第3讲(1)线性空间与线性映射

空间分析复习重点

空间分析的概念空间分析：是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。包括空间数据操作、空间数据分析、空间统计分析、空间建模。空间数据的类型空间点数据、空间线数据、空间面数据、地统计数据属性数据的类型名义量、次序量、间隔量、比率量属性：与空间数据库中一个独立对象（记录）关联的数据项。属性已成为描述一个位置任何可记录特征或性质的术语。空间统计分析陷阱1）空间自相关：“地理学第一定律”—任何事物都是空间相关的，距离近的空间相关性大。空间自相关破坏了经典统计当中的样本独立性假设。避免空间自相关所用的方法称为空间回归模型。2）可变面元问题MAUP：随面积单元定义的不同而变化的问题，就是可变面元问题。其类型分为：①尺度效应：当空间数据经聚合而改变其单元面积的大小、形状和方向时，分析结果也随之变化的现象。②区划效应：给定尺度下不同的单元组合方式导致分析结果产生变化的现象。3）边界效应：边界效应指分析中由于实体向一个或多个边界近似时出现的误差。生态谬误在同一粒度或聚合水平上，由于聚合方式的不同或划区方案的不同导致的分析结果的变化。（给定尺度下不同的单元组合方式）空间数据的性质空间数据与一般的属性数据相比具有特殊的性质如空间相关性，空间异质性，以及有尺度变化等引起的MAUP效应等。一阶效应：大尺度的趋势，描述某个参数的总体变化性；二阶效应：局部效应，描述空间上邻近位置上的数值相互趋同的倾向。空间依赖性：空间上距离相近的地理事物的相似性比距离远的事物的相似性大。空间异质性：也叫空间非稳定性，意味着功能形式和参数在所研究的区域的不同地方是不一样的，但是在区域的局部，其变化是一致的。 ESDA是在一组数据中寻求重要信息的过程，利用EDA技术，分析人员无须借助于先验理论或假设，直接探索隐藏在数据中的关系、模式和趋势等，获得对问题的理解和相关知识。常见EDA方法：直方图、茎叶图、箱线图、散点图、平行坐标图主题地图的数据分类问题等间隔分类；分位数分类：自然分割分类。空间点模式：根据地理实体或者时间的空间位置研究其分布模式的方法。茎叶图：单变量、小数据集数据分布的图示方法。优点是容易制作，让阅览者能很快抓住变量分布形状。缺点是无法指定图形组距，对大型资料不适用。茎叶图制作方法：①选择适当的数字为茎，通常是起首数字，茎之间的间距相等；②每列标出所有可能叶的数字，叶子按数值大小依次排列；③由第一行数据，在对应的茎之列，顺序记录茎后的一位数字为叶，直到最后一行数据，需排列整齐（叶之间的间隔相等）。箱线图&五数总结箱线图也称箱须图需要五个数，称为五数总结：①最小值②下四分位数：Q1③中位数④上四分位数：Q3⑤最大值。分位数差：IQR = Q3 - Q1 3密度估计是一个随机变量概率密度函数的非参数方法。应用不同带宽生成的100个服从正态分布随机数的核密度估计。空间点模式：一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。空间模式的三种基本分布：1）随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布

第一章线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ．一、线性空间的定义及性质定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．

第六章线性空间练习题参考答案

第六章线性空间练习题参考答案一、填空题 1.已知0000,,00V a b c a b c R c b ?????? ? =+∈?? ??? ?+???? 是33R ?的一个子空间，则维（V ）＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? . 2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2, ,}n i W a x x x P i n =∈= 是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++. 5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基 123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010?? ? ? ???，而α在基321,,εεε下的坐标是 321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110?? ? ? ??? . 6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n -维线性空间，数域P 上n 级上

第六章线性空间

第六章线性空间测验一、填空题 1、已知是的一个子空间，则dim＝，的一组基是 ___________ _. 2、在中，若线性无关，则的取值范围是____________. 3、已知是数域P中的一个固定的数，而是的一个子空间，则＝__________，而维()＝__________. 4、设是数域P上的维列向量空间，记则1、2都是的子空间，且1＋2＝____________，＝____________. 5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T ＝__________，而在基下的坐标是__________. 6、在中, 在基的坐标是________________. 7、令，，，，则是的一组基，判定是否在中，若在，求在基下的坐标____________. 8、已知，则dim=_____，的一组基_______________. 二、判断题 1、设，则是的子空间. 2、已知为上的线性空间，则维(）＝2. 3、设，是的解空间，1是的解空间，2是的解空间，则. 4、设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性表出，则维()＝. 5、设是线性空间的子空间，如果但则必有三、计算题 1、设，，其中，，；，求与的基和维数。 2、在线性空间中，求由基到基的过渡矩阵，在基下的坐标，其中四、证明题 1、前4个埃尔米特多项式为1，，和，这些多项式是在研究数学物理中的某种重要的微分方程时产生的．证明这前4个埃尔米特多项式构成的一组基． 2、在中，令证明： (1) 都是的子空间；(2) 3、为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

