Matlab与工程计算 第二章 Matlab矩阵及其运算
matlab第二章矩阵运算基础
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例2.1 创建矩阵
>>x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >>x=[1 2 3 456 7 8 9] >>x=[a b c;e f g;u v w] >>x=[1 2 3;4 5 6]; y=[2 3 4;5 6 7] >>Q=x*y >>a=2;b=3 >>x=a*b
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2.1 矩阵的创建
2、 赋值语句 MATLAB赋值语句有两种格式：
变量=表达式（或数） 表达式
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【例2.2】 x＝[1,2,3;4,5,6;7,8,9] 与[1,2,3;4,5,6;7,8,9]。
5 + cos 47
【例2.3】计算
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§2.2 矩阵和数组的算术运算 六、点运算
C＝A.*B C=A.\B
C=A./B C=A.^B
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§2.2 矩阵和数组的算术运算 七、幂运算
C=A^B C=A.^B
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例2.12 例2.13 例2.14 例2.15
find(x)
检查x是 否全为1
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例2.20 建立矩阵A，然后找出大于4的元素位置 （1）建立A >>A=[4 -6 5 -54 0 6 56 0 67 -45 0] （2）找出大于4的元素位置 >>find(A>4)
第2章MATLAB矩阵及其运算
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第 2 章 MATLAB 矩阵及其运算
的求解方法时，因不完善的设计导致的内存溢出。在此，主要针对第二种情况进行分析并 给出相应的解决方案。
1．变量名区分大小写 变量名的定义必须符合以下条件： 必须以字母开头。 由字母、数字、下划线组成。 最长为 31 个字符。 一些用户不可以清除的变量，如 ans、eps、pi、Inf、NaN 等。 【例 2-1】 变量定义举例如下：
A a king
在 MATLAB 中的变量不需要事先定义，在遇见新的变量名时，MATLAB 会自动建立 并且为其分配存储空间。如果遇见已经出现的变量，会重新为其分配空间。
a = complex(2,9) b = real(a) c = imag(a)
MATLAB 运行结果如下：
a= 2.0000 + 9.0000i
b= 2
c= 9
3．除了可以把数值直接赋给变量，还可以将表达式、矩阵赋给变量
对于矩阵的讲解，会在后面详细讲解。 【例 2-4】 变量的赋值举例如下：
a=[1 4 7] B=abs(6+13i) C=[]
（4）不同数据结构的内存。 在 MATLAB 中，8 位、16 位、32 位、64 位的有符号整型或无符号整型分别占用 1、2、4、8 字节空间，单精度、双精度浮点数分别占用 4、8 字节空间。 在 MATLAB 中，复数的存储比较特殊。复数的实部和虚部在内存中是分开存放的， 当在程序中修改复数的实部或虚部时，会在修改数据的同时复制复数的实部和虚部。 在 MATLAB 中，当数组的元素绝大部分为 0 时，MATLAB 一般默认采用稀疏矩 阵进行存储以节省空间。
a=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
第2章--MATLAB矩阵及其运算PPT课件
save 文件名 [变量名表] [-append] [-ascii] load 文件名 [变量名表] [-ascii]
.
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文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat， 命令隐含一定对.mat文件进行操作。
变量名表中的变量个数不限，只要内存或 文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。 当变量名表省略时，保存或装入全部变量。
第2章 MATLAB矩阵及其运算
2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵
.
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2.1 变量和数据操作
2.1.1 变量与赋值 1．变量命名 在MATLAB 7 中，变量名是以字母开头， 后接字母、数字或下划线的字符序列，最 多63个字符。在MATLAB中，变量名区分 字母的大小写。
1．直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接
输入矩阵的元素。
具体方法如下：将矩阵的元素用方括号 括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同 一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不 同行的元素之间用分号分隔。
.
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2．利用M文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为
.
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• Abc=5 a_9=4; 3an=4;
%合法变量名 %合法变量名 %非法变量名
• MATLAB提供的标准函数名以及命令名必须
用小写字母。
Help plot
%非法
help plot
%合法
.
