以·∈.F 2P → F 2Q → 729t F 2P → F 2Q →(－1，72)结合①②，得·∈，所以·的最大值是.F 2P → F 2Q → (－1，72]F 2P → F 2Q →72本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到·的目标函数，F 2P → F 2Q →然后分离参数，构建y ＝a ＋(b ≠0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围．注意当目bx标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理． 方法三：构建双曲线型函数y ＝ax ＋(ab ≠0)b x已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，x 2a 2y 2b2直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值．【解】 (1)由题意，得解得故椭圆C 的方程为＋y 2＝1.{a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，){a ＝2，b ＝1，)x 24(2)由题意得直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为0，又A (－2，0)，故可设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－y －2.1m由得(m 2＋4)y 2－4my ＝0，所以M .{x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，)(2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4)同理N .(2－8m 24m 2＋1，－4m4m 2＋1)①当m ≠±1时，k MN ＝，l MN：y ＝·，此时直线MN 过定点.5m 4（m 2－1）5m 4（m 2－1）(x ＋65)(－65，0)②当m ＝±1时，l MN ：x ＝－，此时直线MN 过点.65(－65，0)综上，直线MN 恒过定点.(－65，0)(3)设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则S △AMN ＝×|y M －y N |＝＝8124525|4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1||m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4|＝＝8|m ＋1m|4(m ＋1m )2＋9令t ＝，则S△AMN ＝，且t ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号．|m ＋1m |84t ＋9t又y ＝4t ＋在[2，＋∞)上单调递增，所以S △AMN ≤，当且仅当m ＝±1时取等号．故(S △9t 1625AMN )max ＝.1625本题的难点是第(3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以m 2，然后同时除以，再进行换元就可以看出其分母|m ＋1m|为双曲线型函数结构y ＝4t ＋，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二定9t三相等”，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值． [对点训练]1．(2018·豫南九校联考)设椭圆＋＝1(a >)的右焦点为F ，右顶点为A .已知|OA |－|OF |x 2a 2y 233＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程及离心率e 的值；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝，又|OA |－|OF |＝1，所以a －＝1，解得a ＝2，a 2－3a 2－3所以椭圆的方程为＋＝1，离心率e ＝＝.x 24y 23c a 12(2)设M (x M ，y M )，易知A (2，0)，在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y≤x ＋y ，化简得x M≥1.2M 2M 2M 设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由{x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝.8k 2－64k 2＋3由题意得x B ＝，从而y B ＝.8k 2－64k 2＋3－12k 4k 2＋3由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，则＝(－1，y H )，＝.FH → BF → (9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3)由BF ⊥HF ，得·＝0，即＋＝0，解得y H ＝，BF → FH →4k 2－94k 2＋312ky H 4k 2＋39－4k 212k 所以直线MH 的方程为y ＝－x ＋.1k 9－4k 212k 由消去y ，得x M ＝.{y ＝k （x －2），y ＝－1kx ＋9－4k 212k )20k 2＋912（k 2＋1）由x M ≥1，得≥1，解得k ≤－或k ≥，所以直线l 的斜率的取值范围为20k 2＋912（k 2＋1）6464∪.(－∞，－64][64，＋∞)2．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ，B ，抛物线上的点P (x ，y )(－12，14)(32，94)，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(－12<x <32)(1)求直线AP 的斜率的取值范围；(2)求|PA |·|PQ |的最大值．解：(1)由题可知P (x ，x 2)，－<x <，所以直线AP 的斜率k ＝＝x －∈(－1，1)，1232x 2－14x ＋1212故直线AP 的斜率的取值范围是(－1，1)．(2)由(1)知P (x ，x 2)，－<x <，1232所以＝.PA →(－12－x ，14－x 2)①当直线AP 的斜率为0时，P ，Q ，|PA |·|PQ |＝1.(12，14)(32，14)②当直线AP 的斜率不为0时，设直线l AP ：y ＝kx ＋k ＋，l BQ ：y ＝－x ＋＋，由＝k ，12141k 32k 9414－x 2－12－x 整理得x ＝k ＋，12联立直线AP 、直线BQ 的方程可得Q (3＋4k －k 22k 2＋2，)Error!，故＝，又＝(－1－k ，－k 2－k )，PQ → (1＋k －k 2－k 31＋k 2，－k 4－k 3＋k 2＋k 1＋k 2)PA →故|PA |·|PQ |＝·＝＋＝(1＋k )3(1－k )(－1<k <1，且AP → PQ → （1＋k ）3（1－k ）1＋k 2k 2（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2k ≠0)．令f (x )＝(1＋x )3(1－x )，－1<x <1，且x ≠0，则f ′(x )＝(1＋x )2(2－4x )＝－2(1＋x )2(2x －1)，由于当x ∈(－1，0)和x ∈时f ′(x )>0，f (x )(0，12)单调递增，当x ∈时f ′(x )<0，f (x )单调递减，(12，1)所以f (x )max＝f ＝，(12)2716故|PA |·|PQ |的最大值为.2716综上，|PA |·|PQ |的最大值为.2716 存在性问题(综合型)[典型例题]命题角度一 点、线的存在性问题(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左顶点与x 2a 2y 2b2上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB |＝2.3(1)求椭圆C 的方程；(2)Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意得A (－a ，0)，B (0，b )，可设P (c ，t )(t >0)，所以＋＝1，解得t ＝，即P ，c 2a 2t 2b 2b 2a (c ，b2a)由AB ∥OP 得＝，即b ＝c ，b a b 2ac所以a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，①又AB ＝2，所以a 2＋b 2＝12，②3由①②得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 28y 24(2)假设存在D (m ，0)使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值，设Q (x 0，y 0)(y 0≠0)，则＋＝1，③x 8y4设k QA ×k QD ＝k (常数)，因为A (－2，0)，2所以×＝k ，④y 0x 0＋22y 0x 0－m由③得y ＝4，⑤20(1－x 8)将⑤代入④，得k ＝.8－x2[x ＋（22－m ）x 0－22m ]所以所以m ＝2，k ＝－，所以存在点D (2，0)，使得k QA×k QD ＝－.