1-1线性空间
1.1线性空间
Ⅱ 求 （1）基I到基II的过渡矩阵； （2）向量 31 23 在基I下的坐标以及在自然基 e1 , e 2 下的坐标； T （3）向量 4,1,2 在基（I）下的坐标.
24
, e3
1.3 线性子空间 定义1.8 设V为数域P上的线性空间，W是线性空间V的 非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的 线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V，显然由中单个零向量构成的子 集是的子空间，称为的零子空间,记为{0}；V本身也是 V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.的其它 子空间称为V的非平凡子空间. 若WＶ，且WＶ，称Ｗ是Ｖ的真子空间。
例1.2 1. n维向量空间Rn按照向量的加法以及向量与实数的数乘 都构成实线性空间. 2.全体 mn实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运算下构成一个 实线性空间，记为Rmn. 3.区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数 的乘法构成一个实线性空间，记为C[a,b]. 4.全体次数小于 n的多项式连同零多项式，按照多项式的加法 与数乘构成一个实线性空间，记为 Pn[x]. 5.齐次线性方程组 AX=0的全体解向量，在向量的加法及数乘 两种运算下构成一个线性空间，也就是通常所说的解空间； 注：非齐次线性方程组AX=b的全体解向量，在上述两种运算下 不构成一个线性空间.
4.向量组
1,2 ,L ,m线性相关当且仅当其中至少
有一个向量是其余向量的线性组合。
11
5.向量组 1 ,2 ,L , m 线性无关，而 , 1 , 2 ,L , m 线性相关，则可以由向量组 表示。
1,2 ,L ,m
唯一 线性
6.线性无关组不含零向量，等价的含零向量的向量组必定 线性相关。 7. 如果向量组 1 , 2 ,L , 线性无关，并且可由向量组 s 线性表示，则 s t 8.等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量.
1.1 线性空间
R 是否为 R 上的线性空间？
次数小于n的、变量x的实系数多项式： 例5：设R x n n 1 f ( x) a0 a1 x an 1 x R[ x]n 是否为R上的线性空间。
问题1: 检验全体n阶实对称方阵的集合RS,对矩 阵的加法和数乘是否构成实数域R上的线性空间? 问题2: 全体实连续函数C[a, b],按函数的加法及 数与函数的数乘,是否构成实数域R上的线性空间?
n n
数乘矩阵运算也具有四 条性质： （5） A A 1 (6)k (lA) (kl ) A, k , l为数） （ (7（k l）A kA lA ) (8)k ( A B ) kA kN
定义:线性空间 设V 是一个非空集合, F 是一个数域,在集 合V 的元素之间定义了加法运算。即对于V 中任 意两个元素 、 ,在V 中有唯一的元素 ν ,与它们 相对应,称之为 与 的和， ， 记 且满足：
所以，称 β 是 ε1 , ε2 , ε3 , ε4 的线性组合， 或 β 可以由 ε1 , ε2 , ε3 , ε4 线性表示。
2. 向量组等价 定义 3：如果向量组 A : α1 , α2 ,, αm , 中的每一个 向 量 αi (i 1,2,, t ) 都 可 以 由 向 量 组 那么就称向量组 A 可以 B : β1 , β2 ,, βs 线性表示， 由向量组 B 线性表示。 若同时向量组 B 也可以由 向量组 A 线性表示， 就称向量组 A 与向量组 B 等 价。 即 αi ki 1 β1 ki 2 β2 kis βs i 1,2,, m 1
定义 2：给定向量组 A : α1 , α2 ,, αm , 和向量 β 如果 存 在 一 组 数
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
1-1 线性空间
2. 线性空间的基与坐标
(a) 基与坐标 给定数域K上的线性空间 上的线性空间V， 中的r个 给定数域 上的线性空间 ，x1,x2,…,xr是V中的 个 中的 向量。如果满足： 线性无关； 向量。如果满足：1. x1,x2,…,xr线性无关；2. V中 中 任意一个向量都可以由 一个向量都可以由x 线性表出， 任意一个向量都可以由 1,x2,…,xr线性表出，则称 x1,x2,…,xr是V的一组基(base)，并称 i为基向量。 的一组基 的一组 ，并称x 基向量。 线性空间的维数就是基中所含基向量个数。 线性空间的维数就是基中所含基向量个数。 维线性空间V的一组基 坐标系。 称n维线性空间 的一组基 1,x2,…,xn为坐标系。 维线性空间 的一组基x 对任意x∈ ， 对任意 ∈V，在该组基下的线性表示为 x = ξ1 x1 + ξ 2 x2 + L + ξ n xn , 在该坐标系下的坐标 则称ξ1,ξ2,…,ξn是x在该坐标系下的坐标 在该坐标系下的 (coordinate)或分量，记为 ξ1,ξ2,…,ξn)T。 或分量，记为(
第一章
线性空间与线性变换
1.1 线性空间 1.2 线性变换及其矩阵表示 1.3 常见特殊矩阵
1.1 线性空间
1. 线性空间及其性质 2. 线性空间的基与坐标 3. 线性子空间
1. 线性空间及其性质
(a) 集合 集合(set):是指一些对象的总体。 :是指一些对象的总体。 集合 元素(element):这些对象称为集合的元素。 这些对象称为集合的元素。 元素 这些对象称为集合的元素 整数集； 整数集； 线性方程组的解集； 线性方程组的解集； 由某个平面上所有的点构成的点集。 由某个平面上所有的点构成的点集。 表示集合， 是 的元素 用S表示集合，a是S的元素 a ∈ S 表示集合 a不是 的元素 a ∉ S 不是S的元素 不是
数学第一章空间向量与立体几何1-1第1课时空间向量及其线性运算练习含解析新人教A版选择性必修第一册
第1课时 空间向量及其线性运算学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．知识点一 空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 4．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量思考 空间中的两个向量是不是共面向量？答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a ＋b ＝OA →＋ AB → ＝OB →减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0.1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ )一、向量概念的应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的加法满足结合律D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确；空间向量的加法满足结合律，C 正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.反思感悟 空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 答案 ①解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确． 