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2．赋值语句 (1) 变量=表达式 (2) 表达式
其中表达式是用运算符将有关运算量连 接起来的式子，其结果是一个矩阵。
Matlab矩阵及其运算
2.2 Matlab矩阵及其操作
2.2.3 特殊矩阵 • 通用特殊矩阵
zeros：产生全0矩阵(零矩阵) ones：产生全1矩阵(幺矩阵) eye：产生单位矩阵 rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵 randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随 机矩阵
2.2 Matlab矩阵及其操作
2.4 字符串、结构和单元数据
2.4.1 字符串 • 构建
使用‘单撇号’括起来的字符序列，例：str=‘Hello World!’
• 字符串操作
以ASCII码形式存储 获取字符ASCII值：double或abs函数 ASCII转化为字符输出：char函数 例： double('a') abs('a') char(63) (Ex2_12)
定义[ ]为空矩阵，x=[ ] x=[ ]与clear x的区别 将某些元素从矩阵中删除可设置为空矩阵
• 改变矩阵形状
reshape(A,m,n)函数 例：x=[23,45,56,67,78,34,98,65,43,76,12,46] y=reshape(x,3,4) y1=reshape(x,2,6)
• 转置与旋转
转置：单撇号(’)，即A’ 旋转：rot90(A,k)函数 左右和上下翻转：fliplr(A)和flipud(A)
2.3 Matlab运算与矩阵分析
2.3.2 矩阵分析 • 矩阵的逆和伪逆：inv(A) 和pinv(A) • 方阵行列式：det(A) • 矩阵的秩与迹：rank(A)和trace(A) • 向量和矩阵范数：norm(V,1)、 norm(V)和 norm(V,inf) • 矩阵条件数： cond(V,1)、 cond(V)和 cond(V,inf) • 矩阵特征值与特征向量：[V,D]=eig(A) (Ex2_11)
MATLAB矩阵及其运算变量和数据操作MATLAB矩阵
2．赋值语句 (1) 变量=表达式 (2) 表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连接 起来的式子，其结果是一个矩阵。
例2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。 在MATLAB命令窗口输入命令： x=1+2i; y=3-sqrt(17); z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y)) 其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量， 分别代表代表圆周率π和虚数单位。 输出结果是： z= -0.3488 + 0.3286i
(2) 范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1， 倒数第二列为一个指定的向量，其他各列 是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用 一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在 MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V 为基础向量的范得蒙矩阵。例如， A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩 阵。
其中，文件名可以带路径，但不需带扩展 名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。 变量名表中的变量个数不限，只要内存或 文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。 当变量名表省略时，保存或装入全部变量。 -ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略 该选项时文件将以二进制格式处理。save命 令中的-append选项控制将变量追加到MAT 文件中。
例2-7 求(x+y)5的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(6) 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展 开式的系数。
2.3 MATLAB运算 2.3.1算术运算 1．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、 －(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个 数据的算术运算只是一种特例。
MATLAB矩阵及其运算
3.矩阵拼接 （1）水平方向拼接：c=[a b]或者 c=[a,b] 垂直方向拼接：c=[a；b]
（2）Cat 函数用于指定方向拼接： m=cat(1,a,b,c,...)垂直拼接； m=cat(2,a,b,c,...)水平拼接； m=cat(3,a,b,c,...)三维数组
（3）repmat 函数用于通过输入矩阵的备份拼接成新的大矩 阵 B=repmat(A,m,n):表示将 A 矩阵做一个最小单元，用 m 行 A 矩阵，n 列 A 矩阵拼成矩阵 B
(8)矩阵的超越函数（直接作用于方阵） sqrtm(a):计算矩阵的平方根。若 a 为对称正定矩阵，则能算 出它的平方根，若 a 矩阵含有负的特征根，则 sqrtm(a)可得到一个复矩阵； 矩阵对数函数 log m 的输入参数的条件与输出结果间的关系 和函数 sqrtm(a)一样； 矩阵指数函数 expm 的功能是求矩阵指数， expm 函数与log m 函数是互逆的；
通用矩阵函数 funm 对矩阵 a 的计算由 fun 定义的函数矩阵 的函数值。
（行，列）
则有 b = 0.0975