证明：1、2皆为的子空间，且

高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章线性空间 §1 集合映射一授课内容:§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义. 三教学重点:集合映射的有关定义. 四教学难点:集合映射的有关定义. 五教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:

空间计量经济学模型归纳

空间计量经济学模型空间相关性是指 () ,i j y f y i j =≠即i y 与j y 相关模型可表示为() (),1i j j i i y f y x i j βε=++≠ 其中，()f g 为线性函数，(1)式的具体形式为 () ()2,0,2i ij j i i i i j y a y x N βεεδ≠=++∑: 如果只考虑应变量空间相关性，则(2)式变为(3)式 ()()21 ,0,,1,2...3n i ij j i i i y W y N i n ρεεδ==+=∑: 式中 1 n ij j i W y =∑为空间滞后算子，ij W 为维空间权重矩阵n n W ?中的元素，ρ为待估的空间自相关系数。0ρ≠，存在空间效应 (3)式的矩阵形式为() ()21, 0,4u n y Wy N I ρεδ?=: (4)式称为一阶空间自回归模型，记为FAR 模型当在模型中引入一系列解释变量X 时，形式如下 () ()2,0,5n y Wy X N I ρβεεδ=++: (5)式称为空间自回归模型，记为SAR 模型当个体间的空间效应体现在模型扰动项时有 () ()21,,0,6u n y X u u Wu N I βλεδ?=+=: （6）式成为空间误差模型，记为SEM 模型当应变量与扰动项均存在空间相关时有 () ()2121,,0,7u n y W y X u u W u N I ρβλεεδ?=++=+: （7）式称为一般空间模型，记为SAC 模型当0X =且20W =时，SAC →FAR ；当20W =时，SAC →SAR 当10W =时，SAC →SEM

第六章线性空间自测练习

第六章线性空间—自测练习一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ {

线性空间与子空间

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++；（2）交换律 x y y x +=+；

（3）零元律存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。则有()x x +-= o 。（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+；（6）分配律 ()k l x kx lx +=+；（7）结合律 ()()k lx kl x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。例1．设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为

01 线性空间与子空间

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（U ），交（I ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++；（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使

x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。则有()x x +-= o 。（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+；（6）分配律 ()k l x kx lx +=+；（7）结合律 ()()k lx kl x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。例1．设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性

空间复用MIMO系统的信号均衡

第十一章空间复用MIMO 系统的信号均衡 11.1 线性均衡如图11所示为一个R T N N ?的MIMO 系统，H 为信道矩阵，ji h （1,2,...;1,2...R T j N i N = =）为第i 根发射天线到第j 根接受天线的增益, i h 为H 的第i 行。12x [,,,]T T N x x x = 为空间复用后的发射信号，12y [,,,]R T N y y y = 为对应的接收信号，其中i x ，i y 分别为第i 根发射天线和第i 根接受天线的发射或接受信号。i z 为第i 根接受天线处方差2 z σ的高斯白噪声, 12z [,,...,]R T N z z z =。则： 1122y Hx+z z T T N N h x h x h x = =+++ （11.1）图11.1 空间复用MIMO 系统模型 MIMO 系统中每个接收天线上收到的都是各个发送天线上发送的信号的叠加，线性均衡即通过接收信号y 与加权矩阵W 的相乘来减小甚至消除其他天线对目标天线信号的干扰。即： 12x [,,,]Wy T T N x x x == ，（11.2）可见每个符号的判决都是通过接收信号的线性组合得到的，故称为线性均衡，它包括破零算法（ZF ）和最小均方二乘算法（MMSE ）。 11.1.1 ZF 均衡 ZF 均衡的的加权矩阵为： 1W (H H)H H H ZF -= (11.3) 则接收信号y 均衡得到的对应发射信号为： 1x W y x (H H)H z x z ZF ZF H H ZF -==+=+ (11.4) 其中1 z W z (H H)H z H H ZF ZF -== 。由于误码率与z ZF 的功率紧密相关，由9.1章可知后验噪

