解析几何中的定点定值问题ppt课件
第八节第1课时 定点、定值问题 课件(共42张PPT)
解析：由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，只要
∠AF2B为钝角即可，所以有
b2 a
>2c，即b2>2ac，所以c2－
a2>2ac，即e2－2e－1>0，所以e>1＋ 2或e<1－ 2(舍)．
答案：(1＋ 2，＋∞)
第一课时 定点、定值问题
1．定点问题 (1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动 点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中 的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的 曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式， 再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点。 (2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题 时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证 明该定点与变量无关。
x2 9
＋
y2 4
＝1上，
过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足N→P＝
→ 2 NM.
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)过F(1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过
F(1，0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，
求证：|A1B|＋|C1D|为定值．
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)． 因为N→P＝ 2 N→M，所以(x－x0，y)＝ 2(0，y0)，
定点问题实质及求解步骤 解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变 化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着 定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：
已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率e＝ 36，直线l： y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切．
(1)求椭圆的方程； (2)已知定点E(1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆 相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为 直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请 说明理由．
(完整)解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆,圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系,通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p 〉0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点,解析： 设A （121,2y p y ),B （222,2y py ）,则212tan ,2tan y py p ==βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ (1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入(1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点(-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。
例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==,所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:2222(41)324(161)0k x k x k --+-=, 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ,则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =,得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理,得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程;⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点．解:⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4,焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ,因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ,()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验,都符合条件①，当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然,此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是:65b k =,且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m 〉0,0,021<>y y .(1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标; （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关)。
难点2.10 解析几何中的定值、定点和定线问题 (解析版)
解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，该类问题知识综合性强,方法灵活,对运算能力和推理能力要求较高,因而成为了高中数学学习的重点和难点.主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定值、定点、定线问题，试题难度较大．定点、定值、定线问题都是探求"变中有不变的量".因此要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题.从整体上把握问题给出的综合信息,并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系,恰当适时地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 在解答这类问题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更重能力”的指导思想．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用．1解析几何中的定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效.例1【百校联盟2018届一月联考】已知点()0,2F ，过点()0,2P -且与y 轴垂直的直线为1l ， 2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且2211x x m-=+（m 为常数），直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC ∆的面积是否为定值.若为定值，求出ABC ∆的面积；若不是定值，说明理由.思路分析：（1）根据抛物线的定义可得点M 的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程．（2）设直线AB 的方程为y kx b =+，与抛物线方程联立消元后可得AB 中点()24,4Q k k b +的坐标为．同样设出切线方程y kx t =+，与抛物线方程联立消元后可得切点C 的坐标为()24,2k k ，故得CQ ⊥ x 轴．于是点评：圆锥曲线中求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)由题意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值．定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现. 定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.学*科网2解析几何中的定点问题定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题，一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明．难度较大．定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．解析几何中的“定点”问题一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等)中,寻求某一个不变量——定点，由于这种问题涉及面广、综合性强.例2【河南省中原名校2018届第五次联考】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为G ，直线FG 与直线30x y -=垂直，椭圆E 经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 作椭圆E 的两条互相垂直的弦,AB CD ．若弦,AB CD 的中点分别为,M N ，证明：直线MN 恒过定点．思路分析：（1）根据直线FG 与直线30x y -=垂直可得3b c =，从而得到2243a b =，再由点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上可求得22,a b ，即可得椭圆的方程．（2）当直线AB CD ，的斜率都存在时，设AB 的方程为()10x my m =+≠，与椭圆方程联立消元后根据根据系数的关系可得点M 的坐标，同理可得点N 坐标，从而可得直线MN 的方程，通过此方程可得直线过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．然后再验证当直线AB CD 或的斜率不存在时也过该定点．点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题；解决圆锥曲线定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 定点定值问题的实质为等式恒成立，方法为待定系数法.定点问题，关键在于寻找题中的已知量、未知量间的平行、垂直关系或是方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系的问题来解决.定值问题，关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理等方法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果. 圆锥曲线中的定点问题是高考中的常考题型，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是数形结合思想、分类讨论思想的考查．求解的方法有以下两种：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．学*科网3解析几何中的定线问题 定线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．例3在平面直角坐标系xOy 中,过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于,A B 两点,()()1122,,,A x y B x y .（1）求证:12y y 为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.思路分析：（Ⅰ）设出过点()2,0C 的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x ，由根与系数关系可得128y y =-为定值；（Ⅱ）先设存在直线l ：a x =满足条件，求出以AC 为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式222124(1)84r d a x a a -=--+-，由表达式可知，当1a =时，弦长为定值.点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 学*科网综上所述：解决圆锥曲线问题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. 定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．解析几何中的定值问题是指某些几何量、线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 证明直线过定点的解题步骤可以归纳为：一选、二求、三定点.具体操作程序如下：一选：选择参变量.需要证明过定点的直线往往会随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线牵涉的量比较多时，也可以选择多个参变量）. 二求：求出动直线的方程.求出只含上述参变量的动直线方程，并由其他辅助条件减少参变量的个数，最终使动直线的方程的系数中只含有一个参变量. 三定点：求出定点的坐标.不妨设动直线的方程中含有变量，把直线方程写成的形式，然后解关于的方程组得到定点的坐标. 解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
第8章 命题探秘2 第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题 课件(共39张PPT)
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
1
2
3
探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
法二：设T(x，y)，Mx3，14x23，Nx4，14x24.
