线性代数知识点总结汇总
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线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式()()111211222211221122010n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=1212n nλλλλλλ=;()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义 记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =;112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =;行列式TD 称为行列式D 的转置行列式.. 性质1行列式与它的转置行列式相等..性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ;行列式变号.. 推论 如果行列式有两行列完全相同成比例;则此行列式为零..性质3 行列式某一行列中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ;等于用数k 乘此行列式；推论1D 的某一行列中所有元素的公因子可以提到D 的外面;推论2 D 中某一行列所有元素为零;则=0D ..性质4若行列式的某一列行的元素都是两数之和;则1112111212222212()()()i i ni i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+1112111112112122222122221212i n i ni n i n n n ninnn nninna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去;行列式的值不变..算得行列式的值..4. 行列式按行列展开余子式 在n 阶行列式中;把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后;留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式;记作ij M ..代数余子式 ()1i jij ij A M +=-记;叫做元素ij a 的代数余子式..引理一个n 阶行列式;如果其中第i 行所有元素除i;j (,)i j 元外ij a 都为零;那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积;即ij ij D a A =..高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0;保留一个非零元素;降阶定理n 阶行列式 111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和;即1122i i i i in in D a A a A a A =+++;(1,2,,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或;(1,2,,)j n =..第二章 矩阵1.矩阵111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭行列式是数值;矩阵是数表; 各个元素组成方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A .. 记作：A n.. 行列矩阵：只有一行列的矩阵..也称行列向量.. 同型矩阵：两矩阵的行数相等;列数也相等.. 相等矩阵：AB 同型;且对应元素相等..记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同 对角阵：不在主对角线上的元素都是零..单位阵：主对角线上元素都是1;其它元素都是0;记作：E注意 矩阵与行列式有本质的区别;行列式是一个算式;一个数字行列式经过计算可求得其值;而矩阵仅仅是一个数表;它的行数和列数可以不同..2. 矩阵的运算矩阵的加法 111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算.. 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记;A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-..数与矩阵相乘111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵;,λμ为数()()()1A A λμλμ=；()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+..矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算..矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵;(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵;那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =;其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑;()1,2,;1,2,,i m j n ==;并把此乘积记作C AB = 注意1..A 与B2..矩阵的乘法不满足交换律;即在一般情况下;AB BA ≠;而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵..3..对于n 阶方阵A 和B;若AB=BA;则称A 与B 是可交换的..矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+;()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯==()5若A 是n 阶方阵;则称 A k 为A 的k 次幂;即kk A A AA =个;并且mk m kA A A+=;()km mk AA =(),m k 为正整数..