矩阵分析与计算--01-线性空间
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4
矩阵论的发展历史
厄米特 (C.Hermite,1822-1901) 在1855 年证明了别的 数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如 现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。 克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海 姆 (A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。 泰伯 (H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些 有关的结论。 弗罗比尼斯 (G.Frobenius,1849- 1917) 讨论了最小多 项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子 、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，
《矩阵分析与应用》
张贤达清华大学出版社，2004年9月
矩阵与计算工具：MATLAB， MAPLE,LAPACK … 编程语言：C/C++, C#, Fortran，Java
14
矩阵分析与计算
考核方式：
闭卷考试：65%
课堂讨论，小报告： 35% 作业抽查，应该重视练习、讨论、算法设计、 上机实践等环节。
20
1.线性空间的定义
设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
在P与V的元素之间还 与 的和，记为 ；
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k F , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 被公认为是矩阵论 的创立者，他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来 ，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的 研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。 定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩 阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与 可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根 （特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
向量0
24
线性空间举例
1.分量属于数域F上的全体n元数组构成 数域F的一个线性空间
F
n
x , x ,
1 2
, xn x1 , x2 ,
T
, xn F
当数域F为复数域C时，称C 为n元复向量空间 数域F为实数域R时，称R n 为n元实向量空间
n
25
线性空间举例
2.元素属于复数域C的m×n矩阵，按照矩阵的 加法与数的数乘，构成复数域C上的线性空间， 记为C m×n 3. [a, b]上的连续函数构成的空间C[a, b]
15
联系方式
Email: mymath@126.com（民网）
课件与作业通过民网邮箱发给大家.
Tel:
13517488568(m)
16
第一章 线性空间与线性变换
线性代数的核心内容
17
第一章 线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关 系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
矩 阵 分 析 与 计 算 Matrix Analysis and Computations
理学院 Email: mymath@foxmail.com (民) 2011年9月
1
本科线性代数内容的简单回顾与讨论 1）线性代数主要内容 2）有什么用？工科学生最关心的 大家在本科毕业设计中用了么？
2
1.矩阵论的发展历史
矩阵分析在数学学科与其他科学技术领域，诸 如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、 运筹学、控制论、信号处理、系统工程、科学 计算等学科有广泛的应用 物理、生物。。。。 企业管理、经济。。。
从事科学研究工作的基本工具！
11
课程研究内容
线性空间与线性变换 矩阵的分解 广义逆矩阵 矩阵范数与矩阵级数 矩阵函数及其计算 矩阵函数的微积分 非负矩阵 特征值估计 矩阵计算
中 间 穿 插 报 告 论 文
12
矩阵分析与计算—教学指导意见
主要参考教材 《矩阵分析》
冯良贵 胡庆军 编著， 国防科技大学出版社，2010
13
矩阵分析与计算—教学指导意见
主要参考书： 《矩阵计算的理论与方法》
徐树方，北京大学出版社，1996 《矩阵计算》第三版
人民邮电出版社，（美）Gene H.Golub, Charles F. Van Loan 著，袁亚湘等译
5
矩阵论的发展历史
约当在1854 年研究了矩阵化为标准型的问题。 梅茨勒 (H.Metzler)在 1892 年引进了矩阵的超越函 数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。 傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩 阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
傅里叶生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭， 8岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795年 任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑 军队远征埃及，回国后被任命为格伦诺布尔 省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年 当选为巴黎科学院院士。
（x1 , x2 ,
要点： 坐标与基有关 任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。
31
常见线性空间的基与维数：
Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。 Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] =n C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]= 约定： V n（F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
8
2. 矩阵论的重要性
