矩阵分析及其应用
高考数学矩阵的应用及实例分析
高考数学矩阵的应用及实例分析高考数学是所有文理科生必备的重要课程，而矩阵则是其中必不可少的基础知识点之一。
然而，在实际应用中，矩阵的作用远不止于此，尤其是在计算机领域的广泛应用。
本文将就高考数学矩阵的应用及实例展开阐述和分析。
矩阵的基本定义矩阵是数学中经常用到的对象，其由数或其他数或向量组成的矩形阵列所构成。
例如，一个行列均为m的矩阵记作A=[a_{ij}]，其中i表示行，j表示列，a_{ij}表示A的第i行第j列的元素。
在矩阵中，元素之间的顺序是有意义的，这也是矩阵与普通数组不同的地方。
矩阵的加法和乘法矩阵的加法和乘法是矩阵计算中最基础的两个操作，其定义如下：1.矩阵加法设A=[a_{ij}]，B=[b_{ij}]均为m行n列的矩阵，令C=A+B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为a_{ij}+b_{ij}。
2.矩阵乘法设A=[a_{ij}]是m行n列的矩阵，B=[b_{ij}]是n行k列的矩阵，令C=A*B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为c_{ij}=a_{i1}*b_{1j}+a_{i2}*b_{2j}+...+a_{in}*b_{nj}矩阵的应用矩阵的应用不仅局限于高考数学的范畴，其在计算机领域中也有着广泛的应用。
1.图像处理在图像处理中，矩阵被广泛应用于图像滤波和处理算法中。
比如，利用矩阵卷积的方法对图像进行模糊和锐化处理等。
2.数据分析在机器学习和数据分析领域中，矩阵被广泛用于特征向量和特征值计算、预处理和数据降维等方面。
其中，主成分分析（PCA）就是一种常用的算法，它通过矩阵的特征向量和特征值来实现降维和特征提取。
3.计算机图形学在计算机图形学领域中，矩阵被广泛应用于更加复杂的三维图形的建模和变换中。
其中，矩阵变换（旋转、平移等）是基本操作之一，而矩阵在计算机图形学中的应用更加广泛，包括贝塞尔曲线、NURBS曲线等都离不开矩阵的支持。
矩阵分析方法及应用论文
矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。
矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。
矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。
在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。
首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。
矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的元素可以是实数或复数。
通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。
矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。
当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。
另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。
矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。
特征向量是与特征值对应的非零向量。
特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。
矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。
下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。
论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。
2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。
论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。
3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。
论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。
4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。
矩阵分析的应用
矩阵分析的应用
1、商品细分：商品细分矩阵分析是一种从市场上容易得到的数据，根据客户的不同需求，确定不同的属性，并将属性进行技术分析，从而得出市场消费者对产品的需求以及品牌的相对优势，从而帮助商家分析出满足客户需求的产品细分结构。
2、客户关系管理：矩阵分析可以帮助企业分析其客户的需求特点和关系，根据客户的不同行业、地理位置、企业规模等特点来确定客户群体，从而制定科学的客户关系管理策略，提高企业的客户关系管理水平。
3、绩效考核：矩阵分析的强大分析功能可以帮助企业分析销售团队的绩效，研究其团队绩效评估指标，比如业绩贡献、潜在客户开发情况、拜访状况等，从而实现企业员工绩效考核的客观、准确、合理的目标管理。
;。
矩阵分析期末总结
矩阵分析期末总结引言：在矩阵分析这门课程中，我们系统学习了矩阵的基本概念、运算、性质和应用等知识。
