矩阵论_第一章_线性空间和线性映射剖析
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矩阵论-线性代数引论
限维空间，记dim V= ∞.
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换
x x1 x2 x y1 y2
k1
xn
k2
kn
k1 t1
k2
A
t2kn tn t1 源自ynt2x1
x2
t1
xn
A
t2
tn
tn
不同基之间过渡矩阵的求法：
已知两组基 (I )x1, x2 , , xn ( II ) y1, y2 , , yn
基 (III )到基 (I ) 的过渡矩阵 C1 为：
1 1 1 1
C1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 0 0 1
基 (III )到基 (II )的过渡矩阵 C2 为：
1 0 1 1
C2
0 1
1 1
1 1
1
0
1 1 0 1
则由基 (I ) 到基 (II ) 的过渡矩阵 C 为：
1 1 1 11 1 0 1 1
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn
的最大无关组： 的基。
V1
V2
V1 L( x1, x2 , , xm ) V2 L( y1, y2 , , yn )
解： ⑴先将 V表1 示成生成子空间 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系为
k1x1 k2 x2 kn xn 构成的集合形成V 的一个子空间，称之为由该向量组生 成的子空间。记为 W L( x1, x2 , , xn )
定义3 （子空间的和）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，称集合
W W1 W2 x y x W1, y W2
为子空间 W1 和 W2 的和。
工程硕士矩阵论第一章
n 例 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集， 则W是V的子空间的充要条件是： W对V 中的线性运算封闭.
例 函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例 函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.
例
22 R 求
中
1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若 W关于 V中的线性运算也 构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
• 若ka=0，则k=0或a=0
第二节 基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1．有关概念 定义 设V为数域P上的线性空间，对V 中的向 , 1 , 2 ,, m ， 如果存在一组数 量（元素） k1 , k 2 ,, k m P ，使得
则称 或 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数（或表示系数）
课件 矩阵论
6
证
对于数组
k 1
,L ,
km
,
因为
k 1
y 1
+L+
km
ym
=
(
x 1
,L,
x
n
)(
k1α
1
+L+
kmα m
)
=θ
等价于 k1α1 + L + kmα m = θ , 所以结论成立.
四、基变换与坐标变换
1．基变换：设线性空间V
n
的基(Ⅰ)为
x 1
,L,
xn
,
基(Ⅱ)为
y 1
,L,
yn
,
则
y 1
=
cx 11 1
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
矩阵论学习-(线性空间与线性变换)
ka1 ,
kb1 +
k( k 2
1 ) a21
ka2 ,
kb2
+
k(
k2
1)
a22
=
ka1
+
ka2 ,
kb1
+
kb2
+
k( k 2
1) (
a21
+
a22 )
+
k2 (
a1 a2 )
.
4
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
故有 k⊙ ( α β) = ( k⊙α) ( k⊙β) , 即八条运算法则皆成立 , V 在实域 R 上构
第一章 线性空间与线性变换
线性空间是某一类事物从量方面的一个数学抽象, 线性变换则是反映线性空 间元素之间最基本的线性函数关系 , 它们是研究线性代数的理论基础 .理解本章的 主要概念 , 掌握基本定理、结论和方法 , 对学好矩阵论起着关键的作用 .
§1 .1 线性空间 , 基、维数及坐标
一、线性空间与子空间
mn
mn
mn
∑ ∑ ( aij + bij ) = ∑∑ aij + ∑ ∑ bij = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 A + B∈ W4 , 同样由于 kA = ( kaij ) m × n ,
mn
mn
∑∑ kaij = k∑∑ aij = k0 = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 kA∈ W4 .加法运算和数乘运算封闭 , 故 W4 是一个子空间 .
⑥ ( kl ) ⊙α=
矩阵理论第一章线性空间与线性变换13
矩阵理论
主讲教师 杨建平
教材:矩阵论及其应用
(中国科技大学出版社,黄有度等)
• 参考书: • 矩阵分析(北京理工大学出版社,史荣昌) • 矩阵理论(高等教育出版社,黄廷祝等) • 矩阵论(科学出版社,戴华)
矩阵理论
内容简介 第一章 线性空间与线性变换 第二章
—矩阵与Jordan标准形
第三章 矩阵分析及矩阵函数 第四章 矩阵微分方程
n 又 C n 为线性空间, 故 x1 x2 C ，因此 A( x1 x2 ) R( A)，
又 A( x1 x2 ) Ax1 Ax 2 y1 y2 故 y1 y2 R( A)， 同理， 当 k C 时，有 ky1 R( A), 由于 C n 为线性空间， 容易验证 R( A) 中的加法和数乘满足8条规则，故 R( A) 为C上的线性空间。
则把f(x)在 x a 处按 Taylor 公式展开后，有
例8
1 (1, 2 (0,
在 n 维线性空间 R n 中，它的一个基为：
0,,0) T 1,,0)
0,,1)
T
T n
T
n (0,
对于任一向量 (a1 , a2 ,, an ) R , 有
R( A) { y | y Ax , N ( A) {x | Ax 0,
x C n} x C n}
按 C n 中的加法和数乘运算，则 R( A) 和 N ( A) 都是复数 域C上的线性空间，其中 N ( A) 叫做矩阵A的零空间，(或核）， 也叫做方程组Ax=0的解空间。
证明： 设 y1, y2 R( A), 则存在 x1 , x2 Cn， 使得 y1 Ax1, y2 Ax 2
主讲教师 杨建平
教材:矩阵论及其应用
(中国科技大学出版社,黄有度等)
• 参考书: • 矩阵分析(北京理工大学出版社,史荣昌) • 矩阵理论(高等教育出版社,黄廷祝等) • 矩阵论(科学出版社,戴华)
矩阵理论
内容简介 第一章 线性空间与线性变换 第二章
—矩阵与Jordan标准形
第三章 矩阵分析及矩阵函数 第四章 矩阵微分方程
n 又 C n 为线性空间, 故 x1 x2 C ，因此 A( x1 x2 ) R( A)，
又 A( x1 x2 ) Ax1 Ax 2 y1 y2 故 y1 y2 R( A)， 同理， 当 k C 时，有 ky1 R( A), 由于 C n 为线性空间， 容易验证 R( A) 中的加法和数乘满足8条规则，故 R( A) 为C上的线性空间。
则把f(x)在 x a 处按 Taylor 公式展开后，有
例8
1 (1, 2 (0,
在 n 维线性空间 R n 中，它的一个基为：
0,,0) T 1,,0)
0,,1)
T
T n
T
n (0,
对于任一向量 (a1 , a2 ,, an ) R , 有
R( A) { y | y Ax , N ( A) {x | Ax 0,
x C n} x C n}
按 C n 中的加法和数乘运算，则 R( A) 和 N ( A) 都是复数 域C上的线性空间，其中 N ( A) 叫做矩阵A的零空间，(或核）， 也叫做方程组Ax=0的解空间。
证明： 设 y1, y2 R( A), 则存在 x1 , x2 Cn， 使得 y1 Ax1, y2 Ax 2
矩阵论——讲稿
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
例 3 K = R 时， R n —向量空间；
R m×n —矩阵空间
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
3
