与圆有关的定点定值值与范围问题
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
12－
32
2
∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
10
(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
24
(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题一、填空题1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________． 答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二 设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213.答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF→的最小值是________．解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6.答案 64．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1的距离等于2 2，由点到直线的距离公式，得12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－b22且b∈[－2，2]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝a2＋(b－1)2＝12b2－2b＋2，因此当b＝－2时，d取最大值，此时d max＝3＋22＝2＋1.答案2＋15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是________．解析如图所示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由P A＝PB易知四边形P ACB的面积＝12(P A＋PB)＝P A，故P A最小时，四边形P ACB的面积最小．由于P A ＝PC2－1，故PC最小时P A最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝|3＋4＋8|5＝3，P A＝PC2－1＝22，所以四边形P ACB面积的最小值是2 2.答案2 26．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为________．解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，切线方程为x0x＋y0y＝1，分别令x ＝0，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 20＋1y 20＝(x 20＋y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 27．若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－28．过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析 因点P 在圆C 内，所以当AB 长最小时，∠ACB 最小，此时AB ⊥PC .由k PC ＝－2可得k AB ＝12.所以直线l 的方程为2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝09．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)10．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 5 二、解答题11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4,0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝152. 则直线FG 被圆C 截得的弦长为216－⎝⎛⎭⎪⎫1522＝7. 故直线FG 被圆C 截得的弦长为7.(2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由|GF ||GP |＝12， 得(x 0＋6)2＋y 20(x 0－s )2＋(y 0－t )2＝12，整理得3(x 20＋y 20)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.①又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＋8x 0＝0.②将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，⎩⎨⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0，解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12,0)，使得结论成立．13．已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．14. 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)∵|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴4a ＝8，a ＝2.又∵e ＝12，即c a ＝12，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， ∴m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则MP →·MQ→＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．。
与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
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5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 －1－22＋－1－32－1＝4.
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
抓住2个考点
3.
突破3个考向
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(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0， 也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
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突破3个考向
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
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答案 4
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突破3个考向
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微专题17 与圆相关的定点、定值问题
解法2由题意可得，圆心C到l的距离d＝
2
2
22 － ＝ 2
3，又l：mx－y＋
m＝0恒过定点A(－1,0)，a≥1，所以AC≥2，另设直线l的倾斜角 3 3 为θ，所以sinθ＝ AC ∈ 0， ，所以l的斜率m＝tanθ∈[－ 3 ，0) 2 ∪(0， 3]．
6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上 一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分 别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60° ，则圆M的方 程为 (x－1) ＋y ＝1
2 2
.
解析：设定圆圆心M(a，b)，半径为r，动点P(x，y)，由题意知MP＝ 2r，即(x－a)2＋(y－b)2＝4r2，由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上， 所以(2－2a)x－2by＋a2＋b2－4r2＋3＝0，对任意x，y都成立，所 以a＝1，b＝0，r2＝1，所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1.
微专题17
与圆相关的定点、定值问题
1．圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0，则圆过定点 (2,0)
．
解析：圆C的方程可以改写为(x－2)(x＋2－2t)＋y(y－2t2)＝0，表示以 (2,0)，(2t－2,2t2)为直径的圆．
2 2．已知以曲线y＝ x 上任意点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交 于点O，B，其中O为原点，则△AOB的面积为 4 .
