矩阵分析PPTPPT课件
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一般地，我们有: 对于 C n 中的任意向量
(a1,a2, ,an)
其长度为
n
ai 2
i 1
这里 a i 表示复数 a i 的模。
（5） 实对称矩阵 （6） 反实对称矩阵 （7） 欧氏空间的度量矩阵 （8） 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量
定义：设 V 为酉（欧氏）空间，向量 V
的长度定义为非负实数
(,) 例 在 C 4 中求下列向量的长度
(1) (12i,i,3,2 2i) (2) (1,2,3,4)
解： 根据上面的公式可知
4i 2 i 4 2i
(1)
2
i
i
1
4 2 i 1 2 i
6 1 2i 3i
( 2 ) 1 2 i
9
1
i
3 i 1 i 7
0 1 i 8i
(3)
1
i
0
4
wenku.baidu.com
i
8 i 4 i 0
3 1 3i 2i
(4)
1
3i
4
1
5
i
2 i 1 5 i 5
gij gij, (G)T G
定义：设 ACnn，用 A 表示以 A
的共轭复数为元素组成的矩阵，记
的元素
AH ( A)T
则称 A H 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) A H ( AT ) (2) (A B)H AH B H (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H B H AH
规定
(,) 1 x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
容而易R 验n 成证为(一个,欧氏)空1 是间。R n如上果的规一定个内积，从
(,) 2 x 1 y 1 2 x 2 y 2 n x n y n
容易验证 ( , )2 也是R n 上的一个内积 ，这样 R n 又成为另外一个欧氏空间。
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2 ) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
( 3 ) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
定义：设 V 是 n 维酉空间， i 为其一组
这样 C [ a , b ] 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义： 设 是复数域 上的 维线性空间，
对于 中的V 任意两个向C 量 n 按照某一确定 法 的则 内V积对，应记着为一个复数，，这并个 且复, 要数求称内为积满与足 下
列运算条件： ( , )
(1) (, ) ( , )
(2) (k, ) k(, )
容易验证 ( , ) 是 C [ a , b ] 上的一个内
积，于是 C [ a , b ] 便成为一个酉空间。
例 3 在 n 2 维线性空间 C n n 中，规定
(A,B):Tr(ABH) 其中B H 表示 B 中所有元素取共轭复数后再 转置，容易验证 ( , ) 是 C n n 上的一 个内积，从而 C n n 连同这个内积一起成为
矩阵分析
• 主讲教师：魏丰
第三章 内积空间，正规矩阵与H-阵
定义： 设V 是实数域 R 上的n 维线性空间，
对于 中V的任意两个向量 按, 照某一确
定法则对应着一个实数，这个实数称为 与
的内积，记为
(， ,并且) 要求内积满足
下列运算条件：
(1) (, ) (,)
(2) (k, ) k(, )
(5) ( A k )H ( A H )k (6) ( A H )H A (7) A A (8) ( A H )1 ( A 1)H
定义：设 ACnn ,如果 AH A ，那么称 A 为Hermite矩阵；如果 AH A，那么
称 A 为反Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。
例 2 在 n m 维线性空间 R n m 中，规定 (A,B):Tr(ABT)
容易验证这是 R n m 上的一个内积，这样R n m
对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 C [ a , b ] 中，规定
b
(f,g):a f(x)g(x)dx
容易验证( f , g ) 是 C [ a , b ] 上的一个内积，
(3) ( , ) (, ) (, )
(4) (,) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有
这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 R n 中，对于
( x 1 ,x 2 , ,x n ) , ( y 1 ,y 2 , ,y n )
(3) ( , ) (, ) ( , )
(4) (, ) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意复数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有
这样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。欧氏
空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设 C n 是 n 维复向量空间，任取
( a 1 ,a 2 , ,a n ) , ( b 1 ,b 2 , ,b n )
规定
(,): () T a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
容易验证 ( , ) 是 C n 上的一个内积，从
而C n 成为一个酉空间。
例 2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有
连续复值函数组成的线性空间，定义
b
(f,g):a f(x)g(x)dx
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
( 3) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
基底，对于V 中的任意两个向量
n
xii,
i1
那么 与 的内积
n
yjj
j1
n
n
n
(,)( xii, yii) xiyj(i,j)
i 1
j 1
i,j 1
令
g ij (i, j), i,j 1 ,2 , ,n
g11 g12
g1n
G
g
21
g 22
g
2
n
g
n
1
gn2
g
nn
称 G 为基底 i 的度量矩阵，而且
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一般地，我们有: 对于 C n 中的任意向量
(a1,a2, ,an)
其长度为
n
ai 2
i 1
这里 a i 表示复数 a i 的模。
