线性代数第二章 矩阵PPT课件
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线性代数课件PPT 第2章.矩阵PPT课件
x1 x2 x3
3x5 1
32xx11
2 x2 3x2
x3 x3
2 x4 4 x4
4x5 5x5
2 3
x1 x2 x3 x4 8x5 2
12
第12页/共158页
2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 解：线性方程的增广矩阵为
1 1 1 0 3 1
将
第
1
行
分
别
乘
以
-
2
,
-
3
,
x3 3x4 1
x4 0
4
第4页/共158页
2.1 高斯消元法
• 高斯消元法
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0
此
方
程
组
和
原
方
程
组
是
同
解
的
，
我
们把
形
如
这
样
的x方3 程3称x4
为
阶1梯
线
性
方
程
组
，
因
此
易
得
x4 0
x1 1
x2 x3
2 1
x4 0
5
第5页/共158页
a2n
称为数域F中的m×n矩阵，通am常1 用大am写2 字母记做aAmn或A m×n，有时也记做
A (aij )mn (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
8
第8页/共158页
2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij ∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij ∈C(复
骤规范而又简便。
例1：解线性方程组
线性代数Ⅱ—矩阵.ppt
2
2
4
26
(八) 设四阶方阵 A (,1,2,3), B ( ,1,2,3) 其中1,2,3, , 均为四维列向量，若 A 2, B 1 则 A B 及 A B 的值分别 为[ ]
b3
b1a1 b1a2 b1a3
AB (a1b1 a2b2 a3b3)
BA b2a1 b3a1
b2a2 b3a2
b2a3 b3a3
1 0 0
单位阵
En
0
1
0
或记 In
0 0 1
6
运算律： (1) (AB)C A(BC) (2) A(B C) AB AC (B C)A BA CA (3) (AB) (A)B A(B) (4) EA AE A
22
分块矩阵的乘法
7 2 1 0
0 0
例：A 8 9
6 5
1 0
1 0
B 0
0
1 1
4 3
0
0
1
2
分块对角矩阵
求 AB
A1
A
A2
其中A1, A2,, Ak
均为方阵，有 A A1 A2 Ak
Ak
A11
当 A1, A2,, Ak
均可逆，则A可逆，且
A1
A21
(B) 若 A BC 则AT BTCT
(C) 若 A BC 则 A B C (D) 若A B C 则 A B C
(四) 设方阵 A 满足 A2 A 7E 0 ，则 (A 3E)1 [ ]
(A) A 3E (B) A 2E (C) A 7E
(D) A E
25
(五)
设
Th：设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件为 A 0
西北工业大学《线性代数》课件-第二章 矩阵
y1 x1,
y2 x2,
yn xn
对应
1 0 0
0
1 0
0
0 1
单位阵
我们把这样的线性变换称之为恒等变换。
矩阵的基本运算
一、矩阵的相等
同型矩阵：两个矩阵行数和列数都相等
矩阵相等：设两个矩阵 Amn 和 Bmn是同型矩阵， 且对应元素相等，即 aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵A和B相等，记做 A B。
例如：
x 0
1 y
48
3 0
1 2
z 4
可得
x 3 y 2 z 8
判断正误：零矩阵相等。 （ ）
二、矩阵的线性运算
⒈ 矩阵的加法
设有两个同型矩阵 A aij mn , B bij mn ,那末矩阵A
与B的和记作A B，规定为
A B (aij bij )mn
y Bz
则 z 到 x 变换为
x Ay A(Bz) ( AB)z
求出AB即可。
四、方阵的幂
设A为n阶方阵，则规k 定A的k次方为 Ak A A A
可以看出：只有方阵才有幂运算。
规定：
A0 E
A1 A
Ak1 Ak A
(k 1,2,)
运算规律： Ak Al Akl
( Ak )l Akl
k，l为任意正整数
注意：当 AB BA时，某些关于数字幂运算的规律 不再成立，例如
( AB)k Ak Bk
( AB)k (AB)(AB)( AB) ( AB AB)( AB)( AB) k ( A2B2 )( AB)( AB)
所以
( AB)k Ak Bk
⒉ 线性变换
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
矩阵ppt课件
a2n
0
14
其他常用的矩阵
只有一行的矩阵 A(a1,a2,a3, ,an)叫做行矩阵；
只有一列的矩阵
B
b1
b
2
称为列矩阵。
bm
❖零矩阵:
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0,
注意:不同型的零矩阵是不同的。
❖负矩阵: 元素全部变为相反数称为原矩阵的负矩阵。
若 A 精a i品jp则 pt - A =- a i j
6
❖ 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是 复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵 除特别说明外，都指实矩阵。
❖ 上述的矩阵A也简记为
A=(aij)mxn 或
A=(aij) ❖ mxn矩阵A也记为Amxn
精品ppt
7
同型矩阵与矩阵相等:
两个矩阵的行数相等，列数也相等时， 称它们是同型矩阵；
若A=(aij)mxn与B=(bij)mxn是同型矩阵，并且 它们对应元素相等，即
第二章 矩阵
矩阵是数学中的一个重要内容，它在线性代数与数学的 许多分支中有重要的应用，是解决许多问题的重要工具。 本章的目的是介绍矩阵概念及其与运算，并讨论一些基 本性质。
精品ppt
1
2.1 矩阵的概念
例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，今年四个季度的产 量分别如下表所示：
季度 产品 甲 乙 丙 季度 产品 甲 乙 丙
那么A称为对称矩阵。 特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。
反对称矩阵 设A为n阶方阵，如果 a ij aji (i,j 1 ,2 , ,n )
那么A称为反对称矩阵。
a11 a12
a1n 0
a12
a1n
a
1
2
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件
钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、矩阵的加法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11b11
AB
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1nb1n
a2n
b2n
amn bmn
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
7
第二章 矩阵
例如 1 0 3 5 是一个 2实4矩阵, 9 6 4 3
13 6 2
2 2
2 2
2 2
是一个 3矩3阵,
1 2
是一个 3矩1阵,
4
2359 是一个 1矩4阵,
4 是一个 1矩1阵.
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兰星
8
第二章 矩阵
三、特殊的矩阵 1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 A n .
兰星
10
5、方阵
第二章 矩阵
a11 a12
A
0 0
a22 O
0
a1n a2n 称为上三角形矩阵 （或上三角阵） ann
方阵
a11
A
a21
an1
0
a22
an2
0
O 0
称为下三角矩阵
ann
（或下三角阵）
上三角与下三角阵统称为三角形矩阵（或三角阵）
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2. 只有一行的矩阵 A(a1,a2, ,an)称为行矩阵(或行向量) .
3. 4.
a1
只有一列的矩B 阵
a
2
称为列矩阵(或列向量) .
an
5. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
0 0
O 2 2
0
0
O 140 0 0 0
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14
第二章 矩阵
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
a12 a22
a13 a23
a14 a24
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
a31 a32 a33 a34
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
b 11 b 12
b 21 b 22 b 31 b 32
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
那末 B 称为反对称(矩)阵.
0 2 1
例如
B
2
0
3
是反对称矩阵.
1 3 0
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兰星
12
第二章 矩阵
7、同型矩阵与矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 2 14 3
例如
5
6
与
8
4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元
A
B
CD
A
√√
B√
√
C√
√
D
√
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
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4
第二章 矩阵
例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可
用数表表示为：
a11 a21
简记为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
amn
A A m n(aij)m n(aij)
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6
第二章 矩阵
这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.
行列式
矩阵
a11 a12
素相等，即 a ij b ij( i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 0 0例如源自000 0
0 0
0 0
0
0
0
0
注意：不同型
0 0 0 0. 的零矩阵是不
相等的.
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第二章 矩阵
§2.2 矩阵的运算
《线性代数》
全国高等教育自学考试 《线性代数》
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1
第二章 矩阵
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
第二章 矩阵
§2.1 矩阵
9
第二章 矩阵
1 0
4.形如
0
2
0 0
方阵
A
0
0
0
0
的方阵称为对角阵.
记作
n
A diag(1, 2 , , n )
0
0 0
全为同一个数 称为数量矩阵.
0
(或纯量阵)
1 0
0
特别的，方阵
0
1
称为单0 位 阵．
0
0
1
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记作 En 或 E ．
b 41 b 42
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第二章 矩阵
二、矩阵的定义 由 m×n 个数
a ij(i 1 ,2 , ,m 排;j成 的1 ,2 m,行,n n)列的数表
a11 a12
a1n
a 21 a 22
a2n
am1 am2
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．记作
一、矩阵概念的引入
引例 某航空公司在 A、B、C、D 四 A
座城市之间开辟了若干航线，四座城 市之间的航班图如图所示，箭头从始 发地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示: 目的地
A
B
CD
A
√√
始发地
B C
√ √
√ √
D
√
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B C
D
其中√ 表示有 航班
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3
第二章 矩阵
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11
第二章 矩阵
6、对称矩阵与反对称矩阵
定义 设A为n 阶方阵，如果满足 a ij a jii,j 1 ,2 , ,n
那末 A 称为对称(矩)阵.