二、空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′———→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AA ′—→＋A ′D ′———→＝AD ′—→. (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′———→＝AA ′—→＋A ′B ′———→＋B ′C ′———→ ＝AB ′—→＋B ′C ′———→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．延伸探究试把本例中的体对角线所对应向量AC ′—→用向量AA ′—→，AB →，AD →表示． 解 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′—→＝AC →＋AA ′—→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →. 故AC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→.反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→； B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.故选AB. 三、空间向量的线性运算例3 在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式． (1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12(AB →＋AC →－AD →)．解 (1)因为G 是△BCD 的重心，所以|GE →|＝13|BE →|，所以13BE →＝GE →，又因为12CA →＝EF →，所以由向量的加法法则，可知AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AE →＋EF →＝AF →.从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.(2)如图所示，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，则四边形APHQ 为平行四边形，且有12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，而AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →，所以12(AB →＋AC →－AD →)＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →.反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A —→＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA → 答案 B4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．5．化简：5(3a －2b )＋4(2b －3a )＝________. 答案 3a －2b1．知识清单： (1)向量的概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →＞CD →C ．若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量 D.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 答案 AC解析 A 正确，模不为0的向量方向是确定的． B 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． C 正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．D 错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 3．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B.AB → C.OC →D.AC →答案 C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→ B.AB →－AC →＋BB 1—→ C.AB →＋AD →＋AA 1—→ D.AC →＋CB 1—→答案 A解析 在A 选项中，AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向 答案 D6．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________． 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 29.如图所示的是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列各式：(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1—→－AB →＋BC →.解 (1)AB →＋AD →＋AA 1—→＝AC →＋AA 1—→＝AC 1—→.(2)DD 1—→－AB →＋BC →＝AA 1—→－AB →＋BC →＝BA 1—→＋BC →＝BD 1—→.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， 所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 故所求向量为AD →，AF →，如图所示．11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA →答案 D解析 方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12．在三棱锥A －BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF →＝23BE →，则 AF →等于( )A. 12AB →＋34AC →－34AD →B. AB →＋34AC →－34AD →C ．－5AB →＋3AC →＋3AD →D.13AB →＋13AC →＋13AD → 答案 D解析 因为 E 是棱 CD 的中点，BF →＝23BE →，所以 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝23AE →＋13AB →＝13(AC →＋AD →)＋13AB →＝13AB →＋13AC →＋13AD →. 13．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________. 答案 －c －a ＋b 解析 如图，A 1B —→＝B 1B —→－B 1A 1—→＝B 1B —→－BA →＝－CC 1—→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________. 答案 (1)A 1A —→ (2)12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 6解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP → ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .。
第四章_线性空间_S1_线性空间的概念[1][1]资料.