{22－m ＝0，22m ＝8，)212212命题角度二 字母参数值的存在性问题已知动圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0外切，与圆x 2＋y 2－2x －24＝0内切．(1)试求动圆圆心C 的轨迹方程．(2)过定点P (0，2)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与(1)中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，由x 2＋y 2－2x －24＝0得(x －1)2＋y 2＝25，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则|CF 1|＝R ＋1，|CF 2|＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝6，根据椭圆的定义可知，点C 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，所以c ＝1，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心C 的轨迹方程为＋＝1.x 29y 28(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE ⊥MN ，由得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0，{y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，)x 1＋x 2＝－，所以x 0＝，36k9k 2＋8－18k 9k 2＋8y 0＝kx 0＋2＝，169k 2＋8因为AE ⊥MN ，所以k AE ＝－，1k即＝－，所以m ＝＝，169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m 1k －2k 9k 2＋8－29k ＋8k 当k >0时，9k ＋≥2＝12，所以－≤m <0；8k 9×82212当k <0时，9k ＋≤－12，所以0<m ≤.8k 2212因此，存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m 的取值范围为∪.[－212，0)(0，212]存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． [对点训练]已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝，一动圆与直线x ＝－相切且与圆C 外切．1412(1)求动圆圆心P 的轨迹T 的方程．(2)若经过定点Q (6，0)的直线l 与曲线T 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA ⊥NB ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )，分析可知：动圆的圆心不能在y 轴的左侧，故x ≥0，因为动圆与直线x ＝－相切，且与圆C 外切，12所以|PC |－＝，所以|PC |＝x ＋1，(x ＋12)12所以＝x ＋1，（x －1）2＋y 2化简可得y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线l 与y 轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋6，联立并消去x ，可得y 2－4my －24＝0，{x ＝my ＋6，y 2＝4x)显然Δ＝16m 2＋96>0，由根与系数的关系可知①{y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－24，)又因为x 1＋x 2＝(my 1＋6)＋(my 2＋6)，所以x 1＋x 2＝4m 2＋12，②因为x 1x 2＝·，所以x 1x 2＝36，③y 4y4假设存在N (x 0，y 0)，使得·＝0，NA → NB →由题意可知y 0＝，所以y 0＝2m ，④y 1＋y 22由N 点在抛物线上可知x 0＝，即x 0＝m 2，⑤y4又＝(x 1－x 0，y 1－y 0)，＝(x 2－x 0，y 2－y 0)，NA → NB →若·＝0，则x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x ＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y ＝0，NA → NB → 2020由①②③④⑤代入上式化简可得：3m 4＋16m 2－12＝0，即(m 2＋6)(3m 2－2)＝0，所以m 2＝，故m ＝±，2363所以存在直线3x ＋y －18＝0或3x －y －18＝0，使得NA ⊥NB .661．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B x 22两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .解：(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为或.(1，22)(1，－22)所以AM 的方程为y ＝－x ＋或y ＝x －.222222(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<，x 2<，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝＋.22y 1x 1－2y 2x 2－2由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝.2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）将y ＝k (x －1)代入＋y 2＝1得x 22(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以，x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4k 22k 2＋12k 2－22k 2＋1则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝＝0.4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .2．(2018·福州模拟)已知F 为椭圆C ：＋＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．x 24y 23(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－，证明：M ，N34两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝，所以c ＝ ＝1，3a 2－b 2所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )，则＋＝1，x 4y3所以|MF |2＝(x M －1)2＋y ＝(x M－1)2＋3－x ＝x －2x M ＋4＝(x M －4)2，2M 342M 142M 14又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9，所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )，设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )，联立方程，得消去y ，得{x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1（x －x P ），)(3＋4k )x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k x －8k 1x P y P ＋4y －12＝0，21212P 2P 由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝，8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 所以x M ＝－x P ＝，8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 4kx P －8k 1y P －3x P3＋4k 同理可得x N ＋x P ＝，8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k又k 1·k 2＝－，34故x N ＋x P ＝＝＝，8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k8(－34k 1)(－34k 1x P －y P)3＋4(－34k1)26x P＋8k 1y P4k ＋3则x N ＝－x P ＝－＝－x M ，6x P ＋8k 1y P 4k ＋34kx P －8k 1y P －3x P3＋4k 从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数．