通过学习矩阵分析，我们能够更好地解决线性方程组、矩阵特征值和特征向量、矩阵的相似性等问题。
本文将对我在矩阵分析课程中的学习内容和收获进行总结与归纳。
一、矩阵的基本概念与性质矩阵作为线性代数的基础概念，具有以下基本性质：1. 矩阵的定义与表示，包括行矩阵、列矩阵、方阵和零矩阵等。
2. 矩阵的大小与维度，用行数与列数来表示矩阵的大小，例如m x n矩阵表示有m行n列的矩阵。
3. 矩阵的运算，包括矩阵的加法、数乘和乘法等。
4. 矩阵的转置与共轭转置，将矩阵的行与列进行互换，并对矩阵元素取共轭得到的转置矩阵。
5. 矩阵的逆与伴随，如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
二、矩阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
2. 特征值与特征向量的计算方法，通过解方程(A-λI)x=0可以求得特征值λ和特征向量x。
3. 特征值与特征向量的性质，特征值与特征向量满足一系列重要的性质，例如特征值的重数与特征向量的线性无关性等。
4. 对称矩阵的特征值与特征向量，对称矩阵的特征值都是实数，并且存在一组相互正交的特征向量。
5. 正交矩阵的特征值与特征向量，正交矩阵的特征值的模长都等于1，特征向量是正交归一化的。
三、矩阵的相似性与对角化1. 相似矩阵与对角化，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=D，其中D是一个对角矩阵，则称矩阵A与D相似，且称A可对角化。
2. 相似矩阵的性质，相似矩阵具有一系列重要的性质，例如特征多项式、迹、行列式等。
3. 矩阵的谱分解与Jordan标准形，对于n维方阵A，如果存在P使得P^(-1)AP=J，其中J 是一个Jordan标准形矩阵，则称矩阵A可谱分解。
四、矩阵分析的应用矩阵分析在实际应用中具有广泛的应用，例如：1. 线性方程组的求解，可以通过矩阵分析中的逆矩阵、伴随矩阵等方法求解线性方程组。
矩阵分析及其应用答案
P25⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴+-=-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-=-=∈∈∀+=-+-=--+=+-+=+∈∀11-11-11-00011-11-11-000),,(),,()()(0110101111011011100110011101)()3(0100,0010,10012)()()()()(,)()()()()(,)1.(1421121121121121122121121221121121121111211211212211212121212121该基下的对应的矩阵为同理：变换的像分别求上一组基的线性以取这样的一组基这是一个三维空间，可可以写为）对于空间（的线性变换是根据定义可知，设设E E E E E E T E E E T E E E T E E E T E E E a a a a W W W T X T B X X B BX X B X T FW X X T X T B X X B B X X B B X B X X B X B BX X X X B X X T WX X T T T T TT TT TTT T T T λλλλλλ()()()()()()()()()()()()()()123123123123-1123123123123123123123123-1123-1123115.,,,,,,,,101110-121,,=,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,=,T A T B A P P T T P T P AP P AP B P APηηηηηηεεεεεεεεεηηηηηηεεεεεεηηηηηηηηηεεεεεεηη==⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦===解：由题意知：其中，设则则由()()()23-1123123-11-1,=,,,,-110100010100010=100010=110010=1101-1100110100110101010101001110110110101-12111P P B P AP ηηηηεεε-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得到-111132⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1.16(1)证明：()()()()()()()221223131212122T f t T f t x x x x t t x x t t +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ Q ()()()22123231312T x x t x t x x x x t x x t ⎡⎤++=+++++⎣⎦()()2123011,,1011,,110Tx x x t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴()()22121213112232T f t f t T x x t x t x x t x t ⎡⎤+=+++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2212123122T x x t t x