6－
15 2 ＝7.故直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 7. 2
GF 1 (2)设P(s，t)，G(x0，y0)，则由GP＝2， x0＋62＋y2 1 0 得 2 2＝ 2 ， x0－s ＋y0－t
苏教版(2019)选修第一册突围者第2章专项拓展训练2与圆有关的定点、定值、探索性问题
苏教版（2019）选修第一册突围者第2章专项拓展训练2与圆有关的定点、定值、探索性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12,x x 是方程2240x mx +-=的两根． （1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点(0,1)M 时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 2．已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:4l x =上的动点．（1）若从点P 到圆O 的切线长为P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长； （2）若点(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N ，求证：直线MN 经过定点(1,0)Q ．3．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y 轴截得的弦长为C 的面积小于13. （1）求圆C 的标准方程：（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.4．已知圆22:1O x y +=与y 轴正半轴上一定点()1A ，是否存在一定点B ，使得圆O 上任一点P ，都有||1||PA PB =成立？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知圆()22:44C x y +-=，直线()():31140l m x m y ++--= .（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（3）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.6．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A 是指该球的球心点A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）如图1，设母球A 的位置为(0,0)，目标球B 的位置为(4,0)，要使目标球B 向(8,4)C -处运动，求母球A 的球心运动的直线方程；（2）如图2，若母球A 的位置为(0,2)-，目标球B 的位置为(4,0)，让母球A 击打目标球B 后，能否使目标球B 向(8,4)C -处运动？二、单选题7．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8πD ．9π8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点，使得MPN ∠最大”.如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．7-C ．1或7-D ．2或7-9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线():2l y a x =-.给出以下命题：①当0a =时，若直线l 截黑色阴影区域所得两部分面积记为12,S S ()12S S ≥，则12:3:1S S =；②当43a =-时，直线l 与黑色阴影区域有1个公共点；③当(]0,1a ∈时，直线l 与黑色阴影区域有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③三、多选题10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足12PA PB=．设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是，（ ） A ．C 的方程为（x +4）2+y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两定点D ，E ，使得12PDPE = C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线 D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |11．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k N -+-=∈.下列四个命题正确的是 A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点四、填空题12．若任意两圆交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足121212120x x y yy y x x -++=-+，则称两圆为“O →心圆”．已知圆2221:4250C x y x y a +-+-+=与圆222:(210)2C x y b x by+---2+-+=∈R为“O→心圆”，则实数b的值为______．210160(,)b b a b参考答案1．（1）222()4x m y m ++=+；（2）证明见解析 【分析】（1）根据韦达定理求出圆心坐标和半径，即求动圆C 的方程；（2）设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.令0y =，则20x Dx F ++=.由题意，结合韦达定理可得2D m =，4F =-．又动圆C 过点(0,1)M ，可求E 的值. 令0x =，可求动圆C 在y 轴上截得的弦长. 【详解】 （1）12,x x 是方程2240x mx +-=的两根，122x x m ∴+=-，124x x ⋅=-．动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 坐标为(,0)m -，半径为21||22x x AB -===∴动圆C 的方程为：222()4x m y m ++=+．（2）证明：设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=， 动圆C 与y 轴交于(0,1)M ，()30,N y ， 令0y =，则20x Dx F ++=． 由题意可知2D m =，4F =-． 又动圆C 过点(0,1)M ，140E ∴+-=，即3E =．令0x =，则2340y y +-=，解得1y =或4y =-． 34y ∴=-．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为315y -=． ∴动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点睛】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系，属于中档题.2．（1）(4,0)，43π；（2）证明见解析． 【分析】（1）设(4,)P t ，两切点分别为C ，D ，利用222PO OC PC =+，可求得点P 的坐标，在Rt POC△中，可求得60POC ∠=︒，分析即得解两条切线所夹的劣弧长；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(4,)P t ，分别写出直线PA ，PB 的方程，与圆联立，即可用t 表示,M N 两点的坐标，当MN 斜率不存在时，可得MN 经过定点(1,0)Q ，再证明一般情况，,,M N Q 三点共线即可【详解】（1）依题意，设(4,)P t ．设两切点分别为C ，D ，则OC PC ⊥，OD PD ⊥．由题意可知222PO OC PC =+，即(222242t +=+，解得0t =，所以点P 的坐标为(4,0)． 在Rt POC △中，可求得60POC ∠=︒，所以120DOC ∠=︒， 所以所求两条切线所夹的劣弧长为1204223603ππ︒⨯⨯=︒． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(4,)P t ． 依题意，可得直线PA 的方程为(2)6ty x =+， 由22(2) 64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得()222236441440t x t x t +++-=．