计算方法-5.1矩阵相似变换和范数分析
相似变换矩阵p的求法
相似变换矩阵p的求法相似变换矩阵是指在线性代数中，将一个矩阵通过一定的变换操作转化为与之相似的另一个矩阵的过程。
相似变换矩阵的求法涉及到特征值与特征向量的概念。
下面将详细介绍相似变换矩阵的求法。
首先，我们需要了解特征值与特征向量的概念。
对于矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ为一个实数，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于这个特征值的特征向量。
特征值与特征向量是矩阵在相似变换下的关键性质。
下面是求解相似变换矩阵p的步骤：步骤一：求解矩阵A的特征值。
1. 找到齐次线性方程组的非零解。
2. 求解特征多项式的根，即为矩阵A的特征值。
步骤二：求解矩阵A的特征向量。
1. 对于每个特征值λ，解齐次线性方程组(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵。
2. 对于每个特征值λ，得到的非零解，即为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
步骤三：构造相似变换矩阵p。
1. 将特征向量组成一个矩阵P，P的每一列对应一个特征值对应的特征向量。
2. 若特征值λ有重复，可选择线性无关的特征向量作为P的列。
3. 构造对角矩阵D，D的对角线元素为矩阵A的特征值。
4. 相似变换矩阵p的求法为p=P^(-1)AP，其中P^(-1)为矩阵P的逆矩阵。
步骤四：验证相似变换矩阵p的正确性。
1. 将矩阵p与原矩阵A相乘，得到的结果应该与D相乘的结果相同。
通过上述步骤，我们可以求解相似变换矩阵p。
利用相似变换矩阵，我们可以找到一种变换方式，将原矩阵转化为与之相似的另一个矩阵。
这种相似性质在多个领域中有着广泛的应用，如矩阵对角化、特征分解等。
值得注意的是，在求解相似变换矩阵过程中，需要用到矩阵的特征值与特征向量。
特征值与特征向量是线性代数中的重要内容，对于理解相似变换矩阵的求法有着重要的作用。
特征值与特征向量的求解方法有多种，如雅可比迭代法、幂法等，可以根据具体情况选择合适的方法。
总结：相似变换矩阵的求法是通过求解矩阵的特征值与特征向量，构造相似变换矩阵p，将原矩阵转化为与之相似的另一个矩阵。
线性代数之相似矩阵
(5) 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.而且，如果 B=P −1 AP, 那么，当他么可逆时，逆也相似，即 B−1 = P −1A −1 P.
(6), 如果B1 = P −1 A1 P, B2 = P −1 A2 P, 那么 B1 + B2 = P −1 ( A1 + A2 ) P; B1 B2 = P −1 ( A1 A2 ) P; kB2 = P −1 (kA1 ) P;
L 0 L 0 O M L λn
行运算 P −1 AP 称为对 A 进行相似变换 , 可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵 .
二、相似矩阵与相似变换的性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似 .
(2)对称性 若A与B相似 , 则B与A相似 .
(3)传递性 若A与B相似 , B与C相似 ,
则A与C相似 .
(4) 相似矩阵有相同的行列式.
设P −1 AP = diag (λ1 , λ2 ,L λn ), P = ( p1 , p2 ,L pn ) 于是， λ1 0 AP = Pdiag (λ1 , λ2 ,L λn ) 0 λ 2 即 A( p1 , p2 ,L pn ) = ( p1 , p2 ,L pn ) M M 0 0 = (λ1 p1 , λ2 p2 ,L λn pn )
一相似矩阵与相似变换的概念一相似矩阵与相似变换的概念的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算或说矩阵的相似矩阵若有可逆矩阵阶矩阵都是第三节相似矩阵对称性传递性问题
第三节 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义 1 设 A, B 都是 n阶矩阵 , 若有可逆矩阵 P , 使
−1 P AP = B , 则称 B 是 A 的相似矩阵 , 或说矩阵 A 与 B 相似 .对 A 进
线性代数中矩阵的相似变换及其应用
线性代数中矩阵的相似变换及其应用线性代数是一门研究线性空间及其上的线性变换的数学分支。
在这门学科中，矩阵是一个极为重要的概念，因为它可以将线性变换转化为更加容易处理的代数形式。
而其中的一种基本操作——矩阵相似变换，更是在许多领域都得到了广泛的应用。
一、矩阵相似变换矩阵相似变换在线性代数中是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特征，也方便了我们进行矩阵的运算和求解。
矩阵相似变换指的是对一个矩阵A进行"相似变换"之后得到另一个矩阵B的过程，其中相似变换指的是将矩阵A按照特定的方式变换之后得到的矩阵B，即B=PAP^(-1)。
其中，P是一个可逆矩阵，也就是说，矩阵A和B具有相同的特征值和特征向量。