![第四章_线性空间_S1_线性空间的概念[1][1]资料.](https://img.taocdn.com/s3/m/ef5a9b96d5bbfd0a795673f4.png)
线性空间的定义
定义1. 设V是一个非空集合，F是一个数域， 在集合V中定义元素之间的加法运算，使得任 意α,β∈V ，都有α+β∈V ；在F与V的元素之 间定义了一个数量乘法运算，使得任意k∈F及 α∈V ，都有kα∈V 。并且加法和数量乘法满 足下列运算规律，则称V为数域F上的线性空间。 【按所定义的线性运算构成数域F上的线性空 间（或者向量空间）】简称V是F上的线性空间， V的元称为向量。
f (x), g(x) C[a,b] 有 f (x) g(x)C[a,b]
kf (x) C[a,b] (k R)
所考虑的对象虽然完全不同，但是它们都有一 个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法两种运 算。当然，随着对象不同，这两种运算定义也不同。
为了抓住它们的共同点，把它们统一起来 研究，因而引入线性空间的概念。
例5 实(复)数域按本身的加法和乘法构成自身上的 一个线性空间。
例6 次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于 多项式的加法和数量乘法，能否构成数域R上的 线性空间?
解：
xn V , xn 1V ， 但
xn (xn 1) 1V
∴V对加法运算不封闭，从而V对于指定的 运算不构成R上的线性空间。
也可以与实数作数量乘法。 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这
两种运算来描述的。
F1
F 3
F2
所有n阶实矩阵：也定义了加法和数量乘法
aij bij aij bij
k aij kaij
n维向量作为特殊的矩阵，也有类似运算规律
定义在区间[a,b]上的连续函数的全体构成集合 C[a,b]:
第四章 线性空间
§4.1 线性空间的概念
§4.1.1 线性空间的定义和例子
1-1线性空间的性质与定义
1-1线性空间的性质与定义一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，某一类事物从量的方面的一个抽象，某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．问题．定义１是一个非空集合，为实数域．定义１设V是一个非空集合，R 为实数域．如果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元与之对应，的和，素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ=α+β若对于任一数λ∈R与任一元素α∈V总有唯，与之对应，的积，一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作δ=λα如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那上的向量空间（或线性空间）．么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．设α,β,γ∈V;λ,μ∈R(1)α+β=β+α;(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(3)在V中存在零元素0,对任何α∈V,都有α+0=α;(4)对任何α∈V,都有α的负元素β∈V,使α+β=0;(5)1α=α;(6)λ(μα)=(λμ)α;(7)(λ+μ)α=λα+μα;(8)λ(α+β)=λα+λβ.说明1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算线性运算．称为线性运算．2．向量空间中的向量不一定是有序数组．向量空间中的向量不一定是有序数组．3．判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，义的加法和数乘运算不封闭，义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．线性空间的判定方法（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运一个集合，算是通常的实数间的加乘运算，算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．算的封闭性．例１实数域上的全体m某n矩阵，对矩阵的加法矩阵，和数乘运算构成实数域上的线性空间，和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作Rm某n．∵Am某n+Bm某n=Cm某n,λAm某n=Dm某n,∴Rm某n是一个线性空间.例2次数不超过n的多项式的全体,记作P[某]n,即P[某]n={p=an某n++a1某+a0an,,a1,a0∈R},对于通常的多项式加法。
第1章-1 线性空间与线性变换
对∀α、β 、γ ∈ R 2，∀k、l ∈ R, 成立 (A1) 加法交换律： α + β = β + α，
(A2) 加法结合律： (α + β ) + γ = α + ( β + γ )，
1
矩阵分析简明教程
(A3) 具有加法单位元（零向量）θ ∈ R 2 ，使得 α +θ = α (A4) 具有加法逆元（负向量） −α ∈ R 2 ，使得 α + ( −α ) = θ (M1) 数乘的结合律：k ( lα ) = ( kl )α (M2) 数乘的单位元： 1⋅α = α (D1) 分配律1: k (α + β ) = kα + k β (D2) 分配律2: ( k + l )α = kα + lα
º span{α1 , α2 , , αr }
线性无关。
则必有 α r +1 ∈ V 且α r +1 ∉ W ，使得
定理1.1.2 定理 1.1.2 （基的扩张定理） 数域 F 上的 n 维线 性空间 V 中的任意一个线性无关向量组 中的任意 个线性无关向量组
α1 , α2 , , αr , αr+1
x1 = (α1 , , α n ) = (α1 , , α n ) x xn
= [ β1 , , β n ] y = (α 1 , , α n ) Px
项式按照多项式的加法以及数与多项式的乘法也构 成 F上的线性空间吗？
N ( A) ≡ { x ∈ R n | Ax = θ ,
A ∈ R m×n }
Ker ( A)
问：S ≡ { x ∈ R n | Ax = b, b ≠ 0, A ∈ R m×n } ?
