圆过定点问题(非常好)
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
12－
32
2
∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
10
(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
24
(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
恒过定点问题的解题策略
三、课堂小结
1、恒过定点问题的解题策略和方法 设动点坐标、设动直线斜率，借助参数利
用恒成立问题的解题方法解决恒过定点问题, 包括用特殊探路、一般证明等方法策略。 2、注意以动态的观点研究解析几何问题的思
维方式，掌握类比探究、转化与化归等思想 方法。
四、课后练习
谢 谢！
O
B
x
BM交直线 l于点Q．
求证：以PQ为直径的Q圆C经过点，并求出该定点坐标．
l:x=4
变式：连接PB并延长交椭圆于点N,直线MN是否
过定点？若过定点，请给出证明.
变式训练：
过椭圆 x2 y2 1 的左顶点A作互相垂
4
直的直线分别交椭圆于M，N两点. 求证：直线MN过定点,并求出该定点坐标．
P
交A,B两点,M是圆O上异 M
于A,B的任意一点,直线
AM交直线l 于点P,直线
BM交直线 l于点Q.
A
O
B
x
求证:以PQ为直径的
圆C过定点，并求定点
坐标.
Q
二、例题精讲
例：如图,已知椭圆
x2 4
y2
1，
直线 l : x 4,A,B是长轴的
y
P
两端点，M是椭圆上异于
M
A,B的任意一点，设直线
AM交直线l 于点P，直线 A
一、课前热身
1. 动直线 (2 a)x (3a 4) y 2a 1 0(a R)
过定点
.
一、课前热身
2.动圆 x2 y2 (a 2)x (4 a) y 4a 4 0(a R)
过定点
.
一、课前热身
y
3.如图,已知圆O:x2 y2 4,
直线 l : x 4，圆O与x轴
16.与圆有关的定点定值问题(提高版)(作业讲解)
y
M
A
P
N
O
x
则 PQ 的最小值为__
解析：如图，取MN中点A,连结OA,ON ,
则PQ PM PN 2PA,问题转化为求
PA 的最小值.下面关键是要找到A点的
y
轨迹.设A( x, y), A为MN中点,
M
A
P
N
OA AN ,
O
x
AN 2 ON 2 OA2 16 ( x2 y2 ),
3.在等腰三角形 ABC中，已知AB AC , B(1, 0), AC边的中点为D(2, 0),则点C的 轨迹所包围的图形的面积等于_____ 解析：由已知易得AB AC =2AD, 定点B(1, 0), D(2, 0),则点A的轨迹为阿 波罗尼斯圆.下面要求出点C的轨迹， 根据条件，用相关点法.
a,
c
R,
方程恒成立，
x 1
2 y
y
0, 0,
解得x 2, y 1,直线l过定点Q(2, 1).
又由条件知MP MQ, P(2, 3),
故，点M的轨迹是个隐圆，即
以PQ为直径的圆N : x2 ( y 2)2 5,
由几何性质，可知OMmax ON r 2 5.
6.在平面直角坐标系xOy中，曲线y x2 mx 2与x轴交于A, B两点，点C的 坐标为(0,1)，当m变化时，过A, B, C三 点的圆在轴上截得的弦长为定值_____. 解析：需先求出圆心和半径.求圆心可 用平几法.设A( x1 , 0), B( x2 , 0),则x1，x2是 方程x2 mx 2 0的两根, C(0,1),
设C( x, y),则由AC边中点为D(2, 0), 可得 A(4 x, y), 代入前面所得阿氏圆方程， 得(4 x 3)2 ( y)2 4, 即( x 1)2 y2 4, 故，点C的轨迹所包围的图形的面积
初一数学过定点问题
初一数学过定点问题一、直线过定点问题直线过定点问题一般涉及一次函数和反比例函数，需要利用斜率、截距或两点式方程来求解。
解决此类问题时，首先要明确所求直线方程的形式，然后根据题目条件列出方程组，解出未知数即可。
二、一次函数图象过定点问题对于一次函数y=kx+b，当其图象过定点时，可以将点的坐标代入方程中求出k和b的值，从而确定函数的解析式。
例如，一次函数y=x+1的图象经过点(2,3)，将x=2, y=3代入方程中，可以求出k=1, b=1。
三、二次函数图象过定点问题对于二次函数y=ax^2+bx+c，当其图象过定点时，同样可以将点的坐标代入方程中求出a、b、c的值。
例如，二次函数y=x^2+2x+3的图象经过点(1,4)，将x=1, y=4代入方程中，可以求出a=1, b=2, c=0。
四、反比例函数图象过定点问题对于反比例函数y=k/x，当其图象过定点时，同样可以将点的坐标代入方程中求出k的值。
例如，反比例函数y=2/x的图象经过点(2,1)，将x=2, y=1代入方程中，可以求出k=2。
五、三角形、四边形过定点问题三角形和四边形的问题通常涉及到角度、边长等几何量，需要利用几何定理和代数方法进行求解。
对于三角形，可以借助三角形相似性质进行推导；对于四边形，可以借助对角线性质进行求解。
在解决此类问题时，需要仔细分析图形和条件，选择合适的解题方法。
六、圆过定点问题圆过定点问题需要利用圆的方程和几何性质进行求解。
对于给定的圆方程和点坐标，可以将其代入圆的方程中求解未知数。
在解决此类问题时，需要明确圆心和半径的几何意义，并选择合适的解题方法。
七、综合类过定点问题综合类过定点问题通常涉及到多个知识点和解题方法，需要综合运用所学知识进行求解。
在解决此类问题时，需要仔细分析题目条件和要求，选择合适的解题方法。
圆中的定点、定值问题
圆中的定点定值问题问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故2220,220.x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩，或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(45，25)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故220,230.x y y +-=⎧⎨-+=⎩解得1432x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标． 解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． BAP OM yxB A P OM EFyx∴22242100,360.t t λλ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩解得1,59.5t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,3.t λ=⎧⎨=-⎩(舍去)， 所以存在点B (0，95)对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15．例4． 已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：（1）设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2．