第二矩阵及其运算-
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线性代数知识点总结第二章
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵概念 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m n A A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引发混淆时，也可表示为E )（讲义P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式通过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数能够不同。
第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B+，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（讲义P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪ ⎪---⎝⎭设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
第二章 矩阵及其运算
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0, a x + a x + L + a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组 否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质： 转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
河北科大理学院
第二章 矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义 若 AT = A, 则称 为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称 为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章 矩阵及其运算 本章内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、 矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算 逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 矩阵分块法
第二章 矩阵及其运算
2
第4讲 矩阵的概念 讲
一 概念的引入 线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组 否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质： 转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
河北科大理学院
第二章 矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义 若 AT = A, 则称 为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称 为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章 矩阵及其运算 本章内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、 矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算 逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 矩阵分块法
第二章 矩阵及其运算
2
第4讲 矩阵的概念 讲
一 概念的引入 线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算
a11 b11 a12 b12 a1n b1n a 22 b22 a 2 n b2 n a b 21 21 a b a s 2 bs 2 a sn bsn s1 s1
称为 A 和 B 的和，记为
C A B.
批注
表示出来。
§2 矩阵的运算
矩阵的意义不仅在于把一些数据根据一定的顺序排列成 阵列形式， 而且还在于对它定义了一些有理论意义和实际意义 的运算，使它真正成为有用的工具。 一、矩阵的加法 1、定义 定义 设
A aij sn
a11 a 21 a s1 b11 b21 bs1
定义：设 A a ij
m s
是 m s 矩阵， B bij
s n
是 s n 矩阵，则定
义一个新的 m n 矩阵 C ：
C cij mn
s
其中
cij ai1b1 j ai 2 b2 j aik bkj ail blj aik bkj
批注
(2) 结合律 (A) (A) ( ) A (3) 分配律 ( A B) A B
A A
(4) 若 A 为 n 阶矩阵，则有 A n A 此外，还容易得到：
0 A 0,
A (1) A
矩阵相加与数乘矩阵合起来统称为矩阵的线性运算。 例
矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法； 分块求逆方法。
矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆 方法
讲授 习题课 答疑
教 学 内 容
第二章 矩阵及其运算
矩阵是将一组有序的数据视为 “整体量” 进行表述和运算， 使得问题简洁和易于了解本质。 矩阵不仅是解线性方程组的有 力工具， 而且是线性空间内线性变换的表现形式， 因此有关矩 阵的理论构成了线性代数的基本内容。 本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩 阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。 §1 矩阵 1、矩阵的概念
大学高等数学第六章2矩阵及其运算
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
编辑ppt
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
D4 2
要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵
来表示。
编辑ppt
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 编辑ppt
●矩阵的减法
a11
设
A
a m1
a1n
a mn
Am nAm nO m n
，则称矩阵
a11 a m1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A
。
a mn
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n编辑ppt
作AB 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0
0
2 0
0
2
2 0
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
§2矩阵的运算
分配
律
l ( A B) l A l B
备注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 矩阵的运算
1111
第二章 矩阵及其运算
注意：与行列式性质相区别
a11 a12 a13 l a11 l a12 l a13 a11 a12 l a13 l a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 l a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 l a33
a11 cc cc cc cc a11 1111 aa12 1212 aa13 1313 aa14 1414 12 13 14 a21 c21 c22 c23 cc a21 c21 aa22 c22 aa23 c23 aa24 2424 22 23 24 a c aa c aa c aa c a 3131 c3131 3232 c3232 3333 c3333 3434 c3434
© §2 2009, Henan Polytechnic University 矩阵的运算
3 3
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
1212
第二章 矩阵及其运算
1 2 4 3 例1 A 0 3 , B 5 3 , 求A+2B. 解：
1 2 4 3 A 2B 0 3 2 5 3
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1. mn矩阵
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
am1 am2 … amn
行(row)
元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n) 元素都是实数——实矩阵(real ~)
元素都是复数——复矩阵(complex ~)
注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.
25
3 4 3 5
1 6
2
6
3 6
4 5 6
8
10
1
2
1 2 1 5 1 8
1
BA4 5 62415263
3
32
显然 AB BA.