3．(2018·潍坊模拟)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之x 2a 2y 2b2和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若PA ，PB 交直线x ＝6于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以＝，bc b 2＋c 2ca解得b ＝1，故椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)由题意知直线PA ，PB 的斜率存在且都不为0.设k PA ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2，0)，B (2，0)，所以k PA ·k PB ＝·＝＝＝－，得k PB ＝－，y 0x 0＋2y 0x 0－2y x －41－x 4x －41414k 直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ，故M (6，8k )；直线PB 的方程为y ＝－(x －2)，令x ＝6，得y ＝－，故N .14k 1k (6，－1k)因为y M ·y N ＝8k ·＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设为G ，H ，(－1k)并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·＝8，|－1k |因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝2，2从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－2，0)，H (6＋2，0)．224．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：＋＝1交于A ，B 两点，x 24y 23线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－；12(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差FP → FA → FB → FA → FP → FB →数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1，＋＝1.x 4y 3x 4y3两式相减，并由＝k 得＋·k ＝0.y 1－y 2x 1－x2x 1＋x 24y 1＋y 23由题设知＝1，＝m ，于是k ＝－.①x 1＋x 22y 1＋y 2234m由题设得0＜m ＜，故k ＜－.3212(2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝，从而P ，||＝.34(1，－32)FP → 32于是||＝＝＝2－.FA → （x 1－1）2＋y （x 1－1）2＋3(1－x 4)x 12同理||＝2－.FB → x 22所以||＋||＝4－(x 1＋x 2)＝3.FA → FB → 12故2||＝||＋||，即||，||，||成等差数列．FP → FA → FB → FA → FP → FB →设该数列的公差为d ，则2|d |＝|||－|||＝|x 1－x 2|FB → FA → 12＝.②12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2将m ＝代入①得k ＝－1.34所以l 的方程为y ＝－x ＋，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋＝0.7414故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝，代入②解得|d |＝.12832128所以该数列的公差为或－.3212832128。
2019届高考数学二轮复习第二部分专项二专题五3第3讲 圆锥曲线的综合问题学案含解析
第3讲 圆锥曲线的综合问题定点问题(综合型)[典型例题]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． 【解】 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1， 且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， 所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0， 所以λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.因为λ1＋λ2＝－3，所以m y 1－1＋my 2－1＝－3，所以y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ），得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， 所以(mt )2＝1，由题意mt <0，所以mt ＝－1，满足②， 故直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)， 即Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的2种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． [提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y ＝kx ＋b ，若b 为常量，则直线恒过点(0，b )；若bk为常量，则直线恒过点⎝⎛⎭⎫－b k ，0. (2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0(λ为参数)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，即得定点坐标． [对点训练]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p ＝2.所以抛物线C的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0. 由根与系数的关系得y A y B ＝4bk， 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)． 综合①②可知，直线AB 过定点(8，0)．定值问题(综合型)[典型例题](2018·沈阳教学质量监测(一))设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1，0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1，0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．【解】 (1)设P (x ，y )，易知N (x ，0)，NP →＝(0，y )， 又NM →＝12 NP →＝⎝⎛⎭⎫0，y 2，所以M ⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又点M 在椭圆上，所以x 29＋⎝⎛⎭⎫y 224＝1，即x 29＋y 28＝1.所以点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝163， 所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝163，|CD |＝6， 所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 联立直线l 1与曲线E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0， 可得⎩⎨⎧Δ＝（－18k 2）2－4（8＋9k 2）（9k 2－72）＝2 304（k 2＋1）>0，x 1＋x 2＝18k 28＋9k2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝48（1＋k 2）8＋9k 2，联立直线l 2与曲线E 的方程⎩⎨⎧y ＝－1k （x －1），x 29＋y28＝1，得⎝⎛⎭⎫8＋9k 2x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，同理可得|CD |＝1＋1k 2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝48（1＋k 2）9＋8k 2. 