（2）由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0．因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2．同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．例5．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．（1）若l 1与圆相切，求l 1的方程；（2）若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由． 解：（1）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0．由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即||3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34． ∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0．（2）(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)， 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．∴AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值．故AM ·AN 是定值，且为6．(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，(x －3)2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0．∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k ＋61＋k 2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．以下同解法1．。
恒过定点问题
恒过定点问题恒过定点问题引言恒过定点问题是一种常见的几何问题，它涉及到一条直线与一个或多个圆相交于一个固定的点。
在解决这类问题时，我们需要运用一些基本的几何知识和技巧，通过分析和推理找到准确的解答。
问题描述恒过定点问题的基本情形是给定一条直线L和一个圆C，求直线L 与圆C的交点中到圆心最近的点A。
当然，我们也可以将问题推广到多个圆的情况。
解法一：利用垂直关系一种常见的解决恒过定点问题的方法是利用垂直关系。
根据几何的基本原理，一条直线与圆相切时，切点处的切线垂直于半径。
因此，我们可以根据这个垂直关系来确定直线与圆的切点。
具体步骤如下： 1. 绘制圆C和直线L； 2. 在直线L上选择一个点B，作直线L的垂线BC； 3. 以点B为圆心，BC的长度为半径，在直线L上作一个圆D； 4. 圆D与圆C的交点A即为所求的点。
解法二：利用相似三角形另一种常用的解决恒过定点问题的方法是利用相似三角形的性质。
根据几何的基本原理，如果两个三角形对应的角相等，那么它们是相似的。
在恒过定点问题中，我们可以利用两个相似三角形之间的边比例关系来求解。
具体步骤如下： 1. 绘制圆C和直线L； 2. 在直线L上选择一个点B，作直线L的垂线BC； 3. 以点A为圆心，AC的长度为半径，在直线L上作一个圆D； 4. 连接圆C的圆心和圆D的圆心，记为OE；5. 连接点B和OE，并延长到直线L上的交点F；6. 连接点F和圆C的圆心O； 7. 直线FO与圆C的交点A即为所求的点。
总结恒过定点问题是一种需要应用几何知识和技巧的常见问题。
通过掌握垂直关系和相似三角形的性质，我们可以有效地求解这类问题。
在实际应用中，我们还可以借助计算机辅助绘图软件来验证解答的准确性。
希望通过本文的介绍，读者对恒过定点问题有更深入的理解。
应用场景恒过定点问题在几何学中有着广泛的应用场景。
以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计：在建筑设计中，恒过定点问题可以用于确定建筑物的布局和结构。
圆的两个定值、定点结论及其推广应用
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案例 点评
材 法
（ ２ ） 当 ≠ｏ ￣ － ， ｆ ， 可得ｍ （ 厂一 ２ ｙ ｏ 知直线Ａ日：
，
． 经
（ ２ ） 当 ｔ ≠ ｌ 时 ， 如 图 ４ ， 直 线 Ａ Ｂ 过 定 点 Ｑ （ 一 百 ｌ ＋ ｔ ， ｙ ｏ ） ，
（ 如下表 ） ， 这些数据 的分母是２ ， ３ 和
同学们的想法都很有创 意 ，希望大家将这种 思想继续发
扬， 以便有更大的发现． 总之 ， 问题情境 的设 置 ， 给学生提供 了学习的 目标和 思维空 间， 使学生 自主学 习成 为可能 ， 不仅要让学生学会
６ ， 将 他 们 改 写 成 ６ ， 萼 ， ２ ８ ， ４ ５ ， ６ ６ ， ９ １ ， １ ］ １ ２ ６ ｘ ３ 一 ， 等，
由韦达 定理 ， 知 ． ＋ ｆ二
ｍ ２
－
， ｆ
，
（ １ ） 当ｔ ＝ ｌ 时， 可得 ０ （ ０ 一 ｍ） ＝ ０ ． 因为ｍ＃Ｘ ｏ ， 所 以ｘ ｏ ＝ Ｏ ，
此 时点 Ｐ ， （ ０ ， — ） ， 直线 的方程为 ＝ ０ ， 则 直线Ａ Ｂ 与直
ｋ ２ ｒ ２
’ ｙ， ｘ２ ＋ｙ
— — ２ ｋ ｒ ２
‘
ｙ
线Ｏ Ｐ ＇ 平行．
＋ｔ Ｂ： ｘ ＝ －ｌ （ ２ ） 当ｆ ≠１ 时， 可得ｍ＝ 一 ＿ ｌ ＋ ｔ 则直线Ａ 经 过
，
＋
＋
丝
１ －ｔ
１ ｌ—ｆ
一
一 一
二
７ ｘ １ ３删
， ， ，
猜想
圆锥曲线中的定点问题(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线
专题5 圆锥曲线中的定点问题一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题． 二、解题秘籍(一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略 1．处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量（此处设为k ）(2)利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y = 的联系，得到有关k 与,x y 的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。
此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y 。