1-1线性空间

第一专题线性空间和线性变换矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。 §1 线性空间一、线性空间的概念与性质线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线

性空间的概念。在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集 R ，全体整数集Z 等都不是数域。定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元 ,,定义一个加法运算,记为“+”:V （元称为与的和）；定义一个数乘运算:F k V k , （元 k 称为k 与的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。加法满足下面四条规则： (1) ； (2) )()( ； (3) 在V 中存在零元素0；对任何V ，都有 0； (4) 对任何V ，都有的负元素V ，使0 ，记；数量乘法满足下面两条规则： (5) 1； (6) αα)()( ；数量乘法与加法满足下面两条规则；

第一章线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换 §1 线性空间的概念定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。特别地，每个数域都包含整数0和1。定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果（1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈?y x ,，都有 V ∈+y x ；（2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈?x ,λ有 V ∈x λ；（3）上述两个运算满足下列八条规则： 1) V ∈?y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈?z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++； 3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈?x ，都有x x =+θ； 4) V ∈?x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。y 称为x 的负元素； 5) V ∈?x ，都有x x =1； P ∈,?μλ，V ∈?y x ,，下列三条成立： 6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(，则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合 }|),,,{(21P x x x x V i n ∈?= ，若对于V 中任两元素 ),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y = 及每个P k ∈（记作P k ∈?），定义加法及数量乘法为 ),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX = 则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。这个线性空间记为n P 。例1－2 所有元素属于数域P 的n m ?矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与

空间分析复习重点

空间分析的概念空间分析：是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。包括空间数据操作、空间数据分析、空间统计分析、空间建模。空间数据的类型空间点数据、空间线数据、空间面数据、地统计数据属性数据的类型名义量、次序量、间隔量、比率量属性：与空间数据库中一个独立对象（记录）关联的数据项。属性已成为描述一个位置任何可记录特征或性质的术语。空间统计分析陷阱1）空间自相关：“地理学第一定律”—任何事物都是空间相关的，距离近的空间相关性大。空间自相关破坏了经典统计当中的样本独立性假设。避免空间自相关所用的方法称为空间回归模型。2）可变面元问题MAUP ：随面积单元定义的不同而变化的问题，就是可变面元问题。其类型分为：①尺度效应：当空间数据经聚合而改变其单元面积的大小、形状和方向时，分析结果也随之变化的现象。②区划效应：给定尺度下不同的单元组合方式导致分析结果产生变化的现象。3）边界效应：边界效应指分析中由于实体向一个或多个边界近似时出现的误差。生态谬误在同一粒度或聚合水平上，由于聚合方式的不同或划区方案的不同导致的分析结果的变化。（给定尺度下不同的单元组合方式）空间数据的性质空间数据与一般的属性数据相比具有特殊的性质如空间相关性，空间异质性，以及有尺度变化等引起的MAUP 效应等。一阶效应：大尺度的趋势，描述某个参数的总体变化性；二阶效应：局部效应，描述空间上邻近位置上的数值相互趋同的倾向。空间依赖性：空间上距离相近的地理事物的相似性比距离远的事物的相似性大。空间异质性：也叫空间非稳定性，意味着功能形式和参数在所研究的区域的不同地方是不一样的，但是在区域的局部，其变化是一致的。 ESDA 是在一组数据中寻求重要信息的过程，利用EDA 技术，分析人员无须借助于先验理论或假设，直接探索隐藏在数据中的关系、模式和趋势等，获得对问题的理解和相关知识。常见EDA 方法：直方图、茎叶图、箱线图、散点图、平行坐标图主题地图的数据分类问题等间隔分类；分位数分类：自然分割分类。空间点模式：根据地理实体或者时间的空间位置研究其分布模式的方法。茎叶图：单变量、小数据集数据分布的图示方法。优点是容易制作，让阅览者能很快抓住变量分布形状。缺点是无法指定图形组距，对大型资料不适用。茎叶图制作方法：①选择适当的数字为茎，通常是起首数字，茎之间的间距相等；②每列标出所有可能叶的数字，叶子按数值大小依次排列； ③由第一行数据，在对应的茎之列，顺序记录茎后的一位数字为叶，直到最后一行数据，需排列整齐（叶之间的间隔相等）。箱线图&五数总结箱线图也称箱须图需要五个数，称为五数总结：①最小值②下四分位数：Q1③中位数④上四分位数：Q3⑤最大值。分位数差：IQR = Q3 - Q1 3密度估计是一个随机变量概率密度函数的非参数方法。应用不同带宽生成的100个服从正态分布随机数的核密度估计。空间点模式：一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。空间模式的三种基本分布：1）随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布 2）均匀分布：个体间保持一定的距离，每一个点尽量地远离其周围的邻近点。在单位(样方)中个体出现与不出现的概率完全或几乎相等。 11?()n i i x x f x K nh h =-??= ???∑