（3）多元素访问：(以矩阵 A 为例) A(m,n,q):表示取数组或矩阵 A 的第 m 个元素开始，每隔 n 步，一直到 q 的所有元素； A([m n g]):表示取数组或矩阵 A 中的第 m,n,g 个元素； A（:,c）:表示取第 c 列所有元素； A（r,:）:表示取第 r 行所有元素； A(i:i+m,:):表示取从第 i 行到 i+m 行的全部元素； A(： ，k:k+n):表示取从第 k 列到 k+n 列的全部元素； A(i:i+m,k:k+n):表示取从第 i 行到 i+m 行内，并在第 k 列到 k+n 列的全部元素。 例如：
第二讲 MATLAB矩阵及运算
2.2.2 矩阵的修改 直接修改 可用↑键找到所要修改的矩阵， 可用↑键找到所要修改的矩阵，用←键移动 到要修改的矩阵元素上即可修改。 到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改 可以用A(∗ ∗ 来修改。 可以用 ∗,∗)= ∗ 来修改。
2.2.3 元素提取和矩阵拆分
1 提取矩阵元素 （1）用行标和列标 ） 提取矩阵的第i行第 列的元素:A(i,j) 行第j列的元素 提取矩阵的第 行第 列的元素 按列编号: （2）采用矩阵元素的序号 ）采用矩阵元素的序号——按列编号 按列编号 A(index) 序号与下标是一一对应的 以m×n矩阵为例 × 矩阵为例 A(i,j)=A((j-1)*m+i)
（3）函数法：指一些特殊的矩阵 函数法： 函数法 常用的产生通用特殊矩阵的函数有： 常用的产生通用特殊矩阵的函数有： zeros：产生全 矩阵 零矩阵 。 矩阵(零矩阵 ：产生全0矩阵 零矩阵)。 ones：产生全 矩阵 幺矩阵 。 矩阵(幺矩阵 ：产生全1矩阵 幺矩阵)。 eye：产生单位矩阵。 ：产生单位矩阵。 rand：产生 ～1间均匀分布的随机矩阵。 间均匀分布的随机矩阵。 ：产生0～ 间均匀分布的随机矩阵 randn：产生均值为 ，方差为 的标准正态分 ：产生均值为0，方差为1的标准正态分 布随机矩阵。 布随机矩阵。 ex02.m
2.2.6 结构数组和单元数组
1 结构数组 一组不同数据类型但逻辑上相关的数据组成的矩阵。 一组不同数据类型但逻辑上相关的数据组成的矩阵。 建立：结构矩阵名.成员名=表达式 建立：结构矩阵名.成员名= 引用：结构矩阵名. 引用：结构矩阵名.成员名 2 单元数组 同结构数组一样，不同的是单元数组没有成员， 同结构数组一样，不同的是单元数组没有成员，直 接是数据 建立：同普通矩阵 引用：单元数组名{行号，列号} 建立： 引用：单元数组名{行号，列号} 例：用结构矩阵和单元矩阵存储3个学生的基本情况， 用结构矩阵和单元矩阵存储3个学生的基本情况， 包括学号、姓名和2门课成绩。（ex05.m） 。（ex05.m 包括学号、姓名和2门课成绩。（ex05.m）
matlab矩阵的运算
matlab矩阵的运算Matlab矩阵的运算是Matlab编程语言中重要的基础操作之一。
矩阵运算可以实现对矩阵的加减乘除以及其他一系列运算操作。
本文将介绍Matlab中常见的矩阵运算及其应用。
一、矩阵的定义与创建在Matlab中，可以使用矩阵来表示二维的数值数据。
矩阵的元素可以是数字、变量或者表达式。
我们可以通过以下方式定义和创建一个矩阵：1. 直接赋值可以直接使用方括号表示矩阵，每一行的元素用空格或逗号隔开，每一行之间用分号隔开。
例如：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];2. 函数创建Matlab提供了一些函数来创建特定形状的矩阵。
例如：- zeros(m,n)：创建一个m行n列的全零矩阵；- ones(m,n)：创建一个m行n列的全一矩阵；- eye(n)：创建一个n行n列的单位矩阵；- rand(m,n)：创建一个m行n列的随机值矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵加法与减法矩阵加法与减法需要满足相同维度的矩阵才能进行运算。
例如：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];B = [9, 8, 7; 6, 5, 4; 3, 2, 1];C = A + B;D = A - B;其中，矩阵C和D分别为A与B的加法和减法结果。
2. 矩阵乘法矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
例如：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];B = [7, 8; 9, 10; 11, 12];C = A * B;其中，矩阵C为A与B的乘法结果。
3. 矩阵除法矩阵除法可以分为左除和右除两种情况。
左除表示解决Ax = B形式的线性方程组，右除表示解决xB = A形式的线性方程组。
例如：A = [1, 2; 3, 4];B = [5, 6; 7, 8];X = A \ B;其中，X为线性方程组Ax = B的解。
三、矩阵的其他运算1. 矩阵转置矩阵转置是将矩阵的行与列进行互换。
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第2章Matlab矩阵及其运算2.1 Matlab变量2.2 Matlab数值矩阵2.3 运算符2.4 基本数学函数2.5 稀疏矩阵2.6 矩阵分析2.8 字符串2.9 结构数据2.10 细胞矩阵2.1 Matlab变量1. 变量命名规则在MATLAB 6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。
在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。
2．变量赋值变量=表达式3．预定义变量i，j，pi，eps，realmin，realmax，inf，NaN预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。
内存变量的管理1．指令操作法whowhosclear2. 现场菜单操作法3. 内存变量文件(.mat)save [文件名] [变量名表] [-append][-ascii] load [文件名] [变量名表] [-ascii]help savehelp load数值数据的输出格式MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。
在一般情况下，MATLAB内部每一个数值数据元素都是用双精度数来表示和存储的。
数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。
