线性代数第五章矩阵的相似变换
线性代数第五章
又因为c1 c 2 即
1 2
0
1 0 2 0
这与1 , 2 互异矛盾，所以假设不成立 即 c1 1 c 2 2 不是 A 的特征向量．
5. 实对称矩阵不相等的特征值所对应的特征向量正交 例 设3阶实对称矩阵 A 的特征值为6,3,3，特征值6对应 的特征向量为 p1
关于实对称矩阵的特征值和特征向量有非常好的 性质，尤其是实对称矩阵正交相似对角阵的过程， 综合考查了求行列式、求解齐次线性方程组、求特 征值和特征向量、正交化及规范化、相似对角化等 内容，加之有二次型的应用背景，非常重要，应熟 练掌握．
典型题目
1. 求方阵的 k 次方
例
2 设A 0 4 1 2 1 1 0 3
A 的 2 重特征值刚好有两个线性无关的特征向量， 所以 A 可以对角化. 即存在可逆的矩阵
1 P ( p1 , p 2 , p 3 ) 0 1 2 1 4 0 0 1 1
使得
1 1 P AP
2
以上就是判断 A 是否可对角化，以及求相似变换 矩阵的过程。这一过程在实对称矩阵和二次型里还 经常用到。
证明 反证法 假设 c1 1 c 2 2 是 A 的特征向量，所对应的特征值为 则有 展开
A ( c1 1 c 2 2 ) ( c1 1 c 2 2 )
Α ( c 1 1 c 2 2 ) c 1 ( Α 1 ) c 2 ( Α 2 ) c 1 1 1 c 2 2 2
det A 1 2 n
1 2 n a11 a 22 a nn
② 设 Ax x ，则有 f ( A ) x f ( ) x 这个式子说明 f ( A ) 的特征值是 f ( ) ，特征向 量不变．
相似变换矩阵
相似变换矩阵相似变换矩阵是指两个基向量组在空间内所表示的二维或多维矢量之间的一种变换，即将一组基向量映射到另一组基向量的变换。
它的一般矩阵形式表示为A=SDT，其中S是一个n乘n的对角正交变换，D是一个不变的n乘n的正定矩阵，T是n乘n的正交矩阵。
一、定义1、相似变换矩阵是指一种从基向量空间向原始空间的线性变换，它把一组基向量映射到另一组基向量，称为相似变换矩阵。
2、它的矩阵形式表示为A=SDT，S是一个对角正交变换，D是一个不变的正定矩阵，T是一个正交矩阵。
二、特点1、相似变换矩阵可以进行圆锥剪裁变换，表示出将原空间的单位向量映射到投影空间的单位向量；2、它可以表示出空间中某一点由点A变换到点B的映射；3、它可以改变空间中的几何图形的形状或大小；4、它可以改变空间中的点的坐标；5、它可以改变空间矩阵中的一部分元素，而影响行列式的值；6、它还可以表示空间中一个方向向量从一点经过变换后在另一点的变换矩阵。
三、应用1、相似变换矩阵可以用来描述投影变换、旋转变换、拉伸变换等变换；2、它可以用于计算图形变换，包括缩放、旋转、平移、膨胀、板块变换/平面变换等；3、在计算机图形学中，可以利用它来变换几何图元的坐标；4、在数字图像处理中，也可以利用它来实现图像的缩放、旋转及镜像等操作；5、在非线性控制算法研究中，可以利用它实现控制器空间中的各种变换；6、在天文学中，可用它描述宇宙学中的物理量的变换；7、在量子力学中，可以利用它来描述量子系统的运动。
四、总结相似变换矩阵是一种将一组基向量映射到另一组基向量的线性变换。
它的矩阵形式表示为A=SDT，其中S是一个n乘n的对角正交变换，D是一个不变的n乘n 的正定矩阵，T是n乘n的正交矩阵。
它可以用于各种类型的图形变换、数字图像处理等操作，也可用于非线性控制算法等研究方面。
线性代数 第五章 相似矩阵与二次型 第1节
就正交。
显然，零向量与任何向量正交。
定义 一组两两正交的非零向量，称为正交向量组。
定理 如果 n 维向量 1, 2 ,..., m 为正交向量组， 则1, 2 ,..., m 线性无关。
证明 设有1，2，m 使11 2 2 ... m m 0
以
T 1
左乘上式两端，得
1
T 1
1
0
因1 0， 故1T1 1 2 0，从而1 0。
1 3 1
4 6
1 2 1
5 3
1 1 ; 1
3
3
[ 3, 1] [1, 1]
1
[ 3, 2] [2, 2 ]
2
4 1 0
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
2 0
2
再把它们单位化，取
e1
1
1
1 6
1 2 , 1
e3
3
3
r1,n , 把1，r ,r1,n 正交规范化
就得到 Rn 的一个正交规范基。
五、正交矩阵与正交变换
定义 若 n 阶方阵A 满足 AT A E (即A1 AT )
则称 A 是正交矩阵。
若记 A 1 2 n ，则 AT A可表示为：
12TT
1
2
n E
T n
即
iT j
1 0
当i 当i
四、施密特正交化方法
把基 1, 2 ,..., n 化成标准正交基的具体步骤：
先正交化：
令
1
，
1
2
2
[ 2 , [1,
1] 1]
1
3
3
2 i 1
[ 3 [i
大学线性代数课件相似矩阵及二次型第五章 相似矩阵及二次型
|[, ] | [, ][ , ]
长为 1 的向量称为单位向量.