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第一专题 线性空间和线性变换矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。
根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。
本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。
§1 线性空间一、线性空间的概念与性质线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。
粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。
因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。
为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。
例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。
向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。
我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。
例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。
对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。
抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。
在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。
在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。
例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。
可见，不同的对象与不同的数域相联系。
当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。
定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。
如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。
显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。
而全体正实数集 R ，全体整数集Z 等都不是数域。
定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元 ,,定义一个加法运算,记为“+”:V （元 称为 与 的和）；定义一个数乘运算:F k V k , （元 k 称为k 与 的数积）。
这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。
加法满足下面四条规则：(1) ；(2) )()( ；(3) 在V 中存在零元素0；对任何V ，都有 0；(4) 对任何V ，都有 的负元素V ，使0 ，记 ；数量乘法满足下面两条规则：(5) 1；(6) αα)()( ；数量乘法与加法满足下面两条规则；(7) )(；(8) )(，在以上运算中， ,等表示数域F 中的数， ,,等表示集合V 中的元素。
数域F 上的线性空间V ，记为)(F V ，V 中的元称为向量；当F 是实数域时，称V 为实线性空间；当F 是复数域时，称V 为复线性空间。
在不需要强调数域时，就称V 为线性空间。
下面再举几个例子。
例3 按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域F 上的元素构成的全体n m 矩阵所成的集合，在数域F 上构成一个线性空间，称为矩阵空间，记为n m F ，其中n m R 为由一切n m 实矩阵构成的实线性空间。
但秩为r )0( r 的全体矩阵所构成的集合n m F 不构成线性空间。
事实上，零矩阵n m F 0。
例4 区间 a,b 上的连续函数的全体，对于通常意义的函数加法和数乘函数，构成线性空间，记为 a,b C ，而 a,b 1C 表示由区间 a,b 上的连续可微函数的全体，对于通常的函数加法和数乘函数所构成的线性空间。
例5实数域R 上的多项式全体，按通常意义的多项式加法及数与多项式乘法，构成线性空间，记为)(t p 。
如果只考虑次数不大于n 的多项式全体，再添加零多项式（系数全是零的多项式）所构成的集，则对于通常意义的多项式加法及数与多项式乘法，构成线性空间，记为)(t p n 。
例6数域F 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间。
全体实n 维向量组成的集合，对于通常意义下的向量加法和数乘向量，构成一个实线性空间，记为n R 。
全体复n 维向量组成的集合，对于通常的向量加法和数乘向量，也构成线性空间。
这时既可用实数乘向量，从而构成实线性空间；又可以用复数乘向量，构成复线性空间，记为n C 。
由定义2可以证明线性空间的一些简单性质。
性质1 零向量是唯一的。
性质2 负向量是唯一的。
性质3 00α0α k α )1( 0；；。
性质4 若,0α k 则0 k 或0α 。
注：（1）线性空间V 是一个集合（向量），它满足一定条件。
（2）线性空间中的加法运算和乘法运算可以有不同的定义。
例如：在正实数集 R 中，F 为实数域R ，定义加法和数乘运算为： ab b a ，k a a k其中R k R b a ,,,“ ”表示加法，“ 。
”表示数乘。
那么R 构成实线性空间。
此时加法零元素是 R 中的数1， R 中元素a的负元素是1 a 。
