第二章 矩阵及其运算
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第二章课件-1矩阵及其运算 山东建筑大学
从 i 市到 j市没有单向航线
0 1 1 1
A
aij
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0
0 0
1
4
2
3Hale Waihona Puke 4例2 n个变量 x1, x2,xn 与 m 个变量 y1, y2,, ym 之间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn
y2
a21x1
a22x2
a2n
(ⅱ) ( AB ) = ( A )B = A( B ), (其中为常数) ;
(ⅲ) A( B + C ) = AB + AC, (B+C)A=BA+CA.
(5) 对于单位矩阵E, 容易验证
E m Amn Amn , Amn E n Amn .
或简记为 EA = AE = A.
可见单位矩阵 E 在矩阵乘法中的作用类似于数 1.
( 注意: X T X x12 x22 xn2 是一阶方阵,也就是一个数,
而 XX T 是 n 阶方阵).
证 H T (E 2XX T )T E T 2( XX T )T E 2XX T H 所以 H 是对称矩阵. HH T H 2 ( E 2 XX T )2 E 4XX T 4( XX T )( XX T )
那么 A 称为反对称矩阵 . 反对称矩阵的特点是:其元素以主对角线为对称轴的对应元素绝对
值相等，符号相反，且主对角线上的各元素均为零。
25
例7 设列矩阵 X ( x1, x2 , xn )T 满足 XT X 1, E 为 n 阶单位矩阵,
H E 2XX T , 证明 H 是对称矩阵, 且 HH T E.
规定 矩阵 A 与 B 的乘积 是一个 m n 矩阵 C (cij )mn ,
矩阵及其运算
每个元素都 乘上数λ
注意： 注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别
数乘矩阵的运算规律
是同型矩阵, 是数, 设A、B是同型矩阵, λ、是数, 则 、 是同型矩阵 (1) (λ)A=λ(A) = (λA) = 结合律 (2) (λ+)A=λA+A, λ(A+B)=λA+λB 分配律 = + + = + (3) 0A=O, 1A=A, λO=O
2 3 4 4 2 x + y A= ，B = x y 1 0 2 1 0
第6页 页
实际问题的矩阵表达
假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之内不发生变化， 假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之内不发生变化， 记录近三周的价格，可得到如下价格矩阵(人民币/千克) 记录近三周的价格，可得到如下价格矩阵(人民币/千克)：
注意： 注意：第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数 注意：矩阵乘法一般不满足交换律： 注意：矩阵乘法一般不满足交换律：AB ≠ BA 注意：非零矩阵相乘可能是零矩阵：AB = O A = O或B = O 注意：非零矩阵相乘可能是零矩阵：
第17页 页
矩阵的乘法
假设运算都可行， 为数） 矩阵乘法的运算规律（假设运算都可行，其中λ为数）
第16页 页
矩阵的乘法
2 4 2 4 例 设A = ，B = ，求AB和BA. 1 2 3 6
解
2 4 2 4 16 32 AB = = 8 16 1 2 3 6 2 4 2 4 0 0 BA = = 0 0 3 6 1 2
3 5 7 1 3 2 ，B = ，则 2 0 4 2 1 5
3 +1 5 + 3 7 + 2 4 8 9 A+ B = = 4 1 9 2 + 2 0 +1 4 + 5
第二矩阵及其运算-
1. mn矩阵
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
am1 am2 … amn
行(row)
元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n) 元素都是实数——实矩阵(real ~)
元素都是复数——复矩阵(complex ~)
注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.
25
3 4 3 5
1 6
2
6
3 6
4 5 6
8
10
1
2
1 2 1 5 1 8
1
BA4 5 62415263
3
32
显然 AB BA.