所以1|AB |＋1|CD |＝8＋9k 248（k 2＋1）＋9＋8k 248（k 2＋1）＝1748. 综上可得1|AB |＋1|CD |为定值．求定值问题常见的2种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关．这符合一般与特殊的思维辩证关系．简称为：特殊探路，一般论证．(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，A 为椭圆C 上的一点，其坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，E ，F 是椭圆C 上的两动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．求证：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值．解：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32(k ≠0)，联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）＋32消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋(12k －8k 2)x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0，则x E ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12（4k 2＋3）x A＝4k 2－12k －34k 2＋3，①又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数， 故以上k 用－k 代替得x F ＝4k 2＋12k －34k 2＋3，②所以k EF ＝y F －y Ex F －x E＝⎣⎡⎦⎤－k （x F －1）＋32－⎣⎡⎦⎤k （x E －1）＋32x F －x E＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E.把①②两式代入上式，得k EF ＝12，为定值．最值和范围问题(综合型)[典型例题]命题角度一 构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围．【解】 (1)由题意知2c ＝2，即c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，所以b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，得m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2.由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，－22∪⎣⎡⎦⎤22，1.先通过直线与圆相切得到k ，m 的关系，然后利用已知条件中的不等关系23≤λ≤34，结合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k ，m 的不等式，再由k ，m 的关系，消元，得到关于k 的不等式，通过解不等式达到目的．方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式已知A 是椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1(t >3)的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解】 (1)由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ，可得直线AM 的斜率k 为1.因为t ＝4，所以A (－2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程E ：x 24＋y 23＝1，可得7x 2＋16x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－27，所以M ⎝⎛⎭⎫－27，127，N ⎝⎛⎭⎫－27，－127， 则△AMN 的面积为12×247×⎝⎛⎭⎫－27＋2＝14449. (2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2ttk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.设M (x 1，y 1)，则x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，即x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.由t >3，得3k （2k －1）k 3－2>3，所以k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题．(2)本题通过已知条件2|AM |＝|AN |得到新参数k 与已知参数t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件t >3建立关于k 的不等式．方法三：利用判别式构建目标不等式已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．【解】 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ， 则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1消去y ，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.因为直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝⎛⎭⎫1，32， 因为直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0，2)，所以|PM |2＝54，①当直线l 与x 轴垂直时， |P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， 所以λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0消去y ， 整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，k 2>14. 所以|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， 所以λ＝45⎝⎛⎭⎫1＋13＋4k 2，因为k 2>14，所以45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1.此题抓住直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 这一条件，利用判别式Δ>0构建关于k 的不等式，从而求得λ的取值范围．方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．【解】 (1)设抛物线的顶点为G (x ，y )，则其焦点为F (2x －1，y )，由题意可知点A 到直线x ＝1的距离为2，则|AF |＝2，所以4x 2＋y 2＝2，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1(x ≠1)．(2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4，两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，①将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N ＝－1k ， 代入①式得k ＝－y 02.又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m ，所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′(x ′B ，y ′B )，B (x B ，y B )为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y ′B <y 0<y B ，即－3<y 0< 3.所以－334<m <334，且m ≠0. 故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－334，0∪⎝⎛⎫0，334.利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式．命题角度二 构建函数模型求最值或范围若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．