子空间的和与直和

5.5 子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和. 教学目标：1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程：一 子空间的的和 回忆:令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。

V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。

1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.∴111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈于是()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+ ∴12W W +是V 的子空间。

推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则{}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈仍然是V 的子空间.补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ= 则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211t t l l l ββββ+++= 2211∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211 ∴12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121定理5.5.2 维数定理。

dim(12W W +)=dim ()1212dim dim W W W W +-⋂证明: 设12dim()0,W W r => 取12W W 的一个基为12{,,,},r ααα 因为12W W 同是12,W W 的子空间, 所以可以分别扩充成1W 与2W 的基121{,,,,,,},r s αααββ (2) 121{,,,,,,},r t αααγγ (3)这里12dim ,dim .W r s W r t =+=+下面证明1211{,,,,,,,,,}r s t αααββγγ (4)是12W W +的基. 显然, 12W W +中每个向量都可以由(4)线性表示, 只需证明(4)线性无关. 设112211110,r r s s t t a a a b b c c αααββγγ+++++++++= 则1122111112.r r s s t t a a a b b c c W W αααββγγ++++++=---∈+ 于是在F 中存在12,,,,r k k k 使得1111,t t r r c c k k γγαα---=++ 即11110.r r t t k k c c ααγγ+++++= 由于121,,,,,,r t αααγγ 是2W 的基, 所以1210,0.r t k k k c c =======于是 11110.r r s s k k b b ααββ+++++= 由于121,,,,,,r s αααββ 是1W 的基, 所以1210,0.r s k k k b b =======这样(4)线性无关, 从而(4)是12W W +的基. 从而12dim()W W r s t r s r t r +=++=+++- 1212dim dim dim().W W W W =+-对于0r =时, 仿照上面的证明, 把1W 和2W 的基拼起来就是和的基.推论：①dim(12W W +)≤dim 12dim W W +②当且仅当12W W ⋂={0}时()12dim W W +=dim 12dim W W + ③dim 12dim W W +＞n,则12W W ⋂{}0≠例1：设有向量组()()()0,3,0,3,1,1,0,2,1,2,0,1321=-==ααα()()1,3,1,4,1,0,1,121==ββ令()()12312,,,,V L V L αααββ==，求12V V +的维数和一组基 解：由于12V V +=()()21321,,,ββαααL L +=L ()2131,,,,ββααα故12V V +的维数就是向量2131,,,,ββααα的秩，而这个向量组的极大无关组也是12V V +的基。

将2131,,,,ββααα为列作矩阵施行初等行变换：B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-00000101011100000011110113031211000110111101130312110004132131γγ 由于秩（A ）=秩（B ）=3，且由B 知，第2，3，4列线性无关，故132,,βαα便是12V V +的一个基。

（杨子胥—下册—154）例2：()()()1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1321-===ααα()()0,1,1,0,1,0,2,121==ββ求()()21321,,,ββαααL L +和()321,,αααL ()21,ββL 的基和维数解：给出P 4的一组基：()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,14321εεεε而()2131,,,,ββααα=()4321,,,εεεεA 其中A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-011111010012101011111,312111211223311221122112233112212312123433112212312(,,)(,),,(,,,,)(,,),L L W W x x x y y x x x x x x x y y A x x y y y y x x A x y y ααααββααααααββθαααββαααββεεεε∀∈∈∈=++=+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪∴=++--== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛ - -⎝ 则且设故1212121232211,011001dim()2,22.W W θββααααα--⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭=-+-++ 解此方程组的基础解系：，故它的一组解基为，，或，二子空间的直和直和，余子空间定义2 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，如果 ①21W W V += ②{}021=W W121221V W W W W W W ⊕则称为与的直和，记为，且称是的余子空间。

结合维数定理：定理5.5.3. 当21W W +是直和⇔则21W W +∈α且分解成221121,,W W ∈∈+=ααααα是唯一的 证：“必要性”，若V W W V ∈∀⊕=α,21有21ααα+= W W ∈∈211,αα 21ββα+= 2211,W W ∈=ββ则22112121)()(αββαθββαα-=-⇒=+-+111W ∈-βα 且211W ∈-βα，从而θβα=∈-2111W W 11βα=∴同理22βα=“充分性”（只须证{}021=W W ）1W ∈∀α21W W ∈∀α，则120W W αααα=+-∈-∈（），，，又000=+，10W ∈，20W ∈由表示法唯一，故0α=，0α-=即{}021=W W 故21W W V ⊕=定理5.5.4. 若21W W V +=，则下列命题彼此等价①21W W V ⊕=②21dim dim dim W W V +=③1W 的一个基与2W 的一个基，并起来是V 的一个基 证：运用循回证法①⇒②由21W W V ⊕+知{}0)dim(02121==W W W W 故由维数定理，得21dim dim dim W W V +=②⇒③s r s W r W βββααα,,,,,,,dim ,dim 212121 和且设==分别是的基与21W W ，那么，),,,,(),,,(),,,(11212121s r s r L L L W W V ββααβββααα =+=+=由于,dim s r V +=于是r αα,,1 ，s ββ,,1 为V 的基。

③⇒①设s r βββααα,,,,,,,2121 分别为1W 与2W 的基，有s r βββααα,,,,,,,2121 是V 的基，对21W W ∈∀α有1W ∈α且2W ∈α令s s r r b b a a ββααα++=++= 1111即01111=---++s s r r b b a a ββαα s r ββαα,,,,11 ，线性无关 011======∴s r b b a a0=∴α 故{}021=W W ，又21W W V += 故21W W V ⊕=三.余子空间的确定⑴.1V 是n 维向量空间V 的一个子空间，且t V =1dim ，则存在余子空间2V 使21V V V ⊕= 证：设t ααα ,,21是1V 的一个基，则),,,(211t L V ααα =且t V =1dim ，将t ααα,,,21 扩充为V 的一个基，使),,,,,,(121t n t L V -=ββααα 作),(112-=n L V ββ ，于是t n V -=2dim ，而)dim(dim dim 2121V V V V +==0)dim(21=∴V V故2V 是1V 的余子空间，21V V V ⊕=∴例：已知)0,0,2,1(),0,0,0,1(21==αα，),(211ααL V =，求1V 的余子空间2V 使421R V V =⊕。

解：以432121,,,,,εεεεαα为列作矩阵，对A 施行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000010000001020000111显然4321,,,εεαα线性无关，设),(432εεL V =，故2V 为所求。

⑵1V 是n 维线性空间V 的子空间，则1V 的余子空间不唯一。

证：（另外找出1V 的余子空间）设t ααα,,,21 是1V 的一个基，将其扩充为V 的一个基t n t -ββααα,,,,,,121 于是),,(12t n L V -=ββ 为1V 的余子空间。