第6章 矩阵的相似变换

6 3 6 A= 6 3 6 −6 −6 −9
2
求特征值 A − λ E = − ( λ − 3 )( λ + 3 ) = 0
λ1 = λ2 = −3, λ3 = 3.
第2步 求线性无关的特征向量， 即求 ( A − λi E ) x = 0 的基础解系
λ1 = λ2 = −3,
⇔ Api = λi pi ( i = 1,L , n)
说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量， 就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它 拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。
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定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。
Ap = λ p
特征值 λ 的特征向量。 把(1)改写为
(1)
则称λ 为A的特征值, 非零向量p称为A的对应于(或属于)
( A− λE) p = 0
⇔ A− λE = 0
(2)
λ 是A的特征值 ⇔ λ 使得 ( A − λ E ) x = 0 有非零解
( A − λ E ) x = 0 的所有非零解向量都是对应于 λ 的特征向量.
µ2
的特征值 O µn
解: 特征多项式
µ1 − λ A− λE = µ2 − λ O
对角阵的特征值 就是对角线元素
µn − λ
= ( µ1 − λ )( µ2 − λ ) L ( µn − λ ) = ( −1)n ( λ − µ1 )( λ − µ2 ) L ( λ − µn )
x1 = − x3 同解方程组为 ，令 x3 = 1, 得基础解系 x2 = x3 −1 基础解系的个数与 p3 = 1 特征值重数相等 1
因此，对应于特征值 λ3 = 2 的所有特征向量为
k3 p3 ( k3 ≠ 0 )
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例2
µ1 求矩阵 A =
所以A 的特征值为 λ1 =µ1 , λ2 =µ2 , L , λn =µn .
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二、特征值和特征向量的性质 定理1 设 λ 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , L , ps 是属于 λ 的特征向量，则 p1 , p2 , L , ps 的任意非零线性组合 仍属于 λ 的特征向量。
A ( k1 p1 + k 2 p2 + L + k s ps ) = k1 Ap1 + k 2 Ap2 + L + k s Aps = k1λ p1 + k2 λ p2 + L + k s λ ps = λ ( k1 p1 + k 2 p2 + L + k s ps )
解: 特征多项式
−1 − λ A− λE = 1 0
= (2 − λ )
−4 3−λ 0
−1 − λ 1
1 0 2−λ
−4 3−λ
= ( 2 − λ )( −(1 + λ )(3 − λ ) + 4 )
= ( 2 − λ )( 1 − λ )
2
所以A 的特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2.
记 P = ( p1 , p2 , L , pn )
⇔ ( Ap1 , Ap2 , L , Apn ) = ( λ1 p1 , λ2 p2 , L , λn pn )
λ1 λ2 ⇔ A ( p1 , p2 , L , pn ) = ( p1 , p2 , L , pn ) O λn
称作矩阵A的迹 (trace), 记为tr(A)
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二、特征值和特征向量的性质 定理3 设 λ 是方阵 A 的特征值，p 是属于 λ 的特征向 量，则
（1） k λ 是 kA的特征值，p 是 kA属于 k λ 的特征向量
k k （2） λ 是 Ak 的特征值，p 是 A 属于λ 的特征向量 k
−1 −4 1 A = 1 3 0 0 0 2
−1 p = 1 1
==
−1 − 2 2 p = 2 1 = 2 1 2
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一、特征值和特征向量 定义 设A是n阶方阵, 如果数λ 和n维非零向量p满足
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第六章 矩阵的相似变换
§6.1 方阵的特征值与特征向量 §6.2 相似矩阵 §6.3 实对称矩阵的对角化
§6.2 相似矩阵
定义 设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使
P −1 AP = B
则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A做运 算 P −1 AP 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A 变成B的相似变换矩阵。 特别地，如果A与对角矩阵 Λ = diag(λ1 , λ2 , L , λn ) 相似，则称A是可对角化的。称 Λ 为A的相似标准形。