矩阵相似变换有如下的性质：1. 若A和B相似，则它们的特征值和特征向量相同。
2. 若A相似于B，B相似于C，则A相似于C。
3. 若A相似于B，则A^k相似于B^k，Aⁿ相似于Bⁿ。
4. 若A与B相似，则它们的行列式和迹相同。
5. 若A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。
二、矩阵相似变换的应用1. 矩阵对角化矩阵对角化是指将某个矩阵转化为对角矩阵的过程，这个过程通常是通过矩阵相似变换来实现的。
对角化之后的矩阵易于计算，也便于我们理解矩阵的特征和性质。
2. 特征值和特征向量的求解矩阵相似变换可以将一个矩阵转化为与之相似的矩阵B，使得B具有与A相同的特征值和特征向量。
因此，通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解一个矩阵的特征值和特征向量。
3. 线性微分方程组的求解在求解线性微分方程组时，矩阵相似变换可以将矩阵转化为对角矩阵，使得求解过程更加简单明了。
因此，线性微分方程组的求解中矩阵相似变换得到了广泛的应用。
4. 特征空间的求解特征空间指的是某一矩阵的所有特征向量张成的空间。
通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解出一个矩阵的特征向量，从而得到它的特征空间，进而解决许多实际问题。
相似变换矩阵p的求法
相似变换矩阵p的求法相似变换矩阵P的求法，可以通过以下步骤进行：1. 求解特征向量和特征值：对于给定的原始矩阵A，首先需要求解其特征向量和特征值。
特征向量是一个非零向量，其满足以下关系式：Av=λv，其中A是原始矩阵，v是特征向量，λ是特征值。
可以通过求解A的特征方程来得到特征值，然后通过求解(A-λI)v=0来得到特征向量，其中I是单位矩阵。
2. 构建相似变换矩阵P：得到特征向量后，将它们按列组成一个矩阵P。
这个矩阵P就是相似变换矩阵。
3. 检验相似性：将矩阵P应用于原始矩阵A上，得到P^-1AP，其中P^-1是P的逆矩阵。
如果P^-1AP可以化简为一个对角矩阵，即存在对角矩阵D使得P^-1AP=D，那么矩阵A和D是相似的。
相似变换矩阵的求法还可以通过以下参考内容进行进一步学习：1. 《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）：本书是Gilbert Strang编写的一本经典线性代数教材，对相似变换矩阵的求法有详细的介绍，并提供了相关的例题和习题来加深理解。
2. 《数学分析与线性代数》（Mathematical Analysis and Linear Algebra）：这本书由同济大学出版社出版，是一本针对工科类专业的线性代数入门教材。
其中包括了相似变换矩阵的求法，结合实际应用情况进行了讲解。
3. 相关的课程讲义和教学视频：可以搜索在线教育平台（如Coursera、edX、网络大学等）上的线性代数课程，其中会有相关的讲义和教学视频，可以更加形象地解释相似变换矩阵的求法。
4. 线性代数在线学习资源：线性代数的在线学习资源，如Khan Academy和MIT OpenCourseWare等，提供了许多免费的线性代数教材和视频，其中包括了相似变换矩阵的求法内容。
总之，相似变换矩阵P的求法涉及到求解特征向量和特征值，构建相似变换矩阵P，以及检验相似性。
矩阵的相似变换及其应用
矩阵的相似变换及其应用矩阵是线性代数中的重要概念之一，它被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在矩阵中，相似变换是一种常见的操作，它可以将一个矩阵转化为另一个相似的矩阵，从而方便求解问题。
一、什么是相似变换相似变换指的是将一个矩阵A通过一个线性变换P变为另一个矩阵B的过程。
这种变换需要满足两个条件：一是变换矩阵P可逆；二是A和B具有相同的特征值。
具体来说，假设A和B都是n阶方阵，它们的特征值为λ1，λ2，…，λn。
若存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，这种变换叫做相似变换。
这个定义显然比较抽象，下面我们用一个例子来说明相似变换的具体含义。
假设有如下矩阵：A = [1 23 4]我们可以求出它的特征值和特征向量：λ1 = -0.3723，v1 = [-0.8246, 0.5658]Tλ2 = 5.3723，v2 = [-0.4159, -0.9090]T将特征向量组成的矩阵P=[v1, v2]，则有：P = [-0.8246 -0.41590.5658 -0.9090]由于特征向量的性质，我们有：P-1AP = Λ = [-0.3723 00 5.3723]其中Λ是由特征值构成的对角矩阵。
这就是相似变换的应用，我们可以通过这种变换将一个矩阵A转化为一个对角矩阵Λ，从而更方便地求解问题。
二、相似变换的特性相似变换有一些重要的特性，这些特性可以帮助我们更深入地理解它的应用。
首先，相似变换是可传递的。
也就是说，如果矩阵A与B相似，B与C相似，那么A与C也相似。
这个特性可以通过变换矩阵的乘积来证明，即P-1AP=Λ，Q-1BQ=Λ，则有：(PQ)-1A(PQ) = Q-1P-1APQ = Q-1ΛQ = Λ'其中Λ'是由特征值构成的对角矩阵，证明了A与C相似。
其次，相似变换保留了矩阵的秩和行列式。