二、线性空间的基、维数与坐标定义3 设V 是线性空间，若存在n 个向量n ,,, 21满足(1)n ,,,21 线性无关；(2)V 中任一向量 总可有n ,,,21 线性表示，则n ,,,21 称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数，记为dim V ,并称该线性空间为n 维线性空间，记作n V 。
按照这个定义，不难看出，几何空间中向量所构成的线性空间是3维的，n 元数组构成的空间是n 维，例3所述的线性空间n m F 是n m 维的。
因为n m F 中的任一矩阵)(ij a A 可表示为m i nj ij ij ij E a a A 11)(其中ij E 表示第i 行第j 列处的元素为1，其余元素为0的n m 矩阵，并且 n j m i E ij ,,1,,,1, 显然是线性无关的，是n m F 的一个基。
而例5中的)(t p 则是无限维的。
注:(1)基就是线性空间n V 的最大无关组，因为最大无关组不唯一，所以基不唯一，但基与基之间是等价的。
基可以看成空间直角坐标系的推广，从而线性空间n V 的维数n 是唯一的。
(2)线性空间n V 可用基n ,,,21 表示：R x x x x x x V n n n n ,,,|212211 ，从而显示出n V 的构造。
定义4 若n ,,,21 是线性空间n V 的一个基，n V β ，n n ni i i n n x x x x x x x 212112211 )( ， 则称数n x x x ,,,21 是 在基n ,,,21 下的坐标向量(或坐标)，记为T n x x x x ),,,(21 ，)1(n i x i 称为 在基n ,,,21 下的第i 个坐标。
例7 求22 R 中向量5123在基22211211,,,E E E E 下的坐标。
解1000501000010200013512322211211523E E E E5123) (22211211E E E E ， 故该向量在所给基下的坐标为 T 5 ,1 ,2 ,3。
一般地22 R 中向量22211211a a a a 在所给基 ij E 下的坐标为T a a a a ),,,(22211211。
例8 求3R 中向量T a )1 ,2 ,1( 在基T T T )1 ,1 ,1(,)1 ,1 ,1(,)1 ,1 ,1(321 下的坐标。
解 设所求的坐标是321,,x x x ，则332211 x x x a即321321321111111111121x x x x x x 解得21 ,21 ,1321 x x x于是所求的坐标是T )21 ,21 ,1( 例9 在)(2t p 中取基2 , ,1t t ，则多项式12)(2 t t t p 在基下的坐标是 T 2 ,1 ,1 ，因为211) 1(2)1(1112222t t t t t t 。
若另取一个基2 ,2 ,1t t t ，则由223) 2 1(2)2(2)1(312222t t t t t t t t 知)(2t p 在 2 ,2 ,1t t t 的坐标为 T 2 ,2 ,3 。
注：坐标是与基有关的，同一个向量在不同基底下有不同的坐标。
建立了坐标以后，就把抽象的向量与具体的数组向量T n x x x ),,,(21 联系起来，并把n V 中抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来。
设n V , ，有n n n n a y a y a y a x a x a x 22112211, ，于是n n n a y x a y x a y x )()()(222111 ，n n a x a x a x )()()(2211 ，即 的坐标是T n T n T n n y y x x y x y x ),,(),,(),,(1111 ，的坐标是T n T n x x x x ),,(),,(11 。
总之，当在n 维线性空间n V 的取定一个基n ,,,21 时，n V 中的向量 与n 维数组向量空间n R 中的向量),,,(21n x x x 之间存在着一一对应关系，且这个对应关系具有下述性质：设T n T n y y x x ),,(,),,(11 ，则1.T n T n y y x x ),,(),,(11 ;2.,),,(1T n x x也就是说，这个对应关系保持线性组合的对应。
因此，我们可以说n V 与n R 有相同的结构，我们称n V 与n R 同构。
定义5 一般地，设V 与U 是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V 与U 同构。
显然，任何n 维线性空间都与n R 同构，即维数相等的线性空间都同构，从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定。
同构的概念除元素一一对应外，主要是保持线性运算的对应关系，因此，n V 中的抽象的线性运算就可转化为与n R 中的线性运算，并且n R 中凡是只涉及线性运算的性质就都适用于n V 。
但n R 中超出线性运算的性质，在n V 中就不一定具备，例如n R 中的内积概念在n V 中就不一定有意义。
三、基变换与坐标变换由例9可以看出，坐标是与基有关的，同一个向量在不同的基下有不同的坐标，那么不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？定义6 设n ,,,21 及n ,,,21 是线性空间n V 的两个基，且nnn n n n n n n p p p p p p p p p2211n 2222112212211111 (1)则),,,(21n nn n n n n p p p p p p p p p212122211121121),,,( 或 ),,,(21n P n ),,,(21 (2) 其中n 阶方阵)(ij p P 称为由基n ,,,21 到基n ,,,21 的变换矩阵（或过渡矩阵），(1)或(2)式称为相应的基变换公式。