例2
A
1 3
2 3
0
1
4 0 1
B
2 1
1 2
1 2
求 A B ，并问 B A 是否有意义？
解
4 0 1
AB 13
2 0
1321
1 2
数量(箱) ABC
甲 20
16 200 180 190
乙 50
20 100 120 100
丙 30
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
1 2
5 8 9
11
2
5
显然B A 无意义
例3
2 4
A
1
2
求 AB , BA
2 4
B
3
6
第二章 矩阵及其运算
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0, a x + a x + L + a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组 否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质： 转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
河北科大理学院
第二章 矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义 若 AT = A, 则称 为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称 为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章 矩阵及其运算 本章内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、 矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算 逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 矩阵分块法
第二章 矩阵及其运算
2
第4讲 矩阵的概念 讲
一 概念的引入 线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组 否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质： 转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
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第二章 矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义 若 AT = A, 则称 为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称 为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章 矩阵及其运算 本章内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、 矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算 逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 矩阵分块法
第二章 矩阵及其运算
2
第4讲 矩阵的概念 讲
一 概念的引入 线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
精选版课件ppt
例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
精选版课件ppt
18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
精选版课件ppt
14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
精选版课件ppt
15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
第二章 矩阵及其运算
a11 b11 a12 b12 a1n b1n a 22 b22 a 2 n b2 n a b 21 21 a b a s 2 bs 2 a sn bsn s1 s1
称为 A 和 B 的和，记为
C A B.
批注
表示出来。
§2 矩阵的运算
矩阵的意义不仅在于把一些数据根据一定的顺序排列成 阵列形式， 而且还在于对它定义了一些有理论意义和实际意义 的运算，使它真正成为有用的工具。 一、矩阵的加法 1、定义 定义 设
A aij sn
a11 a 21 a s1 b11 b21 bs1
定义：设 A a ij
m s
是 m s 矩阵， B bij
s n
是 s n 矩阵，则定
义一个新的 m n 矩阵 C ：
C cij mn
s
其中
cij ai1b1 j ai 2 b2 j aik bkj ail blj aik bkj
批注
(2) 结合律 (A) (A) ( ) A (3) 分配律 ( A B) A B
A A
(4) 若 A 为 n 阶矩阵，则有 A n A 此外，还容易得到：
0 A 0,
A (1) A
矩阵相加与数乘矩阵合起来统称为矩阵的线性运算。 例
矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法； 分块求逆方法。
矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆 方法
讲授 习题课 答疑
教 学 内 容
第二章 矩阵及其运算
矩阵是将一组有序的数据视为 “整体量” 进行表述和运算， 使得问题简洁和易于了解本质。 矩阵不仅是解线性方程组的有 力工具， 而且是线性空间内线性变换的表现形式， 因此有关矩 阵的理论构成了线性代数的基本内容。 本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩 阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。 §1 矩阵 1、矩阵的概念
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
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2 4 1 A 1 0 3,
2
B 0 , C 4 3
2
§2.2 矩阵的运算