12 6 1
例如
A
6
8
0
是对称矩阵.
说明 对称阵的元素以主1对角0线为6对称轴对应相等.
定义 设B为n阶方阵，如果满足 a i j a ji i ,j 1 ,2 , ,n
a1n
a 21 a 22
a 2n
a n1 a n2
a nn
行数等于列数 共有n2个元素
d et(a ij )
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a11 a12
a 21
a 22
am1 am1
a1n
a2n
amn
行数不一定等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
(a ij )m n
兰星
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11b11
AB
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1nb1n
a2n
b2n
amn bmn
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
7
第二章 矩阵
例如 1 0 3 5 是一个 2实4矩阵, 9 6 4 3
13 6 2
2 2
2 2
2 2
是一个 3矩3阵,
1 2
是一个 3矩1阵,
4
2359 是一个 1矩4阵,
4 是一个 1矩1阵.
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8
第二章 矩阵
三、特殊的矩阵 1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 A n .
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10
5、方阵
第二章 矩阵
a11 a12
A
0 0
a22 O
0
a1n a2n 称为上三角形矩阵 （或上三角阵） ann
方阵
a11
A
a21
an1
0
a22
an2
0
O 0
称为下三角矩阵
ann
（或下三角阵）
上三角与下三角阵统称为三角形矩阵（或三角阵）
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2. 只有一行的矩阵 A(a1,a2, ,an)称为行矩阵(或行向量) .
3. 4.
a1
只有一列的矩B 阵
a
2
称为列矩阵(或列向量) .
an
5. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
0 0
O 2 2
0
0
O 140 0 0 0
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第二章 矩阵
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
a12 a22
a13 a23
a14 a24
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
a31 a32 a33 a34
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
b 11 b 12
b 21 b 22 b 31 b 32
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
那末 B 称为反对称(矩)阵.
0 2 1
例如
B
2
0
3
是反对称矩阵.
1 3 0
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第二章 矩阵
7、同型矩阵与矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 2 14 3
例如
5
6
与
8
4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元
A
B
CD
A
√√
B√
√
C√
√
D
√
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
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第二章 矩阵
例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可
用数表表示为：
a11 a21
简记为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
amn
A A m n(aij)m n(aij)
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这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.
行列式
矩阵
a11 a12
素相等，即 a ij b ij( i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 0 0例如源自000 0
0 0
0 0
0
0
0
0
注意：不同型
0 0 0 0. 的零矩阵是不
相等的.
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1 0
4.形如
0
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0 0
方阵
A
0
0
0
0
的方阵称为对角阵.
记作
n
A diag(1, 2 , , n )
0
0 0
全为同一个数 称为数量矩阵.
0
(或纯量阵)
1 0
0
特别的，方阵
0
1
称为单0 位 阵．
0
0
1
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记作 En 或 E ．
b 41 b 42
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二、矩阵的定义 由 m×n 个数
a ij(i 1 ,2 , ,m 排;j成 的1 ,2 m,行,n n)列的数表
a11 a12
a1n
a 21 a 22
a2n
am1 am2
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．记作
一、矩阵概念的引入
引例 某航空公司在 A、B、C、D 四 A
座城市之间开辟了若干航线，四座城 市之间的航班图如图所示，箭头从始 发地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示: 目的地
A
B
CD
A
√√
始发地
B C
√ √
√ √
D
√
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6、对称矩阵与反对称矩阵
定义 设A为n 阶方阵，如果满足 a ij a jii,j 1 ,2 , ,n
那末 A 称为对称(矩)阵.
12 6 1
例如
A
6
8
0
是对称矩阵.
说明 对称阵的元素以主1对角0线为6对称轴对应相等.
定义 设B为n阶方阵，如果满足 a i j a ji i ,j 1 ,2 , ,n
a1n
a 21 a 22
a 2n
a n1 a n2
a nn
行数等于列数 共有n2个元素
d et(a ij )
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a 22
am1 am1
a1n
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行数不一定等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
(a ij )m n
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