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性质 (1) 相似关系是一种等价关系; (2) A与B相似, 则 R(A)=R(B); (3) A与B相似, 则 A − λ E = B − λ E ; 从而A与B有相同的特征值; (4) A与B相似, 则 A = B ; (5) A与B相似, 则 tr( A) = tr( B ) ; (6) A与B相似, 则 ϕ ( A) 与 ϕ ( B ) 相似;
（4） 若A 可逆，则 λ ≠ 0 ，且 λ
−1
是 A 的特征向量
−1 * p 是 A* （5） 若A 可逆，则 λ A 是 A 的特征值，
的属于 λ −1 A 的特征向量
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二、特征值和特征向量的性质 定理4 不同的特征值对应的特征向量线性无关
λ1 p1 λ2 L L λn −1 λn
线性无关
p2 pn −1 pn
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定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个 特征值的线性无关的特征向量个数等于该特征值的重数。
λ1 λ1 λ2 M λ2 λs M λs ns ==== M n2 ==== M n1 ====
R X A− λ1 E = n − R ( A − λ1 E )
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二、特征值和特征向量的性质 定理2
a11 a21 A= M an1
a12 a22 M an 2
L a1n L a2 n O M L ann
设 n 阶方阵 A 特征值为 λ1 , λ2 ,L, λn , 则
(1) λ1 + λ2 + L + λn = a11 + a22 + L + ann ( 2) λ1λ2 Lλn = A
x1 = −2 x2 同解方程组为 ，令 x2 = 1 ，得基础解系 x3 = 0 −2 基础解系的个数与 p1 = 1 特征值重数不相等 0 因此，对应于特征值 λ1 = λ2 = 1 的所有特征向量为
k1 p1 ( k1 ≠ 0)
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− 1 −4 1 A = 1 3 0 II. 对于 λ3 = 2 ，解方程组 ( A − λ3 E ) x = 0 0 0 2 −3 −4 1 1 0 1 r A − λ3 E = A − 2 E = 1 1 0 → 0 1 −1 0 0 0 0 0 0
（3） 若 ϕ ( A) 是 A 的 m 次多项式，即
ϕ ( A) = a0 E + a1 A1 + L + am Am
1 m 则 ϕ (λ ) = a0 + a1λ + L + am λ 是 ϕ ( A) 的特征值，p 是
ϕ ( A) 的属于ϕ (λ ) 的特征向量
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二、特征值和特征向量的性质 定理3 设 λ 是方阵 A 的特征值，p 是属于 λ 的特征向 量，则
p1 ,L , ps 是与其对应的 证：设 λ1 ,L , λs 是方阵 A 的特征值，
特征向量 当 s = 1 时，特征向量 p1 ≠ 0 ，线性无关 假设 s = m − 1 时，特征向量 p1 , p1 ,L , pm −1 线性无关。 那么当 s = m 时，令
k1 p1 + k2 p2 + L + km pm = 0
⇒ k1 (λ1 − λm ) = k2 (λ2 − λm ) = L = km −1 (λm −1 − λm ) = 0
⇒ k1 = k2 = L = k m −1 = 0
⇒ km pm = 0, pm ≠ 0 ⇒ km = 0
p1 , p1 ,L , pm −1 , pm 线性无关。 所以，
综上所证，结论成立。
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a11 − λ
f (λ ) = A − λ E =
a21 M a n1
= ( −1)n ( λ n +cn −1λ n−1 + L +c1λ +c0 )
a22 − λ L a2 n M M L ann − λ an 2
a12
L
a1n
是关于λ 的一元 n 次多项式，称为 A 的特征多项式。 而 f (λ ) = A − λ E = 0 称为 A 的特征方程。 由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根 按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围内恰有 n 个特征值。
第六章 矩阵的相似变换
§6.1 方阵的特征值与特征向量 §6.2 相似矩阵 §6.3 实对称矩阵的对角化
§6.1 方阵的特征值与特征向量
引例 已知 则
− 1 −4 1 − 1 − 2 = 2 Ap = 1 3 0 1 0 0 2 1 2
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