线性子空间直和证明的若干探讨2010.7.5

线性子空间直和证明的若干探讨郭倩向虎周刘丹华中农业大学理学院，武汉，湖北，430070摘要：线性空间是高等代数最基本的概念之一(见文献[1])，线性子空间是线性空间这一抽象概念所生发出的重要知识点，而线性子空间的直和是线性子空间之间的一种特殊运算，直和是一种要求更高的和，关于直和的证明有一道典型题目：证明()A A L +()A A E L +-⊕n R =（n m R A ⨯∈,+A 为A 的广义逆）。

本文将以此题为重点进行展开，通过数种不同证法的展示来探讨直和的证明,给出了一般直和的通用证法。

关键词：线性子空间；直和；证明一、引言线性代数是很多非数学类专业的公共基础课之一。

线性代数是数学类专业的骨干基础课程，线性空间对很多数学知识有领导作用（侯维民教授）。

线性代数是代数学中应用最广泛的部分之一,它对培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、解决实际问题的能力有重要的意义(文献[2])。

线性代数的基本概念和理论在数学各分支中是一种“通用语言”,有着基础性的地位,在科学技术各领域中更有多方面的重要应用,是理工科大学生的必修课程(文献[3])。

线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念。

单个线性空间有自己的性质和运算法则，同时空间与空间之间相互嵌套，每个线性空间都有自己的子空间。

空间与空间之间会产生新的定义和运算，如空间的和与交。

空间的和与交的概念比线性空间的其他概念更为抽象，证明更加困难，只有掌握清楚了子空间的这些最为抽象的运算，才能对线性空间这一知识点有整体的把握。

子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象、证明困难，但仍然有规律可循。

只要掌握了方法，便能得心应手，本文便致力于此。

研究线性空间直和问题的文章有很多，大多都是研究某种直和的具体模型，如直和与特殊矩阵、直和与线性变换、直和的分解定理、直和与哈密尔顿-凯莱公式等。

本文主要研究研究线性空间直和的两种基本模型，对常见的直和问题做出归纳整理。

本文模型一中的前三个等价条件在文献[1]中都可找到，故不详述。

第四个等价条件在文献[4]和文献[5]中都有类似提到，本文给出了不同的证明方法。

本文模型二中的第三种组合在文献[6]有提到，本文的证法与之类似，同时结合了典型例题。

本文的特点是归纳和整理出了线性空间直和常见的形式，同时结合了典型例题去探讨本文整理所的方法的具体应用。

(本文只探讨两个子空间的直和，两个以上的子空间的直和可推广得来)二、子空间直和概念的初步探讨(模型一)定义：设1V ，2V 是线性子空间V 的子空间，如果和21V V +中的每个向量α的分解式21ααα+=，i i V ∈α(i =1,2)，是唯一的，这个和就称为直和，记为21V V ⊕。

(文献[1])初步探讨：在前提条件：21V V V +=下，21V V V ⊕=的等价条件：1：V 中每个向量α的分解式21ααα+=，i i V ∈α(i =1,2)是唯一的；2：等式021=+αα，i i V ∈α)2,1(=i 只有在i α全为零向量时才成立；3：{}021=V V ；4：V 中存在一个向量α的分解式21ααα+=，i i V ∈α)2,1(=i 是唯一的。

说明：充分必要条件1，2，3的证明见文献[1]充分必要条件4的证明如下:法Ⅰ：先证必要性:由直和⇒条件4由定义可知21V V +中每个向量α的分解式唯一，自然存在一个属于21V V +的向量的分解式唯一。

再证充分性:由条件4⇒直和易知条件3⇔直和，故可由条件4⇒条件3⇒直和。

不妨证明“条件4⇒条件3”的逆否命题：若1V 2V {}0≠，则任意∈α(21V V +)的分解式必不唯一假设1V =L ),,,(121k ααα ，2V ),,,(221k L βββ =，),,,(321k L V V γγγ =则任意∈α(21V V +)=),,,,,,,(212121k k L βββααα 必有221111122112211k k k k k k k l l l l l l βββαααα++++++++++= 由1V 2V {}0≠可知3,,,21k γγγ 必不全为0.不妨假设1γ不为0，则+++++=)(1221111γααααn l l l k k )(1222112111γβββn l l l k k k k k -++++++ (),2,1 =n 易知112211)(11V n l l l k k ∈++++γααα ,212211)(22111V n l l l k k k k k ∈-++++++γβββ .且随着n 的变化α的分解便不同，故可知任意向量∈α(21V V +)的分解式必不唯一。

所以，“条件4⇒条件3”的逆否命题成立，故“条件4⇒条件3”成立，故原命题充分性可证。

法Ⅱ：先证必要性：由直和⇒条件4由定义可知21V V +中每个向量α的分解式唯一，自然存在一个属于21V V +的向量的分解式唯一。

再证充分性：由条件4⇒直和易知条件2⇔直和，故可由条件4⇒条件2⇒直和。

不妨证明“条件4⇒条件2”的逆否命题：若0向量的分解式不唯一，则任意∈α(21V V +)的分解式必不唯一假设1V =L ),,,(121k ααα ，2V ),,,(221k L βββ =，则任意的向量∈α(21V V +)=),,,,,,,(212121k k L βββααα 必有221111122112211k k k k k k k l l l l l l βββαααα++++++++++= 由0向量的分解式不唯一可知，不妨假设存在0=0+0=21γγ+，(21,γγ不全为0，且2211,V V ∈∈γγ)，则)()(22211122112211111γβββγαααα+++++++++=+++k k k k k k k l l l l l l 故可知任意向量∈α(21V V +)的分解式必不唯一所以，“条件4⇒条件2”的逆否命题成立，故“条件4⇒条件2”成立，故原命题充分性可证。