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问 题，又适合现代理论数学的抽象结构。 ——现代绝大部分自然科学（工程）问题最后都 转化为矩阵分析与计算问题
线性定常系统
dx1 dt a11 x1 a12 x2 a1n xn dx2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn dt dxn a x a x a x n1 1 n2 2 nn n dt
9
线性定常系统的状态方程
写成矩阵形式
a11 a21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
x1 (t ) x (t ) x (t ) n
dx Ax dt
10
Why study the matrix analysis
6
矩阵论的发展历史
矩阵理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理 论体系基本形成。 到20世纪，矩阵理论得到进一步发展，目前， 它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物 学、经济学、信息科学等学科有大量应用的数 学学科。
7
2. 矩阵论的重要性
不懂矩阵论
= ？
不懂线性代数 = 差不多是文盲？ （瑞典数学家Lars Garding 《Encounter with Mathematics》）
28
2 基 、维数与坐标
定义2 设线性空间V中，有n个元素 1 , 2 , , n 满足 1） 1 , 2 , , n 线性无关 2）V中的任意元素均可由 1 , 2 , , n 线性表示； 则称 1 , 2 , , n 为线性空间V 的一个基，n称为线 记为dim(V ) n 性空间V的维数。
维数为n的线性空间成为n维线性空间，记为Vn
百度文库？？？
29
3 坐标
设 1 , 2 , , n 为线性空间V 的一个基，对于任意元 素 , 有一组有序数 x1 , x2 , , xn ，使得
x11 x2 2
问题：x1 , x2 , , xn 唯一么？
xn n
发展了行列式和矩阵的理论，共同奠定了不变量的理 论基础．此外对代数方程论、数论等诸领域都有重要 的贡献．
3
James Joseph Sylvester
剑桥大学毕业，在剑桥任聘3年，从事数 学研究。因不愿担任圣职，于1846年入林 肯法律协会于1849年成为律师，以后14年 他以律师为职业，业余时间继续数学研究。 1863年为剑桥大学教授，直至逝世。
0 ;（β 称为 的负元素）
数量乘法满足下列两条规则 : ⑥ k ( l ) ( kl ) ⑤ 1 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ (k l ) k l ⑧ k ( ) k k
22
注：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 称为线性运算． 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3 ．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
23
线性空间的一般性的观点
线性空间的一般形式 V（F），元素被统称为向量：， ，， 线性空间的简单性质（共性） 定理：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是唯一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是唯一的。 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 数0 （4） = （1）
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数 学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用 的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维 斯特（1814-1897）首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述 语 西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他和凯莱、哈 在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念， 密顿 (Hamilton)等人一起开创了英国纯粹数学的一个 然而在历史上次序正好相反。 繁荣局面．他的成就主要在代数方面，他同凯莱一起
d n x d n 1 x L(x) n n 1 an x dt dt 的解的全体 S {x(t ) | L( x) 0}
以普通函数的加法、 数乘为运算，构成 C上的线性空间
27
2.基 、维数与坐标
回顾：向量的线性相关与线性无关： 例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x „，enx}，x[0，1] 线性无关。
18
本讲主要内容
线性空间定义与性质 基、维数、坐标 基变换与坐标变换
子空间
内积空间
19
一、线性空间
几何空间和 n 维欧氏空间的回顾 推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
线性空间定义 要点：
集合V 与数域F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画
30
3 坐标
定义3 设 1 , 2 , , n 为线性空间V 的一个基，对于任意元 素 , 有且仅有一组有序数x1 , x2 , , xn F ，使得
x11 x2 2
则称 x1 , x2 , 记作
xn n i 1 xi ai
n
T , xn）
, xn 为 在基1， 2， n下的坐标，
加法即函数的加法，数乘即数乘以函数
4. 全体实函数构成实数域上的线性空间
加法即函数的加法，数乘即数乘以函数
26
线性空间举例
5.复数域上次数不超过n的一元多项式全体Cn[x]为复 数域C上的线性空间 按照多项式加法、数与多项式的乘法
6.零空间 仅由C上线性空间V的零元素构成的单元素集合 7.n阶线性齐次微分方程
k与 的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域F上的线性空间：
21
加法满足下列四条规则： , , V ① ② ( ) ( ) ③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0 （具有这个性质的元素0称为V的零元素） ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
矩阵论的发展历史