例1
01，
1
0
2
，
0
1
2
若向量
1
3
x ≠0 ,
则
1 x
x
1 都是3 维单位向量.
3
1
是 单 位 向 量.
3
例 已知
1
2
2
,
3
,
1
1
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解：
12 22 (1)2 02
1 0 2
所以A的特征值为 1 2,2 3 1
当 1 2解齐次线性方程组 (2E A)x 0 即
3x1 x2 0 4x1 x2 0 x1 0
3 1 0 1 0 0
由
2E
A
4 1
1 0
00
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
p1
10
故对应于 1 2的全体特征向量为 k1 p1(k1 0)
y yT y xT PT Px xT x x
说明经正交变换向量长度保持不变，这是正交变换的优 良特性．
2 方阵的特征值 特征向量
内容分布 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的性质
基本要求 会求特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量
定义8 设A是n阶方阵，如果数 和n维非零向量x使
量为
k11 k22 kss （k1, ···,ks不同时为0）
例1 求矩阵
A
2 1
解： A的特征方程为
1 2
的特征值和特征向量
2 1
| E A |
矩阵的相似变换及其应用
矩阵的相似变换及其应用矩阵是线性代数中的重要概念之一，它被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在矩阵中，相似变换是一种常见的操作，它可以将一个矩阵转化为另一个相似的矩阵，从而方便求解问题。
一、什么是相似变换相似变换指的是将一个矩阵A通过一个线性变换P变为另一个矩阵B的过程。
这种变换需要满足两个条件：一是变换矩阵P可逆；二是A和B具有相同的特征值。
具体来说，假设A和B都是n阶方阵，它们的特征值为λ1，λ2，…，λn。
若存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，这种变换叫做相似变换。
这个定义显然比较抽象，下面我们用一个例子来说明相似变换的具体含义。
假设有如下矩阵：A = [1 23 4]我们可以求出它的特征值和特征向量：λ1 = -0.3723，v1 = [-0.8246, 0.5658]Tλ2 = 5.3723，v2 = [-0.4159, -0.9090]T将特征向量组成的矩阵P=[v1, v2]，则有：P = [-0.8246 -0.41590.5658 -0.9090]由于特征向量的性质，我们有：P-1AP = Λ = [-0.3723 00 5.3723]其中Λ是由特征值构成的对角矩阵。
这就是相似变换的应用，我们可以通过这种变换将一个矩阵A转化为一个对角矩阵Λ，从而更方便地求解问题。
二、相似变换的特性相似变换有一些重要的特性，这些特性可以帮助我们更深入地理解它的应用。
首先，相似变换是可传递的。
也就是说，如果矩阵A与B相似，B与C相似，那么A与C也相似。
这个特性可以通过变换矩阵的乘积来证明，即P-1AP=Λ，Q-1BQ=Λ，则有：(PQ)-1A(PQ) = Q-1P-1APQ = Q-1ΛQ = Λ'其中Λ'是由特征值构成的对角矩阵，证明了A与C相似。
其次，相似变换保留了矩阵的秩和行列式。
具体来说，如果矩阵A与B相似，则它们的秩和行列式相等。
这个特性可以通过排列特征值的乘积来证明，即有：|A| = λ1 * λ2 * … * λn|B| = μ1 * μ2 * … * μn由于A与B相似，则它们的特征值相同，因此有μ1 * μ2 * … * μn = λ1 * λ2 * … * λn，从而有|A| = |B|。
第五章方阵的相似变换
n
A p 1 , p 2 , , p n Ap 1 , Ap 2 , , Ap n
1 p1 , p 2 , , p n
于是有 Ap i i p i
i 1 , 2 , , n .