具体来说，如果矩阵A与B相似，则它们的秩和行列式相等。
这个特性可以通过排列特征值的乘积来证明，即有：|A| = λ1 * λ2 * … * λn|B| = μ1 * μ2 * … * μn由于A与B相似，则它们的特征值相同，因此有μ1 * μ2 * … * μn = λ1 * λ2 * … * λn，从而有|A| = |B|。
证明矩阵相似的五种方法
证明矩阵相似的五种方法矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述的是两个矩阵之间存在某种相似性质，即它们可以通过某种变换相互转换。
在实际应用中，矩阵相似常常用于求解线性方程组、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将介绍五种证明矩阵相似的方法，希望对读者有所帮助。
方法一：矩阵相似的定义矩阵相似的定义是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B 满足B=PAP^-1。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是找到一个可逆矩阵P，使得它们满足这个等式。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到：P = [v1 v2 v3] = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]因此，我们可以验证B=PAP^-1，即：B = PAP^-1 = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1][12 3; 4 5 6; 7 8 9][-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]因此，A和B是相似的。
方法二：矩阵的特征值和特征向量矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的特征值和特征向量。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的特征值和特征向量，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
矩阵的相似变换
矩阵的相似变换首先，对矩阵的相似变换可以概括为：它是将一个矩阵变换为另一个矩阵的自变量和因变量的变换形式，使得两个矩阵的形状、行列式的值相等。
它是一种用来描述线性变换的抽象概念，它能够将特定的线性映射应用于任意的矩阵，实现两个矩阵之间的等价转换，并实现相应的几何变换。
1. 概述矩阵的相似变换是一种类似于线性变换的特殊变换，它能够将一个矩阵M和一个特定矩阵P变换为相同的形状和行列式值，实现矩阵M与P的等价转换，从而实现几何变换的效果。
2. 形式由于矩阵的相似变换是一种线性变换的抽象概念，它可以用一个特殊的矩阵P，实现一种类似于线性变换的方式，使得一个矩阵M变换为一个另外一个矩阵P，实现两者之间的等价转换。
因此，矩阵的相似变换可以定义为：若存在一个m×n矩阵M和一个n×n非奇异矩阵P，且满足P-1MP=P*P-1，则称矩阵M受相似变换P的影响，变换后得到一个n×n矩阵Q，称M和Q受相似变换P的影响，记为M~P=Q。
3. 特点矩阵的相似变换有几个特点：（1）由于是线性变换的抽象概念，因此矩阵的相似变换是可逆的，即可以从结果求原矩阵；（2）矩阵的相似变换可以实现两个矩阵之间等价的变换，实现形式和行列式的指定；（3）在实现矩阵的相似变换的过程中，其结果的矩阵的元素值并不会发生变化，只是形式的变换；（4）相似变换也可以通过调整元素的位置、行与列的变换等方式实现，只要最终的结果是和原矩阵的行列式值一致即可。
4. 应用矩阵的相似变换可以应用在各种线性变换中，如几何变换、线性代数运算等，都可以使用矩阵的相似变换实现。
此外，由于矩阵的相似变换能够实现可逆的结果，并且形式、行列式值不变，因此也可以用于数据安全加密以及数据处理中。
矩阵的相似变换和特征值几何与线性代数
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
4 0 0
例7. 把 A 0
0
3 1
1 3
正交相似对角化.
解: |I–A| = (–2)(–4)2.
所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (2I–A)x = 的基础解系1= (0,1, –1)T. (4I–A)x = 的基础解系2=(1, 0, 0)T, 3=(0, 1, 1)T. 由于1, 2, 3已经是正交的了, 将它们单位化即
n
i =1
i
=
detA
=
|A|
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
定理5.2. 设是方阵A的一个特征值, f是一个 多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特
征值.
推论. 若f是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = O (这时称f为A的一个零化多项式), 则A
的任一特征值 必满足f() = 0.