规定：A 0＝E 只有方阵才有幂运算注意 矩阵不满足交换律;即AB BA ≠;()kk k AB A B ≠但也有例外转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵;叫做A 的转置矩阵;记作A T ;()()1TT A A =；()()2T T T A B A B +=+；()()3T T A A λλ=；()()4TT T AB B A =..方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式;叫做方阵A 的行列式;记作A注意 矩阵与行列式是两个不同的概念;n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表;而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数..()1T A A =；()2n A A λλ=；(3)AB A B B A BA ===对称阵 设A 为n 阶方阵;如果满足A =A T ;那么A 称为对称阵.. 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.. 性质 AA A A A E **==易忘知识点总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算..2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时;两个矩阵才能相乘;且矩阵相乘不满足交换律.. 3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同..逆矩阵：AB ＝BA ＝E;则说矩阵A 是可逆的;并把矩阵B 称为A 的逆矩阵..1A B -=即..说明1 A ;B 互为逆阵; A = B -12 只对方阵定义逆阵..只有方阵才有逆矩阵 3.若A 是可逆矩阵;则A 的逆矩阵是唯一的..定理1矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠;并且当A 可逆时;有1*1AA A-=重要奇异矩阵与非奇异矩阵 当0A =时;A 称为奇异矩阵;当0A ≠时;A 称为非奇异矩阵..即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵..求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。
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线性代数知识点总结1 行列式一行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：用于化简行列式1行列互换转置,行列式的值不变2两行列互换,行列式变号3提公因式：行列式的某一行列的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式4拆列分配：行列式中如果某一行列的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和;5一行列乘k加到另一行列,行列式的值不变;6两行成比例,行列式的值为0;二重要行列式4、上下三角主对角线行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则7、n阶n≥2范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值：三按行列展开9、按行展开定理：1任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值2行列式中某一行列各个元素与另一行列对应元素的代数余子式乘积之和等于0 四行列式公式10、行列式七大公式：1|kA|=k n|A|2|AB|=|A|·|B|3|A T|=|A|4|A-1|=|A|-15|A|=|A|n-16若A的特征值λ1、λ2、……λn,则7若A与B相似,则|A|=|B|五克莱姆法则11、克莱姆法则：1非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解2如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为03若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解,那么必有D=0;2 矩阵一矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：1矩阵乘法要求前列后行一致；2矩阵乘法不满足交换律；因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A,fA时,可以用交换律3AB=O不能推出A=O或B=O;2、转置的性质5条1A+B T=A T+B T2kA T=kA T3AB T=B T A T4|A|T=|A|5A TT=A二矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：5条1kA-1=1/k·A-1 k≠02AB-1=B-1·A-13|A-1|=|A|-14A T-1=A-1T5A-1-1=A5、逆的求法：1A为抽象矩阵：由定义或性质求解2A为数字矩阵：A|E→初等行变换→E|A-1三矩阵的初等变换6、初等行列变换定义：1两行列互换；2一行列乘非零常数c3一行列乘k加到另一行列7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵;8、初等变换与初等矩阵的性质：1初等行列变换相当于左右乘相应的初等矩阵2初等矩阵均为可逆矩阵,且E ij-1=E ij i,j两行互换；E i-1c=E i1/c第i行列乘cE ij-1k=E ij-k第i行乘k加到j★四矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：1rA=0意味着所有元素为0,即A=O2rA n×n=n满秩←→ |A|≠0 ←→A可逆；rA＜n←→|A|=0←→A不可逆；3rA=rr=1、2、…、n-1←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0;10、秩的性质：7条1A为m×n阶矩阵,则rA≤minm,n2rA±B≤rA±B3rAB≤min{rA,rB}4rkA=rAk≠05rA=rACC是一个可逆矩阵6rA=rA T=rA T A=rAA