线性空间-知识点及其注释

第五章 线性空间-知识点及其注释知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。

#n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数n a a a ,,,21 组成的n 元有序数组，常记为12(,,,)T n a a a 或),,,(21n a a a ，又称为n 元（数组）向量。

由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数组）向量空间，记为n F 。

#线性组合#表达式1122s s k k k ααα+++称为向量组s ααα,,,21 的系数分别为12,,,()s k k k F ∈的线性组合，s k k k ,,,21 称为线性组合系数。

#线性表示#向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示(出)是指存在数域F 中的数s k k k ,,,21 ,使1122s s k k k αααα=+++。

向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示是指每个i α（1,2,...,i s =）都可由向量组12,,,t βββ线性表示。

显然，向量组的线性表示具有传递性。

在n F 中，向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示⇔线性方程组1122s s x x x αααα+++=有解⇔ 1212(,,,,)(,,,)s s rank rank ααααααα=。

#向量组等价#向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价是指向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ可以相互线性表示。

显然，向量组等价是等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。

若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ与Ｂ的行向量组等价。

#线性相关#向量组s ααα,,,21 线性相关是指存在数域F 中不全为零的数s k k k ,,,21 ,使02211=+++s s k k k ααα ；否则称为线性无关。

对一个向量，线性相关即为零向量，线性无关即为非零向量；12,,,(2)s s ααα≥线性相关当且仅当其中一个可以有其余s －1个线性表示。

若向量组s ααα,,,21 线性无关，而12,,,,s αααα线性相关，则α可由向量组s ααα,,,21 唯一地线性表示。

若向量组s ααα,,,21 线性相关，则12,,,,s αααα线性相关；若向量组12,,,,s αααα线性无关，则s ααα,,,21 线性无关。

在n F 中，向量组s ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组11220s s x x x ααα+++=有非零解⇔12(,,,)s rank s ααα<；向量组sααα,,,21 线性无关⇔齐次线性方程组11220s s x x x ααα+++=只有零解⇔12(,,,)s rank s ααα=；当s n >时，s ααα,,,21 一定线性相关。

设12(,,...,)T n i i i in a a a F α=∈，121(,,...,)i i i in in a a a a β+=，，1,2,...,i s =；那么，s ααα,,,21 线性无关⇒12,,,s βββ线性无关；12,,,s βββ线性相关⇒s ααα,,,21 线性相关。

若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ的列向量组s ααα,,,21 与Ｂ的列向量组12,,,s βββ具有完全相同的线性关系，即1122112200s s s s k k k k k k αααβββ+++=⇔+++=，其中12,,,()s k k k F ∈；从而s ααα,,,21 线性相（无）关⇔12,,,s βββ线性相（无）关；12,,,r i i i ααα是s ααα,,,21 的极大无关组⇔12,,,r i i i βββ是12,,,s βββ的极大无关组。

若向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示,且s>t ，则s ααα,,,21 线性相关；若向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示,且s ααα,,,21 线性无关，则s t ≤；向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价,且都线性无关，则s=t 。

#极大线性无关向量组#简称极大无关组，是指向量组(A)的一个部分向量组12,,...,r ααα,其本身线性无关,但从(A)中任意添加一个向量(如果还有的话)1r α+,则121,,...,,r r αααα+都线性相关。

一个向量组与其任一极大无关组等价；一个向量组的任意两个极大无关组等价，从而所含向量的个数相等。

#秩#向量组(A)的秩是指其任一极大无关组所含向量的个数;记为rank(A)。

矩阵的行（向量组的）秩，等于其列（向量组的）秩，也等于其秩（最高阶非零子式的阶）。

#线性空间#又称向量空间,是指数域F 上一非空集合V ,连同其中定义的两个满足以下八条法则的运算(分别称为加法和数乘, 记为+和⋅，统称为线性运算)，记为()V F ，其中的元素称为向量：αββα+=+；()()αβγαβγ++=++； V 中存在零元素θ，即对V 中任一元素α，有αθα+=；V 中每个元素α都有负元α-,即()ααθ+-=；1αα⋅=；()()k l k l αα⋅⋅=⋅⋅；()k l k l ααα+⋅=⋅+⋅；()k k k αβαβ⋅+=⋅+⋅，其中,,,,V k l F αβγ∀∈∈。