由xx2324＝ ＝44yy34， 得(x3＋x4)(x3－x4)＝4(y3－y4)，
所以x3＋4 x4＝xy33－－xy44. 设Q(x，y5)，则直线MN的斜率k＝yx5－－12，
所以直线AB过定点0，21. (2)略.
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
1
2
3
探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
02
典型考题·技法突破
技法一 技法二 技法三 技法四
直接推理解决直线过定点问题 直接推理解决曲线过定点问题 定直线的方程问题 直接推理解决定值问题
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
点评：动直线l过定点问题的基本思路 设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝ mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
[思维流程]
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
[解] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为F0，p2，所以过F且斜率为1的直线的方程为y＝x＋p2. 由y＝x＋p2， 消去y并整理，得x2－2px－p2＝0，易知Δ＞0.
高二数学课件：专题六 第三讲 定点、定值、最值问题
上,设三条边(AB,BC,AC)的中点分别为M,N,P.
(1)求椭圆T的方程.
(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且 ki≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0.求证:
1 1 1 为定值.
(2)曲线Ax2+By2+Dx+Ey=0过定点_(_0_，__0_)_. (3)直线A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ 为参数)过直线 A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0的交点. 提醒：直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不可能表示直线 A2x+B2y+C2=0.
(4)函数y=ax2+bx+c(a>0)，当 x b 时，取得最大值为
4ac b2
2a
_____4_a_____.
(5)函数 y ax b (a 0,b 0, x 0) 当且仅当 x b 时有
x
a
最小值__2__a_b__.
热点考向 一 圆锥曲线中的定值问题
【典例】(2013·北京模拟)椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点
1 2
s1 t1
.
以下同方法一.
【拓展提升】 求解定值问题的方法 1.由特例求出定值，再证明，然后得结论. 2.直接求出代数式的值，一般是设法消去代数式中的参数，说 明与参数无关. 提醒：解决此类问题一定要分清哪些是变量，哪些是常量.圆锥 曲线中的最值问题
解析几何中的定点定值问题
my 2 4x
a
y2
4my
4a
0
16m2 16a 0
y1 y1
y2
y2
4m 4a
k1k2
1
y1 2 x1 1
y2 x2
2 1
1
4 y1 2
4 y2 2
1
y1y2 2( y1 y2 ) 12 0
4a 8m 12 0 a 2m 3
EF : x my 2m 3过定点(3,2)
B
AB:
y
2 px y1 y2
4 p2 y02 y1 y2
y0
y
y0
2 px 4 p2 2 px0 y1 y2
2 p(x 2 p x0 ) y1 y2
AB过定点(x0 2 p, y0 )
思路2：设直线AB(2字母)
代入抛物线得关键方程
A
P
k1k2=-1统一字母
O
代直线AB方程(1字母）
(二)椭圆类
例3、椭圆 x2 y2 1
4
（1）以左顶点 A 为直角顶点的 RtAMN 的顶点都在
椭圆上，则斜边 MN 过定点
M
A N
思路1：特殊化取AM:y=x+2
代入椭圆得M,N坐标(1字母)
得直线AB方程(1字母) M 猜测得定点坐标再证明 A
N
解析：A(2,0), 取AM : y x 2
解析：小题猜测：极端性，当 PA水平时 A
此时 A 在无穷远处，B(x0 , y0 ) ，直线 AB : y y0 所以定点纵坐标为 y0
P
当 AB 竖直时，设为 x t ，
O
代入抛物线方程，A(t, 2pt ),B(t, 2pt )
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第11讲定点、定值、探索性问题课件理新人教A版
所以1λ＋μ1＝1－1yM＋1－1yN ＝（kx－1－1）1 x1＋（kx－2－1）1 x2 ＝k－1 1·2x1x2－x（1xx21＋x2） ＝k－1 1·k22＋21kk－2 4＝2.
k2
所以1λ＋μ1为定值．
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的 等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距 离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条 件对解析式进行化简、变形即可求得．
设
MN
的中点为
E，则点
E
的坐标为0，－
k2，则以
MN
为直
径的圆的方程为
x2＋y＋
k22＝2（1＋k22k2），即
x2＋y2＋2
k
2 y
＝4.