(完整版)b第六章_线性空间测试题

高等代数第六章——线性空间测试题一、填空题（1）已知R 3的两组基Ⅰ)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα； Ⅱ)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ 那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为。（2）在22?P 中，已知???? ??=11111A ，???? ??=01112A ，???? ??=00113A ，??? ? ??=00014A 是22?P 的基，那么，??? ? ??=4321A 在该基下的坐标为。（3）设1W 是方程组04321=+++x x x x 解空间，2W 是方程组???=+-+=-++0 043214321x x x x x x x x 那么1W ∩2W 是方程组的解空间。（4）设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W == ()=+21dim W W 。（5）设1W 、2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()=?21dim W W 。二、判断题：（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（）（2）实数域R 上的全体n 几级可逆矩阵做成n n P ?的子空间。（）（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（）（4）线性空间V 中任意两个子空间的并集仍是V 的子空间。（）（5）在子空间的和1W +2W 中，如果),(0221121w w ∈∈+=αααα，且这种表示形式唯一，那么1W +2W 为直和。（）三、在22?P 中，,1111??? ? ??=a G ,111,11132???? ??=???? ??=a G a G ???? ??=a G 1114

空间统计学

Statistics for spatial data; Noel A.C. Cressie, Wiley& Sons,1991 空间统计学 0 引言 0.1定义空间统计学由于许多学科的需求发展迅速。空间统计学涉及的领域：生物学、空间经济学、遥感科学、图像处理、环境与地球科学( 大地测量、地球物理、空间物理、大气科学等等)、生态学、地理学、流行病学、农业经济学、林学及其它学科空间过程或随机场定义： {}(),Z s s =∈Z S （1）式中S 是空间位置s 的集合，可以是预先确定的，也可以随机的，2d d ?=S R 是二维欧氏空间；()Z s 取值于状态空E 。空时过程：如考虑时间，则 {} (,),,(,)d Z s t s s t + =∈∈?Z S R R 式中S 是空间位置s 的集合，可以是预先确定的，也可以随机的；t + ∈R ；()Z s 取值于状态空E 。注意：上述为标量值过程，但也可扩展为向量过程。 0.2 空间数据类型 0.2.1 连续型地学统计数据（Geostatistical data ）此时， 2d d ?=S R 是连续欧氏子空间，即连续点的集合，随机场{} (),Z s s ∈S 在实值空间E 上的n 个固定位置n s s s ,,,21 取值。如图为连续型空间数据

（a ）降雨量分布图；(b) 土壤孔穴分布图。（符号大小正比于属性变量值） Geostatistical (spatial) data is usually processed by the geostatistical method that has been set out in considerable detail since Krige published his important paper. In summary, this method consists of an exploratory spatial data analysis, positing a model of (non-stationary) mean plus ( intrinsically stationary) error, non-parametrically estimating variogram or covariogram, fitting a valid model to the estimate, and kriging ( predicting )unobserved parts from the available data. This last step yields not only a predictor, but a mean squared prediction error. 0.2.2 离散型格网数据（Lattice data ）此时， 2d d ?=S R 是固定的离散空间点，非随机点集合，随机场{}(),Z s s ∈S 在 2d d ?=S R 的空间点采样。空间点可以是给定邻接图关系、表示成网状的地理区域，如图2-a 。()Z s 是在s 观测的某种感兴趣的值状态空间可以是、也可以不是实值的，比如GDP 、工业产值、农业产值、房产价格；在遥感图像分析领域，空间点就是规则的像元(pixel)集合图2-b 。 Goals for these types of data includes constructing and analyzing explicative models, quantifying spatial correlations, classification, segmentation, prediction and image restoration

线性代数教案-第一章线性空间

第一章线性空间一、教学目标与基本要求数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中. 数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质. 1 线性空间的定义及例定义1.1.1设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系: 1.1.1封闭公理公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y. 公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为a x. 加法运算和数乘运算合称线性运算. 1.1.2加法公理公理3 (交换律)对于任意x,y∈V,有 x+ +. = x y y 公理4(结合律) 对于任意x,y,z∈V,有 + x+ = +. + y ) ) z (z ( y x 公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为θ的零元素,对于任意x∈V,有 +. x= x θ -的x的负元素,使公理6 (负元素存在性)对于任意x∈V,V中存在记为x +) - (. θ x= x 1.1.3数乘公理公理7(结合律)对于任意x∈V,任意实数a和b,有 b (ab a=. x) x ( )