（5） 实对称矩阵 （6） 反实对称矩阵 （7） 欧氏空间的度量矩阵 （8） 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量
定义：设 V 为酉（欧氏）空间，向量 V
的长度定义为非负实数
(,) 例 在 C 4 中求下列向量的长度
(1) (12i,i,3,2 2i) (2) (1,2,3,4)
解： 根据上面的公式可知
4i 2 i 4 2i
(1)
2
i
i
1
4 2 i 1 2 i
6 1 2i 3i
( 2 ) 1 2 i
9
1
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3 i 1 i 7
0 1 i 8i
(3)
1
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3 1 3i 2i
(4)
1
3i
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1
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i
2 i 1 5 i 5
gij gij, (G)T G
定义：设 ACnn，用 A 表示以 A
的共轭复数为元素组成的矩阵，记
的元素
AH ( A)T
则称 A H 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) A H ( AT ) (2) (A B)H AH B H (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H B H AH
规定
(,) 1 x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
容而易R 验n 成证为(一个,欧氏)空1 是间。R n如上果的规一定个内积，从
(,) 2 x 1 y 1 2 x 2 y 2 n x n y n
容易验证 ( , )2 也是R n 上的一个内积 ，这样 R n 又成为另外一个欧氏空间。
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2 ) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
( 3 ) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
定义：设 V 是 n 维酉空间， i 为其一组
这样 C [ a , b ] 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义： 设 是复数域 上的 维线性空间，
对于 中的V 任意两个向C 量 n 按照某一确定 法 的则 内V积对，应记着为一个复数，，这并个 且复, 要数求称内为积满与足 下
列运算条件： ( , )
(1) (, ) ( , )
(2) (k, ) k(, )
容易验证 ( , ) 是 C [ a , b ] 上的一个内
积，于是 C [ a , b ] 便成为一个酉空间。
例 3 在 n 2 维线性空间 C n n 中，规定
(A,B):Tr(ABH) 其中B H 表示 B 中所有元素取共轭复数后再 转置，容易验证 ( , ) 是 C n n 上的一 个内积，从而 C n n 连同这个内积一起成为
矩阵分析
• 主讲教师：魏丰
第三章 内积空间，正规矩阵与H-阵
定义： 设V 是实数域 R 上的n 维线性空间，
对于 中V的任意两个向量 按, 照某一确
定法则对应着一个实数，这个实数称为 与
的内积，记为
(， ,并且) 要求内积满足
下列运算条件：
(1) (, ) (,)
(2) (k, ) k(, )
(5) ( A k )H ( A H )k (6) ( A H )H A (7) A A (8) ( A H )1 ( A 1)H
定义：设 ACnn ,如果 AH A ，那么称 A 为Hermite矩阵；如果 AH A，那么
称 A 为反Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。
例 2 在 n m 维线性空间 R n m 中，规定 (A,B):Tr(ABT)
容易验证这是 R n m 上的一个内积，这样R n m
对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 C [ a , b ] 中，规定
b
(f,g):a f(x)g(x)dx
容易验证( f , g ) 是 C [ a , b ] 上的一个内积，
(3) ( , ) (, ) (, )
(4) (,) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有
这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 R n 中，对于
( x 1 ,x 2 , ,x n ) , ( y 1 ,y 2 , ,y n )
(3) ( , ) (, ) ( , )
(4) (, ) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意复数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有
这样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。欧氏
空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设 C n 是 n 维复向量空间，任取
( a 1 ,a 2 , ,a n ) , ( b 1 ,b 2 , ,b n )
规定
(,): () T a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
容易验证 ( , ) 是 C n 上的一个内积，从
而C n 成为一个酉空间。
例 2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有
连续复值函数组成的线性空间，定义
b
(f,g):a f(x)g(x)dx
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
( 3) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
基底，对于V 中的任意两个向量
n
xii,
i1
那么 与 的内积
n
yjj
j1
n
n
n
(,)( xii, yii) xiyj(i,j)
i 1
j 1
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令
g ij (i, j), i,j 1 ,2 , ,n
g11 g12
g1n
G
g
21
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nn
称 G 为基底 i 的度量矩阵，而且