矩阵分析与计算--01-线性空间

《矩阵分析与应用》
张贤达清华大学出版社，2004年9月
矩阵与计算工具：MATLAB， MAPLE,LAPACK … 编程语言：C/C++, C#, Fortran，Java
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矩阵分析与计算
考核方式：

闭卷考试：65%
课堂讨论，小报告： 35% 作业抽查，应该重视练习、讨论、算法设计、 上机实践等环节。
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数 学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用 的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维 斯特（1814-1897）首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述 语 西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他和凯莱、哈 在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念， 密顿 (Hamilton)等人一起开创了英国纯粹数学的一个 然而在历史上次序正好相反。 繁荣局面．他的成就主要在代数方面，他同凯莱一起
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本讲主要内容
线性空间定义与性质 基、维数、坐标 基变换与坐标变换
子空间
内积空间
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一、线性空间

几何空间和 n 维欧氏空间的回顾 推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
线性空间定义 要点：


集合V 与数域F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画
矩 阵 分 析 与 计 算 Matrix Analysis and Computations
理学院 Email: mymath@ (民) 2011年9月
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本科线性代数内容的简单回顾与讨论 1）线性代数主要内容 2）有什么用？工科学生最关心的 大家在本科毕业设计中用了么？
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1.矩阵论的发展历史
（x1 , x2 ,
要点： 坐标与基有关 任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。
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常见线性空间的基与维数：
Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。 Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] =n C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]= 约定： V n（F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。


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第一章 线性空间与线性变换
线性代数的核心内容
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第一章 线性空间与线性变换


内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关 系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
d n x d n 1 x L(x) n n 1 an x dt dt 的解的全体 S {x(t ) | L( x) 0}

以普通函数的加法、 数乘为运算，构成 C上的线性空间
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2.基 、维数与坐标

回顾：向量的线性相关与线性无关： 例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x „，enx}，x[0，1] 线性无关。

向量0
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线性空间举例
1.分量属于数域F上的全体n元数组构成 数域F的一个线性空间
F
n
x , x ,
1 2
, xn x1 , x2 ,
T
, xn F

当数域F为复数域C时，称C 为n元复向量空间 数域F为实数域R时，称R n 为n元实向量空间
n
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线性空间举例

2.元素属于复数域C的m×n矩阵，按照矩阵的 加法与数的数乘，构成复数域C上的线性空间， 记为C m×n 3. [a, b]上的连续函数构成的空间C[a, b]
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线性定常系统的状态方程

写成矩阵形式
a11 a21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
x1 (t ) x (t ) x (t ) n
dx Ax dt
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Why study the matrix analysis


加法即函数的加法，数乘即数乘以函数

4. 全体实函数构成实数域上的线性空间

加法即函数的加法，数乘即数乘以函数
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线性空间举例

5.复数域上次数不超过n的一元多项式全体Cn[x]为复 数域C上的线性空间 按照多项式加法、数与多项式的乘法

6.零空间 仅由C上线性空间V的零元素构成的单元素集合 7.n阶线性齐次微分方程
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矩阵论的发展历史




厄米特 (C.Hermite,1822-1901) 在1855 年证明了别的 数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如 现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。 克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海 姆 (A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。 泰伯 (H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些 有关的结论。 弗罗比尼斯 (G.Frobenius,1849- 1917) 讨论了最小多 项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子 、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，
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3 坐标

定义3 设 1 , 2 , , n 为线性空间V 的一个基，对于任意元 素 , 有且仅有一组有序数x1 , x2 , , xn F ，使得
x11 x2 2
则称 x1 , x2 , 记作
xn n i 1 xi ai
n
T , xn）
, xn 为 在基1， 2， n下的坐标，

发展了行列式和矩阵的理论，共同奠定了不变量的理 论基础．此外对代数方程论、数论等诸领域都有重要 的贡献．
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James Joseph Sylvester
剑桥大学毕业，在剑桥任聘3年，从事数 学研究。因不愿担任圣职，于1846年入林 肯法律协会于1849年成为律师，以后14年 他以律师为职业，业余时间继续数学研究。 1863年为剑桥大学教授，直至逝世。
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线性空间的一般性的观点
线性空间的一般形式 V（F），元素被统称为向量：， ，， 线性空间的简单性质（共性） 定理：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是唯一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是唯一的。 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 数0 （4） = （1）



英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 被公认为是矩阵论 的创立者，他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来 ，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的 研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。 定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩 阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与 可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根 （特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
k与 的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域F上的线性空间：
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加法满足下列四条规则： , , V ① ② ( ) ( ) ③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0 （具有这个性质的元素0称为V的零元素） ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
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矩阵论的发展历史


约当在1854 年研究了矩阵化为标准型的问题。 梅茨勒 (H.Metzler)在 1892 年引进了矩阵的超越函 数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。 傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩 阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
傅里叶生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭， 8岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795年 任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑 军队远征埃及，回国后被任命为格伦诺布尔 省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年 当选为巴黎科学院院士。
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矩阵论的发展历史源自矩阵理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理 论体系基本形成。 到20世纪，矩阵理论得到进一步发展，目前， 它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物 学、经济学、信息科学等学科有大量应用的数 学学科。

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2. 矩阵论的重要性
不懂矩阵论
= ？

不懂线性代数 = 差不多是文盲？ （瑞典数学家Lars Garding 《Encounter with Mathematics》）
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1.线性空间的定义
设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
在P与V的元素之间还 与 的和，记为 ；
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k F , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为


矩阵分析在数学学科与其他科学技术领域，诸 如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、 运筹学、控制论、信号处理、系统工程、科学 计算等学科有广泛的应用 物理、生物。。。。 企业管理、经济。。。
从事科学研究工作的基本工具！