T7设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则rA+rB≤n11、秩的求法：1A为抽象矩阵：由定义或性质求解；2A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型每行第一个非零元素下面的元素均为0,则rA=非零行的行数五伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：8条1AA=AA=|A|E → ★A=|A|A-12kA=k n-1A3AB=BA4|A|=|A|n-15A T=A T6A-1=A-1=A|A|-17A=|A| n-2·A★8rA=n rA=n；rA=1 rA=n-1；rA=0 rA＜n-1六分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同;14、分块矩阵求逆：3 向量一向量的概念及运算1、向量的内积：α,β=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：α,β=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+a n b n=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵,AA T=E ←→ A-1=A T←→ A T A=E → |A|=±1二线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示1←→非齐次线性方程组α1,α2,…,αs x1,x2,…,x s T=β有解;★2←→rα1,α2,…,αs=rα1,α2,…,αs,β系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验6、线性表示的充分条件：了解即可若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示;7、线性表示的求法：大题第二步设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示;α1,α2,…,αs|β→初等行变换→行最简形|系数行最简形：每行第一个非0的数为1,其余元素均为0三线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：1α线性相关←→α=02α1,α2线性相关←→α1,α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1,α2,…,αs线性相关1←→有个向量可由其余向量线性表示；2←→齐次方程α1,α2,…,αs x1,x2,…,x s T=0有非零解；★3←→rα1,α2,…,αs＜s 即秩小于个数特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关1←→ rα1,α2,…,αn＜n2←→|α1,α2,…,αn |=03←→α1,α2,…,αn不可逆10、线性相关的充分条件：1向量组含有零向量或成比例的向量必相关2部分相关,则整体相关3高维相关,则低维相关4以少表多,多必相关★推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1,α2,…,αs线性无关1←→任意向量均不能由其余向量线性表示；2←→齐次方程α1,α2,…,αs x1,x2,…,x s T=0只有零解3←→rα1,α2,…,αs=s特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn线性无关←→rα1,α2,…,αn=n ←→|α1,α2,…,αn |≠0 ←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：1整体无关,部分无关2低维无关,高维无关3正交的非零向量组线性无关4不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定1定义法★2秩：若小于阶数,线性相关；若等于阶数,线性无关专业知识补充1在矩阵左边乘列满秩矩阵秩=列数,矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变;2若n维列向量α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3可以由其线性表示,即β1,β2,β3=α1,α2,α3C,则rβ1,β2,β3=rC,从而线性无关;←→rβ1,β2,β3=3 ←→ rC=3 ←→ |C|≠0四极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数★注:向量组α1,α2,…,αs的秩与矩阵A=α1,α2,…,αs的秩相等★16、极大线性无关组的求法1α1,α2,…,αs为抽象的：定义法2α1,α2,…,αs为数字的：α1,α2,…,αs→初等行变换→阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组五向量空间17、基就是极大线性无关组变换公式：若α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为β1,β2,…,βn=α1,α2,…,αn C n×n其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵;C=α1,α2,…,αn-1β1,β2,…,βn18、坐标变换公式：向量γ在基α1,α2,…,αn与基β1,β2,…,βn的坐标分别为x=x1,x2,…,x n T,y=y1,y2,…,y n T,,即γ=x1α1 + x2α2 + …+x nαn=y1β1 + y2β2 + …+y nβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x;其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵;C=α1,α2,…,αn-1β1,β2,…,βn六Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1,α2,α3线性无关1正交化令β1=α12单位化4 线性方程组一方程组的表达形与解向量1、解的形式：1一般形式2矩阵形式：Ax=b；3向量形式：A=α1,α2,…,αn2、解的定义：若η=c1,c2,…,c n