综上可以把初步探讨的结果整合一下：①直和：和空间每个向量分解唯一⇔和空间存在一个向量分解唯一⇔和空间的0向量分解唯一。

②和空间的0向量分解唯一⇔{}021=V V 。

三、直和证明的新思路（模型二）问题：如果1V ,2V 是V 的线性子空间，怎样证明V V V =⊕21呢？需要什么条件呢？解析：有三个条件：①V V V =+21；②维(1V )+维(2V )=维(V )；③{}021=V V ；三个条件任意两个组合都能证出V V V =⊕21。

简单说明：第一种组合：V V V =+21且维(1V )+维(2V )=维(V )由维数公式：维(21V V +)+维)(21V V =维(1V )+维(2V )可得，维)(21V V =0,即{}021=V V ,且V V V =+21.故V 是1V ,1V 的直和，即V V V =⊕21。

第二种组合：V V V =+21且{}021=V V 这个由充分必要条件3可知。

第三种组合：维(1V )+维(2V )=维(V )且{}021=V V 假设V 的维数为n ，设1,,,21k ααα 为1V 的一组基，2,,,21k βββ 为2V 的一组基，由维(1V )+维(2V )=维(V )可推出nk k =+21且由{}021=V V 可知1,,,21k ααα ,2,,,21k βββ 线性无关。

故1,,,21k ααα ,2,,,21k βββ 可作为V 的一组基，可表出V 中的任一向量，即VV V =+21且{}021=V V .由充分必要条件3可知V V V =⊕21。

四、典型试题的证明与分析定义补充：1：矩阵n m R A ⨯∈，如果存在矩阵B m n R ⨯∈使得A ABA =和B BAB =都成立，则称B 为A 的广义逆，记作+A 2：矩阵n n R A ⨯∈，)(A L 为由A 的列向量作为生成向量所生成的线性空间题目：n m R A ⨯∈，证明()()nR A A E L A A L =-⊕++解析：依据三的分析，可证①②③三个条件。

证①：法Ⅰ：设任意n R X ∈,()()()X A A E X A A X A A E A A EX X ++++-+=-+==，即X 可以被A A +A A E +-的列向量线性表出。

故()()nR A A E L A A L =-+++法Ⅱ：设()n A A ααα 21,=+,()n n A A E αεαεαε---=-+ ,,2211则有（n εεε 21,为n R 的一组标准基）：()()()n n n L A A E L A A L αεαεαεααα---=-+++ ,,,,221121易知n ααα 21,,n n αεαεαε--- ,,2211能线性表出n εεε 21,而nεεε 21,能线性表出n R 中的任意向量，故()()nR A A E L A A L =-+++法Ⅲ：设()A A E A A L ++-,的维数为m (A A r m +=)A A E +-(A A r +=)E因为n n R A A ⨯+∈,nn R A A E ⨯+∈-所以A A r +()A A E +-n ≤又因为A A r +(n E ≥)(易知E 的秩为n )所以A A r +()A A E +-n =，nm =故可以从A A L +()L +(+-A E )A 中找出n 个线性无关的向量作为n R 的一组基即()()nR A A E L A A L =-+++证②：法Ⅰ：由+A +AA +=A →A A +A A +=AA +即(+-A E )A A A +0=不妨令+A A (=1α2,α ,n α,),则可把1α2,α ,n α,看作齐次线性方程组(+-A E )A 0=X 的解,则可得+A r (A )n ≤r -(+-A E )A 即+A r (A )+(r +-A E )A n≤又由→+≤+)()()(B r A r B A r (r +-A E +A +A A )≤+A r (A )+(r +-A E )A 即+A r (A )+(r +-A E )A nE r =≥)(故+A r (A )+(r +-A E )A n=即维L ((+-A E )A )+维(+A L ()A )n=法Ⅱ：+A r (A )+(r +-A E )A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++E r A A E A A r A A E A A A A r A A E A A r 00000000故+A r (A )+(r +-A E )A n=即维L ((+-A E )A )+维(+A L ()A )n=证③：法Ⅰ：令+A A (=1α2,α ,n α,),(+-A E )A 1(β=2,βn β,, )若有一向量n R ∈α使得∈α+A L ()A 且∈αL (+-A E )A ,则可设=α+A A 1X =(+-A E )A 2X 两边同乘以+A A+A A (+A A 1X )=+A A (+-A E )A 2X 0=而+A A (+A A 1X )=+A A +A A 1X =+A A 1X 故+A A 1X 0=可得+A L (A ) L (+-A E )A {}0=法Ⅱ：令+A A (=1α2,α ,n α,),(+-A E )A 1(β=2,βn β,, )若有一向量n R ∈α使得∈α+A L ()A 且∈αL (+-A E )A ,则可设=α+A A 1X =(+-A E )A 2X 由+A +AA +=A →+A A +A A =+A A即(+-A E )A +A A 0=则(+-A E )A +A A 1X 0=即(+-A E )A =α0①同理可得+A A ((+-A E )A 2X 0)=即+A A =α0②把②代入①,-αE +A A ,0=α=α0故+A L (A ) L (+-A E )A {}0=综上，①②③的证法间随意组合都能证出+A L ()A ⊕L (+-A E )A n R =故此题最终可得十余种证法。