t t ⎡⎤=++++⎣⎦()()221231212,,2,,TT x x x t t t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()()221231212011,,1012,,110Tx x x t t t t ⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()2223131212122x x x x t t x x t t =+++++++∴()()12T f t f t +=⎡⎤⎣⎦()()12T f t T f t +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2123T f t T x x t x t λλλλ=++⎡⎤⎣⎦()()2123,,,,T T x x x t t λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()2123011,,101,,110Tx x x t t λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()2231312x x x x t x x t λλλ=+++++()T f t λ=⎡⎤⎣⎦ ∴T 是[]3F x 的线性变换 （2）解： ()()2123T f t T xx tx t=++⎡⎤⎣⎦ ()()()21231x T x T t x T t =++()()()()2212311T f t x t t x t x t =+++++⎡⎤⎣⎦∴()21T t t =+；()21T t t =+；()21T t t =+∴()()220111,,1011,,110T t t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴T 在基21,,t t 下的矩阵A 为011101110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）解：()()211112111E A λλλλλλ---=--=-+--1232;1λλλ===-()112=1,1,1Tλξ=时，可以求得特征向量()()2323==1,1,0=1,0,1TTλλξξ=---1时，可以求得特征向量，故111=110101P ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()()21231,,t t P ∂∂∂=令，，()()2221111,,1101011,1,1t t t t t t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=++--则T 在基1∂=21t t ++，2∂=1t -，3∂=21t -下的矩阵为对角矩阵.P45第二章 内积空间练习题1.解：（1）Q ()11221x y x y αβ,=++，∴()11221x y x y λαβλλ,=++。
矩阵分析在网络数据处理中的应用
矩阵分析在网络数据处理中的应用矩阵分析是一种数学工具，广泛应用于各个领域，包括网络数据处理。
在当今信息爆炸的时代，网络数据处理变得越来越重要，而矩阵分析的应用为处理海量网络数据提供了有效的方法。
本文将探讨矩阵分析在网络数据处理中的应用，包括网络结构分析、推荐系统、社交网络分析等方面。
1. 网络结构分析在网络数据处理中，矩阵分析被广泛应用于网络结构分析。
通过将网络数据表示为矩阵，可以更好地理解网络中节点之间的关系。
例如，邻接矩阵可以用来表示网络中节点之间的连接关系，通过对邻接矩阵进行矩阵运算，可以分析网络的拓扑结构、节点的重要性等信息。
另外，拉普拉斯矩阵在网络谱聚类、图嵌入等方面也有重要应用，通过对拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以实现对网络的聚类和降维处理。
2. 推荐系统推荐系统是网络数据处理中的重要应用领域，而矩阵分解是推荐系统中常用的技术之一。
通过将用户-物品评分矩阵进行分解，可以得到用户和物品的潜在特征向量，进而实现对用户的个性化推荐。
矩阵分解技术如奇异值分解（SVD）、主题模型等在推荐系统中得到广泛应用，通过对用户行为数据进行建模和分析，可以提高推荐系统的准确性和效率。
3. 社交网络分析社交网络是网络数据处理中的重要组成部分，而矩阵分析可以帮助我们更好地理解社交网络中的信息传播、社区发现等问题。
例如，邻接矩阵和转移矩阵可以用来表示社交网络中用户之间的关系和信息传播路径，通过对这些矩阵进行分析，可以揭示社交网络中的影响力节点、信息传播路径等重要信息。
此外，基于矩阵分析的社交网络分析方法还可以应用于社交网络推荐、舆情分析等领域，为我们提供更深入的社交网络理解和应用。
总结而言，矩阵分析在网络数据处理中发挥着重要作用，为我们理解和处理海量网络数据提供了有效的数学工具和方法。
通过对网络数据进行矩阵化表示和分析，可以更好地挖掘数据中的信息，实现对网络结构、用户行为等方面的深入理解和应用。
随着网络数据规模的不断增大和复杂性的提高，矩阵分析在网络数据处理中的应用前景将更加广阔，为我们带来更多的机遇和挑战。
中科院矩阵分析与应用大作业
中科院矩阵分析与应用大作业1. 研究背景矩阵是数学领域中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在计算机科学中，矩阵常常用于图像处理、计算机视觉等领域；在数据分析中，矩阵则被用来描述数据之间的关系。