因为直线PA 经过点(2,0)A -，()11,M x y ， 所以2-，1x 是上述方程的两个根， 则2124144236t x t --=+，即21272236t x t -=+，代入直线方程(2)6ty x =+，得212272224263636t t t y t t ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭．同理，可得直线PB 的方程为(2)2ty x =-． 由22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得()2222444160t x t x t +-+-=．因为直线PB 经过点(2,0)B ，()22,N x y ， 所以2，2x 是上述方程的两个根， 则22241624t x t -=+，即222284t x t -=+，代入直线方程(2)2ty x =-，得22222882244t t t y t t ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭． 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+，显然M ，N 在直线1x =上，所以直线MN 经过定点(1,0)Q ． 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，由1101MQy k x -==-22222483672212136tt t t t t -+=---+， 2201NQy k x -==-2222884281214t t t t t t --+=---+，可知MQ NQ k k =， 所以M ，Q ，N 三点共线，即直线MN 经过定点(1,0)Q ． 综上所述，直线MN 经过定点(1,0)Q ． 3．(1) 22(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【详解】试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在.试题解析：（I ）设圆C ：(x-a)2+y 2=R 2(a>0)，由题意知R R =，，解得a=1或a=138，又∵S=πR 2<13， ∴a=1，∴圆C 的标准方程为：(x-1)2+y 2=4．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点，联立223{(1)4y kx x y =+-+=，，消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0， ∴Δ=(6k -2)2-24(1+k 2)=3k 2-6k-5>0，解得1k <1k >． x 1+x 2=2621k k --+，y 1+ y 2=k(x 1+x 2)+6=2261k k ++， 121211()()22OD OA OB x x y y =+=++，，(13)MC =-，， 假设OD ∥MC ，则12123()x x y y -+=+， ∴226226311k k k k -+⨯=++，解得3(1(1)4k =∉-∞⋃+∞，，假设不成立．∴不存在这样的直线l ． 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系. 4．存在定点(0,1B 满足条件． 【分析】设定点()00,B x y，用坐标表示||1||PA PB =，由点P 的任意性，可得(()2200043101)2(3x y x y ⎧-=-++⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，联立即得解 【详解】设(,)P x y ，假设存在定点()00,B x y满足||1||PA PB =，1=，即)421y -=(()2200003122x y x x y y -++--，于是(()220043101)2(3x y x y ⎧--++⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得0001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故存在定点(0,1B 满足条件．5．（1）()1,3；（2）1m =-；（3）4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，常数32.【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标． （2）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知(0,4)C ，2r ，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点(,4)N t 满足题意， 则设(,)P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且22(4)4y x -=-，求出λ，然后求解比值． 【详解】解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=，令30x y -=且40x y +-=，得1x =，3y =∴直线l 过定点(1,3)A ， （2）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知(0,4)C ，2r ，∴43101AC k -==--，得1111l AC k k --===-，∴由3111m m +=-得1m =-， ∴圆心到直线的距离为||d AC = ∴最短弦长为l ==（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点(,4)N t 满足题意， 则设(,)P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且22(4)4y x -=- 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-222222(3)4()(4)x x x t x λλ∴++-=-+-整理得，2222(62)(413)0t x t λλλ+-+-=上式对任意[2x ∈-，2]恒成立， 2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=解得43,32t λ=-=或3t =-，1λ=（舍去，与M 重合）综上可知，在直线MC 上存在定点4(,4)3N -，使得||||PM PN 为常数32【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 6．（1）y =；（2）不能使目标球B 向(8,4)C -处运动． 【分析】（1）利用A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在,B C 两点连线上，且球A 与球B 外切，列出方程组，即可求得两球碰撞时，球'A 的坐标，即得解；（2）由（1）知球A需运动到(4A '处，且到达A '处前不与目标球B 接触，，过点B 作 BE AA ⊥'于点E ，分析可得2BE <，即得解. 【详解】（1）点(4,0)B ，(8,4)C -所在的直线方程为40x y +-=，如图，可知A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线40x y +-=上， 且在第一象限，设A ，B 两球碰撞时，球A 的球心坐标为(,)A a b '， 此时2A B '=，则4020,0a b a b +-=⎧>>⎪⎩，解得4a =b =即A ，B 两球碰撞时，球A的球心坐标(4A '，所以母球A的球心运动的直线方程为y，即y =．（2）假设能使目标球B 向(84)C -，处运动，则由（1）知球A 需运动到(4A '处，且到达A '处前不与目标球B 接触． 如图，设AA '与x 轴的交点为D ．因为A B '的斜率为1-，所以45A BD '∠=︒．因为AA '1>，所以45A DB ∠>'︒．所以DA B ∠'为锐角．过点B 作 BE AA ⊥'于点E ，因为2A B '=，所以2BE <， 所以球A 的球心还未到直线BC 上时，就会与目标球B 接触， 所以不能使目标球B 向(8,4)C -处运动． 7．B 【详解】已知两定点()20A -，，()10B ，，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(),x y ，则()()222224[1]x y x y ++=-+，即()2224x y -+=，所以点的轨迹是以()2,0为圆心，2为半径的圆，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，故选B. 8．