方法一：构建二次函数模型已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线l 与C 相交于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设F 2A →＝λF 2B →，T (2，0)，若λ∈[－3，－1]，求|TA →＋TB →|的取值范围． 【解】 (1)由离心率e ＝33，可知c a ＝33，由△F 1AB 的周长为43，得4a ＝43，所以a ＝3，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)当直线l 的斜率不存在，即λ＝－1时，设A 在x 轴上方，则A ⎝⎛⎭⎫1，233，B ⎝⎛⎭⎫1，－233，又T (2，0)，所以|TA →＋TB →|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－1，233＋⎝⎛⎭⎫－1，－233＝2.当直线l 的斜率存在，即λ∈[－3，－1)时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，显然y 1≠0，y 2≠0，则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－4k 2＋3k 2，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4k 22＋3k 2.因为F 2A →＝λF 2B →，F 2(1，0)，所以y 1y 2＝λ，λ<0.易知λ＋1λ＋2＝（y 1＋y 2）2y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 22－4k 22＋3k 2＝－42＋3k 2，由λ∈[－3，－1)，得λ＋1λ∈⎣⎡⎭⎫－103，－2，即λ＋1λ＋2∈⎣⎡⎭⎫－43，0， 故－43≤－42＋3k 2<0，解得k 2≥13. 因为TA →＝(x 1－2，y 1)，TB →＝(x 2－2，y 2)， 所以TA →＋TB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2＋82＋3k 2，－4k 2＋3k 2， 故|TA →＋TB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2＋82＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 22＝36k 4＋112k 2＋64（2＋3k 2）2＝4（2＋3k 2）2＋643（2＋3k 2）＋163（2＋3k 2）2＝4＋643·12＋3k 2＋163·⎝⎛⎭⎫12＋3k 22.令t ＝12＋3k 2，因为k 2≥13，所以0<12＋3k 2≤13，即t ∈⎝⎛⎦⎤0，13，所以|TA →＋TB →|2＝4＋643t ＋163t 2＝163(t ＋2)2－523∈⎝⎛⎦⎤4，31627， 所以|TA →＋TB →|∈⎝⎛⎦⎤2，22379.综上，|TA →＋TB →|的取值范围为⎣⎡⎦⎤2，22379.本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等．其中难点是代数化后，目标函数比较复杂，若直接计算则相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数中有相同的式子12＋3k 2，此时可把式子12＋3k 2看成一个整体，用一个变量去代替它，从而将函数转化成一个简单的二次函数．方法二：构建双曲线型函数y ＝a ＋bx(b ≠0)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．【解】 (1)由题意知|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，则3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，即3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]， 所以a 2＝2c 2，所以e ＝22. (2)因为△PQF 2的周长为42， 所以4a ＝42，即a ＝ 2.由(1)知b 2＝c 2＝1，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，方程为x ＝－1，P ⎝⎛⎭⎫－1，22，Q ⎝⎛⎭⎫－1，－22，F 2P →＝⎝⎛⎭⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎫－2，－22，故F 2P →·F 2Q →＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.所以F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝⎛⎭⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92（2k 2＋1），令t ＝2(2k 2＋1)，则F 2P →·F 2Q →＝72－9t (t >2)，所以F 2P →·F 2Q →∈⎝⎛⎭⎫－1，72. 结合①②，得F 2P →·F 2Q →∈⎝⎛⎦⎤－1，72，所以F 2P →·F 2Q →的最大值是72.本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到F 2P →·F 2Q →的目标函数，然后分离参数，构建y ＝a ＋bx (b ≠0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围．注意当目标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理．方法三：构建双曲线型函数y ＝ax ＋bx(ab ≠0)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值．【解】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意得直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为0， 又A (－2，0)，故可设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1my －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4. 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m24m 2＋1，－4m 4m 2＋1.①当m ≠±1时，k MN ＝5m 4（m 2－1），l MN ：y ＝5m4（m 2－1）·⎝⎛⎫x ＋65，此时直线MN 过定点⎝⎛⎭⎫－65，0. ②当m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，此时直线MN 过点⎝⎛⎭⎫－65，0. 综上，直线MN 恒过定点⎝⎛⎭⎫－65，0. (3)设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪4mm 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝⎛⎭⎫m ＋1m 2＋9＝令t ＝⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，则S △AMN ＝84t ＋9t，且t ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号． 又y ＝4t ＋9t 在[2，＋∞)上单调递增，所以S △AMN ≤1625，当且仅当m ＝±1时取等号．故(S△AMN)max ＝1625.本题的难点是第(3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以m 2，然后同时除以⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，再进行换元就可以看出其分母为双曲线型函数结构y ＝4t ＋9t ，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二定三相等”，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值．[对点训练]1．(2018·豫南九校联考)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知|OA |－|OF |＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程及离心率e 的值；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝a 2－3，又|OA |－|OF |＝1，所以a －a 2－3＝1，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，离心率e ＝c a ＝12.