因此，深入研究矩阵的相关算法和应用，对于提高计算机科学和数据分析领域的研究水平具有重要意义。
2. 研究目的本次研究的主要目的是掌握矩阵分析的基本概念和相关算法，并将其应用于实际问题中，进一步提高对于矩阵分析的理解和应用能力。
3. 研究内容3.1 矩阵分解矩阵分解是矩阵分析中的一项重要任务，它将一个矩阵分解成为多个小的矩阵，从而更方便的进行处理。
常见的矩阵分解算法有：1.奇异值分解（SVD）2.QR分解3.LU分解4.特征值分解3.2 矩阵重构矩阵重构是指将矩阵进行转换、组合等操作，旨在从不同的角度探索和发现矩阵的内在规律。
常见的矩阵重构算法有：1.矩阵乘法2.矩阵转置3.矩阵拼接4.矩阵切片3.3 矩阵应用矩阵在各个领域的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用场景：1.图像处理：将图像转化成为矩阵，对其进行矩阵分解、矩阵重构等操作，从而实现图像降噪、图像识别等功能。
2.推荐系统：利用矩阵分解的方法将原始数据转化为矩阵，再对其进行推荐系统的处理，从而为用户提供更好的推荐服务。
3.聚类分析：将大量数据转化为矩阵，从而利用聚类算法对其进行分析，发现数据之间的关系，进一步深入研究数据的内在规律。
4. 研究通过对于矩阵分解、矩阵重构、矩阵应用等领域的研究，我们可以得到以下：1.奇异值分解、QR分解、LU分解、特征值分解等矩阵分解算法各有优缺点，在实际应用中应该根据具体情况选用不同的算法。
2.矩阵乘法、矩阵转置、矩阵拼接、矩阵切片等矩阵重构算法可以帮助我们从不同的角度分析和处理矩阵，从而深入研究矩阵的内在规律。
3.矩阵在图像处理、推荐系统、聚类分析等领域有着广泛的应用，掌握矩阵分析算法可以帮助我们更好地解决实际问题。
离散数学图论矩阵应用实例分析
离散数学图论矩阵应用实例分析离散数学图论是数学的一个重要分支，它研究的是非连续的结构，其中一个重要的应用领域就是矩阵应用。
本文将对离散数学图论中的矩阵应用进行实例分析，以帮助读者更好地理解和应用相关概念。
一、社交网络中的矩阵应用社交网络是当今社会中非常流行的交流平台，它允许人们在线上建立和维护社交关系。
将社交网络中的用户和关系抽象成图模型，可以用矩阵进行描述和分析。
例如，可以使用邻接矩阵来表示用户之间的关注关系，其中矩阵的行和列代表用户，矩阵的元素代表用户之间的关系强弱。
通过对这个矩阵进行分析，可以了解用户之间的社交网络结构，发现用户群体之间的关联性，进行用户推荐等。
二、交通网络中的矩阵应用交通网络是城市中不可或缺的一部分，它关系到人们的出行和交通组织。
在离散数学图论中，可以使用邻接矩阵来表示交通网络中的道路连接状况。
矩阵的行和列代表交通网络中的节点，通常是城市中的道路，矩阵的元素代表节点之间的连接关系，比如道路的长度或者通行能力。
通过对这个矩阵进行分析，可以计算最短路径、最小生成树等最优化问题，优化交通流动和道路规划。
三、电子电路中的矩阵应用电子电路是离散数学图论中的另一个应用领域，矩阵在描述电路连接和电流传递等方面起到关键作用。
在电路分析中，可以使用节点-支路关系矩阵（Node-Branch Matrix）和支路-节点关系矩阵（Branch-Node Matrix）来描述电路的连接和元件耦合关系。
这两个矩阵的运算可以得到电路的戴维南等效电阻以及电流传递等重要信息，从而分析电路的性能和特性。
四、信息检索中的矩阵应用信息检索是指从大规模的文本数据中提取相关信息的过程。
其中，矩阵常用于描述文本之间的关联和相似性。
例如，可以使用文档-词项矩阵（Document-Term Matrix）来表示文档集合中的词项出现情况。
矩阵的行代表文档，列代表词项，矩阵的元素代表词项在文档中的出现频率。
通过对这个矩阵进行分析，可以进行文本聚类、关键词提取、文档相似度计算等信息检索任务。
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1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn Cmn，如果mn个常数项级数
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
ck J1k (1),
ck
J
k 2
(2
),,
ck
J
k r
(r
))
P
1
k 0
k 0
k 0
其中
ck ik
k0
k 0
ck
J
k i
(i
)
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di 1 k di 1 c c k k i
k 0
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di di
当 ( A) R 时，幂级数
k 1
k 1 i1 j1
i1 j1 k 1
根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。
矩阵幂级数
定义 设 A(k) (aikj )mn Cnn ，称形如
ck Ak c0I c1A c2 A2 ck Ak
k 0
的矩阵级数为矩阵幂级数。
定理 设幂级数 ck xk 的收敛半径为R，A为 n 阶方阵。
同样可以证明其余的结论。
注意：这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。
例：设
1 1 1 1
A 0 0 , B 0 0
那么容易计算
A A2 A3 , B B2 B3
并且 于是有
A
B
2 0
0 0
( A B)k 2k1( A B) ,
k 1
eA
I
(e
1) A
e 0
1 e
2!
k!