T满足方程组Ax=b,即Aη=b,称η是Ax=b的一个解向量二解的判定与性质3、齐次方程组：1只有零解←→rA=nn为A的列数或是未知数x的个数2有非零解←→rA＜n4、非齐次方程组：1无解←→rA＜rA|b←→rA=rA-12唯一解←→rA=rA|b=n3无穷多解←→rA=rA|b＜n5、解的性质：1若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解2若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ+η是Ax=b的解3若η1,η2是Ax=b的解,则η1-η2是Ax=0的解推广1设η1,η2,…,ηs是Ax=b的解,则k1η1+k2η2+…+k sηs为Ax=b的解当Σk i=1Ax=0的解当Σk i=02设η1,η2,…,ηs是Ax=b的s个线性无关的解,则η2-η1,η3-η1,…,ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解;变式：①η1-η2,η3-η2,…,ηs-η2②η2-η1,η3-η2,…,ηs-ηs-1三基础解系6、基础解系定义：1ξ1,ξ2,…,ξs是Ax=0的解2ξ1,ξ2,…,ξs线性相关3Ax=0的所有解均可由其线性表示→基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一;任意n-rA个线性无关的解均可作为基础解系;★7、重要结论：证明也很重要设A施m×n阶矩阵,B是n×s阶矩阵,AB=O1B的列向量均为方程Ax=0的解2rA+rB≤n第2章,秩8、总结：基础解系的求法1A为抽象的：由定义或性质凑n-rA个线性无关的解2A为数字的：A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系四解的结构通解9、齐次线性方程组的通解所有解设rA=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r 其中k1,k2,…,k n-r为任意常数10、非齐次线性方程组的通解设rA=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,η为Ax=b的特解,则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r 其中k1,k2,…,k n-r为任意常数五公共解与同解11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,则称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要结论需要掌握证明1设A是m×n阶矩阵,则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解,rATA=rA2设A是m×n阶矩阵,rA=n,B是n×s阶矩阵,则齐次方程ABx=0与Bx=0同解,rAB=rB5 特征值与特征向量一矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵,如果存在数λ及非零列向量α,使得Aα=λα,称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量;2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式λ的n次多项式;|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程λ的n次方程;注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：1若α为齐次方程Ax=0的非零解,则Aα=0·α,即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量2A的各行元素和为k,则1,1,…,1T为特征值为k的特征向量;3上下三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素;△4、总结：特征值与特征向量的求法1A为抽象的：由定义或性质凑2A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：1解特征方程|λE-A|=0,得矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn注：n次方程必须有n个根可有多重根,写作λ1=λ2=…=λs=实数,不能省略2解齐次方程λi E-A=0,得属于特征值λi的线性无关的特征向量,即其基础解系共n-rλi E-A个解6、性质：1不同特征值的特征向量线性无关2k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-rλi E-A≤k i3设A的特征值为λ1,λ2,…,λn,则|A|=Πλi,Σλi=Σa ii4当rA=1,即A=αβT,其中α,β均为n维非零列向量,则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα,λ2=…=λn=05设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则A fAATA-1A P-1AP相似λfλλλ-1|A|λ-1λαα/ ααP-1α二相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP,称A与B相似,记作A~B 8、相似矩阵的性质1若A与B相似,则fA与fB相似2若A与B相似,B与C相似,则A与C相似3相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹即主对角线元素之和推广4若A与B相似,则AB与BA相似,A T与B T相似,A-1与B-1相似,A与B也相似三矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ=,称A可相似对角化;注：Aαi=λiαiαi≠0,由于P可逆,故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量10、相似对角化的充要条件1A有n个线性无关的特征向量2A的k重特征值有k个线性无关的特征向量11、相似对角化的充分条件：1A有n个不同的特征值不同特征值的特征向量线性无关2A为实对称矩阵12、重要结论：1若A可相似对角化,则rA为非零特征值的个数,n-rA为零特征值的个数2若A不可相似对角化,rA不一定为非零特征值的个数四实对称矩阵13、性质1特征值全为实数2不同特征值的特征向量正交3A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ4A可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ=Λ6 