空间计量经济学

? 陈强,《高级计量经济学及Stata应用》课件，第二版，2014年，高等教育出版社。第29章空间计量经济学 29.1 地理学第一定律许多经济数据都涉及一定的空间位置。比如，研究全国各省的GDP、投资、贸易、R&D等数据。此前各章很少关注各省经济之间的互动，通常假设各省的变量相互独立。但各省经济有着广泛的联系，而且越近的省份联系越密切。 1

根据Tobler (1970)，“所有事物都与其他事物相关联，但较近的事物比较远的事物更关联”(Everything is related to everything else, but near things are more related than distant things)。这被称为“地理学第一定律”(First Law of Geography)。各省之间的距离信息并不难获得，比如是否相邻，直线距离或运输距离。将各省的变量数据，再加上各省的位置信息(或相互距离)，即可得到“空间数据”(spatial data或areal data)。研究如何处理空间数据的计量经济学分支，称为“空间计量经济学”(spatial econometrics)。 2

空间计量经济学的最大特色在于充分考虑横截面单位之间的空间依赖性(spatial dependence)。空间效应(spatial effects)包括空间依赖性与“空间异质性”(spatial heterogeneity)。由于标准的计量经济学也考虑横截面单位之间的异质性(比如异方差)，故空间计量经济学的关注重点为空间依赖性。空间计量经济学诞生于1970年代。近年来，空间计量经济学蓬勃发展并进入主流，可归功于两方面。首先，由于GIS(地理信息系统)的发展，空间数据或包含地理信息的数据(geo-referenced data)日益增多。 3

空间统计笔记系列(1-5)

空间统计笔记之一（基础知识）前段时间在学习空间统计相关的知识，于是把ArcGIS里Spatial Statistics工具箱里的工具好好研究了一遍，同时也整理了一些笔记上传分享。这一篇先聊一些基础概念，工具介绍篇随后上传。空间统计研究起步于上个世纪70年代，空间统计其核心就是认识与地理位置相关的数据间的空间依赖、空间关联等关系，通过空间位置建立数据间的统计关系。空间统计学依赖于tablor 地理学第一定律，即空间上越临近的事物拥有越强的相似程度；和空间异质性，即空间位置差异造成的行为不确定现象。例如要度量犯罪率与教育程度的关系，不同地区(文教区、贫困区)可能不一样。利用GIS进行空间统计分析最早可追溯到1854年的伦敦大霍乱（黑死病）。当时盛行的理论是“空气传染”,而不是现在的病菌传染。John Snow 医生开始也相信空气传染学说，但证据使他不得不转向病菌学说。他通过观察霍乱病例在空间上分布的特征，找到了其空间上聚集的地方，进一步找到了致病的水井。利用空间统计可帮助我们发现、判断并证实事物在空间上分布的规律和特征，从而对研究进行辅助决策。几个空间统计基本概念 ?自相关指数 Moran指数和Geary系数是两个用来度量空间自相关的全局指标。Moran指数反映的是空间邻接或空间邻近的区域单元属性值的相似程度，Geary 系数与Moran指数存在负相关关系。 Moran指数I的取值一般在[-1,1]之间,小于0表示负相关,等于0表示不相关,大于0表示正相关; Geary系数C的取值一般在[0,2]之间,大于1表示负相关,等于1表示不相关,而小于1表示正相关； ?回归分析回归分析（regression analysis)是确定两个或多个变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。 ?欧几里得距离&曼哈顿距离

第3讲(1)线性空间与线性映射

空间分析复习重点

第一章线性空间与线性变换

第六章线性空间练习题参考答案

第六章 线性空间

最新向量空间的定义教案(50分钟)

高等代数北大版教案-第6章线性空间

空间计量经济学模型归纳

第六章线性空间自测练习

线性空间与子空间

01 线性空间与子空间

空间复用MIMO系统的信号均衡

1-1线性空间

第一章 线性空间与线性变换

空间分析复习重点

(完整版)b第六章_线性空间测试题

空间统计学

线性代数教案-第一章 线性空间

空间计量经济学

空间统计笔记系列(1-5)

第六章线性空间

第一章线性空间与线性变换

线性代数教案-第一章线性空间