现在证明第二个等式
sin( A B) 1 (e j( AB) e j( AB) ) 2j
1 (e jAe jB e jAe jB ) 2j
1 (e jA e jA )(e jB e jB ) 1 (e jA e jA )(e jB e jB )
4j
4j
sin AcosB cosAsin B
k 0
若 ( A) R，则矩阵幂级数 ck Ak 绝对收敛；若 ( A) R
k 0
，则 ck Ak 发散。
k 0
证明 设A的Jordan标准形为
其中
J diag(J1(1), J2(2 ), , Jr (r ))
i 1
Ji
(i
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
可知矩阵幂级数收敛。
矩阵函数
定义：设 ACnn，一元函数 f(z) 能够展开成关于 z 的幂级数
f (z) ck zk (| z | R) k 0
并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵 A 的谱半径 ( A) R
时，我们将收敛的矩阵幂级数
ck Ak
k 0
的和定义为矩阵函数，一般记为 f(A)，即
（3）设 lim A(k) A, lim B(k) B ，其中 A(k) Cml , B(k) Cln
k
k
那么 lim A(k)B(k) AB
k
（4）设 lim A(k) A ，那么 lim PA(k)Q PAQ
k
k
其中 A(k ) Cmn , P C mm ,Q C nn
aij
0
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
即
lim
k
aij (
k
)
aij
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
故有
lim
k
A(k )
A
(aij )
现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果 A 是另
外一种范数，那么由范数的等价性可知
d1 A(k) A A(k) A d2 A(k) A
1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
A(k ) A(1) A(2)
k 1
是收敛的，而且是绝对收敛的。
A(k )
定理 设 A(k) (aikj )mn Cmn，则矩阵级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
绝对收敛的充分必要条件是正项级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
（5）设 lim A(k) A，且 {A(k )} , A均可逆，则 {( A(k ) )1} k 也收敛，且 lim( A(k) )1 A1 k
证明： （2） aA(k) bB(k) aA bB a A(k) A b B(k) B 0 （3） A(k)B(k) AB A(k)B(k) A(k)B A(k)B AB
于是
Ak
Pdiag(
J1k
(1
),
J
k 2
(
2
),
,
J
k r
(r
))
P
1
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 k di 1 ki
c1 k1 ki ik
di di
所以
ck Ak ck PJ k P1 P( ck J k )P1
k 0
k 0
k 0
P(diag(
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
从而有
mn
lim
k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
上式即为
lim A(k) A 0
k
mn
充分性：设
lim
k
A(k ) A
lim k i1
j 1
a (k) ij
aij
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
证明：首先证明第一个等式
eAeB (I A 1 A2 1 Ak )
2!
k!
(I B 1 B2 1 Bk )
2!
k!
I (A B) 1 (A2 AB BA B2 ) 2! 1 ( A3 3A2B 3AB2 B3) 3!
I (A B) 1 (A B)2 1 (A B)k
A1 2 A(k ) A
0
1 A1 A(k) A
例 1 若对矩阵A的某一范数 A 1 ，则 lim Ak 0
k
例 2 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1 。 k
证明 设A的Jordan标准形 J diag(J1(1), J2(2 ), , Jr (r ))
i 1
J
i
(i
例1 （1）求下面级数的收敛半径
k 1
xk 2k k
x 2 1
x2 22 2
x3 23
3
（2）设
A
1 1
4 3
Ak
判断矩阵幂级数 k1 2k k 的敛散性。
xk 2k k
解 设此级数的收敛半径为R，利用公式 lim ak1 1 容易
求得此级数的收敛半径为2。而
(
A)
a k k
R
1。所以由上面的定理
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P(A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k ) )1 A1 [ A ( A(k ) A)]1 A1 A1( A(k ) A) 1 A1( A(k) A)
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag(
J
k 1
(1
),
J
k 2
(2
),
,
J
k r
(r
))
P
1
显然，
lim Ak 0
k
的充要条件是
lim
k
J
k i
(i
)
0, i
1,
2,
,r
又因 其中
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 kdi 1 ki
f ( A) ck Ak k 0
例：因为当 |z|<+∞时，有
ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
sin z z 1 z3 (1)n 1 z2n1
3!
(2n 1)!
cos z 1 1 z2 (1)n 1 z2n
2!
(2n)!
都是绝对收敛的，因此
1 A 1 A2 1 An
第三章
矩阵分析及其应用
矩阵序列与极限
定义 设已知矩阵序列 {A(k )}，其中 A(k) (aikj )mn Cmn，当
k→∞， aikj aij时，称{A(k)}收敛，并称矩阵
A