常见的变形方向如下：① 若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可② 若等式为含k 的分式， 00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）2．处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例1】（2022届北京大学附属中学高三12月月考）已知点()11,0F -，()21,0F ，曲线C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线1MF 与曲线C 相交于另一点N ，当直线MN 不垂直于x 轴时，点M 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PN 恒过一定点．【分析】（1）由题意得出12124MF MF F F +=>，根据椭圆的定义可知曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程为()1y k x =+或1x ty =-，把直线方程与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据点M 的坐标写出点P 的坐标，从而求出直线PN 的方程，证明直线PN 与x 轴的交点为定点即可. 【解析】（1）因为122F F =，12124MF MF F F +=>， 所以曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以2a =，1c =，b =所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）解法一：因为直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为()1y k x =+ 由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()()2222348430k x k x k +++-=，因为点1F 在曲线C 内，所以0∆>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=-+，()21224334k x x k -=+． 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -． 所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--． 令0y =，得()211211212121x x y x y x y x xy y y y -+=+=++()()()211221112x k x x k x k x x ⋅++⋅+=++()12122122x x x x x x ++++=()2222224382343448234k k k k k k -⎛⎫⨯+- ⎪++⎝⎭==--++． 所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-． 综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．解法二：当MN 不与x 轴重合时，设直线MN 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，()()()()2226434914410t t t ∆=--⨯+⨯-=+>．设()11,M x y ，()22,N x y ，设122634ty y t +=+，122934y y t =-+． 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -． 所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=-- 令0y =，得()()()211211112121111ty ty y x x y x xty y y y y ---⎡⎤-⎣⎦=+=+-++122121ty y y y =-+ 22923414634t t t t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=-+， 所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-． 综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．【例2】椭圆C的焦点为()1F，)2F，且点)M在椭圆C 上．过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标． 【分析】（1）计算1224a MF MF =+=，得到椭圆方程.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程得到根与系数的关系，通过特殊直线得到定点为2(0)Q ，，再计算斜率相等得到证明.【解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得124c a MF MF ==+=.所以2a =，2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -，则()22122122Δ16821042122k k k x x k x x k x ⎧=++>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩，特殊地，当A 的坐标为(2)0，时，12k =-，所以2423x =-，223x =-，143y =， 即24,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点B 关于y 轴的对称点为24,33⎛⎫⎪⎝⎭D ，则直线AD 的方程为2y x =-+.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为0x =. 如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点2(0)Q ，， 111112111QA y y k k x x x ---===-，22221QD y k k x x -==-+-， 又因为121212112()2220.QA QD x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-= 所以QA QD k k =，即,,A D Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0)2，． (二) 直线过定点问题 1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y kx b =+，然后利用题中条件整理出,k b 的关系，若(),b km n m n =+为常数，代入y kx b =+得()y k x m n =++，则该直线过定点(),m n -。
微专题17 与圆相关的定点、定值问题
答案：(1)圆 D 的方程：(x－1)2＋(y－1)2＝2 或(x－1)2＋(y＋1)2＝2；(2) 点 P 在定圆 x2＋y2＝2 上．
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解析：(1)设 M(2，t)，则圆 D
2 t t 2 2 的方程：(x－1) ＋y－2 ＝1＋ 4 ，直线
PQ 的方程：2x＋ty－2＝0，由 PQ＝ 6， 2
＝0，所以
2 （ x － 1 ） 0 x0(x0－2)＋y0 y0＋ ＝0，所以 y0
2 x2 ＋ y 0 0＝2，所以
点 P 在定圆 x2＋y2＝2 上．