令 y＝0 得 x＝2 或 x＝－2，即以 MN 为直径的圆经过两定点
P1(－2，0)，P2(2，0)．
圆锥曲线中的探索性问题 [典例引领]
【解】 (1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 P3，P4 两点． 又由a12＋b12>a12＋43b2知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上． 因此ba1122＝ ＋413b，2＝1，解得ab22＝ ＝41， . 故 C 的方程为x42＋y2＝1. (2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2. 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|<2，可得 A，B 的坐标分别为t， 42－t2，t，－ 42－t2.
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15
k AM
kBN
k
2x1x2 2x32 m(x1 x2 ) (x1 x3)(x2 x3)
①
由
y k(x m) x2 4y2 4
消元整理得：
(4k
2
1) x 2
8k
2mx
4k
2m2
4
0
，
所以
x1
x2
8k 2m 4k 2 1,
x1x2
4k 2m2 4 4k 2 1
②
y kx
5
基础练习
3、椭圆 x 2 y 2 1，过右焦点 F 作不垂直于 x 轴 36 27
的直线交椭圆于 A 、 B 两点，线段 AB 的垂直平 分线交 x 轴于 N ，则 NF : AB 等于_______.
6
基础练习
４、如图，已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) ，A, F
是其左顶点
和左焦点， P 是圆 x2 y2 b2 上的动点，若 PA =常数， PF
则此椭圆的离心率是
.
7
因何而动？
8
计算路线比较：设k
路线1：
设kAP M，P Q，N 圆 定点
路线2：
设kPQ
P，Q
直线AP 直线AQ
M
，N
圆
定点
9
计算路线比较：设点
路线3：
设P(x0 , y0 ) Q，M N 圆 定点
3
基础练习
1、 过直线 x 4 上动点 P 作圆 O：x2 y2 4 的切线 PA、PB ，则两切点所在直线 AB 恒过一定点，其坐标为_______．
4
基础练习
2、已知 PQ 是过椭圆 C : 2x2 y2 1中心的任一弦， A 是椭圆 C 上异于 P、Q 的任意一点．若 AP、AQ 分别有斜率 k1、k2 ，则 k1 k2 =_______．
1
解析几何中的定点定值问题
2
江苏高考解析几何大题回顾
年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
题号 18 18 18 18 19 17 17 18
考查方式 证明圆过定点 求定点 证明直线过定点 证明垂直(k1k2=-1) 证明定值 求范围 求离心率 求椭圆方程
又由
x
2
4y2
消元整理得：
4
(4k 2
1) x 2
4
，所以
x32
4 4k 2 1
③
将②、③代入①式得： kAM kBN 0 .
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解题小结
多特殊化、对称性 ——发现定点、定值的高招
巧妙设参、整体代换、设而不求 —— 优化运算的法宝
x1 x3
x2 x3
= k (x1+x3 m)(x2 x3) (x2 x3 m)(x1 x3)
(x1 x3)(x2 x3)
= k (x1 x3)(x2 x3) (x2 x3)(x1 x3) m(x2 x3 x1 x3)
(x1 x3)(x2 x3)
k 2x1x2 2x32 m(x1 x2 ) (x1 x3 )(x2 x3 )
13
分析
怎么找出定值？ 怎么设？ 怎么算？
14
设 AB 方程为 y k(x m) ， A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，
M (x3, y3 ) ,则 MN 方程为 y kx
k AM
kBN
y1 +kx3 x1 x3
y2 kx3 x2 x3
k(x1 m) kx3 k(x2 m) kx3
路线4：
设M (0, m) P,Q QA N 圆 定点
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计算路线比较：嫁接
路线5：
设k AP
M
k
AP
k
AQ
b2 a2
N
圆 定点
路线6：
设M (0, m), N (0, n) 圆 kAM kAN ba22 mn 2 定点
11
解题小结
找出动因， 引入变量， 一算到底。
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x2 y2 1 4