五、矩阵转置 1、定义把矩阵A=[aij]m×n的行列互换得到一个新
的矩阵，称为矩阵A的转置，记作AT。
a11
A
a2 1
am1
a1 2 a2 2
am2
a1n
A
1 0
0 1
0 0
0 0
1 0 1 0
§2.1 矩阵的概念
【练习】 设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下表 所示。请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示第 一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一季 度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？
一月 二月 三月
水费 20元 22元 25元
第2章 矩阵及其应用
1 矩阵的概念(★)
3
逆矩阵
5
7
2
矩阵的运算
4
矩阵的应用
6
第2章 矩阵及其应用
重 点:
1、矩阵的定义 2、矩阵的运算
难 点:
矩阵的应用
§2 矩阵及其应用
一、学习矩阵的目的 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等
应用数学学科中。计算机科学中，三维动画制作也需 要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。 将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用 上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩 阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算 算法。
A 1
4, B
3
2, C 5 6
§2.2 矩阵的运算
二、矩阵的数乘 1、定义 设A=[aij]m×n ，k为数，数k与矩阵A的乘积定义为：
kA= [kaij]m×n ，或者记为Ak。 【例如】设k=5矩阵A如下所示，则5A=？
2 3 A 1 4
2、矩阵数乘的运算性质 (1) 1A=A (2) (ku)A=k(uA) (3) (k+u)A=kA+Ua (4) k(A+B)=ka+kB
电费 150元 100元 80元
物业费 200元 200元 200元
煤气费 10元 15元 10元
§2.1 矩阵的概念
三、特殊矩阵
1、方阵
2、零矩阵（0）
3、行矩阵
4、列矩阵
a11 0 0 0
5、对[a角ij方]n阵n（对角阵00 ）
a22 0
0 a33
0
0
6、单位矩阵（I）:主0对角线0元素全0为1的a对4角4 阵。
7、矩阵相等
8、对称矩阵：aij= aji元素以主对角线为对称轴对应相等。 9、负矩阵（-A）
§2.1 矩阵的概念
【例如】设有矩阵相等如下，求x,y,z。
x 1 8 3 1 z
0 y
4
0
2
4
【例如】设矩阵A如下，求其负矩阵-A。
2 1 3 A 2 1 6
4 5 0
2 1 3 A 2 1 6
1 6 3
1 2 0 B 4 3 2
1 3 3
§2.2 矩阵的运算
【练习】设某厂家向3个商店分别销售了4种产品，如矩阵
(aij)3×4所示，每种商品的价钱和重量如矩阵(bij)4×2所示。试 用矩阵运算求某厂家对每个商店销售商品
[aij ]34
0
7
10
0
50 40 50 50
30 40
[bij ]42
16 22
30 30
18 20
§2.2 矩阵的运算
2、矩阵乘法运算性质 (1)不满足交换律 (2)左分配律A(B+C)=AB+AC 右分配律 (B+C)A=BA+CA (3)结合律 A(BC)=(AB)C (4)数与矩阵的结合律 (kA)B=A(Kb)=k(AB) 【练习】验证矩阵乘法的结合律
A B 1 3
4
2
2
2
【练习】A+(-A)=?
【考虑】矩阵的减法
§2.2 矩阵的运算
2、矩阵加法运算性质 设矩阵ABC都是m×n同类型矩阵，则： (1)A+B=B+A (2)A+(B+C)=(A+B)+C (3)A+O=A (4)A+(-A)=0 【练习】验证结合律。
2 3
3 2
0 4
§2.1 矩阵的概念
【例如】某厂家向四个商店发送四种产品的数量可用矩阵表示。
a11 a12 a13 a14
[aij ]44
a2 1 a3 1
a2 2 a3 2
a2 3 a3 3
a2
4
a3 4
a41 a42 a43 a44
其中aij表示向第i个商店发送第j种产品的数量。这四种产品
的单价和重量设用矩阵(bij)4×2表示。
§2.1 矩阵的概念
二、矩阵的定义 1、矩阵的定义 由m×n个数排成的m行n列的矩阵表示为：
a11
[aij ]mn
a2
1
am1
a1 2 a2 2
am2
a1n
a2n
amn
其中i {1,2, ,m}, j {1,2, ,n}
矩阵一般都是用大写黑体字母A,B, …等表示，为指明矩阵的 行列信息，通常带下标，如：Am×n 或[aij]m×n
b11
(bij )42
b21 b31
b41
b12
b2
2
b3
2
b42
其中bi1表示第i种商品的单价， bi2表示第i种商品的重量。
§2.1 矩阵的概念
【例如】四个城市间的直接单向可达航线如图2.1所示。若城 市之间的单向航线定义为：
1 第i个城市和第j个城市直接可达
aij 0
直接不可达
0 1 1 1
4 5 0
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法 1、定义
设A=[aij]m×n ,B=[aij]m×n ,以A与B对应元素之和为元素构成 的m×n 矩阵，称为矩阵A与B的和，记作A+B，公式如下
： 【例如】
A B [aij bij ]mn
2 3
3 2
A 1
4,
B
3
2
2 3 3 2 1 5
§2.2 矩阵的运算
三、矩阵的线性运算
矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。
四、矩阵的乘法
1、定义 设A=[ail]m×k ,B=[blj]k×n ,设其乘法矩阵 AB用C=[cij]m×n 表示如下：
cij ai1b1 j ai2b2 j aik bkj
k
ail blj
l 1
i {1,2, , m}, j {1,2, , n}
§2.2 矩阵的运算
【练习】已知矩阵A、B如下所示，求AB=？ BA=?
2 4 1 A 1 0 3,
2 B 0
2
2
2 AB 1
4 0
1 3
•
0 2
2 2 4 0 1 1 2 0 0 3
2 2
6 8
【思考】BA=? IA=? AI=?
【例如】设已知矩阵A和B如下，求矩阵AB和BA.
2 3 1 A 5 4 2