A 【分析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，可设点P 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b ba b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍），因此，点P 的横坐标为1，故选A.【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的位置关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题. 9．A 【分析】根据图形的特征，注意到直线l 恒过定点(2,0),利用直线与圆相切的条件和圆的面积公式，对选项进行逐一分析即可. 【详解】 如图所示：大圆的半径为2，小圆的半径为1，大圆面积为4π，小圆面积为π， 所以大圆的四分之一面积为π，小圆的一半面积为2π, 对①：当a =0时，直线():2l y a x =-方程为 y =0,即直线l 为x 轴，直线l 截阴影部分的面积分为两部分， 123=+=222S S ππππ=，，所以12:3:1S S =，故①正确. 对②：根据题意，半圆在第一象限的方程为()2211x y +-=，(0)x >若当43a =-时，直线(2)y a x =-方程为4(2)3y x =--，即4380x y +-=,与小圆圆心()0,1的距离1d =,等于小圆半径，所以直线与该半圆弧相切，如图所示，直线与阴影区域只有一个公共点，故②正确； 对③：当[)0,1a ∈时，如图所示：直线(2)y a x =-与黑色阴影部分的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故错误； 综上所述，①②正确. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，关键是将形成阴影的边界分解，厘清有关圆弧的方程和计算分割成的各部分的面积，并注意直线经过定点(2,0)，斜率为a . 10．BC 【分析】设P （x ，y ），运用两点的距离公式，化简可得P 的轨迹方程，可判断A ；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12PDPE=，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，对照P的轨迹方程可得D，E，可判断B；当A，B，P三点不共线时，由12OA PAOB PB==，由角平分线定理的逆定理，可判断C；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的轨迹方程，联立P的轨迹方程，即可判断D．【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足12 PAPB=，设P（x，y），则12 =，化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12 PDPE=，可设D（m，0），E（n，0）=化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B 正确；当A，B，P三点不共线时，由12OA PAOB PB==，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y）化简可得x2+y2163+x163+=0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．故选：BC．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．11．ABD【分析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案. 【详解】根据题意得圆的圆心为（1，k ），半径为2k ，选项A,当k=2k ，即k=1时，圆的方程为()()22111x y -+-=，圆与x 轴相切，故正确； 选项B ，直线x=1过圆的圆心（1，k ），x ＝1与所有圆都相交，故正确；选项C,圆k ：圆心（1，k ），半径为k 2，圆k +1：圆心（1，k +1），半径为（k +1）2， 两圆的圆心距d ＝1，两圆的半径之差R ﹣r ＝2k +1，（R ﹣r ＞d ），∁k 含于C k +1之中， 若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k 2＝k 4，不存在 k ∈N *使上式成立， 即所有圆不过原点，正确． 故选ABD 【点睛】本题考查圆的方程，考查两圆的位置关系，会利用反证法进行分析证明，会利用数形结合解决实际问题． 12．53【分析】可转化121212120x x y yy y x x -++=-+为()()222212120x x y y -+-=，将两点()11,A x y ，()22,B x y 分别代入两圆方程，点差法化简，联立即得解 【详解】设圆1C 与圆2C 交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，则121212120x x y y y y x x -++=-+，()()222212120x x y y ∴-+-=．将()11,A x y ，()22,B x y 分别代入2224250x y x y a +-+-+=，得22211114250x y x y a +-+-+=①，22222224250x y x y a +-+-+=②，①-②得()()()()222212121212420x x y y x x y y -+---+-=，()()1212420x x y y ∴---=，12121()2x x y y -∴=*-． 将()11,A x y ，()22,B x y 分别代入222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=，得2221111(210)221016x y b x by b b +---+-+③，2222222(210)221016x y b x by b b +---+-+④， ③-④得()()()()222212121212(210)20x x y y b x x b y y -+------=，()()()1212 21020b x x b y y ∴--+-=，即()1212(210)20b x x b y y --+=-，将()*代入得210202b b -+=，解得53b =． 故答案为：53。
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初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)圆中最值域定值问题研究类型一：例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。
求MP+NP的最小值。
例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。
求PC+CD的最小值。
例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。
求PE+PF的最小值。
类型二：折叠隐圆基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。
例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？类型三：随动位似隐圆例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
方法归纳：1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练 2】 (2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x－y＋1＝0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1)求圆 O 的方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
所
以PPAB22＝
xx＋＋95522＋＋yy22＝xx22＋ ＋11580xx＋＋92－5＋x29＋－82x152＝
12285··55xx＋＋1177＝
9 25
.