厄米特 (C.Hermite,1822-1901) 在1855 年证明了别的 数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如 现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。 克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海 姆 (A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。 泰伯 (H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些 有关的结论。 弗罗比尼斯 (G.Frobenius,1849- 1917) 讨论了最小多 项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子 、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，
《矩阵分析与应用》
张贤达清华大学出版社，2004年9月
矩阵与计算工具：MATLAB， MAPLE,LAPACK … 编程语言：C/C++, C#, Fortran，Java
14
矩阵分析与计算
考核方式：
闭卷考试：65%
课堂讨论，小报告： 35% 作业抽查，应该重视练习、讨论、算法设计、 上机实践等环节。
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1.线性空间的定义
设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
在P与V的元素之间还 与 的和，记为 ；
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k F , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 被公认为是矩阵论 的创立者，他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来 ，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的 研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。 定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩 阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与 可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根 （特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
向量0
24
线性空间举例
1.分量属于数域F上的全体n元数组构成 数域F的一个线性空间
F
n
x , x ,
1 2
, xn x1 , x2 ,
T
, xn F
当数域F为复数域C时，称C 为n元复向量空间 数域F为实数域R时，称R n 为n元实向量空间
n
25
线性空间举例
2.元素属于复数域C的m×n矩阵，按照矩阵的 加法与数的数乘，构成复数域C上的线性空间， 记为C m×n 3. [a, b]上的连续函数构成的空间C[a, b]
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联系方式
Email: mymath@126.com（民网）
课件与作业通过民网邮箱发给大家.
Tel:
13517488568(m)
16
第一章 线性空间与线性变换
线性代数的核心内容
17
第一章 线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关 系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
矩 阵 分 析 与 计 算 Matrix Analysis and Computations
理学院 Email: mymath@foxmail.com (民) 2011年9月
1
本科线性代数内容的简单回顾与讨论 1）线性代数主要内容 2）有什么用？工科学生最关心的 大家在本科毕业设计中用了么？
2
1.矩阵论的发展历史
矩阵分析在数学学科与其他科学技术领域，诸 如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、 运筹学、控制论、信号处理、系统工程、科学 计算等学科有广泛的应用 物理、生物。。。。 企业管理、经济。。。
从事科学研究工作的基本工具！
11
课程研究内容
线性空间与线性变换 矩阵的分解 广义逆矩阵 矩阵范数与矩阵级数 矩阵函数及其计算 矩阵函数的微积分 非负矩阵 特征值估计 矩阵计算
中 间 穿 插 报 告 论 文
12
矩阵分析与计算—教学指导意见
主要参考教材 《矩阵分析》
冯良贵 胡庆军 编著， 国防科技大学出版社，2010
13
矩阵分析与计算—教学指导意见
主要参考书： 《矩阵计算的理论与方法》
徐树方，北京大学出版社，1996 《矩阵计算》第三版
人民邮电出版社，（美）Gene H.Golub, Charles F. Van Loan 著，袁亚湘等译
5
矩阵论的发展历史
约当在1854 年研究了矩阵化为标准型的问题。 梅茨勒 (H.Metzler)在 1892 年引进了矩阵的超越函 数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。 傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩 阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
傅里叶生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭， 8岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795年 任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑 军队远征埃及，回国后被任命为格伦诺布尔 省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年 当选为巴黎科学院院士。
（x1 , x2 ,
要点： 坐标与基有关 任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。
31
常见线性空间的基与维数：
Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。 Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] =n C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]= 约定： V n（F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
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2. 矩阵论的重要性
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问 题，又适合现代理论数学的抽象结构。 ——现代绝大部分自然科学（工程）问题最后都 转化为矩阵分析与计算问题
线性定常系统
