解析几何中定值与定点问题

解析几何中定值与定点问题

【探究问题解决的技巧、方法】

(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．

(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．

【实例探究】

题型1：定值问题:

例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的

焦点，离心率等于

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

为定值.

解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1.

∴椭圆C的方程为

（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为

易知F点的坐标为（2，0）.

将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得

方法二：设A、B、M点的坐标分别为

又易知F点的坐标为（2，0）.

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

又

例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).

1）求椭圆方程

2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值

（1）a²-b²=c² =1

设椭圆方程为x²/（b²+1）+y²/b²=1

将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）

所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1

（2）

设AE斜率为k

则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①

x ²/4+y ²/3=1 ②

①，②联立得出两个解一个是A （1,3/2）另一个是E （x1，y1） ①代入②消去y 得（1/4+k ²/3）x ²-（2k ²/3-k ）x+k ²/3-k-1/4=0 根据韦达定理 x1·1=（k ²/3-k-1/4）/（1/4+k ²/3）③ 将③的结果代入①式得

y1=（-k ²/2-k/2+3/8）/(1/4+k ²/3)

设AF 斜率为-k ，F （x2，y2） 则AF 方程为y-（3/2）=-k （x-1）④ x ²/4+y ²/3=1 ② ②④联立同样解得

x2=（k ²/3+k-1/4）/（1/4+k ²/3） y2=（-k ²/2+k/2+3/8）/（1/4+k ²/3） EF 斜率为

（y2-y1）/(x2-x1)=1/2

所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。

例3

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点C （-1，0）且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，试问在x 轴上是否存在点M ，使2

5MA MB 3k ⋅+k 无关的常数若存在，求出点M 的坐标；若不

存在，请说明理由.

解：（1c a =，∴2

213

b a =.

又椭圆过点（1）

∴椭圆方程为22

155

3

x y +=，即22x 3y 5+=. （2）在x 轴上存在点，使2

5MA MB 3k 1

⋅+

+K 无关的常数. 证明：假设在x 轴上存在点M （m,0）,使25MA MB 3k ⋅+

k 无关的常数，

∵直线L 过点C （-1，0）且斜率为K,∴L 方程为y k(x 1)=+，

由⎩⎨⎧+==+),

1(,5322x k y y x 得0536)13(2222=-+++k x k x k . 设),(),,(2211y x B y x A ，则 ∵1122MA (x m,y ),MB (x m,y ),=-=- ∴2

5MA MB 3k ⋅+

=()()()()21212251131

x m x m k x x k --+++++

=()()()2212

2121

2

25131

k x x k m

x x m

k k ++-++++

+

=()()222

2

2222235651313131k k k k m m k k k k --++-++

++++

=22222

2

6331

k mk m k m k -++++ 设常数为t

整理得222(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立，

2

23m 6m 1

3t 0,m t 0.

⎧+--=⎪∴⎨-=⎪⎩解得

即在x 轴上存在点M ， 使25MA MB 3k ⋅+

K 无关的常数.

题型2：定点问题

例4.已知椭圆C ：122

22=+b

y a x (a > b > 0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直

角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y 2

=4x 的一条切线。

（1）求椭圆的方程;

(2)过点 S（0，-1/3）的动直线L交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

例5. .在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，如图所示，斜率为k（k ＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于