矩阵的概念及其运算
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念以及常见的矩阵运算。
一、矩阵的基本概念1.1 定义矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数组，记作A=[a_ij]，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的类型根据矩阵元素的性质和特点，矩阵可以分为以下几种类型：- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。
- 方阵：行数等于列数的矩阵，记作A（m×m）。
- 行矩阵：只有一行的矩阵，记作A（1×n）。
- 列矩阵：只有一列的矩阵，记作A（m×1）。
- 对角矩阵：非主对角线上的元素都为0的方阵。
1.3 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法设有两个m×n的矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，则它们的和记作C=A+B，差记作D=A-B。
矩阵的加法和减法满足以下性质：- 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
- 零元素：A+O=A，A-O=A。
- 负元素：A+(-A)=O。
2.2 矩阵的数乘设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，数k，则kA记作E=[ka_ij]，即矩阵A中的每个元素乘以k。
2.3 矩阵的乘法设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个n×p的矩阵B=[b_ij]，它们的乘积记作C=A•B，其中C的第i行第j列的元素为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj矩阵的乘法需要满足以下条件：- 矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，才能进行乘法运算。
- 乘法不满足交换律，即A•B≠B•A。
- 结合律成立：(A•B)•C=A•(B•C)。
2.4 矩阵的转置设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，A的转置记作A^T，其中A^T 的第i行第j列的元素为a_ji。
2_1_2矩阵的概念与矩阵运算
；两边加A 的负矩阵 ；交换律 ；约定（减法） ；性质4 ；性质3 ；数乘运算 ；恒等变换 ；性质8
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3 5 7 2 1 3 2 0 例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ， ． 0 1 2 3 0 6 4 8 且A+2X=B，求X。 解：
− 2 − 2 − 5 − 2 1 从而得 X = ½ ∗(B-A) = 0 1 1 4 2 0 5 2 5
本章重点
用初等变换求逆矩阵及求矩阵的秩的方法.
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§1 矩阵的概念
在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程 组的每个方程对应一个有序数组：
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn =b1 a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn =b2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ am1x1+ am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn =bm
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都是m× 矩阵 容易证明， 矩阵.容易证明 设A,B,C都是 ×n矩阵 容易证明，矩阵的加法满足如下运 都是 算规律： 算规律 （1）交换律： A+B=B+A; ）交换律： （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); ）结合律： 是与A同型的零矩阵 （3）A+O=A，其中 是与 同型的零矩阵 ） ，其中O是与 同型的零矩阵; （4）A+(-A)=O，其中 是与 同型的零矩阵 是与A同型的零矩阵 ） ，其中O是与 同型的零矩阵. 矩阵的减法可定义为: 矩阵的减法可定义为: 减法可定义为
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念之一，在数学和计算机科学中广泛运用。
它是由数个数按矩形排列而成的矩形阵列，可以表示向量、方程组以及线性变换等。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数按一定顺序排列而成，通常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中的aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n分别称为其维度，m×n为矩阵的规模。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和B的维度相等（均为m行n列），则它们可以相加。
矩阵相加的结果为一个新的维度相同的矩阵C，其元素由对应位置的矩阵A和B的元素相加得到。
即：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，只需将相应位置上的元素相减即可。
例如：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘指的是将矩阵的每个元素乘以一个常数k。
结果仍为同一维度的矩阵。
记为：C = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的运算规则如下：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，计算公式为：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调。
3_1矩阵的概念及运算
3.同型矩阵与矩阵相等的概念 3.同型矩阵与矩阵相等的概念 (1)两个矩阵的行数相等 列数相等时,称为同型 两个矩阵的行数相等, (1)两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型 矩阵. 矩阵 1 2 14 3 同型矩阵. 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 3 7 3 9 同型矩阵, (2) 两个矩阵 A = aij 与B = bij 为同型矩阵 并且对应元素相等,即 并且对应元素相等 即
a11 a21 M am 1
a12 a22 M
L a1n L a2 n M
am 2 L amn
称为m行 列矩阵 列矩阵. 矩阵. 称为 行n列矩阵.简称 m × n 矩阵. 记作
a11 a 21 A= L a m1
简记为 A,
a12 a22 L am 1
ij
L a1n L a2 n L L L amn
A A B C D
0 1 1 0
1
B
C
D
1 1
0 0 1
0 0
0 0 1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况
用矩阵表示
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
二、矩阵的概念
1. 定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
的解取决于 系数
aij (i, j = 1,2,L, n),
常数项 bi (i = 1,2,L,n)
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。
矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。
矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。
例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。
mathematics矩阵运算
mathematics矩阵运算矩阵运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学和金融等。
本文将一步一步地介绍矩阵的定义、基本运算、特殊类型的矩阵以及一些常见的矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，可以用方括号表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\a_{3,1} & a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]其中，\[a_{i,j}\]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵中的元素可以是实数或者复数。
二、基本运算1. 矩阵的加法和减法：两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算。
对应位置上的元素相加或相减，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于两个3行2列的矩阵\[A\]和\[B\]，它们的和\[A + B\]可以表示为：\[A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \\a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} \\\end{bmatrix}\]2. 矩阵的标量乘法：矩阵可以与一个实数或者复数进行乘法运算，我们称之为标量乘法。
将矩阵中的每一个元素与标量相乘，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于一个3行2列的矩阵\[A\]和一个标量\[k\]，它们的乘积\[k \cdot A\]可以表示为：\[k \cdot A =\begin{bmatrix}k \cdot a_{1,1} & k \cdot a_{1,2} \\k \cdot a_{2,1} & k \cdot a_{2,2} \\k \cdot a_{3,1} & k \cdot a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是定义在两个矩阵之间的运算，它不同于矩阵加法和减法。
高中数学中的矩阵定义及其运算法则
高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。
在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。
本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。
矩阵的大小由它的行数和列数来确定。
例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。
同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。
二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。
例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。
例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。
例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。
这里将一一介绍。
1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。
矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。
例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或。
即：（2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。
当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。
当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。
设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。
2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。
如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。
例如，以下矩阵都是三角形矩阵：，，，。
3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为。
如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。
单位矩阵常用E来表示，即：当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。
4、矩阵的加法矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。
如以C＝（c ij）m ×n表示矩阵A及B的和，则有：式中：。
即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。
由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：（1）交换律：A＋B＝B＋A（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。
如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：（1）k（A＋B）＝kA＋kB（2）（k＋h）A＝kA＋hA（3）k（hA）＝khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。
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一、矩阵概念的引入(matrix)
某航空公司在A,B,C,D四城 市之间开辟了若干航线 ,如 图所示表示了四城市间的航 A 班图,如果从A到B有航班,则 用带箭头的线连接 A 与B.
B
C D
四城市间的航班图情况常用表格来表示:
到站
k(A B) kA kB
结论：矩阵与数的线性结构相似
4.矩阵乘法运算(看课本，掌握矩阵乘法规则)
为了更好地学习矩阵乘法，通过例子 来演示。同时注意矩阵乘法的条件
23 例1．设 A 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB及BA .
2 -1 0 31
23 解： AB 1 -2
31
也可用 Amn 或 (aij )mn 来表示.
思考题
矩阵与行列式的有何区别?
三、几种特殊形式的矩阵
0
0
1.零矩阵 Omn 0
0
注：零矩阵不唯一，不同于数字0
2.单位阵
1
En
1
3. 对角阵
a11
ann
4. 三角阵
a11
2、加减法：对应元素相加减。（看课本）
加减法满足前四条运算律
3.数乘运算
ka 11
ka 12
ka 1n
k
A
k
a 21
ka 22
ka 2n
每个元
素都乘
kam1 kam2 kamn
K
称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA
1A A
k(lA) (kl) A,(k l) A kA lA,
a12 …
a22 …
… am2 ……
.
am1 am2 … amn
a1n a2n … amn
转置矩阵有下列性质：
(1)(AT)TA；
(2)(AB)TATBT；
(3)(kA)TkAT；
(4)(AB)TBTAT .
6、方阵的行列式
定义6 设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式 称为方阵A的行列式，记为|A|或det A .
即如果AB=O，不能推出A=O或B=O .