Pn[t]—多项式空间； C[a,b] —函数空间 K = C 时， Cn —复向量空间； Cm×n —复矩阵空间 例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ，数域 R = {k k是实数 } ．
0
a 12
a
22
ai
j1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22
∈
R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j
∈
R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．
2．减法运算：线性空间V 中， x − y = x + (− y) ．
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1
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
a b : ab, a, b R
k • a : ak , a R , k R
例 5 R表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2 ,
a3 , ]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
例3 实数域 R上的线性空间 RR中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
与函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,, sinn x,cosn x , n 4.
都是线性相关的函数组。 第二节 线性空间的基底，维数与坐标变换
x2
4, 3
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,
2
,
n
a21
a22
a2n
an1 an2
ann
称 n 阶方阵
a11 a12 P a21 a22
a1n
a2n
)T
称 V 为一个n 维线性空间，记为dimV n.
例1 实数域 R上的线性空间 R3中向量组
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是 R3 的基。 R3 是3维线性空间。
例2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
例 1 全体实函数集合 构成实数域 R 上的
线性空间。
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间.
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下构成实数域上的线性空间：
例1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2, ,n为一
组互不相同的实数。
定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在 V
中存在 n 个线性无关的向量1,2 , ,n 使得 V
中的任意一个向量 线性表出:
都可以由
1,2, ,n
k11 k22 knn
则称 1
为向量
,在2,基 底,n1为,V2,
的 ,一个n下基的底坐；标(。k1,此k时2,我 们, kn
二 线性空间的基本概念及其性质
定义 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向 量组的极大线性无关组；向量组的秩.
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
第一节 线性空间的概念 一 线性空间的定义与例子
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
（1） 加法交换律 （2） 加法结合律 ( ) ( )
an1 an2
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可
以写成
1, 2, , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,
, xn
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
则称 是 的 负元素.
（5） 数 1
1
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0, 1 0, 1 1
都是 R22 的基。R22 是4维线性空间。
例3 实数域 R上的线性空间 R[ x]中n 的向量组
1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n 都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
a b : ab, a, b R
k • a : ak , a R , k R
例 5 R表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2 ,
a3 , ]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
例3 实数域 R上的线性空间 RR中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
与函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,, sinn x,cosn x , n 4.
都是线性相关的函数组。 第二节 线性空间的基底，维数与坐标变换
x2
4, 3
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,
2
,
n
a21
a22
a2n
an1 an2
ann
称 n 阶方阵
a11 a12 P a21 a22
a1n
a2n
)T
称 V 为一个n 维线性空间，记为dimV n.
例1 实数域 R上的线性空间 R3中向量组
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是 R3 的基。 R3 是3维线性空间。
例2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
例 1 全体实函数集合 构成实数域 R 上的
线性空间。
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间.
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下构成实数域上的线性空间：
例1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2, ,n为一
组互不相同的实数。
定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在 V
中存在 n 个线性无关的向量1,2 , ,n 使得 V
中的任意一个向量 线性表出:
都可以由
1,2, ,n
k11 k22 knn
则称 1
为向量
,在2,基 底,n1为,V2,
的 ,一个n下基的底坐；标(。k1,此k时2,我 们, kn
二 线性空间的基本概念及其性质
定义 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向 量组的极大线性无关组；向量组的秩.
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
第一节 线性空间的概念 一 线性空间的定义与例子
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
（1） 加法交换律 （2） 加法结合律 ( ) ( )
an1 an2
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可
以写成
1, 2, , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,
, xn
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
则称 是 的 负元素.
（5） 数 1
1
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0, 1 0, 1 1
都是 R22 的基。R22 是4维线性空间。
例3 实数域 R上的线性空间 R[ x]中n 的向量组
1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n 都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.