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解法 3 设直线 PQ 与 OM 交于点 H， A(2， 0)， 由射影定理知 OP2＝OH· OM， 由此知，OH·OM＝OF· OA＝2，所以 OP2＝2，所以点 P 在定圆 x2 ＋y2＝2 上．
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(2018· 江苏模拟卷)如图，在平面直角坐 标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝1 与 x 轴的两个交点(点 B 在点 A 右侧)，点 Q(－2， 0)，x 轴上方的动点 P 使直线 PA，PQ，PB 的斜率存在且依次成等差数列．
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(1)求证：动点 P 的横坐标为定值； (2)设直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S，T，求证：点 Q， S，T 三点共线．
2 t 2 2＋ －2 t 2 2 ＝ 6，解得 t＝± 2.所以圆 D 的方程为(x 1＋ － 4 2 4 ＋ t
－1)2＋(y－1)2＝2 或(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
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2 t t 2 （x0－1）2＋ y － 0 ＝1＋ ， 2 4 即 (2) 解 法 1 设 P(x0 ， y0) ， 由 (1) 知 2x ＋ty －2＝0， 0 0 2 x2 ＋ y 0 0－2x0－ty0＝0， 2x0＋ty0－2＝0， 2 2 2 消去 t 得 x2 ＋ y ＝ 2. 所以点 P 在定圆 x ＋ y ＝2 上． 0 0
破解直线与圆中的“定”的问题
破解直线与圆中的“定”的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一，考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。
在解答此类问题的探索过程中，学生常常找不到解题的切入点，为此，我们须弄清此类问题，切实掌握其解决的方法。
一、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生，如y kx =是过定点()0,0O 的直线系，(y kx b b =+是常数）是过定点()0,b 的直线系，()(,y k x a b a b =-+是常数）是过定点(),a b 的直线系，等等，那么，如何迅捷地找到直线所过的定点呢？例1 平面直角坐标系xOy 中，直线()()14233120k x k y k +----=恒过一定点P ，而直线60mx y +-=也过点P ，则m = 。
解法1：直线()()1423340k x k y k +----=，整理得()()4312230k x y x y +-+--=，令43120230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以()3,0P ，代入直线60mx y +-=，得2m =，答案：2.解法2：令14k =-，则0y =；令23k =，则3x =； 所以直线()()14233120k x k y k +----=必过直线0y =与直线3x =的交点()3,0，显然()3,0P ，代入直线60mx y +-=，得2m =。
点评：含有参数的直线0Ax By C ++=过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起，不含参数的部分整理到一起，令系数均为0即可解方程得直线所过的定点。
变式1：（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是A. B. C. D. 答案 B 。
例 2 已知圆()()22:2410102001C x y kx k y k k ++++++=≠-，则圆C 过定点 。
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圆过定点问题 班级_________________姓名_______________ 1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M． （1）求M的方程； （2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1． （Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系； （Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线l与点P，Q． （1）求点M的轨迹E的方程； （2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由． 2
4．如图，已知椭圆C：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N， （ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2为定值； （ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
5．如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N． （1）求圆C的方程； （2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．
6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C． （1）求实数c的取值范围； （2）求⊙C的方程； （3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论．
7．如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C． （I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上； （II）求证：圆C经过除原点外的一个定点； （III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？ 3
8．在平面直角坐标系xoy中，点M到两定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之和为4，设点M的轨迹是曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于不同两点A、B（A、B不是曲线C和坐标轴的交点），以AB为直径的圆过点D（2，0），试判断直线l是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