(2)设M (x M ，y M )，易知A (2，0)，在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1.设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，则FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，即4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，所以直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.由x M ≥1，得20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64，所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64∪⎣⎡⎭⎫64，＋∞.2．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 的斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．解：(1)由题可知P (x ，x 2)，－12<x <32，所以直线AP 的斜率k ＝x 2－14x ＋12＝x －12∈(－1，1)，故直线AP 的斜率的取值范围是(－1，1)． (2)由(1)知P (x ，x 2)，－12<x <32，所以P A →＝⎝⎛⎭⎫－12－x ，14－x 2. ①当直线AP 的斜率为0时，P ⎝⎛⎭⎫12，14，Q ⎝⎛⎭⎫32，14，|P A |·|PQ |＝1.②当直线AP 的斜率不为0时，设直线l AP ：y ＝kx ＋12k ＋14，l BQ ：y ＝－1k x ＋32k ＋94，由14－x 2－12－x ＝k ，整理得x ＝k ＋12，联立直线AP 、直线BQ 的方程可得Q ⎝⎛3＋4k －k 22k 2＋2，⎭⎪⎫9k 2＋8k ＋14k 2＋4，故PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k －k 2－k 31＋k 2，－k 4－k 3＋k 2＋k 1＋k 2，又P A →＝(－1－k ，－k 2－k )， 故|P A |·|PQ |＝AP →·PQ →＝（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2＋k 2（1＋k ）3（1－k ）1＋k2＝(1＋k )3(1－k )(－1<k <1，且k ≠0)．令f (x )＝(1＋x )3(1－x )，－1<x <1，且x ≠0，则f ′(x )＝(1＋x )2(2－4x )＝－2(1＋x )2(2x －1)，由于当x ∈(－1，0)和x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2716， 故|P A |·|PQ |的最大值为2716.综上，|P A |·|PQ |的最大值为2716.存在性问题(综合型)[典型例题]命题角度一 点、线的存在性问题(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB |＝2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意得A (－a ，0)，B (0，b )，可设P (c ，t )(t >0)，所以c 2a 2＋t 2b 2＝1，解得t ＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a ＝b 2ac ，即b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，①又AB ＝23，所以a 2＋b 2＝12，②由①②得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在D (m ，0)使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值，设Q (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204＝1，③ 设k QA ×k QD ＝k (常数)，因为A (－22，0)， 所以y 0x 0＋22×y 0x 0－m ＝k ，④由③得y 20＝4⎝⎛⎭⎫1－x 208，⑤ 将⑤代入④，得k ＝8－x 202[x 20＋（22－m ）x 0－22m ]. 所以⎩⎨⎧22－m ＝0，22m ＝8，所以m ＝22，k＝－12，所以存在点D (22，0)，使得k QA ×k QD ＝－12. 命题角度二 字母参数值的存在性问题已知动圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0外切，与圆x 2＋y 2－2x －24＝0内切． (1)试求动圆圆心C 的轨迹方程．(2)过定点P (0，2)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与(1)中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，由x 2＋y 2－2x －24＝0得(x －1)2＋y 2＝25，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则|CF 1|＝R ＋1，|CF 2|＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝6，根据椭圆的定义可知，点C 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，所以c ＝1，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心C 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE ⊥MN ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0， x 1＋x 2＝－36k9k 2＋8，所以x 0＝－18k 9k 2＋8，y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8，因为AE ⊥MN ，所以k AE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m ＝－1k ，所以m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k ，当k >0时，9k ＋8k ≥29×8＝122，所以－212≤m <0；当k <0时，9k ＋8k ≤－122，所以0<m ≤212.因此，存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－212，0∪⎝⎛⎦⎤0，212.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[对点训练]已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝14，一动圆与直线x ＝－12相切且与圆C 外切．(1)求动圆圆心P 的轨迹T 的方程．(2)若经过定点Q (6，0)的直线l 与曲线T 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA ⊥NB ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )，分析可知：动圆的圆心不能在y 轴的左侧，故x ≥0， 因为动圆与直线x ＝－12相切，且与圆C 外切，所以|PC |－⎝⎛⎭⎫x ＋12＝12，所以|PC |＝x ＋1， 所以（x －1）2＋y 2＝x ＋1，化简可得y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线l 与y 轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，y 2＝4x并消去x ，可得y 2－4my －24＝0，显然Δ＝16m 2＋96>0，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－24，①又因为x 1＋x 2＝(my 1＋6)＋(my 2＋6)， 所以x 1＋x 2＝4m 2＋12，②因为x 1x 2＝y 214·y 224，所以x 1x 2＝36，③假设存在N (x 0，y 0)，使得NA →·NB →＝0， 由题意可知y 0＝y 1＋y 22，所以y 0＝2m ，④由N 点在抛物线上可知x 0＝y 204，即x 0＝m 2，⑤又NA →＝(x 1－x 0，y 1－y 0)，NB →＝(x 2－x 0，y 2－y 0)，若NA →·NB →＝0，则x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0， 由①②③④⑤代入上式化简可得：3m 4＋16m 2－12＝0， 即(m 2＋6)(3m 2－2)＝0，所以m 2＝23，故m ＝±63，所以存在直线3x ＋6y －18＝0或3x －6y －18＝0，使得NA ⊥NB .1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . 解：(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22. 所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .2．(2018·福州模拟)已知F 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝3，所以c ＝ a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)， 设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )，则x 2M 4＋y 2M3＝1， 所以|MF |2＝(x M －1)2＋y 2M ＝(x M －1)2＋3－34x 2M ＝14x 2M －2x M ＋4＝14(x M －4)2， 又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9， 所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )， 设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )， 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1（x －x P ），消去y ，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0，由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 21，所以x M ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 21－x P＝4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21， 同理可得x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22，又k 1·k 2＝－34，故x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22＝8⎝⎛⎭⎫－34k 1⎝⎛⎭⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝⎛⎭⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3， 则x N ＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3－x P ＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21＝－x M ， 从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数．3．(2018·潍坊模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若P A ，PB 交直线x ＝6于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以bc b 2＋c 2＝ca， 解得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线P A ，PB 的斜率存在且都不为0.设k P A ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2，0)，B (2，0)， 所以k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，得k PB ＝－14k ，直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ， 故M (6，8k )；直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，令x ＝6，得y ＝－1k，故N ⎝⎛⎭⎫6，－1k .因为y M ·y N ＝8k ·⎝⎛⎭⎫－1k ＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设为G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·⎪⎪⎪⎪－1k ＝8， 因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－22，0)，H (6＋22，0)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.① 由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12. (2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝⎛⎭⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2| ＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1. 所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.。
高考数学二轮复习 专题五 第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题课件 文
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3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立 目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况： (1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和 平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线 的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆 锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点 就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的 坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.
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从而直线 AP，AQ 的斜率之和 kAP＋kAQ＝y1x＋1 1＋y2x＋2 1＝kx1＋x12－k＋kx2＋x22－k ＝2k＋(2－k)x11＋x12＝2k＋(2－k)x1x＋1x2x2 ＝2k＋(2－k)42kk（（kk－－12））＝2k－2(k－1)＝2.
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(1)解 由题意得 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1， 解得 a2＝8，b2＝4.所以 C 的方程为x82＋y42＝1. (2)证明 设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， M(xM，yM).将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1 得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1.
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(2)双曲线中的最值 F1、F2 分别为双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为双 曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2＝2px(p＞0)上的任一点，F 为焦点，则有 ①|PF|≥p2； ②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
高考理科数学二轮复习课件专题圆锥曲线中的综合问题PPT共83页
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能u
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