format 命令的格式为：format格式符其中格式符决定数据的输出格式help format2.2 MATLAB数值矩阵2.2.1 矩阵的建立1．直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。
具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。
2．利用M文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。
下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。
例2-2 利用M文件建立Mymat矩阵。
(1) 启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵：(2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。
(3) 在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。
3．利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：e1:e2:e3其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。
在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。
其调用格式为：linspace(a,b)linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
logspace(a,b)logspace(a,b,n)4．建立大矩阵大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。
5．使用repmat函数repmat(A,[M N P ...])repmat(A,M,N, P, ...)6. 使用blkdiag函数|A 0 .. 0 |Y =blkdiag(A,B,...) produces |0 B .. 0 ||0 0 .. |7．使用meshgrid函数[X,Y] = meshgrid(x,y)2.2.3 特殊矩阵1．通用的特殊矩阵A=zeros(N)A=zeros(M,N,P,…)A=zeros([M N P…])A=zeros(size(A))oneseye例2-3 分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵。
rand：The rand function generates arrays of randomnumbers whose elements are uniformly distributed in theinterval (0,1).randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
例2-4 建立随机矩阵：(1) 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。
(2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。
命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)2．用于专门学科的特殊矩阵(1) 魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。
对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。
MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)其功能是生成一个n阶魔方阵。
例2-5 将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。
(2) 范得蒙矩阵范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。
可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。
在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。
(3) 希尔伯特矩阵hilb(N)is the N by N matrix with elements 1/(i+j-1), which is a famous example of a badly conditioned matrix.使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。
MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。
例2-6 求4阶希尔伯特矩阵format rat %以有理形式输出H=hilb(4)H=invhilb(4)(4) 托普利兹矩阵托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。
toeplitz(x,y)toeplitz(x)(5) 帕斯卡矩阵我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。
由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。
pascal(n)2.2.3 Size and dimensions of matrices1．Size of a matrixa row vector [M N P…]S=size(A)2. Length of a matrixL=length(A)length(A)等价于max(size(A))3．Dimension of a matrixa scalar >2Dims=ndims(A)length(size(A))等价于ndims(A)4．Empty matrixA=[]2.2.2 矩阵的拆分1．矩阵元素的引用下标(Subscript )A(3,2)=200序号(Index)Index与Subscript的对应关系对m×n矩阵A为例，A(i,j)等价于A((j-1)*m+i)IND = sub2ind(SIZ,I1,I2,...,In)[I1,I2,I3,...,In] = ind2sub(SIZ,IND)2．矩阵拆分(1) 利用冒号表达式获得子矩阵A(:,j)A(i,:)A(i,j)A(i:i+m,:)A(:,k:k+m)A(i:i+m,k:k+m)A(i:end,k:k+m)A(:)A(:,:,:,…)(2) 利用Index获得子矩阵A(M) （M是一个整数矩阵）(3) 利用逻辑矩阵获得子矩阵A(M) （M是一个逻辑矩阵）(4) 利用空矩阵删除矩阵的元素在MATLAB中，定义[]为空矩阵。