9．如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：交于A，C两点，A．C在x轴两侧， B，D是圆C2：x2+y2=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同,纵坐标同号． （I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围； （II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．
10．已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C． （1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形； （2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值； （3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由． 4
11．已知定直线l：x=﹣1，定点F（1，0），⊙P经过F且与l相切． （1）求P点的轨迹C的方程． （2）是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由．
12．已知动圆P与圆M：（x+1）2+y2=16相切，且经过M内的定点N（1，0）． （1）试求动圆的圆心P的轨迹C的方程； （2）设O是轨迹C上的任意一点（轨迹C与x轴的交点除外），试问在x轴上是否存在两定点A，B，使得直线OA与OB的斜率之积为定值（常数）？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方． （Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程； （Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程； （Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由． 5
2015年03月12日yinyongxia100的高中数学组卷 参考答案与试题解析 一．填空题（共1小题） 1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M． （1）求M的方程； （2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由已知条件推导出点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出动点E的轨迹方
程．
（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y=x+m，由，得3x2+4mx+2m2﹣18=0．由此能求出符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x或y=x﹣2． 解答： 解：（1）由题知|EG|=|ES|， ∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6． 又∵|GC|=6， ∴点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，
∴动点E的轨迹方程为=1．…（4分） （2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 其方程为y=x+m，
由消去y，化简得3x2+4mx+2m2﹣18=0． ∵直线l与椭圆C相交于A，B两点， ∴△=16m2﹣12（2m2﹣18）＞0， 化简得m2＜27，解得﹣3．…（6分）
∴x1+x2=﹣，x1•x2=． ∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点， ∴=0，所以x1x2+y1y2=0．…（8分） 又y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，
x1x2+y1y2=2x1x2+m（x1+x2）+m2=﹣+m2=0， 解得m=．…（11分） 6
由于（﹣3，3）， ∴符合题意的直线l存在， 所求的直线l的方程为y=x或y=x﹣2．…（13分） 点评： 本题考查点的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
二．解答题（共12小题） 2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1． （Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系； （Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 直线与圆． 分析： （Ⅰ）求出两圆的圆心距离，即可判断圆C1与圆C2的位置关系；
（Ⅱ）根据圆C同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论． 解答： 解：（Ⅰ）C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径r=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为（3，
4），半径R=1，
则|C1C2|=， ∴圆C1与圆C2的位置关系是相离． （Ⅱ）设圆心C（x，y），由题意得CC1=CC2，
即， 整理得x+y﹣3=0， 即圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动． 设C（m，3﹣m），
则动圆的半径，
于是动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2， 整理得：x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0．
由，
解得或， 即所求的定点坐标为（1﹣，2﹣），（1+，2+）． 7
点评： 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考查学生的计算能力． 3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线l与点P，Q． （1）求点M的轨迹E的方程； （2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．
考点： 轨迹方程；圆的标准方程． 专题： 直线与圆． 分析： （1）由椭圆的第二定义即可知道点M的轨迹E为椭圆； （2）设出椭圆上的点C的坐标，进而写出直线AC、BC的方程，分别求出点P、Q的坐标，只要判断kPF•kQF=
﹣1是否成立即可．
解答： 解：（1）由椭圆的第二定义可知：
点M的轨迹E是以定点F（1，0）为焦点，离心率e=，直线l：x=4为准线的椭圆（除去与x轴相交的两点）． ∴c=1，，∴a=2，b2=22﹣12=3，
∴点M的轨迹为椭圆E，其方程为（除去（±2，0））． （2）以线段PQ为直径的圆经过定点F．下面给出证明： 如图所示：设C（x0，y0），（x0≠±2），则直线AC的方程为：，
令x=4，则yP=，∴，∴=； 直线BC的方程为：，令x=4，则yQ=，∴，
∴kQF==． ∴kPF•kQF==，