二次型一二次型及其标准形1、二次型：1一般形式2矩阵形式常用2、标准形：如果二次型只含平方项,即fx1,x2,…,x n=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形对角线3、二次型化为标准形的方法：1配方法：通过可逆线性变换x=CyC可逆,将二次型化为标准形;其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到;★2正交变换法：通过正交变换x=Qy,将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中,λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值,Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一,γi与λi对应即可;二惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形;5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变;注：1由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一;2p=正特征值的个数,q=负特征值的个数,p+q=非零特征值的个数=rA三合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵C,使得B=C T AC,称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系1A、B相似B=P-1AP←→相同的特征值2A、B合同B=C T AC←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数3A、B等价B=PAQ←→rA=rB注：实对称矩阵相似必合同,合同必等价四正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax,如果任意x≠0,恒有x T Ax＞0,则称二次型正定,并称实对称矩阵A是正定矩阵;9、n元二次型x T Ax正定充要条件：1A的正惯性指数为n2A与E合同,即存在可逆矩阵C,使得A=C T C或C T AC=E3A的特征值均大于04A的顺序主子式均大于0k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式10、n元二次型x T Ax正定必要条件：1a ii＞02|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定大题1A为数字：顺序主子式均大于02A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：1若A是正定矩阵,则kAk＞0,A k,A T,A-1,A正定2若A、B均为正定矩阵,则A+B正定。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结1.a j：向量α的第j个分量。
2.n维实向量空间：全体n维实列向量构成的集合及其上定义的向量。
的加法和数乘运算的合称。
Ps：1.全体n维行向量构成的集合记为R1*n；2.R2即2维空间。
3.R n的子集：多个n维实向量构成的一个集合。
4.V是R n的子空间：V具有下列性质的R n的子集。
设V?R n是一个非空集合，V满足：（1）若α、β∈V，则α+β∈V;（2）若γ∈V，k∈R，则kγ∈V；5.齐次线性方程组的解空间：齐次线性方程组的全部解向量构成的合。
6.向量组：多个相同维数的向量组成的集合。
7.线性组合：给定R n中向量组A：α1，α2，…，αm，以及数k1，k2，…，k m，称向量β=k1α1+k2α2+…+k mαm（k∈R）为向量组A的一个线性组合。
8.张成：给定R n中向量组A：α1，α2，…，αm，由A的全体线性组合构成的集合。
Ps；（1）记为Span（α1，α2，…，αm）={k1α1+k2α2+…+k mαm}；（2）张成是一R n的一个子空间；9.向量β能由向量组A线性表示：给定n维向量组A：α1，α2，…，αm和n维向量β，若存在m个数k1，k2，…，k m，使β=k1α1+k2α2+…+k mαm（k∈R）10.线性方程的三中表示：（1）矩阵方程Ax=b；（2）向量方程x1α1+x2α2+…+x nαn=β；（3）一般式方程；11.线性相关；k1α1+k2α2+…+k nαn=0（k不全为0）；线性无关；k1α1+k2α2+…+k nαn=0（k全为0）；12.线性相关的几何解释；（1）若向量组A：α1，α2线性相关，则它们共线：（2）若向量组A：α1，α2α3线性相关，则它们共面。
，13.向量组A线性相关的充要条件为R（A）＜n（即齐次线性方程组有非零解）；向量组A线性无关的充要条件为R（A）=n（……只有零解）。
Ps：秩：R（A）为系数矩阵的行阶梯形的非零行个数。
线性代数知识点总结大全
求向量组秩、极大无关组，表示方式
将
向量组按列
1 2 m
排
放
初等行 变换
行阶梯 型矩阵
A11 A12 A1r
A22 A2r
Arr
i1
i2
ir
一个极大无关组
A1r 1
A2 r 1
A1m
A2m
r
Arr 1
Arm
i1 ,i2 ,,ir
原向量组一个极大无关组
第一等价链
1，
2，，
为正交向量组
m
1，
2，，
为线性无关向量组
m
1，
2，，
为线性无关向量组
m
Schmidt 正交化、单位化
单位正交向量组: 1，2，，m
与初始向量组等价
正交矩阵 定义：
若 n 阶方阵 A 满足 AAT E，则称矩阵A为 n阶正交矩阵.
正交矩阵的性质：
若A, B为n阶 正 交 矩 阵 ， 则 有 ： (1) A1 AT ; (2) A 1 或 1;
线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
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极大无关组与秩数：
1.1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
③
Ax=b的解的线性组合是
Ax=0的解，当系数和＝0时； Ax=b的解，当系数和＝1时.