dx1 dt a11 x1 a12 x2 a1n xn dx2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn dt dxn a x a x a x n1 1 n2 2 nn n dt
9
线性定常系统的状态方程
写成矩阵形式
a11 a21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
x1 (t ) x (t ) x (t ) n
dx Ax dt
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Why study the matrix analysis
6
矩阵论的发展历史
矩阵理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理 论体系基本形成。 到20世纪，矩阵理论得到进一步发展，目前， 它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物 学、经济学、信息科学等学科有大量应用的数 学学科。
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2. 矩阵论的重要性
不懂矩阵论
= ？
不懂线性代数 = 差不多是文盲？ （瑞典数学家Lars Garding 《Encounter with Mathematics》）
28
2 基 、维数与坐标
定义2 设线性空间V中，有n个元素 1 , 2 , , n 满足 1） 1 , 2 , , n 线性无关 2）V中的任意元素均可由 1 , 2 , , n 线性表示； 则称 1 , 2 , , n 为线性空间V 的一个基，n称为线 记为dim(V ) n 性空间V的维数。
维数为n的线性空间成为n维线性空间，记为Vn
百度文库？？？
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3 坐标
设 1 , 2 , , n 为线性空间V 的一个基，对于任意元 素 , 有一组有序数 x1 , x2 , , xn ，使得
x11 x2 2
问题：x1 , x2 , , xn 唯一么？
xn n
发展了行列式和矩阵的理论，共同奠定了不变量的理 论基础．此外对代数方程论、数论等诸领域都有重要 的贡献．
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James Joseph Sylvester
剑桥大学毕业，在剑桥任聘3年，从事数 学研究。因不愿担任圣职，于1846年入林 肯法律协会于1849年成为律师，以后14年 他以律师为职业，业余时间继续数学研究。 1863年为剑桥大学教授，直至逝世。
0 ;（β 称为 的负元素）
数量乘法满足下列两条规则 : ⑥ k ( l ) ( kl ) ⑤ 1 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ (k l ) k l ⑧ k ( ) k k
22
注：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 称为线性运算． 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3 ．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
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线性空间的一般性的观点
线性空间的一般形式 V（F），元素被统称为向量：， ，， 线性空间的简单性质（共性） 定理：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是唯一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是唯一的。 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 数0 （4） = （1）
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数 学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用 的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维 斯特（1814-1897）首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述 语 西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他和凯莱、哈 在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念， 密顿 (Hamilton)等人一起开创了英国纯粹数学的一个 然而在历史上次序正好相反。 繁荣局面．他的成就主要在代数方面，他同凯莱一起
d n x d n 1 x L(x) n n 1 an x dt dt 的解的全体 S {x(t ) | L( x) 0}
以普通函数的加法、 数乘为运算，构成 C上的线性空间
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2.基 、维数与坐标
回顾：向量的线性相关与线性无关： 例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x „，enx}，x[0，1] 线性无关。
18
本讲主要内容
线性空间定义与性质 基、维数、坐标 基变换与坐标变换
子空间
内积空间
19
一、线性空间
几何空间和 n 维欧氏空间的回顾 推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
线性空间定义 要点：
集合V 与数域F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画
30
3 坐标
定义3 设 1 , 2 , , n 为线性空间V 的一个基，对于任意元 素 , 有且仅有一组有序数x1 , x2 , , xn F ，使得
x11 x2 2
则称 x1 , x2 , 记作
xn n i 1 xi ai
n
T , xn）
, xn 为 在基1， 2， n下的坐标，
加法即函数的加法，数乘即数乘以函数
4. 全体实函数构成实数域上的线性空间
加法即函数的加法，数乘即数乘以函数
26
线性空间举例
5.复数域上次数不超过n的一元多项式全体Cn[x]为复 数域C上的线性空间 按照多项式加法、数与多项式的乘法
6.零空间 仅由C上线性空间V的零元素构成的单元素集合 7.n阶线性齐次微分方程
k与 的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域F上的线性空间：
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加法满足下列四条规则： , , V ① ② ( ) ( ) ③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0 （具有这个性质的元素0称为V的零元素） ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得