证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则 P 1f(A)P
= P 1(anAn+…+a1A+a0I)P
= anP 1AnP+…+A1p 1AP+a0 P 1IP = an(P 1AP)n+…+a1P 1AP+a0I = anBn+…+a1B+a0I
= f(B).
第五章 矩阵的相似变换和特征值
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例1.
求
A
3 1
1 3
的特征值和特征向量.
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A与B相似
可逆阵P, 使得P 1 AP B
B E P 1 AP P 1E P P1 A E P
P1 A E P A E
1 推论 若 n阶方阵A与对角阵 2 相似, 则1, 2 ,, n即是A的n个特征值 n
2018/10/30 8
1. 等价关系
（ 1 ）自返性 A与A本身相似.
（2）对称性 若A与B相似，则B与A相似 （3）传递性 若A与B相似，B与C相似，
则A与C相似
性质(3)在实际计算中非常有用
2. 若A与B相似, 则A 与B 相似m为正整数
m m
1 1 3. P1k1A k A P k P A P k P A2 P 1 2 2 1 1 2
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵A对角化
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
1 假设存在可逆阵 P , 使 P AP 为对角阵, 证明
把 P 用其列向量表示为 P p1, p2 ,, pn
P(a0 Bn a1Bn1 an1B an E) P1
2018/10/30
P ( B) P 1
10
特别地, 若可逆矩阵P使P1 AP 为对角矩阵,
则
Ak Pk P 1,
( A) P () P 1
, k n
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3.矩阵的除法没有意义
对方阵A，存在它的逆矩阵A1，使得 AA1 I 或 A1 A I
4.矩阵的转置
A的转置记为AT，只要用a ji替换aij就可得到AT， 若AT＝A，则A为正交的方阵
5.几种特殊矩阵
（1）方阵：矩阵的行数与列数相等； （2）单位矩阵：I n (n n)，I n A A； （3）上三角阵；（4）下三角阵； （5）对角阵；（6）带状矩阵
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由P AP , 得AP P,
1
1 2 即 A p1, p2 ,, pn p1, p2 ,, pn n
1 p1, 2 p2 ,, n pn
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
第五章 矩阵特征值和特征 向量的算法
2018/10/30
1
第五章矩阵特征值和特征 向量的算法
§ 5.1 矩阵相似变换与范数 § 5.2 幂法与反幂法 § 5.3 雅可比（Jacobi）方法 § 5.4 QR方法
2018/10/30 2
a11 a12 a21 a22 A a m1 am 2
其中k1, k2是任意常数
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利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PBP , 则
1
k个
A
k
k 1 PBP 1PBP 1 PBP 1PBP 1 PB P
A的多项式
( A) a0 An a1An1 an1A an E
a0 PBn P 1 a1PBn 1P 1 an 1PBP1 an PEP1
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6
5.1.2 相似矩阵与相似变换的性质
矩阵特征值在相似变换后不变：若A与B相似， 则A和B有相同的特征多项式，进而有相同的特 征值和特征向量。
可利用相似变换使矩阵简化成更简单的矩阵， 便于求解特征值。
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7
定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同
元素Cij aij bij
3
2.矩阵的乘法
A (aij ) mn ， B (bij ) mn
C A B
cij
a
k 1
n
ik bkj
( A的第i行与B的第j列相应元素的乘积之和)
（ 1 ）要求A的列数与B的行数相等； （2）矩阵相乘不可交换，但可结合 AB BA， ( AB)C A( BC )
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§ 5.1矩阵相似变化与范数
5.1.1 相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P -1 AP B, 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似。对A 进行运算P -1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵 P称为把A变成B的相似变换矩阵。
1 p1, p2 ,, pn
于是有
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Api i pi
i 1,2,, n
13Leabharlann 可见i是A的特征值, 而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量
反之,由于A恰好有n个特征值, 并可对应地求 得n个特征向量, 这n个特征向量即可构成矩阵P, 使AP P
又由于P可逆, 所以p1, p2 ,, pn线性无关
命题得证
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推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似 说明 如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而矩阵 A 不一定能 对角化，但如果能找到 n 个线性无关的特征向量， A 还是能对角化
a1n a2n amn
称为m n阶矩阵 用记号(aij ) mn 表示
矩阵的基本术语及运算的基本性质
1.矩阵的加法和减法
A (aij ) mn ， B (bij ) mn
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要求相加减者有 相同行、列数
C A B D A B
对于对角矩阵, 有
k
k 1
k 2
(1 ) (1 ) () , ( ) 1 2018/10/30
利用上述结论 可以很方便地 计算矩阵A的 多项式 ( A)
11
5.1.3 利用相似变换将方阵对角化