可见 i 是 A 的特征值 , 而 P 的列向量 p i 就是 A 的对应于特征值
T
所以 1 , 2 , 3 线性无关 .
即 A 有 3 个线性无关的特征向量 化.
, 因而 A 可对角
2 1 (2) A 5 3 1 0 2 A E 5 1
2 3 2 1 3 0
2 3 2
1
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
同理 , 对 3 7 ,由 A E x 0 ,
求得基础解系 3 1 , 2 , 2
2 由于 0 1 0 1 1 1 2 0, 2
( 4 )若 A 与 B 相似 , 而 f ( x )是一多项式 , 则 f ( A )与 f ( B )相似 .
1
1
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 AP ，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
n1
, A 的特征值为
1 n , 2 n 0 .又 A 是实对称矩阵 , 存在可逆
矩阵 P 1 , 使得
第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
相似矩阵与相似变换的概念
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例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
⎛ 1 −2 2 ⎞ ⎜ ⎟ (1) A = ⎜ − 2 − 2 4 ⎟ ⎜ 2 4 − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 2 1 − 2⎞ ⎜ ⎟ ( 2) A = ⎜ − 5 3 − 3 ⎟ ⎜ 1 0 2 ⎟ ⎝ ⎠
解
1− λ (1) 由 A − λ E = − 2 2
⇒ P可逆, , n ) ⇒ AP = P ⋅ diag (λ1
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证明
pi ( i = 1,
Api = λi pi
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( i = 1, 2,
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λn ).
命题得证.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似． 说明 1. 如果A的特征方程有重根，此时A不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化. 2.但如果能找到n个线性无关的特征向量，则能 对角化．
ϕ ( A) = Pϕ ( Λ ) P −1 .
⎞ ⎟ ⎟, ⎟ k ⎟ λ n⎠
对于对角矩阵
Λ ,有
⎛ k ⎜λ1 k Λ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 一般地,
λ
k 2
见P45-例13 利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式ϕ ( A) .
结束
⎛ ϕ (λ 1 ) ⎜ ϕ (λ 2 ) ϕ (Λ ) = ⎜ ⎜ ⎝
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三、利用相似变换将方阵对角化
定义 对 n 阶方阵 A , 若∃ | P |≠ 0, 使P −1 AP = Λ 为对角阵, 则称方阵A对角化 .
定理 2
An与对角矩阵相似(即A能对角化 ) ⇔ A有n个线性无关的特征向量.
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向量,f (x)是多项式，则
(1) f ()是f ( A)的特征值,对应的特征向量仍是x; (2) 若f ( A) O,则对A的任意一个特征值,有f () 0，
即 是f (x)的零点.
证明
(1)由Ax x Ak x Ak1(Ax) Ak1x k x
4. 一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值，特征向量的求法
Αx x (Α Ε)x 0 注： (Α )x 0(× )
Α有特征向量 齐次方程组(Α Ε)x 0有非零解x
a11 a12 det( Α Ε) a21 a22
a1n a2n 0
an1 an2
ann
det( Α Ε)称为A的特征多项式，是的一元n次
得基础解系p1 1 0 1T ;
所以对应于1 1的全部特征向量为k1 p1(k1 0)
对2 3 2,求解方程组( A 2E) x 0
4 1 1 4 1 1 A2E 0 0 0 0 0 0
4 1 1 0 0 0
同解方程组为x2 4x1 x3
得基础解系p2 1 4 0T , p3 0 －1 1T
(A i E)x 0 的非零解向量------基础解系， 即为 i对应的特征向量。
2 1 1
例1 求Α 0 2 0 的特征值和特征向量.