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
线性代数知识点总结
1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BB OB C==-⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E ==无条件恒成立；3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12sA A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素； ③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑； 注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项； Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C CCC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a aa xb Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论） 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx =只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx =有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E =()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E =()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0； 0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块）④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n nnm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nm n mmm m r nr r n nn nnnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程； ②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r rr r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)第一章 随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。
线代知识点总结全部
线代知识点总结全部一、向量和矩阵1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的几何体，通常用箭头表示。
在数学中，向量通常用有序数对或有序数组表示。
例如，在二维空间中，一个向量可以表示为(a, b)，表示向量在x轴上的分量为a，在y轴上的分量为b。
2. 向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法和数量乘法。
向量的加法就是将两个向量相加，得到一个新的向量。
数量乘法是将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。
3. 矩阵的定义矩阵是一个由数排成的矩形阵列，它是线性代数中的一个重要概念。
矩阵中的数称为元素，矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。
例如，一个m×n的矩阵有m行n列。
4. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括矩阵的加法、数量乘法和矩阵的乘法。
矩阵的加法是将两个相同阶数的矩阵相加得到一个新的矩阵，矩阵的数量乘法是将一个实数与一个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是将一个m*n的矩阵与一个n*p的矩阵相乘得到一个m*p的矩阵。
5. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行向量转换为列向量，列向量转换为行向量。
矩阵的转置操作可以用来表示矩阵的对称性和几何意义，也有利于简化矩阵的计算。
二、向量空间和子空间1. 向量空间的定义向量空间是指具有加法和数量乘法两种运算的集合，并且满足一定的性质。
向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
例如，n维实数向量空间可以表示为R^n，它包含所有n维的实数向量。
2. 子空间的定义子空间是指在一个向量空间V中的一个非空集合W，并且满足在W中任意两个向量的线性组合仍然在W中。
子空间的一个重要性质是它也是一个向量空间，可以继承向量空间的性质。
3. 线性相关和线性无关一组向量中的向量如果存在线性组合能够得到零向量，则称这组向量线性相关；如果不存在这样的线性组合，则称这组向量线性无关。
4. 基和维数在一个向量空间中，如果存在一组线性无关的向量可以组成整个空间中的任意向量，则称这组向量是一组基。
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线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=A T+B T（2）（kA）T=kA T（3）（AB）T=B T A T（4）|A|T=|A|（5）（A T）T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0)（2）（AB）-1=B-1·A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（A T）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A为数字矩阵：（A|E）初等行变换（E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且E ij-1=E ij（i，j两行互换）；E i-1（c）=E i（1/c）（第i行（列）乘c）E ij-1（k）=E ij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O）=n（满秩）|A|≠0 A可逆；（2）r（A n×nr（A）＜n|A|=0A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质：（7条）（1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）（2）r（A±B）≤r（A）±（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（A T）=r（A T A）=r（AA T）（7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n 11、秩的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A为数字矩阵：A初等行变换阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数（五）伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：（8条）（1）AA*=A*A=|A|E ★A*=|A|A-1（2）（kA）*=k n-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（A T）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A| n-2·A★（8）r（A*）=n （r（A）=n）；r（A*）=1 （r（A）=n-1）；r（A*）=0 （r（A）＜n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。
14、分块矩阵求逆：3 向量（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+a n b n=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AA T=E A-1=A T A T A=E |A|=±1（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示(1)非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=β有解。
(2)r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。
7、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。
（α1，α2，…，αs|β）初等行变换（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）α线性相关α=0（2）α1，α2线性相关α1，α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1，α2，…，αs线性相关（1）有个向量可由其余向量线性表示；（2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0有非零解；（3）r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关（1）r（α1，α2，…，αn）＜n（2）|α1，α2，…，αn |=0（3）（α1，α2，…，αn）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0只有零解（3）r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关r（α1，α2，…，αn）=n |α1，α2，…，αn |≠0 矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。
（2）若n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。
r（β1，β2，β3）=3 r（C）=3 |C|≠0（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数注:向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等16、极大线性无关组的求法（1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法（2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）初等行变换阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）C n×n其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。
C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）18、坐标变换公式：向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=（x1，x2，…，x n）T，y=（y1，y2，…，y n）T，，即γ=x1α1 + x2α2 + …+x nαn =y1β1 + y2β2 + …+y nβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。
其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。
C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1，α2，α3线性无关（1）正交化令β1=α1（2）单位化4 线性方程组（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）2、解的定义：若η=（c1，c2，…，c n）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）（2）有非零解r（A）＜n4、非齐次方程组：（1）无解r（A）＜r（A|b）r（A）=r（A）-16、基础解系定义：（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs线性相关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。
任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。
7、重要结论：（证明也很重要）设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O（1）B的列向量均为方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、总结：基础解系的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A为数字的：A初等行变换阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解有非零解13、重要结论（需要掌握证明）（1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）（2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）5 特征值与特征向量（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。