不同于 数字运
算
例
9．设
A
1 0
32
，B
1 0
04
，C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
10 ，则有
ABC C
101 0
320 4100 1
100 1100 1
(2) ACBC / AB； (3) ABO / AO或BO ；
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谢 谢！
5、转置矩阵
定义4 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称 为矩阵A的转置矩阵，记为AT。即如果
a11 a12 … a1n
a11 a21 … am1
A
a21 …
a22 …
… a2n ……
，
则 AT
1 -2 -3 2 -1 0
8 -7 -6
（1）先行后列法
23 例1．设 A 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB及BA .
2 -1 0 31
23
8 -7 -6
解： AB 1 -2 1 -2 -3 -3 0 -3
3 1 2 -1 0
（1）先行后列法
23 例1．设 A 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB及BA .
练习
练习 1. 设Ａ是３阶方阵，且 A -2 ，则A2 （ 4 ）， 2A （ -16 ）， - A （ 2 ）．
练习 2. 若Ａ，Ｂ都是２阶方阵，且A ＝２，Ｂ＝-３E，
则 AT B ＝( 18 )．
谢 谢！
5 -7 -9
BA -9 4 . 38
例1：A
1 -1
-11, B
1 -1
-11
解： AB 00 00
BA
2 -2
2 -2
显然，1)矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA ;
2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，
矩阵乘法的性质：
方阵的幂：
(1) (AB)CA(BC)； (2) (AB)CACBC； (3) C(AB)CACB； (4) k(AB)(kA)BA(kB) .
应注意的问题：
(1) ABBA ；
对于方阵A及自然数k AkAA A (k个A相乘)， 称为方阵A的k次幂. 方阵的幂有下列性质： (1)ArAsArs； (2) (Ar)sArs .
2 -1 0 31
23
8 -7 -6
解： AB 1 -2 1 -2 -3 -3 0 -3
3 1 2 -1 0
5 -7 -9
注：理解矩阵乘法的条件
23
练习
例2．设 A 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB及BA .
2 -1 0
31
8 -7 -6
解：
AB=
-3
0
-3
显然， |E|=1 .
性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则 (1) |A|=|AT|; (2) |kA|=kn|A|;
(3) |AB|=|A||B| .
7、线性方程组的矩阵表达
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2nxnb2 an1x1 an2x2 annxn bn
101 0，
B BC 1 0 10 0 4 040 1 10 0 1 10 100 1 101 0， C
这又是矩阵与数 字的不同
显然AC=BC，但AB .矩阵乘法不满足消去律.
2 0
3 0
4 0
0 0
0 0
4 4 3 2 1 1 2 3 0 0 1 0 0 0 0
不是!
请你记住阶梯型矩阵的特点,尊重阶梯矩阵的定义.
梯形阵是最常用的矩阵!
5.行矩阵、列矩阵
6.阶梯矩阵
7.同型矩阵
总结这些特殊矩阵 中哪些是方阵？
四、矩阵的运算
1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数, 且对应元素相等.即“只和 自己相等”。（看课本）
二、矩阵的定义
这就是
矩阵
a11
a12
a1n
a21 a22 a2n 由mn个数按一定的
次序排成的m行n列的
am1
a m2
a mn
矩形数表称为mn矩 阵,简称矩阵.
a ij为矩阵第i行j列的元素.
矩阵一般用大写拉丁字母 A,B,C, 来表示,
A
B
C
D
A
发站 B C
D
其中 表示有航班.
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
改成1,空白地方填上
A
B
C
D
A
B
C
D
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
上述这些数表就是我们今天要学习的矩阵。 线性代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵 是线性代数最基本的概念。矩阵就是一个数 表，而这个数表可以进行变换，以形成新的 数表。如果你了解原始数表的含义，而且你 可以从中抽象出某种变化规律，你就可以用 线性代数的理论对你研究的数表进行变换， 并得出你想要的一些结论。
a12
a1n
a22
a2n
上三角阵
ann
下三角阵
a 11
a21
a 22
an1 an2 ann
5.行矩阵、列矩阵 6.阶梯矩阵（板书解释） 7.同型矩阵
它们是梯形阵吗?
1 0 0 0 0
5 0 6 0 0