例2
A
1 3
2 3
0
1
4 0 1
B
2 1
1 2
1 2
求 A B ，并问 B A 是否有意义？
解
4 0 1
AB 13
2 0
1321
1 2
数量(箱) ABC
甲 20
16 200 180 190
乙 50
20 100 120 100
丙 30
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
1 2
5 8 9
11
2
5
显然B A 无意义
例3
2 4
A
1
2
求 AB , BA
2 4
B
3
6
解 A B 1 2 4 2 2 3 4 6 8 16 1 3 6 2
2 42 4 0 0 BA3 61 20 0
显然 AB BA.
总之，一般说来，ABBA
即矩阵的乘法不满足交换律．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、矩阵运算 只有当两个矩阵是同型矩阵时，
1. 矩阵的加法 这两个矩阵才能进行加法运算
定义1 设有两个mn 矩阵A aij 和
B bij ，那么矩阵 A 与矩阵 B 的和记作
A B 规定为
a11b11
AB
a21
b21
am1
bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
不过，在有些情况下，也可能有 ABBA
例如：
1 1
A
0
1
B
x1 0
x2
x1
不难验证：ABBAx01
x1 x2
x1
一般地，如果矩阵 A ，B 的乘积与次序无关
即 ABBA，称矩阵A ，B 可交换
结合律和分配律：
（1） ABCABC.
（2） A B A B A B ( 为 数 ） .
（3） ABCABAC,
BCABACA.
例4 设变量 y1, y2, , ym 均可表示成变量
x1,x2, ,xn 的线性函数，即
y1 a11x1 a12x2
规定为
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
运算规律(设 A ，B 都是 mn 矩阵， , 是数)
（1） AA. （2）AAA. （3）ABAB.
（4）1 A A .
（5）A 0 当且仅当 0 或 A 0 .
3. 矩阵的乘法
定义3
设
A
aij
， B
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 50 30 与 a b c 同型
16 20 16 1 2 3
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
大前提: 同型
A = [aij]mn与B = [bij]mn相等:
对1 i m, 1 j n, aij = bij都成立 记为A = B.
例2. 四个城市间的单向航线如图所示.
1
4
2
3
若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为
a11 a12 a13 a14
01 1 1
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
即
10 01
0 0
0 0
a41 a42 a43 a44
10 1 0
三. 定义
列(column)
2. 方阵(square matrix)
n阶方阵: nn矩阵
见例2. 3. 向量(vector)
一个11的矩阵 就是一个数
行向量(column vector) [a1, a2, …, an]
a1
列向量(row vector)
a2 …
n–维
(n–dimensional)
an
第i分量 (ith component) ai (i = 1, …, n)
第二章 矩阵及其运算
矩阵概念 矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩
矩阵的基本概念
一. 历史
“矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.
他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语.
James Joseph Sylvester (1814.9.3~1897.3.15)
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）A 的列
数等于第二个矩阵（右矩阵）B 的行数时，
乘积 A B 才是有意义的；并且A B 的行数等 于第一个矩阵A 的行数，A B 的列数等于第
二个矩阵 B 的列数．
例1
1
A
2
3
求 AB , BA .
解
1
AB
2
4
5
3
B4 5 6
1 4 15
6
2
4
英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.
他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念, 并发表了一系 列关于这个题目的 文章.
Arthur Cayley (1821.8.16~1895.1.26)
二. 实例 例1. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品.
产品
单价 (元/箱)
重量 (Kg/箱)
a2n
b2n
amn
bmn
运算规律 （设 A ，B ，C 都是 mn矩阵）
（1） ABBA. （2）(A B ) C A (B C ). （3） A(A)0.
其中 A aij ， A 称为矩阵 A 的负矩阵.
由此可规定矩阵的减法为
ABAB.
2. 数与矩阵相乘
定义2 数 与矩阵A 的乘积记作 A 或 A
ms
bij
sn
规定:矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个mn矩阵
C cij mn
其中
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2j a isb sj
s
aikbkj(i1,2, ,m ;j1,2, ,n) k 1
并把此乘积记作 C AB .
矩阵的第i 行第j 列的元 c i j 就是A 的第 i 行与 B 的第j 列的乘积