旋转相似变换及其本质特征

旋转相似变换及其本质特征
江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300
一、旋转相似变换的概念
2007年江苏省南京市中考试卷的第27题给出了一个新概念——旋转相似变换： 在平面内，首先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为(,)O k θ，其中点O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将ABC △以点A 为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60
，得到ADE △，这个旋转相似变换记为A (
， )；
②如图2，ABC △是边长为1cm 的等边三角形，将它作旋转相似变换
90)A
，得到ADE △，则线段BD 的长为
cm ；
（2）如图3，分别以锐角三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 为边向外作正方形ADEB 、BFGC 、CHIA ，点1O 、2O 、3O 分别是这三个正方形的中心，试分别利用△31O AO 与ABI △，CIB △与2CAO △之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段31O O 与A O 2之间的关系．
解析：（1）①2，60°；②2．
（2）13AO O △经过旋转相似变换)A
，得到ABI △，此时，线段31O O
变换为线段BI ；CIB △经过旋转相似变换45C ⎫⎪⎪⎝⎭
，得到2CAO △，此时，线
段BI 变换为线段A O 2．因为12
2
2=⨯
，45°
＋45°＝90°，所以A O O O 231=，A O O O 231⊥．
实际上，这种旋转相似变换是位似变换和旋转变换的“复合变换”．为了便于说明，本文中旋转相似变换的研究对象仅限于三角形，旋转相似中心为三角形的一个顶点，旋转角θ满足0°<θ<180°．
二、任意三角形旋转相似变换的规律
图4~图8是将任意△ABC 以顶点A 为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE 得到的一组图形，其中旋转角θ分别满足：①0°<θ<∠BAC ；②θ＝∠BAC ；③∠BAC <θ<180°―∠BAC ；θ＝180°―∠BAC ；⑤180°―∠BAC<θ<180°．
C
C
图4 图5
图6
E
C
C
图7 图8
连接BD 、CE ，设BD 或其延长线交CE 于点F ． 由△ABC ∽△ADE ，易得
AB AC
AD AE
=
，∠BAD ＝∠CAE ，所以△ABD ∽△ACE ．其相似比AB
k AC
=
，∠ABD ＝∠ACE ，于是∠BFC ＝∠BAC ． 因此，在这组图形中，△ABD 和△ACE 的旋转相似变换关系是其本质特征．
三、几个特殊三角形旋转相似变换的规律
1．等边三角形
图9~13，是将等边△ABC 以顶点A 为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE 得到的一组图形，其中旋转角θ分别满足：①0°<θ<60°；②θ＝60°；③60°<θ<120°；④θ＝120°；⑤120°<θ<180°，
图9 图10 图
11
图12 图13
连接BD 、CE ，设BD 或其延长线交CE 于点F ，易得△ABD ≌△ACE ，∠BFC ＝∠BAC ＝60°．
因此，在这组图形中，将△ABD 绕顶点A 逆时针旋转60°后变换到△ACE 是其本质特征．
此外，如图14，当变换到点B 、D 、E 在同一直线上时，则有CE ＋AE ＝BE ．如图15，当变换到DC ⊥BC 时，则有CA 2＋CD 2＝CE 2．如图16，当变换到点C 、D 、E 在同一直线上时，则有AD ＋CD ＝BD 等等．
E
E
E
图14
图15 图16
2．等腰直角三角形
图17~19，是将等腰直角△ABC（顶角为A）以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形．
图17 图18 图19
连接BD、CE，设BD或其延长线交CE于点F易得△ABD≌△ACE，∠BFC＝∠BAC＝90°，即BD⊥CE．
因此，在这组图形中，将△AB D绕顶点A逆时针旋转90°后变换到△ACE是其本质特征．
3．等腰三角形
图20~22，是将等腰△ABC（顶角A为θ）以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形．
D
E E
图20 图21 图22
连接BD、CE，设BD或其延长线交CE于点F，则有△ABD≌△ACE，所以∠ABD＝∠ACE，于是∠BFC＝∠BAC＝θ．
因此，在这组图形中，将△ABD绕顶点A逆时针旋转θ角后变换到△ACE是其本质特征．
此外，如图22，当变换到BD平分∠ABC时，设BD与AC交于点G，则有线段FC是线段FG和FB的比例中项．
上述几个规律可以帮助我们判断在一个图形中是否存在三角形旋转，从而利用旋转知识解决问题，下面举例说明：
例1如图23，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF
都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积．
E
图23
解析：根据已知条件，△BDF 可以看成是△ABC 绕点B 逆时针旋转60°后形成的，于是△BDF ≌△BAC ．同理可证△CEF ≌△CAB ．由此可得四边形AEFD 是平行四边形，而∠DAE ＝150°，所以四边形AEFD 的面积为6．
例2 如图24，在梯形ABCD 中，AB//CD ，∠BCD ＝90°，且DC ＝2AB ，tan ∠ADC ＝2．
(l)求证：DC ＝BC ；
(2)若E 是梯形内一点，且EB ＝2，EC ＝4，∠BEC ＝135°，求ED 的长．
F
C
图24
解析：(l)过点A 作AH ⊥DC ，垂足为H ．因为DC ＝2AB ，所以DH ＝AB ． 因为tan ∠ADC ＝
DH
AH
＝2，所以AH ＝2DH ，所以BC ＝2AB ．所以DC ＝BC ． (2)以CE 为一条直角边、C 为直角顶点作等腰直角△CEF ，则EF ＝42，连接BF ．易证△CDE ≌△CBF ，所以ED ＝FB ．
在△BEF 中，因为∠BEF ＝135°―45°＝90°，所以FB ＝2
2
)24(2 ＝6，即ED ＝6．
例3 如图25，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°，连接DA ．求证：DA 平分∠CDE ．
F
图25
解析：连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF．
因为∠ABC＋∠AED＝180°，∠AEF＋∠AED＝180°，所以∠ABC＝∠AEF．又AB＝AE，所以△ABC≌△AEF．所以AC＝AF．
因为BC＋DE＝CD，EF＝BC，所以CD＝FD．
又AD＝AD，所以△ACD≌△AFD．
于是DA平分∠CDE．
例4如图26，在四边形ABCD中∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，CD＝CB，求证：AB2＋AD2＝AC2．
C
A
图26
解析：以CA为边作等边ΔCAE，连接ED．
根据已知条件，易证ΔCDE≌ΔCBA，所以ED＝AB，∠EDC＝∠ABC．
在四边形ABCD中，因为∠ABC＋∠ADC＝360°－30°－60°＝270°，所以∠EDC ＋∠ADC＝270°，所以∠ADE＝90°．
在RtΔADE中，根据勾股定理，得ED2＋AD2＝AE2，所以AB2＋AD2＝AC2．。