4
1
3
解 ⑴ A的特征多项式
2 1 1 det(Α Ε) 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
⑵ 因此A的特征方程 det(ΑΕ) ( 1)( 2)2 0
所以对应于2 3 2的全部特征向量为k2 p2 k3 p3
（k2, k3不同时为0）
注：在例1中，特征值的重数恰巧与对应的线性无关 的特征向量的个数相等，一般情况下不一定。
3 1 0
例2 求Α 4 1 0 的特征值和特征向量.
4
8
2
解 A的特征多项式
3 1 0 det(Α Ε) 4 1 0 ( 2)( 1)2
tr A a11 a22 ann 1 2 n
推论 对n阶方阵A ⑴ 0是A的特征值 det A=0 A奇异 A不可逆
⑵ A可逆 det A 0 0不是A的特征值
四、矩阵多项式
定义5.2 对 s 次多项式 f (x) as xs as1xs1 a1x a0
设A 是方阵，称下式为A 的矩阵多项式 f ( A) as As as1As1 a1A a0E
又因为1, 2, , n是det( A E) 0的n个根，所以
det( A E) (1 )(2 ) (n )
()n (1 2 n)()n1 (12 n)
比较系数有1 2 n a11 a22 ann
令 0，有 det A 12 n
证毕
定义 tr A a11 a22 ann称为方阵A的迹.
即k 是Ak的特征值
f ( A) x as As x as1As1x a1Ax a0 x
(as s as1 s1 a1 a0 ) x f ()x
即f ()的f (A)特征值，x是f ( A)对应f ()的特征向量
⑵ 当f ( A) O时，f () x 0, f () 0
线
性
代 数
第五章
矩阵的相似 变换
§5.1 方阵的特征值与特征向量
一、概念
定义5.1 对n 阶方阵A，若数 R和非零向量x Rn
使
Αx x
则称 为方阵A的特征值，
非零向量 x 称为A 的对应于 的特征向量。
注： 1. A是方阵； 2. 特征向量x是非零列向量；
3. 方阵A的与 对应的特征向量不唯一；
多项式;
det(Α Ε) 0称为A的特征方程,是为未知数的
一元n次方程,在复域内有n个根（包括根的重
数）.
命题 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 (计根的重数).
➢ 求特征值、特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det(Α Ε); 2. 求特征方程 det(Α Ε) 0的 n 个根
1, 2, , n 即为A 的全部特征值; 3. 对每个特征值 i ,求齐次线性方程组
(2) 12 n det A.
证明
a11 a12
a1n
det( Α E) a21 a21
a2n
an1 an1
ann
(行列式展开) (a11 )(a22 ) (ann ) (次数 n 2的各项)
(降幂排列) ()n (a11 a22 ann)()n1
det(ΑE) ()n (a11 a22 ann)()n1
4 8 2
特征值 1 2，2 3 1 (二重特征值)
对1 2,求解方程组(A 2E)x 0
5 1 0 1 0 0 A 2E 4 1 0 0 1 0
4 8 0 0 0 0
得基础解系p1 0 0 1T ;
所以对应于1 2的全部特征向量为k1 p1(k1 0)
对2 3 1,求解方程组( A E) x 0
的三个根 1 1，2 3 2 就是A的三个特征值
特征值 1 1，2 3 2 (二重特征值)
⑶ 对每一个特征值求相应的特征向量.
对1 1,求解方程组( A E)x 0
1 1 1 1 0 1 AE 0 3 00 1 0
4 1 4 0 0 0
同解方程组为 x1 x3 x2 0
定理说明：
证毕
(1) Ax x成立 f (A)x f ()x成立；
(2) f ( A) O成立 A的特征值是f (x) 0的根.
例3 (2000.11) 已知3阶方阵A的特征值是0,1,3,方阵B A2 2E,
则B的特征值为-2,-1,7 , det B 14 解 方阵B A2 2E是方阵A的矩阵多项式 所以f (A) A2 2E对应的多项式为f (x) x2 2
2 1 0 2 1 0 A E 4 2 0 0 10 3
4 8 3 0 0 0
得基础解系p2 3 6 20T
所以对应于2 3 1Leabharlann 全部特征向量为k2 p2(k2 0)
三、特征值与特征向量性质
定理5.1 设n阶方阵Α (aij )nn的特征值为1, 2, , n，则
(1) 1 2 n a11 a22 ann；