给变量X赋空矩阵的语句为X=[]。
注意，X=[]与clear X不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。
(5) 矩阵维数和大小的变换在矩阵总元素保持不变的前提下，该函数按照Index的顺序将矩阵A 重新排成m×n的二维矩阵。
B = reshape(A,m,n)B = reshape(A,m,n,p,...)B = reshape(A,[m n p ...])B = reshape(A,...,[],...)B = reshape(A,siz)2.3 Matlab运算符和表达式Arithmetic operators；Relational operators ；Logical operatorsRelational operators 运算法则为：(1)Scalar to scalar(2)Matrix to matrix(3)Scalar to matrix(4)Matrix to scalarLogical operatorsMATLAB offers three types of logical operator and functions.Element-wise--operate on corresponding elements of logical arrays.& | ~ xorany(A) all(A)Note MATLAB converts any finite nonzero, numeric values used as inputs to logical expressions to logical 1, or true.Bit-wise--operate on corresponding bits of integer values or arrays.bitand(a,b)bitor(a,b)bitcmp(a,b)bitxor(a,b)Short-circuit--operate on scalar, logical expressions.&& | |e.g. x = (b ~= 0) && (a/b > 18.5)(3) 利用逻辑矩阵获得子矩阵A(M) （M是一个逻辑矩阵）A(logical expression) e.g. A(A>3)Index = find(A)[i,j] = find(A)[i,j,v] = find(A)Index = find(logical expression)[i,j] = find(logical expression)[i,j,v] = find(logical expression)A(find(A>3))2.4 基本数学函数(Elementary math functions)MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。
1.三角函数(Trigonometric)2.指数函数(Exponential)3.复数函数(Complex)4.圆整和求余函数(Rounding and remainder)5.Discrete Math6.特殊函数(Specialized math functions)7.Coordinate System Conversion8.矢量函数(Vector functions)1. 三角函数(Trigonometric)acos反余弦acosh反双曲余弦acot反余切acoth反双曲余切acsc反余割acsch反双曲余割asec反正割asech反双曲正割asin反正弦asinh反双曲正弦atan反正切atanh反双曲正切atan2 四象限反正切cos余弦cosh双曲余弦cot 余切coth双曲余切csc余割csch双曲余割sec 正割sech双曲正割sin 正弦sinh双曲正弦tan 正切tanh双曲正切2. 指数函数(Exponential)exp 指数log 自然对数log10 常用对数log2 以2 为底的对数 pow2 2 的幂sqrt平方根3. 复数函数(Complex)abs 绝对值angle 相角conj 复数共轭imag复数虚部real 复数实部4. 圆整和求余函数(Rounding and remainder)ceil 朝正无穷大方向取整fix 朝零方向取整floor 朝负无穷大方向取整round 四舍五入取整sign 符号函数mod(X,Y) 模数求余rem(X,Y) 求余数So long as operands X and Y are of the same sign, the function mod(X,Y) returns the same result as does rem(X,Y).However, for positive X and Y, mod(-X,Y) = rem(-X,Y)+Y5. Discrete Math (e.g., Prime Factors)factor Prime factors factorialFactorial functiongcd Greatest common divisorisprime True for prime numberslcm Least common multiplenchoosek All combinations of N elements taken K at a time perms All possible permutationsprimes Generate list of prime numbersrat, rats Rational fraction approximation6. 特殊函数(Specialized math functions) Specialized Math7. Coordinate System Conversion Cartesian polar sphericalcart2pol 直角坐标变为柱(或极)坐标cart2sph 直角坐标变为球坐标pol2cart柱(或极)坐标变为直角坐标sph2cart 球坐标变为直角坐标8. 矢量函数(Vector functions) cross 向量叉积dot 向量内积2.4 稀疏矩阵2.4.1 矩阵存储方式MATLAB的矩阵有两种存储方式：完全存储方式和稀疏存储方式。