从而PB＝3为常数． PA 5
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法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得PPAB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0 对 x∈[－3,3]恒成立，
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解 (1)设所求直线方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0. 因为直线与圆相切， 所以 |2－2＋b|12＝3，得 b＝±3 5. 所以所求直线方程为 y＝－2x±3 5. (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0)． 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3,0)时，PPAB＝|t＋2 3|；
故 mn＝2 为定值．
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。
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考向一 与圆有关的定点问题
【例 1】 已知⊙ M ： x2＋ (y－ 2)2＝ 1， Q 是 x 轴上的动点， QA ， QB 分别切⊙ M 于 A， B 两点． (1) 若 |AB |＝ 4 3 2，求 |MQ |、 Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程； (2) 求证：直线 AB 恒过定点．
而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为 qx－2y＋3＝
0，所以直线
AB
恒过定点
?
?0，
?
3? 2??.
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[方法总结] 与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动 直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直 线或动圆的方程．
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答案 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
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2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是 ________ ．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b| ＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
Δ_＜__0
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【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
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考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
答案 [1， 2)
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3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a， b∈R)对称，则ab的取值范围是________． 解析 由题意知，圆的方程为 (x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标
为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得 2a＋2b＝2，即 a＋b＝由Βιβλιοθήκη ?????yx＝－02，?2－3＝0，
得??? x ＝ 2＋ ?? y＝ 0
2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2半径r1、r1，d＝O1O2)
相离
外切
相交 内切 内含
图形
几何 量 观点 化
方程 观点
d＞ _r_1_＋__r_2
Δ_＜__0
d＝ _r_1＋__r_2_
Δ_＝__0
|r1－r2| ＜d＜r1
＋r2
Δ_＞__0
d＝ _|r_1－__r_2_|
Δ_＝__0
d＜ _|r_1_－__r_2|
1≥2 ab，所以 ab≤14.
答案
?
?－∞，
?
1 4
?
? ?
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4．(2012·盐城模拟)与直线x＝3相切，且与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝ 1相内切的半径最小的圆的方程为 ________．
解析
要使圆的半径最小，则所求圆的圆心为
??1，－ ?2
?
1?，此时
?
r
BN
，得A→M
→ ·BN
＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以
3＋t1t2＝0，即
t1t2
＝－3.
所以 MN ＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
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3.
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(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为 (x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即 (x－ 2)2＋ y2－(t1＋ t2)y＋ t1 t2＝ 0， 也即 (x－ 2)2＋ y2－ (t1＋ t2)y－ 3＝ 0.
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
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(1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P，则|AP|＝23 2， 又|AM |＝1，AP⊥MQ，AM ⊥AQ，
得 |MP |＝
12－89＝13，
又∵|MQ |＝||MMAP||2，∴|MQ |＝3.
设 Q(x,0)，而点 M(0,2)，
由 x2＋22＝3，得 x＝± 5，
【训练1】 已知圆x2＋y2＝1与x轴交于A、B两 点，P是该圆上任意一点，AP、PB的延长线 分别交直线l：x＝2于M、N两点．
(1)求MN 的最小值； (2)求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求 出该定点的坐标．
(1)解 设 M(2，t1)，N(2，t2)，则由 A(－1,0)，B(1,0)，且 AM ⊥
＝3－?2－2?＝52，故所求圆的方程为
?
?x－
?
12???2＋
(y＋
1)2＝245.
答案
?
?x
?
－12???2＋
(y＋
1)2＝245
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5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 ?－1－2?2＋?－1－3?2－1＝4.
解析 即求两圆公共弦为直径的圆的方程．两圆的公共弦所
在直线的方程 l：x－2y＋4＝0.圆 C1 的半径 r1＝5 2，圆心 (1，－5)到 l 的距离． d＝|1＋105＋4|＝3 5，则公共弦长为 l ＝2 r21－d2＝2 50－45＝2 5，连心线的方程 l1：2x＋y＋3 ＝0，与 l 的交点为 (－2,1)．
则 Q 点的坐标为 ( 5，0)或(－ 5，0)．
从而直线 MQ 的方程为
2x＋ 5y－2 5＝0 或 2x－ 5y＋2 5＝0.
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(2)证明 设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A、B 两点在以
QM 为直径的圆上，此圆的方程为 x(x－q)＋y(y－2)＝0，