#子空间#是指线性空间V 的一非空子集W ，其对V 的加法和数乘封闭，即满足对,,W k F αβ∀∈∀∈，有,k W αβα+∈；其本身也是线性空间。

#生成子空间#由向量组s ααα,,,21 生成的子空间是指由向量组s ααα,,,21 的所有线性组合所构成的子空间； s ααα,,,21 称为其生成元。

生成的子空间必是子空间；反之，子空间必是其任一极大无关组（基）生成的生成子空间。

#基#是指线性空间V 中的任一组极大无关组，如12,,...,n ααα；即其本身线性无关,但从V 中任意加一个向量1n α+,则121,,...,,n n αααα+都线性相关。

线性代数只讨论基为有限个向量的线性空间，即有限维线性空间。

有限维线性空间V 中的任一线性无关向量组都可以扩充为V 的一组基。

#维数#是指线性空间V 的任一组基所含向量的个数；记为dimV 。

12,,,n e e e 是n F 的一组基，从而n dimF n =。

#坐标#在线性空间V 中，用一组基12,,,n ααα（线性）表示一个向量ξ：1122n n a a a ξααα=+++的（有序）系数组12(,,,)T n a a a 或12(,,,)n a a a 称为ξ在基12,,,n ααα下的坐标；其中i a 称为ξ的第i 个坐标或分量。

#基变换#是指用线性空间V 的一组基（旧基）12,,,n εεε（线性）表示其另一组基（新基）'''12,,,n εεε的变换（公式）'11112121'21212222'1122n n n n n n n nn na a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩即1112121222'''121212(,,,)(,,,)n n n n n n nn a a a a a a a a a εεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭或简记为'''1212(,,,)(,,,)n n Tεεεεεε=⋅。

其中111212122212n n n n nn a a a a aa T a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 称为从（旧）基12,,,n εεε到（新）基'''12,,,n εεε的过渡矩阵；它可逆，于是又有'''11212(,,,)(,,,)n n Tεεεεεε-=⋅，它是从（新）基'''12,,,n εεε到（旧）基12,,,n εεε的变换（公式）。

#坐标变换#是指在线性空间V 中，用一个向量ξ在V 的一组基（旧基）12,,,n εεε下的坐标（旧坐标）X 表示其在另一组基（新基）'''12,,,n εεε下的坐标（新坐标）Y 的变换（公式）1Y T X -=,其中T 为从（旧）基12,,,n εεε到（新）基'''12,,,n εεε的过渡矩阵, 即'''1212(,,,)(,,,)n n T εεεεεε=。

此时又有X T Y =⋅,它是从ξ的（新）坐标Y 到其（旧）坐标X 的变换（公式）。

#交子空间#是指线性空间V 的两个线性子空间12,V V 的交集合121{|V V V αα⋂=∈且2}V α∈所构成的线性子空间。

#和子空间#是指线性空间V 的两个线性子空间12,V V 的和集合{}12121122|,V V V V αααα+=+∈∈所构成的线性子空间。

维数公式：121212()()dimV dimV dim V V dim V V +=++⋂。

#直和#子空间的直和是指线性空间V 的两个交子空间为零子空间的子空间12,V V 的和子空间，记为12V V ⊕；此时称1V 为2V 的补子空间，2V 为1V 的补子空间。

#同构#是指两个线性空间之间的保持线性运算的双射。

两个有限维线性空间同构⇔它们等维（维数相等）；V 是数域F 上的n 维线性空间⇔V 同构于n F 。

#解空间#齐次线性方程组AX=O 的解空间是指其所有解构成的子空间。

n 元齐次线性方程组AX=O 的解空间为n F 的n-r 维子空间，其中r=rank(A)。

#基础解系#齐次线性方程组AX=O 的基础解系是指其解空间的任一组基。

若rank(A)=r ，且PAQ=diag{I r , O},其中P, Q 为可逆方阵，则Q 的后n-r 列ξξn r ,,1 +即为AX=O 的一组基础解系。

#特解#非齐次线性方程组AX=b 的任一特定的解称为其特解。

#通解#（非）齐次线性方程组AX=O （AX=b ）的通解是指其所有解的统一表达式。

若ξξn r ,,1 +为AX=O 的一组基础解系，*η为AX=b 的一特解，则AX=O 和AX=b 的通解分别为11n rr nX k k ξξ-+=++和11(,1,,)n rir nX F i n r k k kηξξ-+=*+++∈=-，其中r=rank(A)。